§1.2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【學(xué)情分析】：

在學(xué)習(xí)了用導(dǎo)數(shù)定義這種方法計算常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而且已經(jīng)熟悉了導(dǎo)數(shù)加減運算法則后.本節(jié)將繼

續(xù)介紹復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.

【教學(xué)目標(biāo)】：

(D理解掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

(2)能夠結(jié)合已學(xué)過的法則、公式，進行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)?

(3)培養(yǎng)學(xué)生善于觀察事物，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識規(guī)律，掌握規(guī)律，利川規(guī)律.

【教學(xué)重點】，

簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，也是由導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)出的，要掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，須在理解復(fù)合過

程的基礎(chǔ)上熟記基本導(dǎo)數(shù)公式，從而會求簡單初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并靈活應(yīng)用.

【教學(xué)難點】：

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的導(dǎo)入，復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析，可多配例題，讓學(xué)生對求導(dǎo)法則有一個直觀的了

【教學(xué)過程設(shè)計】:

教學(xué)

教學(xué)活動設(shè)計意圖

環(huán)節(jié)

從實際

一、情回憶我們上一節(jié)課的例1,如果式子p?)=〃(l+5%)’中某商品的〃=5,那么在

生活的例子

景

第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？出發(fā)，使學(xué)

引

根據(jù)上一節(jié)課的內(nèi)容，我們知道，求在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度，生對導(dǎo)數(shù)的

入

運算法則有

只需求〃關(guān)于1的導(dǎo)數(shù)但是如何求〃⑺=5x1.05'關(guān)于，的導(dǎo)數(shù)呢？我們需要用到

一個更深刻

新的知識，即“導(dǎo)數(shù)的運算法則”.的認(rèn)識。

二講導(dǎo)數(shù)的四則運算公式：

授新

1."(X)士g(x)］'=/(X)士g(X)：

課導(dǎo)數(shù)的乘、

(1)除運算比較

2."(x)?g(x)j=/(x)g(x)+/0)g(x);

導(dǎo)數(shù)容易出錯,

的四要強調(diào)，引

則運3.［噌匚迎陪弊蚪390)起注意.

根(幻］

算g(x)

例1.根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(1)y=x3-2x^-3

(2)y=(3x?+2)(工-5)

,、sinx

(3)y=——

X

直接給

(2)

一般地，對于兩個函數(shù)y=/(〃)和〃=g(x),如果通過變量〃,y可以表示成x

復(fù)合出定義，并

函數(shù)與基本初等

的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=/(〃)和〃=g(x)的復(fù)合函數(shù).

的定

函數(shù)相區(qū)別

義.例1、試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的？

和聯(lián)系.

⑴y=(2-/)3；說明：

討論復(fù)合函

2

(2)y=sinx；數(shù)的構(gòu)成

(3)y=cos(?-x)時，“內(nèi)層”、

“外層”函

(4)y=lnsin(3x-l).數(shù)一般應(yīng)是

例、寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：

2基本初等函

〃，MA2：MJI

(l)y=cos=1+(2)y=In,w=In.數(shù)，如一次

函數(shù)、二次

函數(shù)、指數(shù)

函數(shù)、對數(shù)

函數(shù)、三角

函數(shù)等.

(3)思考：如何求函數(shù)y=ln(x+2)的導(dǎo)數(shù)?

黃品小口

復(fù)合函數(shù)y=/(g[x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù))，=/(〃),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為

函數(shù)

的導(dǎo)

數(shù)

例3、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

20Q5x

(1)y=(2x+3)；(2)y=e~^i

(3)y=sin(乃x+e)(其中肛。均為常數(shù))

對于(1)

①能否用學(xué)過四則運算解決問題？兩種方法作

對照與比

②新方法：將函數(shù)y=(3x-2)2看作是函數(shù))，=〃2和函數(shù)"=3工一2復(fù)合函數(shù)，并

較，體會不

同的解決方

分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：乂=(/)'=2〃，〃：=(3x-2Y=3

法與策略.

兩個導(dǎo)數(shù)相乘，得鼓勵學(xué)生模

仿并及時修

y；M=2〃?3=2(3x—2)*3=18x—12,

正.

從而有y[=兒見

對于一-般的復(fù)合函數(shù)，結(jié)論也成立，以后我們求yx時，就可以轉(zhuǎn)化為求外,

和/x的乘積，關(guān)鍵是找中間變量，隨著中間變量的不同，難易程度不同。

(學(xué)生自主完成(2)、(3))o

71

例4、求尸sin2(2x+§)的導(dǎo)數(shù)

7t71

分析：設(shè)“sinQx+—)時，求人’，但此時〃仍是復(fù)合函數(shù)，所以可再設(shè)v=2x+-.

33

解略.

1、求)，=sin(tanx2)的導(dǎo)數(shù).

解：y=[sin(tanx2)]=cos(tanx2)-sec2(x2)-2x

=2xcos(tanx2)-sec2(x2)

y=2xcos(tanx2)?sec2(x2)

【點評】

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層

向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時化簡

計算結(jié)果.

x—(l

2、求y=:的導(dǎo)數(shù).

\Jx2-Icix

解：

1-5/x2-lax-(x-a)'—::2"_

三、鞏y=_____________________2《-2-=______-a；=_?w-2ar

固與X2-laxX2-2axylx2-lax'-2at尸

提升

?_a2\lx2-lax

3C?-2or)2

【點評】本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡整理.

3^求y=sin4x+costx的導(dǎo)數(shù).

[解法一]y=sin、+cos4x=(sin2x+cos2^)2—2sin2cos2x=1——sin22x

131

=1——(1—cos4x)=—+—cos4x.yr=—sin4x.

444

【解法二】)/=(sin。)'+(cos。)'=4sin\v(sinx)1+4cos%(cosx)'

=4sin3xcosx+4cos(—sinA)=4sinxcosx(sin2x—cos2x)

=-2sin2xcos2x=_sin4x

【點評】

解法一是先化簡變形，簡化求導(dǎo)數(shù)運算，要注意變形準(zhǔn)確.解法二是利用復(fù)合

函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意不漏步.

4、曲線)，=%(x+1)(2—x)有兩條平行于直線)，=工的切線，求此二切線之間

的距離.

【解】y=一一+.”+2Xy=-3X2+2X+2

2x-2sinX-(1+X2)(2COSX)_(4x)sinx-(l+x2)(2cosx)

4sin2x4sin2x

小，(。一幻'(4+X)-(。一X)(4+X)'

n2.⑴y'=(-----)=-------------------;------------

a+x(a+x)-

-(a+x)-(a-x)_-2a

(a+x)2(o+x)2

x+2(x+2)'(3r)—(x+2)(3x")'

⑵y'」(=(3x2)2

3x~—(x+2)(6x)—3x~—12xx+4

"97―97~-~~3^

,、，,、，，sinX\,(sinx)rcosx-sinx(cosx)r

(3.1yz=(tanx)z=(-----)'=-----------------―------

cosx(cosx)~

cos-x+sinxI

=--------------=-----=sec2x

COSXCOS~X

⑷=ni-cosx)-l.(l-cosxy

I-cosx(I-cosx)

0(1-cosx)-sinx_sinx

(I-cosx)2(I-cosx)2

3.不正確，分母未平方，分子上正負(fù)號弄錯.

1+cosX(1+cosx)fx2-(1+COSx)(x2y

)'

-(7F

xsinx+2cosx+2

P

22

“工，=(l-xysinx-(l-x)(sinxy

sinx(sinx)~

-2xsinx-(l-x2)cosx

sin2x

4-x3(4-V)fcosx-(4-d),cos:<)'

5"=(.)z

xcos冗(x2cosx)2

3x2-x2cosx(4X3)(2XCOSXX2sinx)

x4cos2x

-x4cosx-8xcosx+4x2sinx-x5sinx

x4cos2x

(4-x4)sinx-(x3+8)cosx

x3cos2x

-2xsinJ;-(1-x2)cosx

一.2

sinx

,.4-x3」(4-x3)x2cosx-(4-x3)(x2cosAy

5?y=(----------)=---------------------1--------------------------

Xcosx(x-cosx)-

-3x2-x2cosx-(4-x3)(2xcosx-x2sinx)

-42

XCOSX

-x4cosx-8xcosx+4x2sinx-x5sinx

=---------------------------4------；------------------------

XCOS-X

_(4-x4)sinx-(x3+8)cosx

x3cos2x

6.分析：y可看成兩個函數(shù)的乘積，2x?-3可求導(dǎo)，31+工2是復(fù)合函數(shù),可以先算出J1+Y對x

的導(dǎo)數(shù).

令丫=3,U=2X2—3,v=Vl+X2,令^=l+x~

X?式=（&）：（1+x?）x，

2x

=—692(2x)=

2J1+F71+x2

=(uv)x*=ux'v+uvJ

;(2x2—3)x'?71+X2+(2X2-3)-1-------------

r-----r2x3-3x6x3+x

=4XA/1+X-H——/=.

Vl+X2Jl+x、

即yJ

小課堂：如何培養(yǎng)中學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力?

自主學(xué)習(xí)是與傳統(tǒng)的接受學(xué)習(xí)相對應(yīng)的一種現(xiàn)代化學(xué)習(xí)方式。在中學(xué)階段，至關(guān)重要??！以

學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生自己做主，不受別人支配，不受外界干擾通過閱讀、聽講、研究、

觀察、實踐等手段使個體可以得到持續(xù)變化（知識與技能，方法與過程，情感與價值的改善

和升華）的行為方式。如何培養(yǎng)中學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力？

01學(xué)習(xí)內(nèi)容的自主性

1、以一個成績比自己好的同學(xué)作為目標(biāo)，努力超過他。

2、有一個關(guān)于以后的人生設(shè)想。

3、每學(xué)期開學(xué)時，都根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況設(shè)立一個學(xué)期目標(biāo)。

4、如果沒有達到自己的目標(biāo)，會分析原因，再加把勁。

5、學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定之后，會自己思考或讓別人幫助分析是否符合自己的情況。

6、會針對