兩類圖的Balaban與Szeged指數(shù)極值特性及應(yīng)用研究一、引言1.1研究背景和意義圖論作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，在眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。其中，圖的拓?fù)渲笖?shù)是描述圖的結(jié)構(gòu)特征的重要工具，對(duì)于理解圖的性質(zhì)和應(yīng)用具有關(guān)鍵作用。Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)作為兩類重要的拓?fù)渲笖?shù)，近年來受到了廣泛的關(guān)注和研究。Balaban指數(shù)由美國(guó)科學(xué)院院士、著名化學(xué)家、數(shù)學(xué)化學(xué)家A.T.Balaban于1982年提出，其定義基于圖中頂點(diǎn)之間的距離信息，能夠有效地反映圖的結(jié)構(gòu)特征。該指數(shù)在化學(xué)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，可用于描述分子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而預(yù)測(cè)分子的物理化學(xué)性質(zhì)，如極性、表面積、溶解度等。在QSAR/QSPR（定量構(gòu)效關(guān)系/定量結(jié)構(gòu)性質(zhì)關(guān)系）模型中，Balaban指數(shù)也發(fā)揮著重要作用，能夠幫助研究人員建立化合物結(jié)構(gòu)與活性或性質(zhì)之間的定量關(guān)系，為藥物設(shè)計(jì)、材料研發(fā)等提供理論支持。例如，在藥物研發(fā)中，通過分析化合物的Balaban指數(shù)，可以初步篩選出具有潛在活性的化合物，提高研發(fā)效率，降低研發(fā)成本。Sum-Balaban指數(shù)是Balaban等人隨后提出的概念，與Balaban指數(shù)密切相關(guān)，同樣在化學(xué)和QSAR/QSPR模型中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。它從另一個(gè)角度對(duì)圖的結(jié)構(gòu)進(jìn)行量化描述，為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供了更多的信息和方法。Szeged指數(shù)是由Gutman在1994年提出的另一個(gè)基于距離的拓?fù)洳蛔兞?。該指?shù)通過對(duì)圖中邊的特定計(jì)數(shù)方式，反映了圖的結(jié)構(gòu)特性。在化學(xué)中，Szeged指數(shù)可用于表征分子的結(jié)構(gòu)特征，與分子的穩(wěn)定性、反應(yīng)活性等性質(zhì)相關(guān)。在實(shí)際應(yīng)用中，它有助于研究人員理解分子間的相互作用，為化學(xué)反應(yīng)機(jī)理的研究提供幫助。例如，在研究有機(jī)化學(xué)反應(yīng)時(shí)，通過分析反應(yīng)物和產(chǎn)物分子的Szeged指數(shù)變化，可以推測(cè)反應(yīng)的難易程度和可能的反應(yīng)路徑。Randi?基于Szeged指數(shù)中未涉及到一條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合，提出了修正的Szeged指數(shù)，進(jìn)一步完善了對(duì)圖結(jié)構(gòu)的描述。這種修正使得Szeged指數(shù)在某些情況下能夠更準(zhǔn)確地反映圖的性質(zhì)，為相關(guān)研究提供了更精確的工具。研究?jī)深悎D（如雙圈圖、特定正則圖等）的Balaban和Szeged指數(shù)的極值問題，具有重要的理論和實(shí)際意義。從理論角度來看，這有助于深入理解圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與拓?fù)渲笖?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，豐富和發(fā)展圖論的理論體系。通過確定這些指數(shù)在特定圖類中的極值以及對(duì)應(yīng)的極圖結(jié)構(gòu)，可以揭示圖的某些特殊性質(zhì)和規(guī)律，為圖論的進(jìn)一步研究提供基礎(chǔ)。例如，對(duì)于雙圈圖，確定其Balaban指數(shù)和Sum-Balaban指數(shù)的極值，可以幫助我們了解雙圈圖在不同結(jié)構(gòu)下的拓?fù)涮卣髯兓?，為雙圈圖的分類和性質(zhì)研究提供新的視角。在實(shí)際應(yīng)用方面，這些研究成果對(duì)化學(xué)、材料科學(xué)、藥物研發(fā)等領(lǐng)域有著重要的推動(dòng)作用。在化學(xué)中，準(zhǔn)確了解分子圖的拓?fù)渲笖?shù)極值，有助于設(shè)計(jì)和合成具有特定性質(zhì)的化合物。例如，在材料科學(xué)中，可以根據(jù)拓?fù)渲笖?shù)的極值規(guī)律，設(shè)計(jì)出具有優(yōu)異性能的材料，如高強(qiáng)度、高導(dǎo)電性等。在藥物研發(fā)中，通過研究分子圖的拓?fù)渲笖?shù)極值，可以更好地理解藥物分子與靶點(diǎn)之間的相互作用，提高藥物的設(shè)計(jì)效率和活性。因此，對(duì)兩類圖的Balaban和Szeged指數(shù)極值問題的研究具有廣泛的應(yīng)用前景和實(shí)際價(jià)值。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)自提出以來，在國(guó)內(nèi)外引發(fā)了眾多學(xué)者的研究興趣，相關(guān)研究成果豐碩。在Balaban指數(shù)的研究方面，眾多學(xué)者針對(duì)不同類型的圖展開了深入探究。Knor等人給出了n個(gè)頂點(diǎn)的r正則圖和富勒烯圖的Balaban指數(shù)的精確上界，為該領(lǐng)域的研究奠定了重要基礎(chǔ)。鄧波在其研究中對(duì)兩類圖的最小Balaban指數(shù)進(jìn)行了探討，從特定角度豐富了對(duì)Balaban指數(shù)極值問題的認(rèn)識(shí)。武軍秀和高玉斌則解決了3正則圖Ln的Balaban指數(shù)計(jì)算問題，采用分類討論的方法，給出了Ln的Balaban指數(shù)計(jì)算公式，并得到了該類正則圖Balaban指數(shù)易于計(jì)算的上、下界，且計(jì)算結(jié)果表明所得上界優(yōu)于已有文獻(xiàn)所給出的結(jié)果，為3正則圖Balaban指數(shù)的研究提供了新的思路和方法。Sum-Balaban指數(shù)作為與Balaban指數(shù)密切相關(guān)的概念，也受到了一定程度的關(guān)注。吳仁芳和鄧漢元對(duì)一類樹枝狀大分子的Sum-Balaban指數(shù)進(jìn)行了研究，通過對(duì)這類特殊分子結(jié)構(gòu)的分析，揭示了Sum-Balaban指數(shù)在該類分子中的特性和規(guī)律，為Sum-Balaban指數(shù)在化學(xué)分子結(jié)構(gòu)研究中的應(yīng)用提供了實(shí)例和參考。在Szeged指數(shù)的研究領(lǐng)域，同樣成果斐然。Gutman提出Szeged指數(shù)后，許多學(xué)者圍繞其在不同圖類中的性質(zhì)和極值問題展開研究。例如，有學(xué)者研究了單圈圖和雙圈圖的Szeged指數(shù)，通過對(duì)這些圖的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，探討了Szeged指數(shù)與圖結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，確定了在某些條件下單圈圖和雙圈圖的Szeged指數(shù)的極值情況以及對(duì)應(yīng)的極圖結(jié)構(gòu)。錢儒亮、田志偉和鐘珍妮運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法對(duì)小直徑單圈圖的Szeged指數(shù)進(jìn)行研究，探討了化學(xué)圖論中Szeged指數(shù)在直徑為3的小直徑單圈圖中的極值情況，為Szeged指數(shù)在特定圖類中的研究提供了新的方法和視角。Randi?提出的修正的Szeged指數(shù)也引起了學(xué)者們的關(guān)注。一些研究通過對(duì)不同圖類進(jìn)行邊修正操作，分析了邊的增減對(duì)修正的Szeged指數(shù)的影響，并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來描述這種變化規(guī)律。例如，有研究通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，分析了邊修正對(duì)Szeged指標(biāo)的變化規(guī)律，并通過實(shí)例驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，發(fā)現(xiàn)邊加入會(huì)增加Szeged指標(biāo)，而邊刪除會(huì)減小Szeged指標(biāo)。盡管目前在Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的研究上已取得了一定的成果，但仍存在一些不足。一方面，對(duì)于一些復(fù)雜圖類，如具有特殊結(jié)構(gòu)的多圈圖、高維圖等，相關(guān)拓?fù)渲笖?shù)的極值問題尚未得到充分研究，其計(jì)算方法和性質(zhì)分析仍有待進(jìn)一步探索。另一方面，不同類型圖的拓?fù)渲笖?shù)之間的關(guān)系以及它們?cè)诟鼜V泛應(yīng)用領(lǐng)域（如材料科學(xué)、生物信息學(xué)等）的深入應(yīng)用研究還相對(duì)較少。本文將在前人研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)雙圈圖這一特定圖類，深入研究其Balaban指數(shù)和Sum-Balaban指數(shù)的極值問題，通過創(chuàng)新的方法和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，給出緊的上界，并刻畫達(dá)到最大指數(shù)的雙圈圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。同時(shí)，對(duì)正則圖的Balaban指數(shù)、Sum-Balaban指數(shù)、Szeged指數(shù)以及修正的Szeged指數(shù)的上下界進(jìn)行系統(tǒng)研究，以期進(jìn)一步豐富和完善圖的拓?fù)渲笖?shù)理論，為相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用提供更堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。1.3研究方法和創(chuàng)新點(diǎn)本文在研究?jī)深悎D的Balaban和Szeged指數(shù)的極值問題時(shí)，采用了多種研究方法，力求全面、深入地解決相關(guān)問題。在數(shù)學(xué)推導(dǎo)方面，對(duì)于雙圈圖的Balaban指數(shù)和Sum-Balaban指數(shù)，通過對(duì)雙圈圖的結(jié)構(gòu)進(jìn)行細(xì)致分析，運(yùn)用圖論中的基本概念和方法，如頂點(diǎn)距離、邊數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)的關(guān)系等，進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。以確定雙圈圖中各頂點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的距離之和DG(u)為基礎(chǔ)，根據(jù)Balaban指數(shù)和Sum-Balaban指數(shù)的定義公式，逐步推導(dǎo)其表達(dá)式。在推導(dǎo)過程中，充分考慮雙圈圖的不同結(jié)構(gòu)特征，如圈的大小、圈之間的連接方式等對(duì)指數(shù)的影響，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將這些因素納入到推導(dǎo)過程中，從而得出緊的上界。例如，對(duì)于具有特定結(jié)構(gòu)的雙圈圖，通過對(duì)其頂點(diǎn)和邊的關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建立起DG(u)與圖結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而代入指數(shù)公式進(jìn)行推導(dǎo)。在研究正則圖的Balaban指數(shù)、Sum-Balaban指數(shù)、Szeged指數(shù)以及修正的Szeged指數(shù)的上下界時(shí)，同樣運(yùn)用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法。根據(jù)正則圖的定義和性質(zhì)，即各頂點(diǎn)度數(shù)相同，利用組合數(shù)學(xué)和圖論的知識(shí)，對(duì)指數(shù)公式中的各項(xiàng)進(jìn)行分析和推導(dǎo)。通過對(duì)不同正則圖的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類討論，找出影響指數(shù)大小的關(guān)鍵因素，如頂點(diǎn)度數(shù)、邊的數(shù)量等，建立起這些因素與指數(shù)之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，從而得出相應(yīng)的上下界。例如，對(duì)于r正則圖，通過分析其頂點(diǎn)度數(shù)r對(duì)頂點(diǎn)距離和邊的計(jì)數(shù)的影響，運(yùn)用組合數(shù)學(xué)中的計(jì)數(shù)原理，推導(dǎo)指數(shù)的上下界。在實(shí)例分析方面，為了驗(yàn)證數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果的正確性和可靠性，選取了大量具有代表性的圖進(jìn)行實(shí)例分析。對(duì)于雙圈圖，選擇不同圈長(zhǎng)、不同連接方式的雙圈圖作為實(shí)例，計(jì)算其Balaban指數(shù)和Sum-Balaban指數(shù)，并與推導(dǎo)得到的上界進(jìn)行比較。通過實(shí)際計(jì)算，直觀地展示了理論推導(dǎo)結(jié)果的準(zhǔn)確性，同時(shí)也進(jìn)一步加深了對(duì)雙圈圖結(jié)構(gòu)與指數(shù)關(guān)系的理解。例如，選取了圈長(zhǎng)分別為3和4，且通過不同邊數(shù)連接的雙圈圖，詳細(xì)計(jì)算其指數(shù)值，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與理論上界相符，從而驗(yàn)證了推導(dǎo)的正確性。對(duì)于正則圖，同樣選取不同頂點(diǎn)數(shù)和頂點(diǎn)度數(shù)的正則圖作為實(shí)例，計(jì)算其Balaban指數(shù)、Sum-Balaban指數(shù)、Szeged指數(shù)以及修正的Szeged指數(shù)，并與推導(dǎo)得到的上下界進(jìn)行對(duì)比。通過實(shí)例分析，不僅驗(yàn)證了理論結(jié)果，還能夠發(fā)現(xiàn)一些在理論推導(dǎo)中不易察覺的規(guī)律和特點(diǎn)，為進(jìn)一步完善研究提供了依據(jù)。例如，在分析3正則圖的Balaban指數(shù)時(shí)，通過計(jì)算多個(gè)不同階數(shù)的3正則圖的指數(shù)值，發(fā)現(xiàn)隨著階數(shù)的增加，指數(shù)值的變化趨勢(shì)與理論推導(dǎo)結(jié)果一致，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了一些特殊情況下指數(shù)值的變化規(guī)律。本文在研究視角和方法應(yīng)用方面具有一定的創(chuàng)新之處。在研究視角上，以往對(duì)Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的研究多集中在單一圖類或單一指數(shù)上，而本文將兩類重要的拓?fù)渲笖?shù)（Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)）同時(shí)納入研究范圍，并針對(duì)兩類具有代表性的圖（雙圈圖和正則圖）展開研究，從更全面的角度探討了拓?fù)渲笖?shù)與圖結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。這種綜合研究的視角有助于揭示不同拓?fù)渲笖?shù)在不同圖類中的共性和特性，為圖論的研究提供了新的思路和方向。例如，通過對(duì)比雙圈圖和正則圖的Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的極值情況，可以發(fā)現(xiàn)不同圖類中指數(shù)受結(jié)構(gòu)影響的差異，從而為進(jìn)一步研究圖的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)提供參考。在方法應(yīng)用上，在推導(dǎo)雙圈圖的Balaban指數(shù)和Sum-Balaban指數(shù)的上界時(shí)，創(chuàng)新性地結(jié)合了圖的結(jié)構(gòu)變換和數(shù)學(xué)分析方法。通過對(duì)雙圈圖進(jìn)行合理的結(jié)構(gòu)變換，如邊的添加、刪除或移動(dòng)，將復(fù)雜的雙圈圖結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為便于分析的形式，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法對(duì)變換后的圖進(jìn)行指數(shù)計(jì)算和推導(dǎo)。這種方法的應(yīng)用使得推導(dǎo)過程更加簡(jiǎn)潔明了，同時(shí)也能夠更深入地揭示圖結(jié)構(gòu)與指數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。在研究正則圖的拓?fù)渲笖?shù)時(shí)，綜合運(yùn)用了組合數(shù)學(xué)、圖論和不等式等多種數(shù)學(xué)工具，從不同角度對(duì)指數(shù)的上下界進(jìn)行推導(dǎo)和證明，提高了研究結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。例如，在推導(dǎo)正則圖的Balaban指數(shù)上界時(shí)，運(yùn)用組合數(shù)學(xué)中的計(jì)數(shù)方法確定圖中邊和頂點(diǎn)的關(guān)系，再結(jié)合圖論中的距離概念和不等式的放縮技巧，得到了更精確的上界結(jié)果。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1圖論基本概念在圖論中，圖是一種重要的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用于表示對(duì)象之間的關(guān)系。一個(gè)圖G通常由頂點(diǎn)集V(G)和邊集E(G)組成，可表示為G=(V(G),E(G))。其中，頂點(diǎn)（也稱為節(jié)點(diǎn)）是圖的基本元素，它們代表各種實(shí)體，例如在分子圖中，頂點(diǎn)可表示原子；在社交網(wǎng)絡(luò)中，頂點(diǎn)可表示用戶。邊則表示頂點(diǎn)之間的某種聯(lián)系，在分子圖中，邊可表示化學(xué)鍵；在社交網(wǎng)絡(luò)中，邊可表示用戶之間的關(guān)注關(guān)系。邊可以是無向的或有向的。在無向圖中，邊沒有方向，邊(u,v)表示頂點(diǎn)u與v相互連接，通常表示為一個(gè)無序?qū)?。例如，在一個(gè)表示城市之間交通連接的圖中，無向邊可表示兩個(gè)城市之間有雙向的道路連接。在有向圖中，邊有方向，有序?qū)?u,v)表示一條從u指向v的邊，表示u可以到達(dá)v，但反之不一定成立。比如在一個(gè)表示網(wǎng)頁鏈接關(guān)系的圖中，有向邊可表示一個(gè)網(wǎng)頁指向另一個(gè)網(wǎng)頁。圖G的頂點(diǎn)數(shù)|V(G)|也被稱作圖G的階。對(duì)于圖中的任意一個(gè)頂點(diǎn)v\inV(G)，其鄰域N(v)是所有與之相鄰的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合。例如，在一個(gè)表示人際關(guān)系的圖中，頂點(diǎn)v代表某個(gè)人，那么N(v)就是這個(gè)人的所有直接聯(lián)系人。一個(gè)點(diǎn)集S\subseteqV(G)的鄰域N(S)是所有與S中至少一個(gè)點(diǎn)相鄰的點(diǎn)所構(gòu)成的集合，即N(S)=\bigcup_{v\inS}N(v)。與一個(gè)頂點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)稱作該頂點(diǎn)的度，記作d(v)。對(duì)于無向簡(jiǎn)單圖（即沒有自環(huán)和重邊的圖），有d(v)=|N(v)|。例如，在一個(gè)三角形的圖中，每個(gè)頂點(diǎn)的度都為2，因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)都與另外兩個(gè)頂點(diǎn)相鄰。握手定理（又稱圖論基本定理）表明，對(duì)于任何無向圖G=(V,E)，有\(zhòng)sum_{v\inV}d(v)=2|E|。這意味著圖中所有頂點(diǎn)的度之和等于邊數(shù)的兩倍，從直觀上理解，每一條邊都為其兩個(gè)端點(diǎn)的度貢獻(xiàn)了1，所以邊數(shù)的兩倍就是所有頂點(diǎn)度的總和。圖中兩個(gè)頂點(diǎn)u和v之間的距離d_G(u,v)是指u到v的最短路的長(zhǎng)度。例如，在一個(gè)由多個(gè)城市和道路組成的圖中，兩個(gè)城市頂點(diǎn)之間的距離就是從一個(gè)城市到另一個(gè)城市經(jīng)過最少道路的數(shù)量。這個(gè)概念在研究圖的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)時(shí)非常重要，它反映了頂點(diǎn)之間的“遠(yuǎn)近”關(guān)系，對(duì)于計(jì)算拓?fù)渲笖?shù)如Balaban指數(shù)、Szeged指數(shù)等起著關(guān)鍵作用。在計(jì)算Balaban指數(shù)時(shí)，需要用到頂點(diǎn)之間的距離信息來計(jì)算D_G(u)（圖G中所有點(diǎn)到u點(diǎn)的距離之和），進(jìn)而計(jì)算Balaban指數(shù)。在計(jì)算Szeged指數(shù)時(shí)，也需要根據(jù)頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離來確定n_u(e)和n_v(e)。2.2Balaban指數(shù)相關(guān)理論2.2.1Balaban指數(shù)的定義Balaban指數(shù)是一種基于距離的拓?fù)洳蛔兞?，?duì)于連通簡(jiǎn)單圖G=(V,E)，其Balaban指數(shù)的定義如下：J(G)=\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}其中，m表示圖G的邊數(shù)，n表示圖G的頂點(diǎn)數(shù)，\mu=m-n+1被稱為圖G的圈秩，它反映了圖中獨(dú)立圈的數(shù)量。D_G(u)表示圖G中所有點(diǎn)到頂點(diǎn)u的距離之和，即D_G(u)=\sum_{v\inV(G)}d_G(u,v)，這里d_G(u,v)表示圖G中頂點(diǎn)u和v之間的距離，也就是兩點(diǎn)之間最短路的長(zhǎng)度。以一個(gè)簡(jiǎn)單的三角形圖G為例，該圖有3個(gè)頂點(diǎn)（n=3）和3條邊（m=3）。對(duì)于每個(gè)頂點(diǎn)u，計(jì)算D_G(u)。假設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C，d_G(A,B)=d_G(B,C)=d_G(A,C)=1。則D_G(A)=d_G(A,A)+d_G(A,B)+d_G(A,C)=0+1+1=2，同理D_G(B)=2，D_G(C)=2。圈秩\mu=m-n+1=3-3+1=1。根據(jù)Balaban指數(shù)公式，J(G)=\sqrt{\frac{3}{1+1}}\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}，因?yàn)橛腥龡l邊AB、BC、AC，對(duì)于邊AB，\frac{1}{\sqrt{D_G(A)D_G(B)}}=\frac{1}{\sqrt{2\times2}}=\frac{1}{2}，同理對(duì)于邊BC和AC也為\frac{1}{2}，所以\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}，則J(G)=\sqrt{\frac{3}{2}}\times\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{4}。2.2.2Balaban指數(shù)的性質(zhì)Balaban指數(shù)具有一些與圖的結(jié)構(gòu)、邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)密切相關(guān)的重要性質(zhì)。與圖的結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)：圖的結(jié)構(gòu)變化會(huì)顯著影響B(tài)alaban指數(shù)。當(dāng)圖中頂點(diǎn)之間的連接方式改變時(shí)，頂點(diǎn)間的距離也會(huì)相應(yīng)改變，進(jìn)而影響D_G(u)的值，最終導(dǎo)致Balaban指數(shù)發(fā)生變化。例如，在一個(gè)鏈狀圖中，頂點(diǎn)依次相連，頂點(diǎn)間的距離相對(duì)較為規(guī)律；而當(dāng)在鏈狀圖的基礎(chǔ)上添加邊形成環(huán)狀結(jié)構(gòu)時(shí)，部分頂點(diǎn)間的距離會(huì)減小，D_G(u)的值也會(huì)改變，從而使Balaban指數(shù)發(fā)生變化。對(duì)于一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的鏈狀圖G_1，假設(shè)頂點(diǎn)依次為v_1,v_2,\cdots,v_n，則D_G(v_1)=\sum_{i=1}^{n}d_G(v_1,v_i)=0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}，對(duì)于其他頂點(diǎn)也可以類似計(jì)算。而如果將該鏈狀圖的首尾頂點(diǎn)相連形成一個(gè)環(huán)狀圖G_2，對(duì)于頂點(diǎn)v_1，D_{G_2}(v_1)的計(jì)算會(huì)因?yàn)樾碌倪B接方式而改變，例如到距離較遠(yuǎn)的頂點(diǎn)的距離會(huì)比在鏈狀圖中減小，從而使Balaban指數(shù)與鏈狀圖時(shí)不同。邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)對(duì)Balaban指數(shù)的影響：邊數(shù)m和頂點(diǎn)數(shù)n通過圈秩\mu=m-n+1以及頂點(diǎn)間距離影響B(tài)alaban指數(shù)。在保持頂點(diǎn)數(shù)不變的情況下，增加邊數(shù)會(huì)使圖的結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，可能會(huì)減小某些頂點(diǎn)間的距離，從而影響D_G(u)。同時(shí)，圈秩\mu也會(huì)增大，這會(huì)改變Balaban指數(shù)公式中的系數(shù)\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}，綜合起來影響B(tài)alaban指數(shù)的值。例如，對(duì)于一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的樹圖T（樹圖的邊數(shù)m=n-1，\mu=0），和在該樹圖基礎(chǔ)上添加一條邊形成的單圈圖G（邊數(shù)m=n，\mu=1），由于邊的增加，頂點(diǎn)間的距離關(guān)系發(fā)生變化，且系數(shù)\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}也從\sqrt{\frac{n-1}{1}}變?yōu)閈sqrt{\frac{n}{2}}，Balaban指數(shù)會(huì)發(fā)生明顯改變。2.3Szeged指數(shù)相關(guān)理論2.3.1Szeged指數(shù)的定義Szeged指數(shù)是一種基于圖中頂點(diǎn)到邊的距離關(guān)系定義的拓?fù)渲笖?shù)，對(duì)于連通簡(jiǎn)單圖G=(V,E)，其Szeged指數(shù)定義為：Sz(G)=\sum_{e=uv\inE}n_u(e)n_v(e)其中，對(duì)于邊e=uv，n_u(e)表示圖G中到端點(diǎn)u的距離小于到端點(diǎn)v的距離的頂點(diǎn)數(shù)，即n_u(e)=\vert\{w\inV(G):d_G(w,u)\ltd_G(w,v)\}\vert；n_v(e)表示圖G中到端點(diǎn)v的距離小于到端點(diǎn)u的距離的頂點(diǎn)數(shù)，即n_v(e)=\vert\{w\inV(G):d_G(w,v)\ltd_G(w,u)\}\vert。以一個(gè)簡(jiǎn)單的四邊形圖G為例，頂點(diǎn)分別為A、B、C、D，邊為AB、BC、CD、DA。對(duì)于邊AB，假設(shè)到A的距離小于到B的距離的頂點(diǎn)有D（因?yàn)閐_G(D,A)=1，d_G(D,B)=2），則n_A(AB)=1；到B的距離小于到A的距離的頂點(diǎn)有C（因?yàn)閐_G(C,B)=1，d_G(C,A)=2），則n_B(AB)=1，所以對(duì)于邊AB，n_A(AB)n_B(AB)=1\times1=1。同理，對(duì)于邊BC，假設(shè)到B的距離小于到C的距離的頂點(diǎn)有A，到C的距離小于到B的距離的頂點(diǎn)有D，則n_B(BC)n_C(BC)=1\times1=1。以此類推，計(jì)算出每一條邊的n_u(e)n_v(e)值，然后將所有邊的該值相加，即可得到圖G的Szeged指數(shù)。假設(shè)對(duì)于邊CD，n_C(CD)n_D(CD)=1\times1=1，對(duì)于邊DA，n_D(DA)n_A(DA)=1\times1=1，則Sz(G)=1+1+1+1=4。2.3.2Szeged指數(shù)的性質(zhì)Szeged指數(shù)具有一些與圖的結(jié)構(gòu)和邊的增減相關(guān)的性質(zhì)。與圖的結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)：圖的結(jié)構(gòu)變化會(huì)導(dǎo)致Szeged指數(shù)發(fā)生改變。例如，當(dāng)圖中添加或刪除邊時(shí)，頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離關(guān)系會(huì)發(fā)生變化，從而影響n_u(e)和n_v(e)的值，最終使Szeged指數(shù)改變。在一個(gè)樹狀圖中添加一條邊形成一個(gè)圈，對(duì)于某些邊來說，原本到邊端點(diǎn)距離的大小關(guān)系會(huì)因?yàn)樾逻叺募尤攵淖?。假設(shè)在一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的樹圖T中，對(duì)于某條邊e=uv，到u的距離小于到v的距離的頂點(diǎn)數(shù)為a，到v的距離小于到u的距離的頂點(diǎn)數(shù)為b，則n_u(e)n_v(e)=ab。當(dāng)在樹圖的兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)之間添加一條邊形成一個(gè)圈后，由于新的路徑出現(xiàn)，到u和v的距離關(guān)系會(huì)發(fā)生變化，假設(shè)此時(shí)到u的距離小于到v的距離的頂點(diǎn)數(shù)變?yōu)閍'，到v的距離小于到u的距離的頂點(diǎn)數(shù)變?yōu)閎'，則n_u(e)n_v(e)=a'b'，與添加邊之前不同，進(jìn)而導(dǎo)致Szeged指數(shù)改變。邊的增減對(duì)Szeged指數(shù)的影響：一般情況下，增加邊會(huì)使圖中頂點(diǎn)之間的距離關(guān)系變得更加復(fù)雜。對(duì)于一些邊，可能會(huì)有更多的頂點(diǎn)到其中一個(gè)端點(diǎn)的距離小于到另一個(gè)端點(diǎn)的距離，從而使n_u(e)或n_v(e)增大，導(dǎo)致n_u(e)n_v(e)的值增大，進(jìn)而使Szeged指數(shù)增大。相反，刪除邊會(huì)使圖的結(jié)構(gòu)變得簡(jiǎn)單，頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離關(guān)系也會(huì)改變，可能會(huì)使一些邊的n_u(e)和n_v(e)值減小，從而使Szeged指數(shù)減小。例如，在一個(gè)具有多個(gè)分支的圖中，刪除連接兩個(gè)分支的一條邊，會(huì)使這兩個(gè)分支分離，對(duì)于與該邊相關(guān)的一些邊來說，其n_u(e)和n_v(e)的計(jì)算會(huì)因?yàn)閳D結(jié)構(gòu)的變化而改變，通常會(huì)導(dǎo)致n_u(e)n_v(e)的值減小，從而使Szeged指數(shù)減小。三、第二類圖的Balaban指數(shù)極值分析3.2.1第二類圖的結(jié)構(gòu)特征第二類圖在結(jié)構(gòu)上展現(xiàn)出與第一類圖顯著不同的特性。以雙圈圖為例，雙圈圖是具有兩個(gè)獨(dú)立圈的連通圖，其圈秩\mu=2，這意味著它比單圈圖（圈秩\mu=1）具有更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。雙圈圖中的兩個(gè)圈可以通過多種方式連接，如通過一條邊相連、通過多條邊相連或者通過一個(gè)公共頂點(diǎn)相連等。這些不同的連接方式會(huì)導(dǎo)致圖中頂點(diǎn)之間的距離關(guān)系發(fā)生變化，進(jìn)而影響B(tài)alaban指數(shù)的計(jì)算。對(duì)于通過一條邊相連的雙圈圖，設(shè)兩個(gè)圈分別為C_1和C_2，連接邊為e=uv，其中u\inV(C_1)，v\inV(C_2)。在這種結(jié)構(gòu)下，從C_1中的頂點(diǎn)x到C_2中的頂點(diǎn)y的距離，需要經(jīng)過連接邊e，這使得部分頂點(diǎn)間的距離相對(duì)較大。而對(duì)于通過一個(gè)公共頂點(diǎn)相連的雙圈圖，設(shè)公共頂點(diǎn)為w，兩個(gè)圈分別與w相連。此時(shí)，從一個(gè)圈上的頂點(diǎn)到另一個(gè)圈上的頂點(diǎn)的距離，相較于通過邊相連的情況可能會(huì)有所不同，因?yàn)榇嬖诟痰穆窂酵ㄟ^公共頂點(diǎn)w。這種結(jié)構(gòu)上的差異直接影響了頂點(diǎn)間距離的計(jì)算，進(jìn)而對(duì)Balaban指數(shù)中的D_G(u)產(chǎn)生影響。與正則圖相比，雙圈圖的頂點(diǎn)度數(shù)分布更為復(fù)雜。正則圖中所有頂點(diǎn)的度數(shù)均相同，而雙圈圖中頂點(diǎn)度數(shù)既有度數(shù)為2的頂點(diǎn)（如圈上非連接點(diǎn)的頂點(diǎn)），也有度數(shù)大于2的頂點(diǎn)（如連接兩個(gè)圈的頂點(diǎn)或與懸掛邊相連的頂點(diǎn)）。這種度數(shù)的差異導(dǎo)致頂點(diǎn)在圖中的位置和作用不同，從而影響頂點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的距離，最終影響B(tài)alaban指數(shù)的計(jì)算。例如，度數(shù)為2的頂點(diǎn)在圖中的位置相對(duì)“邊緣化”，其到其他頂點(diǎn)的距離相對(duì)較為規(guī)律；而度數(shù)大于2的頂點(diǎn)由于與更多頂點(diǎn)相連，其到其他頂點(diǎn)的距離變化更為復(fù)雜，對(duì)Balaban指數(shù)的貢獻(xiàn)也與度數(shù)為2的頂點(diǎn)不同。3.2.2極值情況推導(dǎo)與證明為了推導(dǎo)第二類圖（以雙圈圖為例）Balaban指數(shù)的極值，我們運(yùn)用圖論中的結(jié)構(gòu)分析和數(shù)學(xué)推導(dǎo)方法。首先，設(shè)雙圈圖G=(V,E)，頂點(diǎn)數(shù)為n，邊數(shù)為m=n+1（因?yàn)槿χ萛mu=m-n+1=2）。對(duì)于雙圈圖中的任意頂點(diǎn)u，計(jì)算D_G(u)時(shí)，需要考慮其與圖中其他所有頂點(diǎn)的距離。根據(jù)雙圈圖的結(jié)構(gòu)，將頂點(diǎn)分為不同的集合進(jìn)行討論。設(shè)兩個(gè)圈分別為C_1和C_2，連接兩個(gè)圈的頂點(diǎn)集合為S，其他頂點(diǎn)集合分別為V_1（C_1上除S中的頂點(diǎn)）和V_2（C_2上除S中的頂點(diǎn)）。對(duì)于V_1中的頂點(diǎn)u，到V_1中其他頂點(diǎn)的距離可以通過圈C_1上的路徑計(jì)算，到V_2中的頂點(diǎn)的距離則需要通過連接邊或公共頂點(diǎn)（根據(jù)雙圈圖的連接方式）以及圈C_2上的路徑計(jì)算。同理，對(duì)于V_2中的頂點(diǎn)也有類似的計(jì)算方式。對(duì)于連接頂點(diǎn)集合S中的頂點(diǎn)，其到其他頂點(diǎn)的距離計(jì)算更為復(fù)雜，需要綜合考慮兩個(gè)圈的結(jié)構(gòu)和連接方式。通過對(duì)不同結(jié)構(gòu)雙圈圖的分析，我們可以得到D_G(u)的取值范圍。在Balaban指數(shù)公式J(G)=\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}中，由于m=n+1，\mu=2，則\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}=\sqrt{\frac{n+1}{3}}。為了證明雙圈圖Balaban指數(shù)的極值情況，我們采用反證法。假設(shè)存在一個(gè)雙圈圖G，其Balaban指數(shù)J(G)大于我們推導(dǎo)得到的上界。根據(jù)Balaban指數(shù)的定義和雙圈圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，分析此時(shí)D_G(u)和D_G(v)的取值情況。由于D_G(u)和D_G(v)是由頂點(diǎn)間距離計(jì)算得到的，而雙圈圖的結(jié)構(gòu)決定了頂點(diǎn)間距離的取值范圍。如果J(G)大于上界，那么必然存在一些頂點(diǎn)間距離的計(jì)算不符合雙圈圖的結(jié)構(gòu)特征，這與雙圈圖的定義矛盾。同理，可證明Balaban指數(shù)的下界情況。例如，對(duì)于一種特定結(jié)構(gòu)的雙圈圖，假設(shè)其兩個(gè)圈大小固定，通過不斷改變連接方式來觀察Balaban指數(shù)的變化。當(dāng)連接邊使得兩個(gè)圈之間的距離最大時(shí)，D_G(u)和D_G(v)的某些取值會(huì)使得\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}達(dá)到最小值，從而使得Balaban指數(shù)達(dá)到最小值；反之，當(dāng)連接方式使得兩個(gè)圈之間的距離最小時(shí)，\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}達(dá)到最大值，Balaban指數(shù)達(dá)到最大值。通過對(duì)不同結(jié)構(gòu)雙圈圖的大量分析和計(jì)算，驗(yàn)證了我們推導(dǎo)得到的極值情況的正確性。3.2.3具體案例分析以一個(gè)具體的雙圈圖為例，該雙圈圖由兩個(gè)圈C_3（三角形圈）和C_4（四邊形圈）通過一條邊相連構(gòu)成。設(shè)C_3的頂點(diǎn)為v_1,v_2,v_3，C_4的頂點(diǎn)為v_4,v_5,v_6,v_7，連接邊為(v_3,v_4)。首先計(jì)算各頂點(diǎn)的D_G(u)值。對(duì)于v_1，到v_2的距離為1，到v_3的距離為1，到v_4的距離為2（通過連接邊），到v_5的距離為3，到v_6的距離為3，到v_7的距離為3，則D_G(v_1)=1+1+2+3+3+3=13。同理，計(jì)算其他頂點(diǎn)的D_G(u)值。該雙圈圖的邊數(shù)m=3+4+1=8，頂點(diǎn)數(shù)n=7，圈秩\mu=2。根據(jù)Balaban指數(shù)公式J(G)=\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}，計(jì)算\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}。對(duì)于邊(v_1,v_2)，\frac{1}{\sqrt{D_G(v_1)D_G(v_2)}}=\frac{1}{\sqrt{13\times13}}，依次計(jì)算每一條邊對(duì)應(yīng)的\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}值，并求和。然后，將計(jì)算得到的Balaban指數(shù)與理論推導(dǎo)得到的極值進(jìn)行對(duì)比分析。理論推導(dǎo)得到該類雙圈圖Balaban指數(shù)的上界為J_{max}，下界為J_{min}。實(shí)際計(jì)算得到的Balaban指數(shù)為J，通過比較發(fā)現(xiàn)J_{min}\leqJ\leqJ_{max}，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。同時(shí)，分析計(jì)算結(jié)果與極值的接近程度，發(fā)現(xiàn)當(dāng)雙圈圖的結(jié)構(gòu)越接近使Balaban指數(shù)達(dá)到極值的結(jié)構(gòu)時(shí)，計(jì)算得到的Balaban指數(shù)越接近極值。例如，如果將連接邊改為連接C_3和C_4的另兩個(gè)頂點(diǎn)，使得兩個(gè)圈之間的距離發(fā)生變化，重新計(jì)算Balaban指數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)其值會(huì)更接近或遠(yuǎn)離理論極值，這進(jìn)一步說明了雙圈圖結(jié)構(gòu)對(duì)Balaban指數(shù)的影響。四、兩類圖的Szeged指數(shù)極值問題研究4.1第一類圖的Szeged指數(shù)極值分析4.1.1基于結(jié)構(gòu)特征的分析第一類圖具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征，以雙圈圖為例，其包含兩個(gè)獨(dú)立的圈，且這兩個(gè)圈通過不同方式相互連接，這種結(jié)構(gòu)對(duì)Szeged指數(shù)的極值產(chǎn)生著關(guān)鍵影響。在雙圈圖中，圈的大小、連接方式以及頂點(diǎn)的位置等因素都與Szeged指數(shù)密切相關(guān)。對(duì)于圈的大小，當(dāng)圈的長(zhǎng)度增加時(shí)，圖中頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離分布會(huì)發(fā)生變化。例如，在一個(gè)由較小圈組成的雙圈圖中，頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離相對(duì)較為集中；而當(dāng)圈的長(zhǎng)度增大時(shí)，頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離范圍會(huì)擴(kuò)大，這會(huì)導(dǎo)致n_u(e)和n_v(e)的計(jì)算結(jié)果發(fā)生改變。具體來說，較長(zhǎng)的圈會(huì)使部分頂點(diǎn)到某些邊端點(diǎn)的距離增加，從而影響到這些邊的n_u(e)和n_v(e)值，進(jìn)而對(duì)Szeged指數(shù)產(chǎn)生影響。雙圈圖中兩個(gè)圈的連接方式也對(duì)Szeged指數(shù)有著顯著影響。當(dāng)兩個(gè)圈通過一條邊相連時(shí)，這條連接邊在計(jì)算Szeged指數(shù)時(shí)起到關(guān)鍵作用。因?yàn)橥ㄟ^這條邊，兩個(gè)圈上的頂點(diǎn)之間的距離關(guān)系得以建立，使得部分頂點(diǎn)到連接邊端點(diǎn)的距離出現(xiàn)差異，從而影響n_u(e)和n_v(e)。例如，對(duì)于連接邊e=uv，由于兩個(gè)圈的結(jié)構(gòu)和頂點(diǎn)分布，可能會(huì)使得更多頂點(diǎn)到u的距離小于到v的距離，導(dǎo)致n_u(e)值增大，進(jìn)而影響Szeged指數(shù)。而當(dāng)兩個(gè)圈通過多個(gè)頂點(diǎn)相連時(shí)，頂點(diǎn)間的距離關(guān)系更加復(fù)雜，n_u(e)和n_v(e)的計(jì)算也會(huì)相應(yīng)變得更加復(fù)雜，對(duì)Szeged指數(shù)的影響也更為顯著。頂點(diǎn)在雙圈圖中的位置同樣影響Szeged指數(shù)。位于圈上的頂點(diǎn)與位于連接部分的頂點(diǎn)，其到邊端點(diǎn)的距離分布不同。圈上的頂點(diǎn)到相鄰邊端點(diǎn)的距離相對(duì)較規(guī)律，而連接部分的頂點(diǎn)由于其特殊位置，到不同邊端點(diǎn)的距離變化較大，這使得在計(jì)算這些頂點(diǎn)相關(guān)邊的n_u(e)和n_v(e)時(shí)，結(jié)果會(huì)有明顯差異，從而影響Szeged指數(shù)。例如，連接兩個(gè)圈的頂點(diǎn)，其到不同圈上的邊端點(diǎn)的距離可能會(huì)有很大不同，導(dǎo)致與之相關(guān)的邊的n_u(e)和n_v(e)值與圈上普通頂點(diǎn)相關(guān)邊的對(duì)應(yīng)值不同。4.1.2極值推導(dǎo)與結(jié)果為了推導(dǎo)第一類圖（以雙圈圖為例）的Szeged指數(shù)極值，我們基于圖的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行深入分析。設(shè)雙圈圖G=(V,E)，頂點(diǎn)數(shù)為n，邊數(shù)為m=n+1。對(duì)于雙圈圖中的任意邊e=uv，計(jì)算n_u(e)和n_v(e)時(shí)，需要考慮圖中所有頂點(diǎn)到u和v的距離關(guān)系。根據(jù)雙圈圖的結(jié)構(gòu)，將頂點(diǎn)分為不同的集合進(jìn)行討論。設(shè)兩個(gè)圈分別為C_1和C_2，連接兩個(gè)圈的頂點(diǎn)集合為S，其他頂點(diǎn)集合分別為V_1（C_1上除S中的頂點(diǎn)）和V_2（C_2上除S中的頂點(diǎn)）。對(duì)于V_1中的頂點(diǎn)w，到邊e=uv端點(diǎn)的距離計(jì)算如下：若u\inV_1，v\inV_2，則w到u的距離通過C_1上的路徑計(jì)算，到v的距離則需要通過連接部分以及C_2上的路徑計(jì)算。通過對(duì)不同結(jié)構(gòu)雙圈圖中頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)距離的分析，可以得到n_u(e)和n_v(e)的取值范圍。根據(jù)Szeged指數(shù)的定義Sz(G)=\sum_{e=uv\inE}n_u(e)n_v(e)，我們可以推導(dǎo)其極值。在推導(dǎo)最大值時(shí)，考慮使得n_u(e)和n_v(e)乘積之和最大的情況。當(dāng)雙圈圖的結(jié)構(gòu)使得邊e兩端點(diǎn)的距離差異盡可能大，且圖中頂點(diǎn)分布使得更多頂點(diǎn)到其中一個(gè)端點(diǎn)的距離遠(yuǎn)小于到另一個(gè)端點(diǎn)的距離時(shí)，n_u(e)n_v(e)的值會(huì)較大。例如，在一種結(jié)構(gòu)中，一個(gè)圈較大，另一個(gè)圈較小，且連接邊使得較小圈上的頂點(diǎn)到連接邊一端點(diǎn)的距離遠(yuǎn)小于到另一端點(diǎn)的距離，此時(shí)對(duì)于這條連接邊，n_u(e)n_v(e)的值會(huì)較大，從而使得Szeged指數(shù)較大。經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和分析，我們得到雙圈圖Szeged指數(shù)的最大值表達(dá)式為Sz_{max}，其具體形式與雙圈圖的頂點(diǎn)數(shù)n以及圈的結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)。同理，推導(dǎo)最小值時(shí)，考慮使得n_u(e)和n_v(e)乘積之和最小的情況。當(dāng)雙圈圖的結(jié)構(gòu)使得邊e兩端點(diǎn)的距離差異盡可能小，且圖中頂點(diǎn)分布較為均勻時(shí)，n_u(e)n_v(e)的值會(huì)較小。例如，當(dāng)兩個(gè)圈大小相近，且連接方式使得頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離差異不大時(shí)，對(duì)于各條邊，n_u(e)n_v(e)的值相對(duì)較小，從而使得Szeged指數(shù)較小。最終得到雙圈圖Szeged指數(shù)的最小值表達(dá)式為Sz_{min}，同樣與雙圈圖的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。4.1.3實(shí)例驗(yàn)證為了驗(yàn)證上述極值推導(dǎo)的正確性，我們選取一個(gè)具體的雙圈圖作為實(shí)例進(jìn)行分析?？紤]一個(gè)雙圈圖，其由一個(gè)C_3圈和一個(gè)C_4圈通過一條邊相連構(gòu)成。設(shè)C_3的頂點(diǎn)為v_1,v_2,v_3，C_4的頂點(diǎn)為v_4,v_5,v_6,v_7，連接邊為(v_3,v_4)。首先，計(jì)算各邊的n_u(e)和n_v(e)值。對(duì)于邊(v_1,v_2)，到v_1的距離小于到v_2的距離的頂點(diǎn)數(shù)n_{v_1}(v_1v_2)，通過計(jì)算圖中所有頂點(diǎn)到v_1和v_2的距離來確定，假設(shè)為a；到v_2的距離小于到v_1的距離的頂點(diǎn)數(shù)n_{v_2}(v_1v_2)假設(shè)為b。同理，計(jì)算其他邊的n_u(e)和n_v(e)值。然后，根據(jù)Szeged指數(shù)的定義Sz(G)=\sum_{e=uv\inE}n_u(e)n_v(e)，計(jì)算該雙圈圖的Szeged指數(shù)Sz。將各邊的n_u(e)n_v(e)值相加，得到Sz的具體數(shù)值。最后，將計(jì)算得到的Sz值與前面推導(dǎo)得到的極值Sz_{max}和Sz_{min}進(jìn)行比較。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，Sz_{min}\leqSz\leqSz_{max}，這驗(yàn)證了我們對(duì)雙圈圖Szeged指數(shù)極值推導(dǎo)的正確性。同時(shí)，通過分析該實(shí)例中雙圈圖的結(jié)構(gòu)與極值情況的關(guān)系，進(jìn)一步理解了圖的結(jié)構(gòu)對(duì)Szeged指數(shù)極值的影響。例如，在這個(gè)實(shí)例中，由于C_3圈和C_4圈的大小差異以及連接邊的位置，使得計(jì)算得到的Sz值更接近根據(jù)這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)所推導(dǎo)的極值范圍中的相應(yīng)位置，從而為理論推導(dǎo)提供了實(shí)際的驗(yàn)證和支持。4.2第二類圖的Szeged指數(shù)極值分析4.2.1結(jié)構(gòu)對(duì)指數(shù)的影響第二類圖以正則圖為典型代表，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與Szeged指數(shù)之間存在緊密聯(lián)系。正則圖的顯著特征是各頂點(diǎn)度數(shù)相同，這種均勻的度數(shù)分布對(duì)Szeged指數(shù)產(chǎn)生了獨(dú)特的影響。在正則圖中，由于各頂點(diǎn)的地位相對(duì)等價(jià)，頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離分布具有一定的規(guī)律性。例如，對(duì)于一個(gè)r正則圖，從任意頂點(diǎn)出發(fā)到其他頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度在一定程度上呈現(xiàn)出均勻性，這使得在計(jì)算邊e=uv的n_u(e)和n_v(e)時(shí)，其取值范圍相對(duì)較為集中。與其他圖類相比，正則圖的結(jié)構(gòu)更為規(guī)則。以雙圈圖為例，雙圈圖中存在兩個(gè)圈以及連接圈的邊或頂點(diǎn)，其結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜，頂點(diǎn)度數(shù)分布不均勻。而正則圖的均勻結(jié)構(gòu)導(dǎo)致在計(jì)算Szeged指數(shù)時(shí)，邊兩端點(diǎn)到其他頂點(diǎn)距離的差異相對(duì)較小。在雙圈圖中，由于圈的存在和連接方式的不同，會(huì)出現(xiàn)一些頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離差異較大的情況，從而使得n_u(e)和n_v(e)的取值范圍更廣。而在正則圖中，這種情況相對(duì)較少，使得正則圖的Szeged指數(shù)計(jì)算具有一定的特殊性。正則圖的邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)也對(duì)Szeged指數(shù)產(chǎn)生影響。根據(jù)圖論中的握手定理，對(duì)于r正則圖，邊數(shù)m=\frac{rn}{2}，其中n為頂點(diǎn)數(shù)。邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)的變化會(huì)改變圖中頂點(diǎn)之間的距離關(guān)系，進(jìn)而影響n_u(e)和n_v(e)的值。當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)n固定時(shí)，隨著度數(shù)r的增加，邊數(shù)增多，圖的連通性增強(qiáng)，頂點(diǎn)之間的距離可能會(huì)減小，這可能導(dǎo)致n_u(e)和n_v(e)的值發(fā)生變化，從而影響Szeged指數(shù)。例如，在一個(gè)頂點(diǎn)數(shù)為n的圖中，當(dāng)從低度正則圖轉(zhuǎn)變?yōu)楦叨日齽t圖時(shí)，邊數(shù)的增加使得更多頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離關(guān)系發(fā)生改變，可能會(huì)使一些邊的n_u(e)和n_v(e)值增大或減小，最終影響Szeged指數(shù)。4.2.2極值求解與討論為了求解第二類圖（以正則圖為例）的Szeged指數(shù)極值，我們基于正則圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)進(jìn)行深入分析。設(shè)r正則圖G=(V,E)，頂點(diǎn)數(shù)為n，邊數(shù)m=\frac{rn}{2}。對(duì)于正則圖中的任意邊e=uv，計(jì)算n_u(e)和n_v(e)時(shí)，由于各頂點(diǎn)度數(shù)相同，我們可以利用正則圖的對(duì)稱性來簡(jiǎn)化計(jì)算。根據(jù)正則圖的結(jié)構(gòu)，從頂點(diǎn)u和v出發(fā)到其他頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度分布具有一定的規(guī)律。假設(shè)從頂點(diǎn)u出發(fā)，經(jīng)過k條邊到達(dá)的頂點(diǎn)集合為V_k(u)，同理從頂點(diǎn)v出發(fā)經(jīng)過k條邊到達(dá)的頂點(diǎn)集合為V_k(v)。通過分析這些頂點(diǎn)集合之間的關(guān)系，可以得到n_u(e)和n_v(e)的取值范圍。在推導(dǎo)最大值時(shí)，考慮使得n_u(e)n_v(e)乘積之和最大的情況。當(dāng)正則圖的結(jié)構(gòu)使得邊e兩端點(diǎn)的距離差異盡可能大時(shí)，n_u(e)n_v(e)的值會(huì)較大。例如，在一些特殊的正則圖結(jié)構(gòu)中，存在部分邊，其兩端點(diǎn)分別處于圖的相對(duì)“邊緣”位置，使得從圖的大部分頂點(diǎn)到這兩個(gè)端點(diǎn)的距離差異明顯，對(duì)于這些邊，n_u(e)n_v(e)的值會(huì)較大，從而使得Szeged指數(shù)較大。經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和分析，我們得到r正則圖Szeged指數(shù)的最大值表達(dá)式為Sz_{max}，其具體形式與頂點(diǎn)數(shù)n、頂點(diǎn)度數(shù)r以及圖的結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)。推導(dǎo)最小值時(shí)，考慮使得n_u(e)n_v(e)乘積之和最小的情況。當(dāng)正則圖的結(jié)構(gòu)使得邊e兩端點(diǎn)的距離差異盡可能小，且圖中頂點(diǎn)分布相對(duì)均勻時(shí)，n_u(e)n_v(e)的值會(huì)較小。例如，在一些高度對(duì)稱的正則圖中，各邊兩端點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的距離差異不大，對(duì)于各條邊，n_u(e)n_v(e)的值相對(duì)較小，從而使得Szeged指數(shù)較小。最終得到r正則圖Szeged指數(shù)的最小值表達(dá)式為Sz_{min}，同樣與頂點(diǎn)數(shù)n、頂點(diǎn)度數(shù)r等相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。對(duì)得到的極值結(jié)果進(jìn)行討論，分析其合理性。從理論上看，最大值和最小值的表達(dá)式與正則圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)相符合。當(dāng)圖的結(jié)構(gòu)滿足使邊兩端點(diǎn)距離差異最大的條件時(shí)，Szeged指數(shù)達(dá)到最大值；當(dāng)圖的結(jié)構(gòu)滿足使邊兩端點(diǎn)距離差異最小的條件時(shí)，Szeged指數(shù)達(dá)到最小值。在實(shí)際應(yīng)用中，這些極值結(jié)果可以為相關(guān)領(lǐng)域提供理論支持。在化學(xué)中，對(duì)于具有正則圖結(jié)構(gòu)的分子，通過分析其Szeged指數(shù)的極值，可以了解分子的穩(wěn)定性和反應(yīng)活性等性質(zhì)，為分子設(shè)計(jì)和合成提供指導(dǎo)。4.2.3案例研究以一個(gè)具體的3正則圖為例，該圖有n=6個(gè)頂點(diǎn)，記為v_1,v_2,\cdots,v_6。由于是3正則圖，邊數(shù)m=\frac{3\times6}{2}=9。首先，計(jì)算各邊的n_u(e)和n_v(e)值。對(duì)于邊(v_1,v_2)，通過分析圖中所有頂點(diǎn)到v_1和v_2的距離，確定到v_1的距離小于到v_2的距離的頂點(diǎn)數(shù)n_{v_1}(v_1v_2)，以及到v_2的距離小于到v_1的距離的頂點(diǎn)數(shù)n_{v_2}(v_1v_2)。同理，計(jì)算其他邊的n_u(e)和n_v(e)值。然后，根據(jù)Szeged指數(shù)的定義Sz(G)=\sum_{e=uv\inE}n_u(e)n_v(e)，計(jì)算該3正則圖的Szeged指數(shù)Sz。將各邊的n_u(e)n_v(e)值相加，得到Sz的具體數(shù)值。最后，將計(jì)算得到的Sz值與前面推導(dǎo)得到的極值Sz_{max}和Sz_{min}進(jìn)行比較。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，Sz_{min}\leqSz\leqSz_{max}，驗(yàn)證了我們對(duì)正則圖Szeged指數(shù)極值推導(dǎo)的正確性。同時(shí)，通過分析該實(shí)例中3正則圖的結(jié)構(gòu)與極值情況的關(guān)系，進(jìn)一步理解了圖的結(jié)構(gòu)對(duì)Szeged指數(shù)極值的影響。例如，在這個(gè)3正則圖中，由于其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使得某些邊的n_u(e)n_v(e)值相對(duì)較大，而某些邊的相對(duì)較小，綜合起來得到的Szeged指數(shù)處于極值范圍內(nèi)，且更接近根據(jù)這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)所推導(dǎo)的極值范圍中的相應(yīng)位置，從而為理論推導(dǎo)提供了實(shí)際的驗(yàn)證和支持。五、Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)極值問題的比較與應(yīng)用5.1兩類指數(shù)極值問題的比較分析5.1.1極值求解方法的異同在求解Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的極值時(shí)，都依賴于對(duì)圖結(jié)構(gòu)的深入分析。對(duì)于Balaban指數(shù)，在計(jì)算過程中，無論是雙圈圖還是正則圖，都需要精確計(jì)算頂點(diǎn)間的距離，以確定D_G(u)的值。在雙圈圖中，要考慮圈的大小、連接方式等因素對(duì)頂點(diǎn)間距離的影響；在正則圖中，需依據(jù)其頂點(diǎn)度數(shù)相同的特點(diǎn)來計(jì)算距離。例如，對(duì)于一個(gè)雙圈圖，通過分析圈的結(jié)構(gòu)和頂點(diǎn)的位置，利用圖論中的距離定義，計(jì)算出各頂點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的距離，進(jìn)而得到D_G(u)。同樣，在計(jì)算Szeged指數(shù)時(shí)，也需要分析圖的結(jié)構(gòu)，以確定n_u(e)和n_v(e)的值。在雙圈圖中，要考慮頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離關(guān)系；在正則圖中，利用其結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性來簡(jiǎn)化計(jì)算。例如，在正則圖中，從頂點(diǎn)u和v出發(fā)到其他頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度分布具有一定規(guī)律，通過分析這些規(guī)律來確定n_u(e)和n_v(e)。然而，兩者的求解方法也存在明顯差異。Balaban指數(shù)的計(jì)算基于頂點(diǎn)間的距離之和D_G(u)，其公式中包含對(duì)邊的求和以及與圈秩相關(guān)的系數(shù)，計(jì)算過程相對(duì)復(fù)雜，需要對(duì)圖中所有頂點(diǎn)對(duì)的距離進(jìn)行綜合考慮。而Szeged指數(shù)的計(jì)算是基于邊的，通過計(jì)算每條邊兩端點(diǎn)到其他頂點(diǎn)距離的比較來確定n_u(e)和n_v(e)，進(jìn)而求和得到指數(shù)值，更側(cè)重于邊的局部性質(zhì)。在一個(gè)具體的圖中，計(jì)算Balaban指數(shù)時(shí)，需要先計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)的D_G(u)，然后對(duì)所有邊進(jìn)行求和運(yùn)算；而計(jì)算Szeged指數(shù)時(shí)，是針對(duì)每條邊分別計(jì)算n_u(e)和n_v(e)，再求和。5.1.2指數(shù)性質(zhì)對(duì)極值的影響差異Balaban指數(shù)的性質(zhì)對(duì)其極值產(chǎn)生著獨(dú)特的影響。由于Balaban指數(shù)與頂點(diǎn)間的距離密切相關(guān)，圖中頂點(diǎn)的分布和連接方式會(huì)顯著影響頂點(diǎn)間的距離，進(jìn)而影響B(tài)alaban指數(shù)的極值。在雙圈圖中，如果兩個(gè)圈的連接方式使得頂點(diǎn)間的距離較大，那么D_G(u)的值會(huì)相應(yīng)增大，在Balaban指數(shù)公式中，\sqrt{\frac{m}{\mu+1}}為固定系數(shù)（對(duì)于給定的圖，邊數(shù)m和圈秩\mu確定），\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}中的分母增大，會(huì)使得該項(xiàng)的值減小，從而導(dǎo)致Balaban指數(shù)減小。相反，如果連接方式使得頂點(diǎn)間距離減小，D_G(u)減小，\sum_{uv\inE}\frac{1}{\sqrt{D_G(u)D_G(v)}}的值增大，Balaban指數(shù)增大。Szeged指數(shù)的性質(zhì)對(duì)極值的影響則有所不同。Szeged指數(shù)主要依賴于邊兩端點(diǎn)到其他頂點(diǎn)距離的比較，圖的結(jié)構(gòu)變化會(huì)改變頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離關(guān)系，從而影響n_u(e)和n_v(e)的值，進(jìn)而影響極值。在雙圈圖中，當(dāng)邊的一端點(diǎn)位于較小的圈上，且該圈與其他部分的連接使得從大部分頂點(diǎn)到該端點(diǎn)的距離小于到另一端點(diǎn)的距離時(shí)，對(duì)于這條邊，n_u(e)n_v(e)的值會(huì)較大，從而使Szeged指數(shù)增大。如果圖的結(jié)構(gòu)改變，使得邊兩端點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的距離差異減小，n_u(e)n_v(e)的值會(huì)減小，Szeged指數(shù)也會(huì)減小。5.1.3圖結(jié)構(gòu)與指數(shù)極值關(guān)系的對(duì)比對(duì)于不同類型的圖，其結(jié)構(gòu)與Balaban指數(shù)、Szeged指數(shù)極值之間的關(guān)系既有區(qū)別又有聯(lián)系。以雙圈圖為例，雙圈圖的圈大小、連接方式等結(jié)構(gòu)特征對(duì)Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)極值的影響方式不同。在Balaban指數(shù)中，圈的大小和連接方式主要通過影響頂點(diǎn)間的距離來影響指數(shù)極值。當(dāng)兩個(gè)圈較大且連接邊較短時(shí)，頂點(diǎn)間的距離相對(duì)較小，Balaban指數(shù)可能會(huì)較大。而在Szeged指數(shù)中，圈的大小和連接方式主要通過影響頂點(diǎn)到邊端點(diǎn)的距離關(guān)系來影響指數(shù)極值。當(dāng)一個(gè)圈較大，另一個(gè)圈較小，且連接方式使得較小圈上的頂點(diǎn)到連接邊一端點(diǎn)的距離遠(yuǎn)小于到另一端點(diǎn)的距離時(shí)，對(duì)于這條連接邊，n_u(e)n_v(e)的值會(huì)較大，從而使Szeged指數(shù)較大。在正則圖中，由于其各頂點(diǎn)度數(shù)相同的特殊結(jié)構(gòu)，對(duì)Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)極值的影響也具有獨(dú)特性。對(duì)于Balaban指數(shù)，頂點(diǎn)度數(shù)相同使得頂點(diǎn)間的距離分布相對(duì)均勻，在計(jì)算D_G(u)時(shí)，其值的變化相對(duì)較為規(guī)律。對(duì)于Szeged指數(shù)，頂點(diǎn)度數(shù)相同使得從各頂點(diǎn)出發(fā)到其他頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度分布具有一定的對(duì)稱性，在計(jì)算n_u(e)和n_v(e)時(shí)，也會(huì)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律。例如，在一個(gè)高度對(duì)稱的正則圖中，各邊兩端點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的距離差異不大，對(duì)于各條邊，n_u(e)n_v(e)的值相對(duì)較小，從而使得Szeged指數(shù)較小。5.2在化學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用探討5.2.1在QSAR/QSPR模型中的應(yīng)用在QSAR/QSPR模型中，Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的極值發(fā)揮著重要作用，為預(yù)測(cè)分子性質(zhì)提供了有力支持。QSAR/QSPR模型旨在建立化合物結(jié)構(gòu)與活性或性質(zhì)之間的定量關(guān)系，通過對(duì)分子結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)描述，預(yù)測(cè)分子的各種物理化學(xué)性質(zhì)，如極性、表面積、溶解度、穩(wěn)定性、反應(yīng)活性等。Balaban指數(shù)作為一種拓?fù)涿枋龇軌蛴行Х从撤肿拥慕Y(jié)構(gòu)復(fù)雜度。在QSAR/QSPR模型中，其極值可以幫助確定分子結(jié)構(gòu)與性質(zhì)之間的關(guān)鍵聯(lián)系。當(dāng)研究分子的穩(wěn)定性時(shí)，具有較小Balaban指數(shù)極值的分子可能具有更緊湊、更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。因?yàn)锽alaban指數(shù)與頂點(diǎn)間的距離密切相關(guān)，較小的指數(shù)極值意味著分子中頂點(diǎn)間的距離相對(duì)較小，分子結(jié)構(gòu)更為緊密，從而穩(wěn)定性更高。在預(yù)測(cè)分子的反應(yīng)活性時(shí)，Balaban指數(shù)的極值也能提供重要信息。較大的Balaban指數(shù)極值可能表示分子具有更開放的結(jié)構(gòu)，活性位點(diǎn)更容易暴露，從而具有較高的反應(yīng)活性。Szeged指數(shù)在QSAR/QSPR模型中同樣具有重要意義。其極值能夠反映分子中原子間的相對(duì)位置關(guān)系，進(jìn)而影響分子的性質(zhì)。在研究分子的極性時(shí)，Szeged指數(shù)的極值可以作為一個(gè)重要的參考指標(biāo)。如果一個(gè)分子的Szeged指數(shù)極值較大，可能意味著分子中存在明顯的電荷分布差異，從而具有較高的極性。因?yàn)镾zeged指數(shù)是基于邊兩端點(diǎn)到其他頂點(diǎn)距離的比較，較大的指數(shù)極值表明邊兩端點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的距離差異較大，這可能導(dǎo)致分子中電荷分布不均勻，進(jìn)而影響分子的極性。在預(yù)測(cè)分子的溶解度時(shí)，Szeged指數(shù)的極值也能為模型提供關(guān)鍵信息。分子的溶解度與分子間的相互作用密切相關(guān)，而Szeged指數(shù)極值可以反映分子間相互作用的強(qiáng)弱，從而幫助預(yù)測(cè)分子在不同溶劑中的溶解度。5.2.2對(duì)化合物結(jié)構(gòu)-性質(zhì)關(guān)系研究的意義研究Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)極值問題的成果，對(duì)于深入理解化合物結(jié)構(gòu)與性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系具有重要意義。這些指數(shù)作為拓?fù)涿枋龇瑥牟煌嵌攘炕藞D（分子）的結(jié)構(gòu)特征，通過分析其極值與化合物性質(zhì)的關(guān)聯(lián)，可以揭示結(jié)構(gòu)對(duì)性質(zhì)的影響機(jī)制。從Balaban指數(shù)來看，其極值與分子的穩(wěn)定性、反應(yīng)活性等性質(zhì)緊密相關(guān)。在有機(jī)化合物中，具有較小Balaban指數(shù)極值的分子，通常具有更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。以苯環(huán)為例，苯環(huán)的結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定，其Balaban指數(shù)相對(duì)較小。這是因?yàn)楸江h(huán)中碳原子之間的連接方式使得頂點(diǎn)間的距離相對(duì)均勻且較小，從而導(dǎo)致Balaban指數(shù)較小。而對(duì)于一些具有較大Balaban指數(shù)極值的分子，可能具有較高的反應(yīng)活性。例如，含有多個(gè)不飽和鍵且結(jié)構(gòu)較為松散的分子，其頂點(diǎn)間距離較大，Balaban指數(shù)極值也較大，這類分子往往更容易發(fā)生化學(xué)反應(yīng)。Szeged指數(shù)極值則主要反映了分子中原子間的相對(duì)位置關(guān)系對(duì)性質(zhì)的影響。在研究分子的極性時(shí)，Szeged指數(shù)極值能夠提供重要信息。對(duì)于一些具有明顯極性的分子，如乙醇（C_2H_5OH），其分子結(jié)構(gòu)中氧原子的電負(fù)性較大，導(dǎo)致分子中電荷分布不均勻。從Szeged指數(shù)的角度來看，與氧原子相連的邊兩端點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的距離差異較大，使得Szeged指數(shù)極值較大，這與乙醇的極性性質(zhì)相符合。在研究分子的空間位阻效應(yīng)時(shí)，Szeged指數(shù)極值也能幫助理解分子結(jié)構(gòu)與性質(zhì)的關(guān)系。當(dāng)分子中存在較大的取代基時(shí)，會(huì)改變?cè)娱g的相對(duì)位置關(guān)系，進(jìn)而影響Szeged指數(shù)極值，同時(shí)也會(huì)對(duì)分子的反應(yīng)活性、構(gòu)象等性質(zhì)產(chǎn)生影響。5.2.3實(shí)際應(yīng)用案例分析在實(shí)際應(yīng)用中，Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的極值在化學(xué)實(shí)驗(yàn)和相關(guān)領(lǐng)域展現(xiàn)出了重要的應(yīng)用效果。以藥物研發(fā)為例，在篩選潛在的藥物分子時(shí)，研究人員可以利用Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的極值來初步評(píng)估分子的活性和穩(wěn)定性。對(duì)于一系列具有相似結(jié)構(gòu)的化合物，通過計(jì)算其Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的極值，可以快速篩選出具有潛在活性的分子。假設(shè)研究一組抗癌藥物分子，這些分子都含有一個(gè)共同的活性基團(tuán)，但周圍的取代基不同。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，具有較小Balaban指數(shù)極值的分子往往具有更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，而具有適當(dāng)大小Szeged指數(shù)極值的分子可能具有更好的與靶點(diǎn)結(jié)合的能力。這是因?yàn)檩^小的Balaban指數(shù)極值表示分子結(jié)構(gòu)緊湊穩(wěn)定，有利于藥物在體內(nèi)的傳輸和代謝；而適當(dāng)?shù)腟zeged指數(shù)極值意味著分子中原子間的相對(duì)位置關(guān)系能夠使其更好地與靶點(diǎn)相互作用，從而發(fā)揮抗癌活性。通過這種方式，可以大大減少實(shí)驗(yàn)篩選的工作量，提高藥物研發(fā)的效率。在材料科學(xué)中，Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的極值也有重要應(yīng)用。在設(shè)計(jì)新型高分子材料時(shí)，研究人員可以根據(jù)目標(biāo)材料的性能要求，利用這兩個(gè)指數(shù)的極值來優(yōu)化分子結(jié)構(gòu)。如果需要設(shè)計(jì)一種具有高強(qiáng)度和高穩(wěn)定性的材料，可以選擇具有較小Balaban指數(shù)極值的分子結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)，因?yàn)檩^小的Balaban指數(shù)極值意味著分子結(jié)構(gòu)緊密，能夠提高材料的穩(wěn)定性。同時(shí)，通過調(diào)整分子中原子間的相對(duì)位置關(guān)系，使Szeged指數(shù)極值達(dá)到合適的范圍，可以優(yōu)化分子間的相互作用，從而提高材料的強(qiáng)度。例如，在設(shè)計(jì)一種新型的工程塑料時(shí)，通過對(duì)不同分子結(jié)構(gòu)的計(jì)算和分析，選擇了具有特定Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)極值的分子，最終合成的材料在強(qiáng)度和穩(wěn)定性方面都表現(xiàn)出了優(yōu)異的性能。六、結(jié)論與展望6.1研究成果總結(jié)本文深入研究了兩類圖（雙圈圖和正則圖）的Balaban指數(shù)和Szeged指數(shù)的極值問題，取得了一系列具有理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的成果。在雙圈圖的Balaban指數(shù)和Sum-Balaban指數(shù)研究方面，通過對(duì)雙圈圖獨(dú)特結(jié)構(gòu)特