二、直線運動和曲線運動【二級結(jié)論】一、直線運動1．初速度為零的勻加速直線運動(或末速度為零的勻減速直線運動)的常用比例時間等分(T)：①1T末、2T末、3T末、…、nT末的速度比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.②第1個T內(nèi)、第2個T內(nèi)、第3個T內(nèi)、…、第n個T內(nèi)的位移之比：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．③連續(xù)相等時間內(nèi)的位移差Δx＝aT2，進一步有xm－xn＝(m－n)aT2，此結(jié)論常用于求加速度a＝eq\f(Δx,T2)＝eq\f(xm－xn,m－nT2).位移等分(x)：通過第1個x、第2個x、第3個x、…、第n個x所用時間比：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2．勻變速直線運動的平均速度①eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)＝eq\f(x1＋x2,2T).②前一半時間的平均速度為v1，后一半時間的平均速度為v2，則全程的平均速度：eq\x\to(v)＝eq\f(v1＋v2,2).③前一半路程的平均速度為v1，后一半路程的平均速度為v2，則全程的平均速度：eq\x\to(v)＝eq\f(2v1v2,v1＋v2).3．勻變速直線運動中間時刻、中間位置的速度veq\f(t,2)＝eq\x\to(v)＝eq\f(v0＋v,2)，veq\f(x,2)＝eq\r(\f(v\o\al(2,0)＋v2,2)).4．如果物體位移的表達式為x＝At2＋Bt，則物體做勻變速直線運動，初速度v0＝B(m/s)，加速度a＝2A(m/s2)．5．自由落體運動的時間t＝eq\r(\f(2h,g)).6．豎直上拋運動的時間t上＝t下＝eq\f(v0,g)＝eq\r(\f(2H,g))，同一位置的速率v上＝v下．7．追及相遇問題勻減速追勻速：恰能追上或追不上的關(guān)鍵：v勻＝v勻減．v0＝0的勻加速追勻速：v勻＝v勻加時，兩物體的間距最大．同時同地出發(fā)兩物體相遇：時間相等，位移相等．A與B相距Δs，A追上B：sA＝sB＋Δs；如果A、B相向運動，相遇時：sA＋sB＝Δs.8．“剎車陷阱”，應(yīng)先求滑行至速度為零即停止的時間t0，如果題干中的時間t大于t0，用veq\o\al(2,0)＝2ax或x＝eq\f(v0t0,2)求滑行距離；若t小于t0時，x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.二、運動的合成與分解1．小船過河(1)當船速大于水速時①船頭的方向垂直于水流的方向則小船過河所用時間最短，t＝eq\f(d,v船).②合速度垂直于河岸時，航程s最短，s＝d.(2)當船速小于水速時①船頭的方向垂直于水流的方向時，所用時間最短，t＝eq\f(d,v船).②合速度不可能垂直于河岸，最短航程s＝d×eq\f(v水,v船).圖122．繩端物體速度分解圖13三、圓周運動1．水平面內(nèi)的圓周運動，F(xiàn)＝mgtanθ，方向水平，指向圓心．圖142．豎直面內(nèi)的圓周運動圖15(1)繩，內(nèi)軌，水流星最高點最小速度為eq\r(gR)，最低點最小速度為eq\r(5gR)，上下兩點拉壓力之差為6mg.(2)離心軌道，小球在圓軌道過最高點vmin＝eq\r(gR)，如圖16所示，小球要通過最高點，小球最小下滑高度為2.5R.圖16(3)豎直軌道圓周運動的兩種基本模型繩端系小球，從水平位置無初速度釋放下擺到最低點：繩上拉力FT＝3mg，向心加速度a＝2g，與繩長無關(guān)．小球在“桿”模型最高點vmin＝0，v臨＝eq\r(gR)，v＞v臨，桿對小球有向下的拉力．v＝v臨，桿對小球的作用力為零．v＜v臨，桿對小球有向上的支持力．圖17四、萬有引力與航天1．重力加速度：某星球表面處(即距球心R):g＝eq\f(GM,R2).距離該星球表面h處(即距球心R＋h處)：g′＝eq\f(GM,r2)＝eq\f(GM,R＋h2).2．人造衛(wèi)星：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma＝mg′.衛(wèi)星由近地點到遠地點，萬有引力做負功．第一宇宙速度v1＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s.地表附近的人造衛(wèi)星：r＝R＝6.4×106m，v運＝v1，T＝2πeq\r(\f(R,g))＝84.6分鐘．3．同步衛(wèi)星T＝24小時，h＝5.6R＝36000km，v＝3.1km/s.4．重要變換式：GM＝gR2(R為地球半徑)5．行星密度：ρ＝eq\f(3π,GT2)，式中T為繞行星表面運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星的周期．【保溫訓(xùn)練】1．下列每個圖象中的兩條圖線分別表示某質(zhì)點運動的速度v和加速度a隨時間t變化的關(guān)系，則可能正確的是()B[加速度方向和速度方向相反時質(zhì)點做減速運動，A錯誤；最初加速度方向與速度方向相反，加速度減小到零，則質(zhì)點先減速到零，然后反向加速，最后做勻速直線運動，B正確；加速度方向和速度方向相同時速度應(yīng)變大，C、D錯誤．]2．關(guān)于人造地球衛(wèi)星下列說法正確的是()A．在地球周圍作勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的線速度都等于7.9km/sB．發(fā)射速度大于7.9km/s的人造地球衛(wèi)星進入軌道后的線速度一定大于7.9km/sC．由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，離地面越高的衛(wèi)星其發(fā)射速度越小D．衛(wèi)星受阻力作用軌道半徑緩慢減小后，其線速度將變大D[7.9km/s是近地軌道衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故A錯誤；人造地球衛(wèi)星進入軌道后的線速度小于7.9km/s，故B錯誤；公式v＝eq\r(\f(GM,r))是衛(wèi)星的運行速度，離地面越高的衛(wèi)星其運行速度越小，但發(fā)射速度要更大一些，因為要克服地球的引力做更多的功，故C錯誤；由公式v＝eq\r(\f(GM,r))可知，衛(wèi)星受阻力作用軌道半徑緩慢減小后，其線速度將變大，故D正確．]3．假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，設(shè)想在以地心為圓心，半徑為r處開鑿一圓形隧道，在隧道內(nèi)有一小球環(huán)繞地心O做勻速圓周運動，且對隧道內(nèi)外壁的壓力為零，如圖18所示．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．地球的第一宇宙速度為v1，小球的線速度為v2，則eq\f(v1,v2)等于()【導(dǎo)學(xué)號：】圖18A.eq\f(r,R) B.eq\f(R,r)C．(eq\f(r,R))2 D．(eq\f(R,r))2B[根據(jù)萬有引力提供向心力eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，得v＝eq\r(\f(GM,R))，又因為M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，所以v＝eq\r(\f(4,3)πGρR2)，故v∝R，所以eq\f(v1,v2)＝eq\f(R,r)，故B正確．]4．如圖19所示，從傾角為θ的足夠長的斜面頂端P以速度v0拋出一個小球，落在斜面上某處Q點，小球落在斜面上的速度與斜面的夾角為α，若把初速度變?yōu)?v0，小球仍落在斜面上，則以下說法正確的是()圖19A．夾角α將變大B．夾角α與初速度大小無關(guān)C．小球在空中的運動時間不變D．PQ間距是原來間距的3倍B[由題圖可知，tan(α＋θ)＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)，而tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)，可知tan(α＋θ)＝2tanθ，α與θ無關(guān)，選項A錯誤，B正確；斜面傾角的正切值tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝eq\f(2v0tanθ,g)，初速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則小球在空中的運動時間變?yōu)樵瓉淼?倍，選項C錯誤；PQ間距s＝eq\f(x,cosθ)＝eq\f(v0t,cosθ)，初速度變?yōu)樵瓉淼?倍，t變?yōu)樵瓉淼?倍，則s變?yōu)樵瓉淼?倍，選項D錯誤．]5．(多選)某質(zhì)點在0～12s內(nèi)運動的vt圖象如圖20所示．其中前4s內(nèi)的圖象是一段eq\f(1,4)圓弧，關(guān)于質(zhì)點的運動，下列說法正確的是()圖20A．質(zhì)點在第一個4s內(nèi)的平均速度和在第二個4s內(nèi)的平均速度大小相等B．t＝8s時，質(zhì)點的位移最大C．質(zhì)點在t＝6s時的加速度與t＝10s時的加速度大小相等，方向相反D．質(zhì)點在這12s內(nèi)的平均速度約為1m/sBD[由于vt圖線與時間軸所圍的“面積”表示位移，由圖線可知，質(zhì)點在第一個4s內(nèi)的位移大于第二個4s內(nèi)的位移，故在第一個4s內(nèi)的平均速度大于第二個4s內(nèi)的平均速度，A錯誤；由圖線可知t＝8s時質(zhì)點的位移最大，故B正確；直線的斜率等于加速度，故質(zhì)點在t＝6s時的加速度與t＝10s時的加速度大小相等，方向相同，故C錯誤；由圖線可知，在4s末到12s末這段時間內(nèi)質(zhì)點的位移等于0，所以在這12s內(nèi)的位移等于eq\f(1,4)圓弧圖線所圍成的面積，在這12s內(nèi)的平均速度v＝eq\f(\f(1,4)πr2,Δt)＝eq\f(π,3)m/s≈1m/s，故D正確．]6．如圖21所示，乘坐游樂園的翻滾過山車時，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，下列說法正確的是()【導(dǎo)學(xué)號：】圖21A．車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險帶拉住，沒有保險帶，人就會掉下來B．人在最高點時對座位不可能產(chǎn)生大小為mg的壓力C．人在最低點時對座位的壓力等于mgD．人在最低點時對座位的壓力大于mgD[在最高點只要速度夠大，則人對座位會產(chǎn)生一個向上的作用力，即使沒有安全帶人也不會掉下來，A錯誤；設(shè)在最高點人對座位產(chǎn)生的壓力為mg，則mg＋mg＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(2gr)，故只要速度滿足v＝eq\r(2gr)，人在最高點時對座位產(chǎn)生大小為mg的壓力，B錯誤；人在最低點時受到座位的支持力、重力，兩力的合力充當向心力，即FN－mg＝meq\f(v2,r)，解得FN＝meq\f(v2,r)＋mg＞mg，故C錯誤，D正確．]7．如圖22所示，水平地面上有一“L”形滑板ABC，豎直高度AB＝1.8m．D處有一固定障礙物，滑板右端C到障礙物的距離為1m．滑板左端加上水平向右的推力F＝144N的同時，有一小物塊緊貼豎直板的A點無初速釋放，滑板撞到障礙物時立即撤去力F，滑板以原速率反彈．小物塊最終落在地面上．滑板質(zhì)量M＝3kg，物塊質(zhì)量m＝1kg，滑板與物塊及地面間的動摩擦因數(shù)均為0.4(取g＝10m/s2，已知tan37°＝eq\f(3,4))．求：圖22(1)滑板撞到障礙物前物塊的加速度大??；(2)物塊落地時的速度；(3)物塊落地時到滑板B端的距離．【解析】(1)假設(shè)物塊與滑板相對靜止，向右的加速度為a，則F－μ(m＋M)g＝(M＋m)a解得a＝32m/s2.由于μN＝μma＞mg，所以假設(shè)成立，滑板撞到障礙物前物塊的加速度為32m/s2.(2)設(shè)滑板撞到障礙物時的速度大小為v1，veq\o\al(2,1)＝2ax撞到障礙物后物塊做平拋運動，h＝eq\f(1,2)gt2vy＝gtv＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,y))＝10m/s.