第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州市奧林匹克中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.計算2C75+A.62 B.102 C.152 D.5402.函數(shù)f(x)=ex+x2的圖象在A.y=2x+1 B.y=x+2 C.y=x+1 D.y=2x+23.把4本不同的書分給3名同學(xué)，每個同學(xué)至少一本，則不同的分發(fā)數(shù)為(

)A.12種 B.18種 C.24種 D.36種4.已知函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則(

)A.f(x)有2個極值點

B.f(x)在x=1處取得極小值

C.f(x)有極大值，沒有極小值

D.f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞減5.廣東省第十二屆大學(xué)生運動會將于2025年5月5日至6月5日在廣州市舉行.某電視臺為了報道此次運動會，計劃從甲、乙、丙、丁、戊5名記者中選派2人前往現(xiàn)場進行報道.若記者甲被選中，則記者乙也被選中的概率為(

)A.12 B.23 C.356.(x?y2)(x+2y)5A.12 B.40 C.60 D.1007.已知(1+x)2021=a0A.2021×22021 B.2021×22020 C.8.如圖，某種雨傘架前后兩排共8個孔，編號分別為1?8號.若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)要放傘，每個孔最多放一把傘，則甲放在奇數(shù)孔，乙放在偶數(shù)孔，且丙、丁沒有放在同一排的放法有(

)A.68種 B.136種 C.272種 D.544種二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，則下列選項正確的是(

)X246810P2a0.250.10.25a+0.1A.a=0.1 B.EX=6

C.E(2X+1)=12 D.D(2X+1)=33.610.3個人坐在一排5個座位上，則下列說法正確的是(

)A.共有60種不同的坐法 B.空位不相鄰的坐法有72種

C.空位相鄰的坐法有24種 D.兩端不是空位的坐法有27種11.已知直線y=a與函數(shù)f(x)=ex?x的圖象相交于A，B兩點，與函數(shù)g(x)=x?lnx的圖象相交于B，C兩點，A，B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，A.ex2?lnx2=2a B.x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.現(xiàn)有10道四選一的單選題，甲對其中8道題有思路，2道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.8，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.25.甲從這10道題中隨機選擇1題，則甲做對該題的概率是______．13.22024+1除以14.已知函數(shù)f(x)=lnxx2，關(guān)于x的方程f(x)?2f(x)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+x2+ax+2在點(2,f(2))處的切線與直線2x+3y=0垂直．

(1)求a；

(2)求f(x)16.(本小題15分)

已知(x+12x2)n(n?4,n∈N?)的展開式中，第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為15：2．17.(本小題15分)

某物理實驗技能競賽分基本操作與技能操作兩步，第一項基本操作：每位參賽選手從A類7道題中任選4題進行操作，操作完后正確操作超過兩題的(否則終止比賽)，才能進行第二步技能操作：從B類5道題中任選3題進行操作，直至操作完為止.A類題操作正確得10分，B類題操作正確得20分.以兩步操作得分總和決定優(yōu)勝者.總分80分或90分為二等獎，100分為一等獎.某校選手李明A類7題中有5題會操作，B類5題中每題正確操作的概率均為23，且各題操作互不影響．

(1)求李明被終止比賽的概率；

(2)求李明獲一等獎的概率；

(3)現(xiàn)已知李明A類題全部操作正確，求李明B類題操作完后總分的期望．18.(本小題17分)

某醫(yī)學(xué)研究院為尋找防治甲流的新技術(shù)，對甲流疑似病例進行檢測與診斷.研究員抽取了5名甲流疑似病例，假設(shè)其中僅有一名感染甲流，需要通過化驗血液來確認感染甲流的人，若化驗結(jié)果只有陽性和陰性兩種，且化驗結(jié)果呈陽性，則為甲流感染者，化驗結(jié)果呈陰性，則不是甲流感染者.現(xiàn)有兩個檢測方案：

方案一：先從5人中隨機抽取2人，將其血液混合，進行1次檢測，若呈陽性，則選擇這2人中的1人檢測即可；若呈陰性，則對另外3人進行檢測，每次檢測1人，找到甲流感染者則停止檢測．

方案二：對5人進行逐個檢測，找到甲流感染者則停止檢測．

(1)分別求出利用方案一、方案二所需檢測次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)已知檢測前需一次性花費固定成本500元，檢測費用為400元/次，請分別計算利用兩種方案檢測的總費用的期望值，并以此作為決策依據(jù)，判斷選擇哪個方案更好．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=m(lnx?1)?(2?m)x(m≠0)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+2sinx+1(x∈(0,2π])，求證：當(dāng)m=1時，F(xiàn)(x)恰有兩個零點．

參考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.D

6.C

7.B

8.B

9.ABD

10.AC

11.ACD

12.0.69

13.2

14.(?∞,115.解：(1)f′(x)=1x+2x+a，則f′(2)=12+2×2+a=92+a，

由題意可得(92+a)×(?23)=?1，解得a=?3；

(2)由a=?3，故f(x)=lnx+x2?3x+2，

則f′(x)=1x+2x?3=2x2?3x+1x=(2x?1)(x?1)x，x>0，

故當(dāng)0<x<12時，f′(x)>0，當(dāng)16.(1)由題意，可得二項式(x+12x2)n展開式的通項為：Tr+1=Cnrxn?r?(12x2)r=2?r?Cnrxn?3r，r=0，1，2，…，n．

因為第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為15：2，可得Cn4Cn2=152，即(n?2)(n?3)12=152，17.(1)設(shè)事件M=“李明被終止比賽”，

則P(M)=C22C52C74=27；

(2)設(shè)N=“李明獲一等獎”，

則P(N)=C54C74(23)3=8189；

(3)設(shè)李明在競賽中，A類題全部操作正確后得分為X，

則X=40，60，18.(1)設(shè)方案一所需檢測次數(shù)為隨機變量X，則隨機變量X的取值為2，3，

X=2時，有如下兩種情況：

①第1次檢測2人的混合血液呈陽性，第2次任選這2人中的1人檢測即可確定甲流感染者，其概率為C41C52=25；

②第1次檢測2人的混合血液呈陰性，第2次檢測另外3人中的1人呈陽性，其概率為C42C52×1C31=15；

所以可以得到P(X=2)=25+15=35X23P32將表格數(shù)據(jù)代入期望公式可得：E(X)=2×35+3×25=125；

設(shè)方案二所需檢測次數(shù)為隨機變量Y，則隨機變量Y的取值為1，2，3，4，Y1234P1112將表格數(shù)據(jù)代入期望公式可得：E(Y)=1×15+2×15+3×15+4×25=145；

(2)設(shè)方案一、方案二的檢測總費用分別為隨機變量ξ1，ξ2，

通過題意可以得到：ξ1=400X+500，19.(1)解：函數(shù)的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=m?1x?(2?m)=(m?2)x+mx，

當(dāng)m=2時，f′(x)=2x>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)m≠2時，令f′(x)=0，則x=m2?m，

若m>2，則m2?m<0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

若0<m<2，則m2?m>0，所以f(x)在(0,m2?m)上單調(diào)遞增，在(m2?m,+∞)上單調(diào)遞減；

若m<0，則m2?m<0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

綜上所述，

當(dāng)m≥2時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<m<2時，f(x)在(0,m2?m)上單調(diào)遞增，在(m2?m,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)m<0時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減．

(2)證明：當(dāng)m=1時，F(xiàn)(x)=lnx?1?(2?1)x+2sinx+1=lnx?x+2sinx，x∈(0,2π]，

當(dāng)x∈(π,2π]時，F(xiàn)(x)=lnx?x+2sinx<