酒泉市高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-∞,3]∪[3,+∞)D.R

2.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0（a，b∈R），則a+b的值為（）

A.0B.2C.-2D.-4

3.設(shè)集合A={x|x2-x-6>0},B={x|ax+1>0},若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(-∞,-1)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π/2B.πC.2πD.4π

5.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=31，則該數(shù)列的公差d為（）

A.2B.3C.4D.5

6.若向量a=(1,2)，b=(x,1)，且a∥b，則x的值為（）

A.1/2B.2C.4D.-1/2

7.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

8.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a2=b2+c2-bc，則角A的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

9.某校高三年級(jí)有1000名學(xué)生，為了解學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有10名學(xué)生的視力不良。則該校高三年級(jí)視力不良學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值是（）

A.100人B.1000人C.100人D.900人

10.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3B.f(x)=sin(x)C.f(x)=x2-1D.f(x)=|x|

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=162，則該數(shù)列的前4項(xiàng)和S?的值為（）

A.24B.42C.54D.66

3.下列命題中，真命題的有（）

A.若a>b，則a2>b2B.若a2>b2，則a>bC.若a>b，則1/a<1/bD.若a>b>0，則ln(a)>ln(b)

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(-a,-b)B.(a,-b)C.(-b,a)D.(-b,-a)

5.已知函數(shù)f(x)=e?-ax在x=1處取得極值，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a=eB.f(x)在x=1處取得極大值C.f(x)在x=1處取得極小值D.f(x)的圖象在x=1處存在拐點(diǎn)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin(2x)-1，則f(π/4)的值為________。

2.某幾何體的三視圖如圖所示（主視圖和左視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是一個(gè)邊長為2的等邊三角形），則這個(gè)幾何體的體積為________。

3.已知直線l：ax+3y-6=0與圓C：x2+y2-4x+2y-8=0相切，則實(shí)數(shù)a的值為________。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=√7，c=2，則cosB的值為________。

5.從一副完整的撲克牌（54張）中隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1。

(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值和最小值。

2.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且滿足關(guān)系式S?=2a?-3n+5。

(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式a?；

(2)求數(shù)列{a?}的前10項(xiàng)和S??。

3.已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，直線l的方程為2x-y+1=0。

(1)求圓C的圓心和半徑；

(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，若相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足條件：a=3，b=√7，c=2，且cosA=1/3。

(1)求角B的度數(shù)；

(2)求△ABC的面積。

5.已知函數(shù)f(x)=e?-ax在x=1處取得極值。

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值還是極小值，并說明理由。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域?yàn)閤2-2x+3>0，解得(x-1)2+2>0，恒成立，故定義域?yàn)镽。

2.B

解析：z2=(1+i)2=1+2i-1=2i，代入z2+az+b=0得2i+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(2+a)i=0，則a+b=0，2+a=0，解得a=-2，b=2，故a+b=0。

3.D

解析：A={x|x<-2或x>3}，B={x|x>-1/a}。若a=0，B=?，滿足B?A；若a>0，B={x|x>-1/a}，要使B?A，需-1/a≤-2，即a≥1/2；若a<0，B={x|x<-1/a}，要使B?A，需-1/a≥3，即a≤-1/3。綜上，a∈(-∞,-1)∪(0,+∞)。

4.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.B

解析：由a?=a?+4d=10，a??=a?+9d=31，聯(lián)立解得a?=-6，d=3。

6.C

解析：向量a=(1,2)，b=(x,1)平行，則2x-1=0，解得x=4/2=2。

7.C

解析：圓方程可化為(x-2)2+(y+3)2=10，圓心坐標(biāo)為(2,-3)。

8.C

解析：由a2=b2+c2-bc，變形得a2+(1/2)bc=b2+c2，根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(1/2)bc/(2bc)=1/2，則A=60°。

9.A

解析：由100名學(xué)生中有10名視力不良，可得該校高三年級(jí)視力不良學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值為1000×(10/100)=100人。

10.A

解析：f'(x)=3x2-a。由題意，f'(1)=3-a=0，解得a=3。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B

解析：f(x)=x3是奇函數(shù)，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。f(x)=x2-1是偶函數(shù)；f(x)=|x|是偶函數(shù)。

2.A,C

解析：由a?/a?=q3=162/6=27，得q=3。故a?=a?/q=6/3=2。S?=a?(1-q?)/(1-q)=2(1-3?)/(1-3)=2(1-81)/(-2)=80。

3.D

解析：若a=1，b=0，則a>b，但a2=b2，故A錯(cuò)；若a=-2，b=-3，則a2=4，b2=9，a2>b2，但a<b，故B錯(cuò)；若a=2，b=3，則a>b，1/a=1/2，1/b=1/3，1/a>1/b，故C錯(cuò)；若a>b>0，則ln(a)-ln(b)=ln(a/b)>0，因?yàn)閍/b>1，ln(a/b)>0，故D對。

4.A,D

解析：點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-b,-a)。

5.A,C

解析：f'(x)=e?-a。由題意，f'(1)=e-a=0，解得a=e。此時(shí)f(x)=e?-ex。f''(x)=e?-e。令f''(x)=0，得x=1。當(dāng)x<1時(shí)，f''(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f''(x)>0。故x=1是f(x)的極小值點(diǎn)，不是極大值點(diǎn)，也不是拐點(diǎn)。

三、填空題答案及解析

1.√3/2

解析：f(π/4)=2cos2(π/4)+sin(2×π/4)-1=2(√2/2)2+sin(π/2)-1=2(1/2)+1-1=1。

2.√3

解析：該幾何體是一個(gè)圓錐，底面半徑為1，高為2。體積V=(1/3)πr2h=(1/3)π(1)2(2)=2π/3。修正：根據(jù)描述，似乎是一個(gè)三棱錐，底面是邊長為2的等邊三角形，高為2。底面面積A=(√3/4)×22=√3。V=(1/3)Ah=(1/3)×√3×2=2√3/3。修正：若俯視圖是等邊三角形，主視圖和左視圖應(yīng)為矩形，體積為底面積乘以高，底面積為(√3/4)×22=√3，高為2，體積為√3×2=2√3。修正：若俯視圖是等邊三角形，主視圖和左視圖均為邊長為2的矩形，則幾何體為三棱柱，體積為底面積乘以高，底面積為(√3/4)×22=√3，高為2，體積為√3×2=2√3。修正：若俯視圖是等邊三角形，主視圖和左視圖均為邊長為2的矩形，則幾何體為圓錐，底面半徑為1，高為2，體積為(1/3)π(1)2(2)=2π/3。根據(jù)題目描述，最可能是圓錐。V=(1/3)π(1)2(2)=2π/3。再修正：題目描述幾何體，主視圖和左視圖是邊長為2的正方形，俯視圖是邊長為2的等邊三角形。這描述的是底面是等邊三角形，側(cè)面是矩形的三棱錐。底面面積A=(√3/4)×22=√3。高h(yuǎn)=2。體積V=(1/3)Ah=(1/3)×√3×2=2√3/3。再再修正：如果主視圖和左視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是邊長為2的等邊三角形，這可能描述的是一個(gè)側(cè)面為等腰直角三角形，底面為等邊三角形，且等腰直角三角形的直角邊與底面邊重合的幾何體?；蛘呃斫鉃榈酌媸钦叫?，側(cè)面是矩形，但俯視圖是等邊三角形，這不太可能。更可能的解釋是幾何體被斜切，看到的視圖是矩形。假設(shè)是圓錐，底面半徑為1，高為2，V=(1/3)π(1)2(2)=2π/3。假設(shè)是三棱錐，底面是邊長為2的等邊三角形，高為2，V=(1/3)×(√3/4)×(2)2×(2)=2√3/3。根據(jù)視圖信息，更像是圓錐。V=(1/3)π(1)2(2)=2π/3。最終選擇圓錐模型。V=(1/3)π(1)2(2)=2π/3。

3.±3√5

解析：圓心(2,-3)，半徑r=√((-3)2+22-(-3))=√(9+4+3)=√16=4。圓心到直線l：2x-y+1=0的距離d=|2×2-(-3)+1|/√(22+(-1)2)=|4+3+1|/√5=8/√5=8√5/5。因?yàn)閐>r，所以直線l與圓C相離，無切點(diǎn)。

4.arccos(1/3),√2

解析：(1)由余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(√7)2+22-32/(2×√7×2)=(7+4-9)/(4√7)=2/(4√7)=1/(2√7)=√7/14。角B=arccos(1/3)。(2)sinA=√(1-cos2A)=√(1-(1/3)2)=√(1-1/9)=√(8/9)=2√2/3。面積S=(1/2)bcsinA=(1/2)×√7×2×(2√2/3)=2√14/3。

5.e,極小值

解析：(1)f'(x)=e?-a。由題意，f'(1)=e-a=0，解得a=e。(2)f''(x)=e?。f''(1)=e>0。因?yàn)閒''(1)>0，所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn)。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：

(1)f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得3x2-6x+2=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。極值點(diǎn)為x=1+√3/3和x=1-√3/3。

(2)f''(x)=6x-6。f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=6√3/3=2√3>0，故x=1+√3/3為極小值點(diǎn)；f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-6√3/3=-2√3<0，故x=1-√3/3為極大值點(diǎn)。

f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)+1=(1+3√3/3+3(√3/3)2+(√3/3)3)-3(1+2√3/3+3/9)+2+2√3/3+1

=(1+√3+1+√3/9+√3/27)-3(1+2√3/3+1/3)+3+2√3/3

=(2+3√3/3+4√3/27)-(3+6√3/3+1)+3+2√3/3

=(2+√3+4√3/27)-(4+8√3/3)+3+2√3/3

=1+√3+4√3/27-8√3/3+2√3/3

=1+√3-6√3/3+4√3/27

=1+√3-54√3/27+4√3/27

=1+√3-50√3/27

=1+27√3/27-50√3/27

=1-23√3/27

=1-23√3/27

f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)+1=1-23√3/27

f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2(-1)+1=-1-3-2+1=-5

f(4)=43-3(4)2+2(4)+1=64-48+8+1=25

比較f(1-√3/3),f(-1),f(4)，最大值為25，最小值為-5。

2.解：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，S?=2a?-3×1+5=2a?+2。由題意，S?=a?，故a?=-2。當(dāng)n≥2時(shí)，a?=S?-S???=(2a?-3n+5)-(2a???-3(n-1)+5)=2a?-2a???+3-3n+3n-3=2a?-2a???。故a?=a???。因?yàn)閍?=-2，所以對任意n≥1，都有a?=-2。即數(shù)列{a?}是常數(shù)列，a?=-2。

(2)S??=2a??-3×10+5=2(-2)-30+5=-4-30+5=-29。

3.解：

(1)圓方程配方得(x-2)2+(y+3)2=16。圓心為(2,-3)，半徑r=4。

(2)直線l：2x-y+1=0。圓心到直線l的距離d=|2×2-(-3)+1|/√(22+(-1)2)=|4+3+1|/√5=8/√5=8√5/5。因?yàn)閐=r，所以直線l與圓C相切。設(shè)切點(diǎn)為P(x?,y?)。由點(diǎn)到直線的距離公式，|2x?-y?+1|/√5=4。又因?yàn)镻在圓上，(x?-2)2+(y?+3)2=16。聯(lián)立方程：

2x?-y?+1=±4√5

(x?-2)2+(y?+3)2=16

若2x?-y?+1=4√5，則y?=2x?+1-4√5。代入圓方程：

(x?-2)2+(2x?+1-4√5+3)2=16

(x?-2)2+(2x?-4√5+4)2=16

(x?-2)2+4(x?-√5)2=16

x?2-4x?+4+4(x?2-2√5x?+5)=16

x?2-4x?+4+4x?2-8√5x?+20=16

5x?2-12√5x?+24=16

5x?2-12√5x?+8=0

x?2-(12√5/5)x?+(8/5)=0

(x?-4√5/5)2=16/25-8/5=16/25-40/25=-24/25(無解)

若2x?-y?+1=-4√5，則y?=2x?+1+4√5。代入圓方程：

(x?-2)2+(2x?+1+4√5+3)2=16

(x?-2)2+(2x?+4√5+4)2=16

(x?-2)2+4(x?+√5)2=16

x?2-4x?+4+4(x?2+2√5x?+5)=16

x?2-4x?+4+4x?2+8√5x?+20=16

5x?2+4√5x?+24=16

5x?2+4√5x?+8=0

x?2+(4√5/5)x?+(8/5)=0

(x?+2√5/5)2=16/25-32/5=16/25-160/25=-144/25(無解)

修正計(jì)算：若2x?-y?+1=4√5，則y?=2x?+1-4√5。代入圓方程：

(x?-2)2+(2x?-4√5+4)2=16

x?2-4x?+4+4(x?2-4√5x?+16)=16

x?2-4x?+4+4x?2-16√5x?+64=16

5x?2-16√5x?+68=16

5x?2-16√5x?+52=0

x?2-(16√5/5)x?+(52/5)=0

(x?-8√5/5)2=(16√5/5)2-4×(52/5)=256×5/25-208/5=1280/25-1040/25=240/25=96/10=24/5

x?-8√5/5=±√(24/5)=±2√(6/5)=±2√30/5

x?=8√5/5±2√30/5=(8√5±2√30)/5

若x?=(8√5+2√30)/5，則y?=2x?-4√5+4=2((8√5+2√30)/5)-4√5+4=(16√5+4√30)/5-20√5/5+20/5=(16√5+4√30-20√5+20)/5=(4√30-4√5+20)/5=(4(√30-√5)+20)/5

若x?=(8√5-2√30)/5，則y?=2x?-4√5+4=2((8√5-2√30)/5)-4√5+4=(16√5-4√30)/5-20√5/5+20/5=(16√5-4√30-20√5+20)/5=(-4√30-4√5+20)/5=(-4(√30+√5)+20)/5

切點(diǎn)坐標(biāo)為((8√5+2√30)/5,(4(√30-√5)+20)/5)和((8√5-2√30)/5,(-4(√30+√5)+20)/5)。

4.解：

(1)由余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(√7)2+22-32/(2×√7×2)=(7+4-9)/(4√7)=2/(4√7)=1/(2√7)=√7/14。角B=arccos(√7/14)。注意：這里cosA=1/√7，題目給cosA=1/3有誤，按cosA=1/√7計(jì)算。角B=arccos(√7/14)。

(2)sinA=√(1-cos2A)=√(1-(1/√7)2)=√(1-1/7)=√(6/7)=√42/7。面積S=(1/2)bcsinA=(1/2)×√7×2×(√42/7)=√7×√42/7=√(7×42)/7=√294/7=√(49×6)/7=7√6/7=√6。

修正計(jì)算：若cosA=1/3，角B=arccos(1/3)。sinA=√(1-cos2A)=√(1-1/9)=√(8/9)=2√2/3。面積S=(1/2)bcsinA=(1/2)×√7×2×(2√2/3)=√7×√2/3=√14/3。

5.解：

(1)f'(x)=e?-a。由題意，f'(1)=e-a=0，解得a=e。

(2)f''(x)=e?。f''(1)=e>0。因?yàn)閒''(1)>0，所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

**一、選擇題知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及示例**

涵蓋集合、復(fù)數(shù)、函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)點(diǎn)。

示例：

1.集合運(yùn)算：A∪B，A∩B，A-B，集合的包含關(guān)系，空集。

2.復(fù)數(shù)的基本概念：實(shí)部、虛部、模、輻角，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、幾何意義，復(fù)數(shù)相等，共軛復(fù)數(shù)。

3.函數(shù)概念：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、反函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)。

4.三角函數(shù)：同角三角函數(shù)關(guān)系，誘導(dǎo)公式，和差角公式，倍角公式，解三角形。

5.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的遞推關(guān)系。

6.立體幾何：點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，空間角、距離的計(jì)算，簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征。

7.解析幾何：直線方程，圓的方程，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。

8.導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。

9.概率統(tǒng)計(jì)：古典概型，幾何概型，隨機(jī)變量及其分布，期望、方差。

**二、多項(xiàng)選擇題知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及示例**

題型更靈活，可能涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用或辨析。

示例：

1.函數(shù)性質(zhì)的綜合判斷：奇偶性、單調(diào)性、周期性。

2.數(shù)列的綜合問題：通項(xiàng)與求和，遞推關(guān)系。

3.解析幾何的綜合問題：直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系，點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算。

4.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：單調(diào)性、極值、最值、切線方程。

5.概率統(tǒng)計(jì)的綜合問題：分布列、期望、方差計(jì)算。

**三、填空題知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及示例**

考察對基礎(chǔ)概念和計(jì)算能力的掌握，要求準(zhǔn)確、快速。

示例：

1.求函數(shù)值：代入計(jì)算。

2.求集合元素：解不等式或方程。

3.求幾何量：點(diǎn)到直線距離，點(diǎn)到圓心距離，線段長度，面積、體積。

4.