高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題第I卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角，則且，所以傾斜角.故選：B.2.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】C【解析】這組數(shù)據(jù)一共有個，，，則.這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第個數(shù)，即.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.因為這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于它們的平均數(shù)，所以.解得.故選：C.3.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】D【解析】滿足，則復(fù)數(shù).故選：D.4.已知平面向量為單位向量，若，則（）A.0 B.1 C. D.3【答案】B【解析】已知，根據(jù)向量模長公式，可得.展開得到.因為，是單位向量，所以，即，.代入上式可得，解得.同樣根據(jù)向量模長公式，.將展開得到.把，，代入可得：.所以.故選：B.5.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，，即，∴“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件，故選：A．6.已知直線經(jīng)過點，且是的方向向量，則點到的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知點和點，則.向量在上的投影長度.先求.再求.所以.根據(jù)勾股定理，點到直線的距離.先求.則.故選：C.7.設(shè)是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，記為事件的對立事件，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.又所以.故.故選：D.8.已知直線與動圓，下列說法正確的是（）A.直線過定點B.當(dāng)時，若直線與圓相切，則C.若直線與圓相交截得弦長為定值，則D.當(dāng)時，直線截圓的最短弦長為【答案】C【解析】對于A，將直線整理為.令，解方程組，得，即，將代入得，所以直線過定點，故A選項錯誤.對于B，當(dāng)時，直線方程為，即.圓，圓心，半徑.因為直線與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑，即，或，解得或，故B選項錯誤.對于C，圓，圓心，半徑.直線，根據(jù)點到直線的距離公式，圓心到直線的距離.弦長，若弦長為定值，則為定值，與，無關(guān).當(dāng)時，，，是定值，故C選項正確.對于D，當(dāng)時，求直線截圓的最短弦長當(dāng)時，圓，圓心，半徑.直線過定點.圓心到定點的距離.根據(jù)幾何關(guān)系，直線截圓的最短弦長，故D選項錯誤.故選：C.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.若復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部是B.的共軛復(fù)數(shù)是C.的模是D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限【答案】BC【解析】對于A選項，，這里，，所以的虛部是，A選項錯誤.對于B選項，因為，所以的共軛復(fù)數(shù)，B選項正確.對于C選項，對于，則，C選項正確.對于D選項，先計算.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，這個點在第四象限，D選項錯誤.故選：BC.10.如圖，已知正方體分別是上底面和側(cè)面的中心，判斷下列結(jié)論正確的是（）A.存在使得B.任意，使得C.存在，使得共面D.任意，使得共面【答案】ACD【解析】對于A，，得，A選項正確；對于B，，故，B選項錯誤；對于C，，則時，共面，C選項正確；對于D，正方體中，，，四邊形為平行四邊形，都在平面內(nèi)，所以任意，都有共面，D選項正確.故選：ACD.11.已知曲線的方程，則以下結(jié)論正確的是（）A.無論實數(shù)取何值，曲線都關(guān)于軸成軸對稱B.無論實數(shù)取何值，曲線都是封閉圖形C.當(dāng)時，曲線恰好經(jīng)過個整點（即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）D.當(dāng)時，曲線所圍成的區(qū)域的面積小于【答案】AC【解析】對于選項A，設(shè)是曲線上任意一點，則其關(guān)于軸的對稱點為，又因為，即點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，故選項A正確，對于選項B，由得到，故，當(dāng)時，，此時曲線不封閉，故選項B錯誤，對于選項C，當(dāng)時，曲線為，當(dāng)時，代入可得，解得，即曲線經(jīng)過點，當(dāng)時，方程變換為，由，解得，所以只能取整數(shù)，當(dāng)時，，解得或，即曲線經(jīng)過，根據(jù)曲線關(guān)于軸對稱可得曲線還經(jīng)過，故曲線一共經(jīng)過6個整點，所以選項C正確，對于選項D，當(dāng)時，曲線，當(dāng)，曲線方程為：即設(shè)，則，其中，因，故.當(dāng)時，則，若且，則由得，但此時，矛盾；故當(dāng)時，，或，由C可知此時圖形是封閉的，故此時曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積大于1，當(dāng)時，，此時，而，，故此時曲線在的下方，此時曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積大于，由A中曲線的對稱性可得曲線圍成的面積大于，故D錯誤.故選：AC.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某圓臺上下底面半徑分別為2和5，母線長為5，則該圓臺的體積是______.【答案】【解析】設(shè)圓臺高為，根據(jù)圓臺的母線、高和上下底面半徑之差構(gòu)成直角三角形，其中母線為斜邊.已知，，，根據(jù)勾股定理，，代入圓臺體積公式，所以.故答案為：.13.已知橢圓的左?右焦點到直線的距離之和為，則離心率取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意，橢圓左右焦點坐標(biāo)為，所以，即，即在數(shù)軸上到的距離和為8，故，即，所以.14.已知正三棱錐的外接球為球是球上任意一點，為的中點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為底面是正三角形，.根據(jù)正三角形外接圓半徑公式（其中為正三角形的邊長），可得.設(shè)正三棱錐的高為，頂點在底面的射影為.因為為中點，在上，且.對于正三角形，，則.在中，，，根據(jù)勾股定理.設(shè)外接球半徑為，球心在高上.根據(jù)，將，代入可得：.展開得.移項化簡得，解得.因為.設(shè)球心到點的距離為，在中，，，根據(jù)勾股定理.的最小值為，最大值為.，.所以的取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.杭州市某學(xué)校組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請解決下列問題：（1）若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)：（2）已知落在成績的平均值為66，方差是7；落在成績的平均值為75，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差；（3）若該學(xué)校安排甲?乙兩位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲?乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率.解：（1）人，人，不高于50分的抽到人.（2）由題意可知，解得.由圖中可知：落在的學(xué)生人數(shù)為30人，落在的學(xué)生人數(shù)為60人，故，.（3）記“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級”事件A，則至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為.16.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若（1）求的大??；（2）若是線段上一點，且，求的最大值.解：（1）由題意，根據(jù)正弦定理得，即，根據(jù)余弦定理可知..（2）由題意在邊上一點，且，可得，，故，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，故，即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與軸相切，且過點（1）求圓的方程；（2）過點作直線交圓于兩點，若，求直線的方程.解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸相切，設(shè)圓方程為，又圓過點，則，可得，故圓的方程為（2）顯然當(dāng)直線斜率為0時不合題意，設(shè)直線將直線與圓聯(lián)立方程組：，整理得，整理可得，即可得，，化簡可得，經(jīng)驗證所求的直線方程為18.如圖所示，已知四棱錐是以為斜邊的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中點.（1）求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積；（3）求二面角的平面角的余弦值.（1）證明：取中點是的中位線，，又，四邊形是平行四邊形,，又平面平面.平面.（2）解：取的中點是以為斜邊的等腰直角三角形，取的中點，底面是等腰梯形，.是二面角的平面角.連接，在中，，在中，.，二面角的平面角..（3）解：根據(jù)第（2）題，二面角的平面角，平面平面，如圖，建系，不妨令，則設(shè)平面的法向量是，即，令，解得設(shè)平面的法向量是，即令，解得設(shè)二面角的平面角大小為由圖可知二面角的平面角為鈍角，故余弦值為.19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為，離心率為，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)軸，求面