第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年云南省玉溪市第三中學(xué)高一下學(xué)期期末檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷（實(shí)驗(yàn)班）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)3+ai1+i(a∈R,i為虛數(shù)單位A.?3 B.?32 C.322.已知平面向量a，b滿足a=b=2.若a+2b?A.30° B.45° C.60° D.135°3.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)F(x)=f(x?1)+1.則F12000+FA.2000 B.1999 C.4000 D.39994.已知圓錐的底面半徑為1，體積為π，則它的側(cè)面積為(

)A.2π B.3π C.105.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了一地區(qū)部分觀眾每周觀看某一電視節(jié)目的時(shí)長(zhǎng)(單位：分鐘)情況，并想點(diǎn)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖(分為[0,40),[40,80)，[80,120),[120,160)，[160,200),[200,240)，[240,280]共七組)，則估計(jì)這些觀眾觀看時(shí)長(zhǎng)的35％分位數(shù)為(

)

A.136 B.135 C.116 D.1256.如圖，海中有一座小島P，一艘游輪自東向西航行，在點(diǎn)A處測(cè)得該島在其南偏西75°方向，游輪航行16海里后到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得該島在其南偏西45°方向．若這艘游輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，則游輪到該島的最短距離為(

)

A.(83?8)海里 B.(43?4)海里 C.7.如圖，正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)M,N分別為線段EA.37532 B.37532或7558.如圖，扇形的半徑為1，圓心角∠BAC=150°，點(diǎn)P在弧BC?上運(yùn)動(dòng)，AP=λAB+μACA.2 B.3 C.?3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)z1,z2A.若z1?z2=0，則z1=0或z2=0 B.若z1310.以下選項(xiàng)正確的是(

)A.i=1nxi?x=0

B.事件A與事件B互為對(duì)立事件，則事件A與事件B一定互斥

C.事件A與事件B相互獨(dú)立，則事件A與事件B一定互斥

D.“擲211.如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)C是圓周上異于A，B的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(

)

A.PB⊥AC B.PC⊥BC

C.平面ABC⊥D.平面PBC⊥平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，b=(cosθ,sinθ)，且a13.從存放號(hào)碼分別為1,2,3,?,10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一張卡片，并記下號(hào)碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：卡片號(hào)碼12345678910取到次數(shù)15105769189129取到號(hào)碼為奇數(shù)的頻率為

．14.等腰梯形ABCD中，A=π6，|AB|=4，|CD|=1，底邊AB的中點(diǎn)為O，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在腰BC，AD(包含端點(diǎn))上，且OP,OQ=2π3.若(OC→四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分如圖，四邊形ABCD中，已知AB=6，BC=2，BC?(1)若AC中點(diǎn)為M，求BM的長(zhǎng)；(2)若∠BCD=120°，設(shè)①用θ表示BD，并寫出θ的取值范圍；②若∠ADB=60°，求θ16.(本小題15分)如圖，四棱錐P?ABCD中，?PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2(1)證明：CE//平面PAB(2)求直線CE與平面PAB間的距離．17.(本小題15分我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)x(單位：t)，月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：t)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)若該市政府希望使90％的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)xt，估計(jì)x(3)在100位居民中，第2組有n位居民，若這n位居民月均用水量的平均數(shù)為0.75t，方差為s2，若其中一位居民的用水量為0.75t，請(qǐng)判斷其它(n?1)位居民月均用水量的方差s12與s2的大小關(guān)系，并說明理由．18.(本小題17分如圖，斜三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，四邊形ABB1A(1)求證：四邊形CBB(2)在A1C1上是否存在點(diǎn)Q，使得B1Q(3)若E,F分別為AA1，AC的中點(diǎn)，求此斜三棱柱被平面B19.(本小題17分)如圖，AB是圓O的直徑，AD垂直于圓O所在的平面，AB=23，AD=2，點(diǎn)C是圓O上不同于A,B的任意一點(diǎn)，E為(1)證明：BC⊥平面ACD(2)若直線BD與平面ACD所成的角為30°，求二面角O?CE?B(3)若點(diǎn)P為圓O(含圓周)內(nèi)任意一點(diǎn)，它到點(diǎn)A的距離與到直線BD的距離相等，求三棱錐P?ABD體積的取值范圍．

答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法及純虛數(shù)的定義列式求解．【詳解】依題意，3+ai則3+a2=0,a?3所以實(shí)數(shù)a的值為?3．故選：A2.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積公式及運(yùn)算律計(jì)算求出夾角余弦進(jìn)而求出夾角即可．【詳解】因?yàn)閍?+2所以a?所以cos所以θ=135°故選：D．3.【答案】D

【解析】【分析】由題意得F(x)+F(2?x)=2，采用倒敘相加法即可求解．【詳解】函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)F(x)=f(x?1)+1，所以F(x)+F(2?x)=f(x?1)+1+f(1?x)+1=2，設(shè)F則F3999兩式相加可得2×3999=2M，解得所以F1故選：D．4.【答案】C

【解析】【分析】先根據(jù)圓錐的體積公式及圓錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求圓錐的母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求圓錐的側(cè)面積．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則r=1，圓錐的高為?，母線長(zhǎng)為l，則l=由V=1所以l=所以圓錐的側(cè)面積為：S=π故選：C5.【答案】B

【解析】【分析】先利用概率和為1，求出a=0.004【詳解】因?yàn)?0.0005+0.002×2+2a+0.006+0.0065)×設(shè)這些觀眾觀看時(shí)長(zhǎng)的35％分位數(shù)為t，因?yàn)?0.0005+0.002+0.004)×40=0.26所以這些觀眾觀看時(shí)長(zhǎng)的35%分位數(shù)在[120,160)內(nèi).由(t?120)×0.006=0.09，得故選：B6.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理及直角三角形邊角關(guān)系求解．【詳解】在?PAB中，A=15°sin15由正弦定理PBsinA=過P作垂直于直線AB的直線PC，C為垂足，此時(shí)∠PBC=因此游輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，游輪到該島的最短距離為PC=PBsin45°故選：A7.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用異面直線夾角的定義，結(jié)合余弦定理求出正六棱柱的高，進(jìn)而求出體積．【詳解】在正六棱柱ABCDEF?A1B1C∠AB1C(或其補(bǔ)角)為異面直線MN與在?AB1C中，則cos∠AB1C=B1A此正六棱柱的體積V=6×34×故選：D8.【答案】D

【解析】【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過點(diǎn)A且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)Pcosθ,sinθ，其中【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過點(diǎn)A且垂直于AB的直線為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)、B(1,0)、C?32,由AP=λAB+μ即λ?32因?yàn)?≤θ≤5π6故當(dāng)θ+π3=7π6故選：D．9.【答案】AC

【解析】【分析】由z1?z2=z1z2=0，可得z1=0或z2=0，可判定A正確；由【詳解】對(duì)于A中，若z1?z2=0，可得z所以z1=0或z2對(duì)于B中，例如z1=?12+3對(duì)于C中，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得z1若z1=z2，可得對(duì)于D中，取z1=1+i,z所以z1+z2故選：AC．10.【答案】ABD

【解析】【分析】對(duì)于A根據(jù)平均數(shù)定義即可判斷，對(duì)于B根據(jù)對(duì)立事件的定義即可判斷，對(duì)于C舉反例即可判斷，對(duì)于D分別求“擲2次硬幣出現(xiàn)1個(gè)正面”的概率與“擲4次硬幣出現(xiàn)2個(gè)正面”的概率即可判斷．【詳解】對(duì)于A：i=1nx對(duì)于B：由事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B=Ω,A∩B=?，所以事件A與事件對(duì)于C：拋一枚骰子，令事件A=1,2,3，事件B=3,4，則A∩所以事件A與事件B相互獨(dú)立，但事件A與事件B不互斥，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“擲2次硬幣出現(xiàn)1個(gè)正面”的概率為P1=24=12，“擲4故選：ABD．11.【答案】BCD

【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：假設(shè)PB⊥AC，因?yàn)锽C⊥所以AC⊥平面PBC，又PC?平面所以AC⊥PC，而PA⊥平面ABC,AC?平面在?PCA中，PA⊥AC,PC對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC，所以因?yàn)锽C⊥AC,PA∩所以BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以PC⊥對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)镻A⊥平面ABC,PA?平面PAC，所以平面ABC⊥平面PAC對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B可知BC⊥平面PAC，因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC故選：BCD．12.【答案】?3【解析】【分析】由向量共線關(guān)系得出方程2cosθ?sin【詳解】因?yàn)閍=(1,2)，b=(cosθ,sinθ)，且所以cos2θ=故答案為：?313.【答案】0.56

【解析】【分析】根據(jù)數(shù)表求出取到奇數(shù)號(hào)碼的次數(shù)即可計(jì)算作答．【詳解】由數(shù)表知，取到奇數(shù)號(hào)碼的次數(shù)是：15+5+6+18+12=56，所以取到號(hào)碼為奇數(shù)的頻率為56100故答案為：0.5614.【答案】127【解析】【分析】過C,D,P,Q分別作AB的垂線，分別交AB分別于G,H,M,N四點(diǎn)，由OC?+OD?//【詳解】如圖，過C,D,P,Q分別作AB的垂線，分別交AB分別于G,H,M,N四點(diǎn)，由已知，λ≠0,μ≠0，OC+λOP又OC?+OD即λOM=μON，μλ又A=π6,AH=又OH=OG=12，所以O(shè)C=OD=1=CD，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)Q從點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)A，故此時(shí)OM不斷減少，ON不斷增大，故當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B，點(diǎn)Q在點(diǎn)D時(shí)，μλ取得最大值4當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C，點(diǎn)Q在點(diǎn)A時(shí)，μλ取得最小值1∴14≤故答案為：12715.【答案】(1)因?yàn)锳B=6，BC=2，向量點(diǎn)積BA所以AAC=BM2(2)①BDsin②在?ABD中，∠ADB=60°，AB=6ABsin60∠BAD=180°?sin(60°?θ)cos因?yàn)?<θ<

【解析】(1)將BC?(2)①?BCD中，由正弦定理化簡(jiǎn)可得；②把∠BAD表示出來(lái)，得到sin∠16.【答案】(1)若M為PA的中點(diǎn)，連接EM,BM，E為PD的中點(diǎn)，則EM//AD且由BC//AD，AD=2CB，則EM//BC且所以CE//BM，CE?平面PAB，BM?平面PAB，故(2)由(1)知直線CE與平面PAB間的距離，即為點(diǎn)E與平面PAB間的距離d，由BC//AD，CD⊥AD，AD=2DC=2CB=2，取AD的中點(diǎn)所以四邊形BCDN為矩形，BN=CD=1，由?PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，PN⊥AD由BN⊥AD，BN∩PN=N且都在平面PBN內(nèi)，則由BC//AD，則BC⊥平面PBN，BC?平面ABCD，則平面以B為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系B?xyz，則B(0,0,0),A(?1,1,0),D(1,1,0)，由BC⊥平面PBN，PB?平面PBN，則在Rt?PBC中PC=2,BC=1，則PB=由BN=PN=1，所以cos∠PNB=1+1?32所以P(0,32,32)，E(設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則n?BP=3所以d=|所以直線CE與平面PAB間的距離為5

【解析】(1)取M為PA的中點(diǎn)，連接EM,BM，可證四邊形BCEM為平行四邊形，得CE//(2)轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)E與平面PAB間的距離d，取AD的中點(diǎn)N，連接BN,PN，可證平面PBN⊥平面ABCD17.【答案】(1)由題意得0.5×解得a=0.30；(2)估計(jì)x≈0.5×0.5×故x落在第7組，0.88+0.12(x?3)=0.9，解得x≈故該市政府希望使90％的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)3.17t(3)s第2組有100×0.16×其中一位居民的用水量為0.75t，設(shè)其它7位居民用水量分別為x1故s2其它7位居民用水量平均數(shù)為0.75×故s12=

【解析】(1)利用頻率之和為1得到方程，求出a=0.30；(2)計(jì)算出x落在第7組，從而得到方程，求出x≈(3)先求出n=8，再利用方差公式進(jìn)行推導(dǎo)，比較出大?。?8.【答案】(1)斜三棱柱ABC?A1B因?yàn)锳1D⊥平面ABC，BC?平面因?yàn)锳B⊥BC，A1D∩又因?yàn)锽B1?平面ABB1(2)如圖，過點(diǎn)B作CD的垂線交AC于點(diǎn)P，因?yàn)锳1D⊥平面ABC，BP?平面又因?yàn)镈C⊥BP，A1D∩DC=D，過點(diǎn)B1作BP的平行線交A1C1于點(diǎn)Q，連接B1由斜三棱柱的性質(zhì)易知A1在平面ABC中以B為原點(diǎn)，BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以B(0,0)，C(1,0)，D(0,?1)，A(0,?設(shè)AP=λAC，則P(λ,2λ?2)，所以BP=(λ,2λ?2)因?yàn)锽P⊥CD，所以即?λ+2?2λ=0，解得λ=2在A1C1上是存在點(diǎn)Q，當(dāng)A1Q(3)延長(zhǎng)EF，CC1交于點(diǎn)M，連接MB1交BC于點(diǎn)N，連接則四邊形B1因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1是菱形，D為AB的中點(diǎn)，A1D⊥所以A1D⊥AB，因?yàn)锽C=1，所以A1過A1作A1P⊥B因?yàn)镃B⊥BA，CB⊥BB1，BA∩BB因?yàn)锳1P?平面AB因?yàn)镃B∩BB1=B，CB,BB1因?yàn)镻C?平面BCC1B1在?A1B由余弦定理可知B1因?yàn)镋,F分別為AA1，AC的中點(diǎn)，EA/\!/CM，易知?EAF所以EF=12A1C=在直角三角形B1C1M中MB在?B1EM所以sin∠EM所以S?設(shè)截面面積為S，由于MF=12ME所以S==5即所求截面面積為5

【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理求解即可；(2)過點(diǎn)B作CD的垂線交AC于點(diǎn)P，由線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可知BP⊥平面A1DC，過點(diǎn)B1作BP的平行線交A1C1于點(diǎn)Q