5.1任意角和弧度制【知識(shí)儲(chǔ)備】1．任意角的概念(1)角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)角的表示如圖所示：①始邊：射線的起始位置OA．②終邊：射線的終止位置OB．③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O．④記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”．(3)正角、負(fù)角、零角類型定義圖示正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角射線從起始位置OA沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，稱這樣的角為零度角，又稱零角這樣，我們就把角的概念推廣到任意角，包括正角、負(fù)角和零角．2．象限角使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊(除原點(diǎn)外)在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角，即象限角的終邊在第一或第二或第三或第四象限內(nèi)，不與坐標(biāo)軸重合．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就說(shuō)這個(gè)角不屬于任何象限．[知識(shí)點(diǎn)撥]要正確區(qū)分銳角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．銳角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、負(fù)角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}所表示的角．這四個(gè)概念不能混淆．3．終邊相同的角(1)研究終邊相同的角的前提條件是：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．(2)終邊相同的角的集合：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．[知識(shí)點(diǎn)撥]理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下幾點(diǎn)：(1)式中角α為任意角；(2)k∈Z這一條件必不可少；(3)k·360°與α之間是“＋”，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)，即與－30°角終邊相同；(4)當(dāng)α與β的終邊相同時(shí)，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．[拓展]1.象限角與軸線角(終邊在坐標(biāo)軸上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}4．弧度制(1)定義：以弧度為單位度量角的單位制叫做弧度制．(2)度量方法：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．如圖所示，圓O的半徑為r，eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)等于r，∠AOB就是1弧度的角．5．弧度數(shù)一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝eq\f(l,r)．6．弧度與角度的換算公式(1)周角的弧度數(shù)是2π，而在角度制下的度數(shù)是360，于是360°＝2πrad，即根據(jù)以上關(guān)系式就可以進(jìn)行弧度與角度的換算了．弧度與角度的換算公式如下：若一個(gè)角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad．(2)常用特殊角的弧度數(shù)0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π(3)角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，任一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)．7．弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式(1)弧長(zhǎng)公式在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角大小為α，則|α|＝eq\f(l,r)，變形可得l＝|α|r，此公式稱為弧長(zhǎng)公式，其中α的單位是弧度．(2)扇形面積公式由圓心角為1rad的扇形面積為eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧長(zhǎng)為l的扇形的圓心角大小為eq\f(l,r)rad，故其面積為S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，將l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式稱為扇形面積公式．(3)弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式的兩種表示名稱角度制弧度制弧長(zhǎng)公式l＝eq\f(nπr,180)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(nπr2,360)S＝eq\f(|α|,2)r2＝eq\f(1,2)lr注意事項(xiàng)r是扇形的半徑，n是圓心角的角度數(shù)r是扇形的半徑，α是圓心角的弧度數(shù)，l是弧長(zhǎng)點(diǎn)撥：弧長(zhǎng)公式與扇形的面積公式在角度制與弧度制下形式不同，解題時(shí)要看清角的度量制，選用相應(yīng)的公式，切不可混淆．題型一：任意角的概念1．若將鐘表調(diào)慢5min，則分針轉(zhuǎn)動(dòng)角為（

）A．60° B．30° C．?60° D．?30°2．地球繞太陽(yáng)的軌道稱為黃道，而二十四節(jié)氣正是按照太陽(yáng)在黃道上的位置來(lái)劃分的．當(dāng)太陽(yáng)垂直照射赤道時(shí)定為“黃經(jīng)零度”，即春分點(diǎn)．從這里出發(fā)，每前進(jìn)15度就為一個(gè)節(jié)氣，從春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏等．待運(yùn)行一周后就又回到春分點(diǎn)，此為一回歸年，共360度．因此分為24個(gè)節(jié)氣，則芒種為黃經(jīng)（

）A．60度 B．75度 C．270度 D．285度3．下列說(shuō)法中正確的是（填序號(hào)）．①終邊落在第一象限的角為銳角；②銳角是第一象限角；③第二象限角為鈍角；④小于90°的角一定為銳角；⑤角α與?α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．題型二：角度與弧度的互化4．分別將下列角度化為弧度：(1)15°；(2)?108°；(3)22°305．分別將下列弧度化為角度：(1)11(2)?(3)?3（結(jié)果精確到0.01°）．6．一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系0°30°45°60°90°120°135°150°180°210°225°240°270°300°315°330°360°題型三：終邊相同的角7．在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角，在0°(1)360°(2)720°(3)2012°(4)?1208．已知角α=1200(1)將角α改寫成β+2kπk∈Z，0≤β<2π(2)在區(qū)間?4π,π上找出與角α終邊相同的角．9．與?465°角終邊相同的角的集合是（

）A．α∣α=465°+k?360°,k∈Z B．α∣α=105°+k?360°,k∈ZC．α∣α=255°+k?360°,k∈Z D．α∣α=75°+k?360°,k∈Z10．已知角β=?15°，角α的終邊與角β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則α可能為（A．25° B．195° C．345°11．下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩個(gè)角的終邊相同，則它們的大小相等B．若角α為第二象限角，則?α是第三象限角C．第一象限角都是銳角D．終邊在直線y=?x上的角的集合是α12．若角α=k?180°?2025°，k∈Z，則符合條件的角α的最大負(fù)角為（

）A．?30° B．?45° C．13．集合{α|kπ+πA．

B．

C．

D．

14．如圖，終邊在陰影部分（含邊界）的角的集合是（

）A．αB．αC．αD．α15．如圖，終邊在陰影部分（含邊界）的角的集合是（

）A．αB．αC．αD．α16．若α是第一象限的角，則α2是第幾象限的角？2α題型四：等分角的象限17．設(shè)α為第二象限角，則2α可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角18．已知α是銳角，則（

）A．180°+α是第三象限角 B．2α是小于C．2α是第一或第二象限角 D．α2題型五：扇形的弧長(zhǎng)和面積19．扇形的半徑為2，圓心角為π3，則此扇形弧長(zhǎng)為（

A．π6 B．π3 C．π220．已知扇形的圓心角為60°，弧長(zhǎng)為2π，則該扇形的面積為（

A．3π B．6π C．5π D．4π21．某公