歸一問題教學(xué)課件什么是歸一問題？"歸一"是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，指的是在解決問題時(shí)，先求出一份（一個(gè)單位）的數(shù)量，然后根據(jù)這個(gè)"一"推導(dǎo)出全局的解答。這種方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位。歸一問題常見于單位計(jì)算中，如：單價(jià)問題：先求出一個(gè)物品的價(jià)格，再計(jì)算多個(gè)物品的總價(jià)單量問題：先求出一個(gè)人、一天或一臺(tái)設(shè)備的工作量，再計(jì)算總量平均問題：將總量平均分配到每個(gè)單位這種思維方式不僅在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，在日常生活中也有普遍應(yīng)用，是一種基礎(chǔ)而重要的解題策略。歸一問題的實(shí)用意義解決實(shí)際問題的有效工具在日常生活中，我們經(jīng)常需要先找到"一"這個(gè)基本單位才能解決問題。例如：計(jì)算購物時(shí)的單價(jià)、分配工作量、確定生產(chǎn)效率等，都需要運(yùn)用歸一思想。培養(yǎng)模型思維和應(yīng)用意識(shí)通過歸一問題的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠建立起數(shù)學(xué)模型思維，學(xué)會(huì)將復(fù)雜問題簡化，先求出單位量，再通過乘法或除法求解整體問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。與比例、倍數(shù)問題緊密相關(guān)歸一思想是理解比例、倍數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)。掌握了歸一方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)比例、百分?jǐn)?shù)等更復(fù)雜概念時(shí)會(huì)更加輕松，為今后學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。教材中的歸一問題主題人教版三年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教材中的歸一問題示例教材位置與內(nèi)容安排在人教版三年級(jí)上冊第71頁例8中，首次系統(tǒng)引入了歸一問題的解法。這部分內(nèi)容安排在"多位數(shù)乘一位數(shù)"單元中，是學(xué)生學(xué)習(xí)乘除法應(yīng)用的重要環(huán)節(jié)。教材設(shè)計(jì)思路：從簡單的生活實(shí)例入手，如物品購買、工作分配等情境引導(dǎo)學(xué)生思考"一個(gè)單位"的概念通過兩步法（先求一，再求多）解決問題逐步建立數(shù)學(xué)模型思維歸一問題的三要素總量指問題中涉及的全部數(shù)量，如：總錢數(shù)總頁數(shù)總重量總工作量總量通常是已知條件或最終要求解的對象份數(shù)指總量被分成的份數(shù)，如：人數(shù)天數(shù)件數(shù)組數(shù)份數(shù)是歸一問題中的關(guān)鍵要素單份數(shù)指每一份的數(shù)量，如：一個(gè)人的量一天的工作量一件物品的價(jià)格一組的數(shù)量單份數(shù)是歸一問題的核心單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)模型基本數(shù)學(xué)模型單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)的關(guān)系是歸一問題最基礎(chǔ)、最常見的模型：歸一思想應(yīng)用：這一模型體現(xiàn)了歸一的核心思想——先求出"一"的量（單價(jià)），再通過乘法求解總量或通過除法求解份數(shù)。生活中的單價(jià)-數(shù)量-總價(jià)關(guān)系示意這一模型不僅適用于價(jià)格計(jì)算，還可以擴(kuò)展到多種情境：工作效率：單位時(shí)間完成的工作量速度問題：單位時(shí)間內(nèi)行駛的距離密度問題：單位體積內(nèi)的質(zhì)量歸一問題的經(jīng)典表達(dá)1"照這樣"這是歸一問題中最常見的表述方式，表示按照同樣的比例或關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。例如："3個(gè)人5天完成一項(xiàng)工作，照這樣，9個(gè)人幾天能完成？"這里的"照這樣"暗示了工作效率（每人每天完成的工作量）保持不變，是解題的關(guān)鍵條件。2"每個(gè)/每份"直接指向單位量，是歸一問題的顯性表達(dá)。例如："一共花了15元買了3本書，每本書多少錢？""買5本這樣的書需要多少錢？"這類表述直接詢問單位量或基于單位量的計(jì)算，明確指向歸一思想。3"平均到一份/一天/一人"強(qiáng)調(diào)將總量平均分配到每個(gè)單位的過程。例如："4個(gè)工人6天完成一項(xiàng)工程，平均每人每天完成多少工程量？"這類表述需要進(jìn)行兩次除法運(yùn)算，先除以人數(shù)，再除以天數(shù)，求出最小單位量。解題三大步驟第一步：先求一份是多少這是歸一問題解題的核心步驟，需要找出"一"的含義，可能是一個(gè)人、一天、一件物品等。計(jì)算方法：通常通過除法運(yùn)算，用總量除以份數(shù)來求得單位量。例如：12塊糖分給3個(gè)人，先求每人得到幾塊糖？12÷3=4塊第二步：再求問題所關(guān)心的其它量基于第一步求得的單位量，利用乘法或除法求解問題所需的其他量。計(jì)算方法：根據(jù)問題要求，可能需要用單位量乘以新的份數(shù)，或用總量除以單位量。例如：如果有5個(gè)人，需要幾塊糖？4×5=20塊第三步：檢驗(yàn)答案是否合理通過逆向思考或代入原條件，檢查解答的正確性。檢驗(yàn)方法：可以用得到的答案回代原問題，驗(yàn)證是否符合題目條件。例如：檢驗(yàn)20塊糖分給5個(gè)人，每人得到4塊，與第一步求得的單位量一致，答案合理。建立歸一模型的方法找出"一"的含義在歸一問題中，首先要明確"一"代表什么：一個(gè)人的工作量一天的完成量一件物品的價(jià)格一千克材料的產(chǎn)量確定"一"的含義是建立模型的第一步，也是最關(guān)鍵的一步。列數(shù)量關(guān)系式根據(jù)題目條件，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式：或者：通過這些關(guān)系式，可以清晰地表達(dá)歸一問題的核心結(jié)構(gòu)。畫示意圖分析使用圖形輔助分析歸一問題：線段圖：用長度表示數(shù)量關(guān)系矩形圖：用面積表示乘法關(guān)系表格法：用表格組織已知和未知量圖形化的表達(dá)可以幫助學(xué)生直觀理解數(shù)量關(guān)系，特別適合視覺學(xué)習(xí)者。在復(fù)雜問題中，圖形輔助能夠有效梳理思路，減少混淆。示意圖與數(shù)量線歸一問題的線段圖表示示例線段圖的作用線段圖是表示歸一問題的有效工具，它能夠：直觀展示數(shù)量關(guān)系幫助梳理已知與未知引導(dǎo)正確的計(jì)算順序降低問題的抽象度線段圖中的數(shù)量關(guān)系在線段圖中，我們可以清晰地看到三要素之間的關(guān)系：每份數(shù)：用單位線段表示總份數(shù)：線段的重復(fù)次數(shù)總量：所有線段的總長度通過線段圖，"總量=份數(shù)×單份數(shù)"的關(guān)系變得直觀可見，有助于學(xué)生理解歸一問題的本質(zhì)。繪制線段圖的步驟確定已知量和未知量畫出表示單位量的基本線段根據(jù)份數(shù)重復(fù)基本線段例題1：擦玻璃問題問題描述3人一起擦玻璃，一共擦了12塊。照這樣計(jì)算，6人一起擦玻璃，能擦多少塊？思路分析這是一個(gè)典型的歸一問題，我們需要：找"一"：1人能擦多少塊玻璃？計(jì)算總量：6人能擦多少塊？關(guān)鍵是理解"照這樣"表示工作效率（每人擦玻璃的數(shù)量）保持不變。這個(gè)問題的解題思路體現(xiàn)了歸一問題的核心思想：先求單位量，再求總量。通過找到"一個(gè)人能擦多少塊玻璃"這個(gè)單位量，我們可以輕松計(jì)算出不同人數(shù)下的工作總量。例題1詳細(xì)解析解題過程問題回顧：3人一起擦玻璃，一共擦了12塊。照這樣計(jì)算，6人一起擦玻璃，能擦多少塊？第一步：求出1人擦多少塊玻璃這一步運(yùn)用了除法，將總量（12塊玻璃）除以人數(shù)（3人），得到單位量（1人擦4塊）。第二步：求出6人能擦多少塊玻璃這一步運(yùn)用了乘法，將單位量（1人擦4塊）乘以新的人數(shù)（6人），得到新的總量（24塊）。驗(yàn)證與解釋我們可以通過比例關(guān)系驗(yàn)證結(jié)果：人數(shù)增加了2倍（從3人變?yōu)?人），在工作效率相同的情況下，工作量也應(yīng)增加2倍（從12塊變?yōu)?4塊）。例題2：做豆腐問題問題描述用5千克黃豆可以做20千克豆腐。照這樣計(jì)算，做32千克豆腐需要多少千克黃豆？思路分析這是一個(gè)原料與產(chǎn)品之間關(guān)系的歸一問題。我們需要：找"一"：1千克豆腐需要多少千克黃豆？計(jì)算總量：32千克豆腐需要多少千克黃豆？這里的"照這樣"表示原料與產(chǎn)品之間的轉(zhuǎn)化率保持不變。豆腐制作過程中，黃豆和成品豆腐之間存在固定的轉(zhuǎn)化比例。理解這一比例關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵。這類問題在生活中很常見，如：原料與產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化材料與成品的關(guān)系投入與產(chǎn)出的比例例題2詳細(xì)解析問題回顧用5千克黃豆可以做20千克豆腐。照這樣計(jì)算，做32千克豆腐需要多少千克黃豆？第一步：求出1千克豆腐需要多少千克黃豆或者表示為分?jǐn)?shù)形式：這一步我們將黃豆的重量（5千克）除以豆腐的重量（20千克），得到單位量（1千克豆腐需要0.25千克或1/4千克黃豆）。第二步：求出32千克豆腐需要多少千克黃豆或者：這一步將單位量（1千克豆腐需要0.25千克黃豆）乘以新的豆腐重量（32千克），得到所需的黃豆總重量（8千克）。綜合算式我們也可以用一個(gè)綜合算式來解決這個(gè)問題：歸一問題的常見類型單價(jià)問題涉及物品價(jià)格的計(jì)算求單價(jià)：總價(jià)÷數(shù)量求總價(jià)：單價(jià)×數(shù)量求數(shù)量：總價(jià)÷單價(jià)例：3本書15元，5本書多少錢？平均問題涉及平均分配或平均值的計(jì)算求平均值：總量÷份數(shù)求總量：平均值×份數(shù)求份數(shù)：總量÷平均值例：4人分30元，平均每人多少？比例換算涉及等比例關(guān)系的計(jì)算求單位比例：已知量÷基準(zhǔn)量求新量：單位比例×新基準(zhǔn)量例：5千克面粉做20個(gè)面包，做15個(gè)需多少面粉？例題3：讀書頁數(shù)問題問題描述小明3天讀完一本故事書的24頁。照這樣計(jì)算：(1)小明平均每天讀多少頁？(2)5天能讀完多少頁？思路分析這是一個(gè)典型的歸一問題，關(guān)注點(diǎn)是"每天讀多少頁"這個(gè)單位量：第(1)問直接求單位量：每天讀多少頁第(2)問基于單位量求新情況：5天讀多少頁"照這樣"表示閱讀速度（每天的閱讀頁數(shù)）保持不變。這類問題在學(xué)習(xí)生活中非常常見，如：學(xué)習(xí)進(jìn)度規(guī)劃時(shí)間與工作量的關(guān)系速度與距離的計(jì)算例題3詳細(xì)解析問題理解小明3天讀完一本故事書的24頁。我們需要計(jì)算每天的閱讀量，以及5天的閱讀總量。求解第(1)問：平均每天讀多少頁這里我們用總頁數(shù)（24頁）除以總天數(shù)（3天），得到平均每天的閱讀量（8頁）。求解第(2)問：5天能讀完多少頁用每天的閱讀量（8頁）乘以新的天數(shù)（5天），得到5天的閱讀總量（40頁）。答案：(1)小明平均每天讀8頁；(2)5天能讀完40頁。數(shù)學(xué)與生活中的歸一問題歸一思想在日常生活中的應(yīng)用無處不在生活中的歸一應(yīng)用歸一問題在日常生活中有廣泛應(yīng)用：商品定價(jià)：計(jì)算單價(jià)、比較不同包裝商品的性價(jià)比分組作業(yè)：分配工作量、估計(jì)完成時(shí)間用水用電計(jì)算：根據(jù)單價(jià)計(jì)算費(fèi)用、預(yù)估用量烹飪配方：按人數(shù)調(diào)整食材用量時(shí)間規(guī)劃：根據(jù)進(jìn)度安排學(xué)習(xí)或工作計(jì)劃體育鍛煉：計(jì)算運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度、制定訓(xùn)練計(jì)劃提升實(shí)際分析與遷移能力通過歸一問題的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠：建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系培養(yǎng)實(shí)際問題分析能力提高數(shù)學(xué)知識(shí)遷移應(yīng)用能力發(fā)展邏輯思維和推理能力歸一與逆向思維正向解題從已知條件出發(fā)，通過求單位量，再求解問題要求的量。例如：3本書15元，求5本書多少元？正向思路：先求1本書多少元，再求5本書多少元。逆向檢驗(yàn)用逆推法檢驗(yàn)答案的正確性，驗(yàn)證解題過程。例如：檢驗(yàn)5本書25元是否合理。逆向思路：如果5本書25元，則1本書5元，3本書15元，與原條件相符。條件回代將得到的答案代回原問題，檢查是否滿足題目條件。例如：驗(yàn)證"1本書5元"是否符合"3本書15元"?；卮^程：5×3=15，符合原條件。多解思路嘗試不同的解題路徑，培養(yǎng)思維靈活性。例如：直接用比例關(guān)系解題。比例思路：3本書：15元=5本書：x元，x=15÷3×5=25元。常見陷阱與易錯(cuò)點(diǎn)1忽略"照這樣"的含義許多學(xué)生不理解"照這樣"表示的是單位量（效率、比例等）保持不變，而不是絕對量保持不變。例如：3人5天完成工作，6人需要多少天？錯(cuò)誤思路：認(rèn)為人數(shù)增加一倍，天數(shù)也增加一倍，答10天。正確思路：人數(shù)增加一倍，工作效率增加一倍，天數(shù)減少一半，答2.5天。2題意理解不清導(dǎo)致錯(cuò)列等式未正確識(shí)別題目中的三要素（總量、份數(shù)、單份數(shù)），導(dǎo)致等式列錯(cuò)方向。例如：5千克黃豆做20千克豆腐，32千克豆腐需要多少黃豆？錯(cuò)誤等式：32÷20×5=8（錯(cuò)誤地認(rèn)為是正比關(guān)系）正確分析：先求1千克豆腐需要多少黃豆（5÷20=0.25千克），再求32千克豆腐需要多少黃豆（0.25×32=8千克）3未明確"一"的含義在復(fù)合歸一問題中，未能準(zhǔn)確識(shí)別"一"的含義，導(dǎo)致混淆。例如：4人3天完成一項(xiàng)工作，求每人每天完成多少工作量？錯(cuò)誤理解：直接用1除以12（錯(cuò)誤地認(rèn)為總工作量是1）正確分析：設(shè)總工作量為1，則每人每天完成的工作量為1÷4÷3=1/124計(jì)算結(jié)果未回到問題情境得到數(shù)值結(jié)果后，未能結(jié)合實(shí)際情境給出有意義的答案。例如：計(jì)算出每人每天完成1/12的工作量，但未說明"這表示12個(gè)人天可以完成整項(xiàng)工作"。歸一問題畫圖法數(shù)形結(jié)合——線段圖的應(yīng)用線段圖是解決歸一問題的有力工具，它能夠：將抽象的數(shù)量關(guān)系可視化幫助學(xué)生理清思路減少計(jì)算錯(cuò)誤培養(yǎng)形象思維能力線段圖繪制步驟確定基本單位，畫出表示單位量的線段根據(jù)已知條件，畫出對應(yīng)的線段組合標(biāo)注已知量和未知量根據(jù)線段之間的關(guān)系列式求解以"3本書15元，5本書多少元"為例，線段圖表示：畫出表示1本書價(jià)格的基本線段連續(xù)畫出3個(gè)這樣的線段，標(biāo)注總價(jià)15元再連續(xù)畫出5個(gè)基本線段，標(biāo)注總價(jià)為問號(hào)根據(jù)線段圖關(guān)系，列式求解：15÷3×5=25元一題多解，拓展思維歸一法解題例題：5千克黃豆做20千克豆腐，做32千克豆腐需要多少千克黃豆？歸一法：求1千克豆腐需要的黃豆量：5÷20=0.25千克求32千克豆腐需要的黃豆量：0.25×32=8千克比例法解題同樣的例題可以用比例法解決：設(shè)做32千克豆腐需要x千克黃豆解得：x=5×32÷20=8千克綜合算式法直接用一個(gè)綜合算式解決：這種方法簡潔明了，但需要學(xué)生對比例關(guān)系有深入理解。交互討論：實(shí)際歸一案例小組討論活動(dòng)設(shè)計(jì)組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，探索生活中的歸一問題：每組3-4人，討論生活中遇到的需要運(yùn)用歸一思想的實(shí)際問題選擇一個(gè)實(shí)際案例，分析其中的"一"是什么，以及如何應(yīng)用歸一思想解決小組代表向全班分享討論結(jié)果教師引導(dǎo)全班討論各種案例的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)實(shí)際案例示例學(xué)生可能討論的生活案例：購物比價(jià)：500克裝的餅干售價(jià)15元，800克裝售價(jià)22元，哪種更劃算？分工合作：4人3天完成一項(xiàng)作業(yè)，如果只有3人，需要多少天？烹飪調(diào)整：一個(gè)6人份的菜譜需要300克肉，做8人份需要多少肉？費(fèi)用計(jì)算：上月用電300度，電費(fèi)180元，這個(gè)月用電350度，預(yù)計(jì)電費(fèi)是多少？歸一問題變式訓(xùn)練1基礎(chǔ)變式：互換未知量將總量、份數(shù)、單位量三者中的不同元素設(shè)為未知量：已知總量和份數(shù)，求單位量已知單位量和份數(shù)，求總量已知總量和單位量，求份數(shù)例題：3本書15元，每本書多少元？5本這樣的書多少元？15元能買幾本這樣的書？2提高變式：復(fù)合歸一涉及多個(gè)單位量的歸一問題：兩步歸一：先求出第一個(gè)單位量，再求第二個(gè)單位量多重單位：如每人每天、每千克每小時(shí)等例題：4人3天完成一項(xiàng)工作，6人幾天完成？每人每天完成多少工作量？3綜合變式：比值關(guān)系涉及比值和比例關(guān)系的歸一問題：正比關(guān)系：兩個(gè)量成正比，一個(gè)量增大，另一個(gè)也增大反比關(guān)系：兩個(gè)量成反比，一個(gè)量增大，另一個(gè)減小例題：生產(chǎn)一批零件，5臺(tái)機(jī)器8小時(shí)完成。如果使用8臺(tái)機(jī)器，需要多少小時(shí)？4應(yīng)用變式：實(shí)際情境將歸一問題放入豐富的實(shí)際情境中：情境分析：需要從復(fù)雜情境中提取有效信息數(shù)據(jù)解讀：需要理解圖表、數(shù)據(jù)等多種形式的信息與倍數(shù)、比例問題的聯(lián)系歸一是倍數(shù)、比例問題的基礎(chǔ)歸一思想是理解倍數(shù)關(guān)系和比例關(guān)系的基礎(chǔ)：倍數(shù)關(guān)系：以"一"為基準(zhǔn)，計(jì)算幾倍關(guān)系比例關(guān)系：兩組數(shù)據(jù)之間的對應(yīng)關(guān)系，可通過歸一化簡百分?jǐn)?shù)：以100為基準(zhǔn)的特殊比例關(guān)系掌握歸一思想，有助于學(xué)生更好地理解這些相關(guān)概念。融會(huì)貫通提升解題能力通過建立歸一、倍數(shù)、比例三者之間的聯(lián)系，學(xué)生能夠：靈活選擇解題策略，根據(jù)問題特點(diǎn)選用最合適的方法深化對數(shù)量關(guān)系的理解，形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)提高解決復(fù)雜問題的能力，應(yīng)對多種變式和實(shí)際情境發(fā)展數(shù)學(xué)思維的廣度和深度，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)典型練習(xí)1問題學(xué)校買來一批鉛筆，平均每個(gè)學(xué)生發(fā)5支，可以發(fā)給360名學(xué)生。如果平均每個(gè)學(xué)生發(fā)4支，可以發(fā)給多少名學(xué)生？分析這是一個(gè)典型的歸一問題，需要先求出鉛筆的總數(shù)，再求能發(fā)給多少學(xué)生。關(guān)鍵是理解"一"的含義變化：從"每人5支"變?yōu)?每人4支"。第一步求鉛筆總數(shù)：這里我們用每人支數(shù)（5支）乘以人數(shù)（360人），得到鉛筆總數(shù)（1800支）。第二步求能發(fā)給多少名學(xué)生：用鉛筆總數(shù)（1800支）除以新的每人支數(shù)（4支），得到能發(fā)給的學(xué)生人數(shù)（450人）。檢驗(yàn)驗(yàn)證我們的答案：計(jì)算450人每人4支的總數(shù)，等于1800支，與鉛筆總數(shù)相符，答案正確。答案如果平均每個(gè)學(xué)生發(fā)4支鉛筆，可以發(fā)給450名學(xué)生。典型練習(xí)2問題工廠加工一批零件，8臺(tái)機(jī)器連續(xù)工作6小時(shí)可以完成。如果只用4臺(tái)機(jī)器，需要多少小時(shí)才能完成同樣的工作？分析與圖示這是一個(gè)工作效率的歸一問題，關(guān)鍵是理解"一"的含義：1臺(tái)機(jī)器1小時(shí)的工作量。我們可以通過繪制圖示來輔助思考：解題過程第一步：求出工作總量（用工作份數(shù)表示）8臺(tái)機(jī)器工作6小時(shí)=8×6=48個(gè)機(jī)器小時(shí)這表示完成這批零件的工作總量相當(dāng)于1臺(tái)機(jī)器工作48小時(shí)。第二步：求4臺(tái)機(jī)器需要的工作時(shí)間4臺(tái)機(jī)器工作x小時(shí)=48個(gè)機(jī)器小時(shí)x=48÷4=12小時(shí)第三步：檢驗(yàn)結(jié)果4臺(tái)機(jī)器工作12小時(shí)=4×12=48個(gè)機(jī)器小時(shí)與工作總量相符，答案正確。答案如果只用4臺(tái)機(jī)器，需要12小時(shí)才能完成同樣的工作。提升：歸一問題的創(chuàng)新解法單位時(shí)間工作量法針對工作效率類問題，可以用"單位時(shí)間工作量"思想解決：例題：甲獨(dú)自做需6天完成，乙獨(dú)自做需8天完成，兩人合作需幾天？解法：甲一天完成：1/6工作量乙一天完成：1/8工作量兩人一天完成：1/6+1/8=(4+3)/24=7/24工作量完成全部工作需要：24/7=33/7天這種方法直接從"單位時(shí)間的工作量"入手，避免了復(fù)雜的比例關(guān)系分析。函數(shù)思想將歸一問題中的變量關(guān)系看作函數(shù)關(guān)系，分析變量間的依存關(guān)系：例題：3千克蘋果15元，5千克蘋果多少元？函數(shù)思想：設(shè)f(x)表示x千克蘋果的價(jià)格已知f(3)=15根據(jù)價(jià)格與重量成正比，f(x)=kx，其中k是單價(jià)代入f(3)=15，得k=5所以f(5)=5×5=25