專題52定值問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 9【考點1】長度或距離為定值 9【考點2】斜率或其表達式為定值 19【考點3】幾何圖形的面積為定值 28【分層檢測】 39【基礎(chǔ)篇】 39【能力篇】 49【培優(yōu)篇】 56真題自測真題自測一、解答題1．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．2．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．3．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．4．（2022·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．參考答案：1．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)的坐標及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】（1）設(shè)Fc,0，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，Ax1,y1由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.2．(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進而可求點的坐標，結(jié)合韋達定理驗證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．3．(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點的坐標，進而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【詳解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因為橢圓的方程為，所以，因為為第一象限上的動點，設(shè)，則，

易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.4．(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點的坐標及直線，由韋達定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達定理可解.【詳解】（1）拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點共線，由所以，化簡得，反之，若,可得MN過定點因此，由M、N、F三點共線，得，

由M、D、A三點共線，得，

由N、D、B三點共線，得，則，AB過定點（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，所以直線.【整體點評】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點斜式，解題過程同解法一；法三：通過設(shè)點由三點共線尋找縱坐標關(guān)系，快速找到直線過定點，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運算的好方法．考點突破考點突破【考點1】長度或距離為定值一、解答題1．（24-25高三上·江西九江·開學考試）已知橢圓的離心率為，右焦點為，點在上.(1)求的方程；(2)已知為坐標原點，點在直線上，若直線與相切，且，求的值.2．（24-25高三上·江西·開學考試）已知雙曲線其左、右焦點分別為，若，點到其漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設(shè)過點的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且，若成等比數(shù)列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說明理由．3．（24-25高三上·青海西寧·開學考試）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上運動，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，分別是橢圓的右頂點和上頂點，不過原點的直線與直線平行，且與軸，軸分別交于點，，與橢圓相交于點，，為坐標原點.（ⅰ）求與的面積之比；（ⅱ）證明：為定值.4．（24-25高三上·山東德州·開學考試）已知雙曲線焦點在軸上，離心率為，且過點，直線與雙曲線交于兩點，的斜率存在且不為0，直線與雙曲線交于兩點.(1)若的中點為，直線的斜率分別為為坐標原點，求；(2)若直線與直線的交點在直線上，且直線與直線的斜率和為0，證明：.5．（24-25高三上·安徽·開學考試）已知橢圓的左右頂點分別為是橢圓上異于的動點，滿足，當為上頂點時，的面積為8.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點（與不重合），直線分別與直線交于兩點，求的值.6．（24-25高三上·廣西·階段練習）橢圓E：的離心率為，過點的直線l與橢圓E交于M，N兩點．當直線l過坐標原點O時，．(1)求橢圓E的方程．(2)設(shè)A，B分別是橢圓E的右頂點和上頂點，過點M作x軸的平行線分別與直線AB，NB交于C，D兩點．試探究D，C，M三點的橫坐標是否構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由．參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率定義和橢圓上的點以及的關(guān)系式列出方程組，解之即得；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，根據(jù)題意，由推得，又由，寫出直線的方程，與直線聯(lián)立，求得點坐標，計算，將前式代入化簡即得.【詳解】（1）設(shè)Fc,0，依題意，解得故的方程為.（2）

如圖，依題意F1,0，聯(lián)立消去，可得，依題意，需使，整理得（*）.因為，則直線的斜率為，則其方程為，聯(lián)立解得即故，將（*）代入得，故.2．(1)(2)是，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)焦距可得，再根據(jù)點到其漸近線的距離可得，即可得方程；（2）設(shè)，根據(jù)結(jié)合韋達定理可得，進而求，結(jié)合等比中項分析判斷.【詳解】（1）由題意可知：，即，則，其中一條漸近線為，即，因為點到其漸近線的距離為，則，所以雙曲線C的標準方程.（2）雙曲線C為“黃金雙曲線”，理由如下：設(shè)Px0,y0為雙曲線C可得，若為雙曲線C的上左支一點，則，則，且，可得；若為雙曲線C的上右支一點，則，則，且，可得；由題意可知：，漸近線方程為，則直線l的斜率存在，，

設(shè)，聯(lián)立方程，消去y可得，則，因為，則，可得，即，解得，此時，，且，因為，即，則成等比數(shù)列，所以該雙曲線為“黃金雙曲線”.【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值．3．(1)(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率及三角形的面積列出方程組求解即可；（2）設(shè)出直線方程，直線與橢圓交點坐標，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得出根與系數(shù)的關(guān)系，（?。┍硎境鋈切蔚拿娣e，由根與系數(shù)的關(guān)系化簡可得解，（ⅱ）直接由兩點間的距離公式及根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可得證.【詳解】（1）根據(jù)題意，可得，解得，，所以橢圓的方程為.（2）如圖所示：由橢圓方程知，，故，設(shè)直線的方程為，則，，聯(lián)立方程，消去，整理得，，得且，設(shè)，，則，.（ⅰ），，，與的面積之比為1.（ⅱ）證明：.綜上，.4．(1)16(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率和，得到方程組，求出雙曲線方程，利用點差法進行求解；（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式得到，得到，由，所以，從而，證明出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以，設(shè)因為兩點都在雙曲線上，所以，兩式作差得，整理得則；

（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡得，，則，故，，由，所以，從而，即.【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.5．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，取橢圓上頂點列式求出即可得解.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達定理計算即得.【詳解】（1）不妨設(shè)橢圓上頂點，此時，因為的面積為8，所以，聯(lián)立解得，所以橢圓的標準方程為.（2）依題意，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為，由消去并整理得，設(shè)，則，直線的方程為y=y1x1+4x+4，令，得點則，同理得，所以.

6．(1)(2)D，C，M三點的橫坐標構(gòu)成等差數(shù)列，證明見解析【分析】（1）由題意，得直線l的方程，根據(jù)直線l與橢圓相交弦長MN，求出的坐標，從而由離心率與的坐標列出等式求出和的值，進而可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，將問題轉(zhuǎn)化成求證，按部就班求解即可．【詳解】（1）由于離心率，所以，當過點的直線l過坐標原點O時，直線斜率為，則此時直線l的方程為，設(shè)直線l與橢圓E交點，不妨取，則，且①，因為，所以②，由①②可得，，所以可得，解得，故橢圓E的方程為（2）D，C，M三點的橫坐標構(gòu)成等差數(shù)列，理由如下：不妨設(shè)直線的方程為，,，,，，因為直線經(jīng)過點，所以，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，，所以，因為，，三點共線，所以，而，即，則，故，，三點的橫坐標成等差數(shù)列．反思提升：探求圓錐曲線中的定線段的長的問題，一般用直接求解法，即先利用弦長公式把要探求的線段表示出來，然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)得到弦長表達式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個關(guān)系式代入弦長表達式中，化簡可得弦長為定值.【考點2】斜率或其表達式為定值一、解答題1．（24-25高三上·北京·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A、B，左、右焦點分別為．過右焦點的直線l交橢圓于點M、N，且的周長為16．(1)求橢圓C的標準方程；(2)記直線AM、BN的斜率分別為，證明：為定值．2．（24-25高三上·陜西·開學考試）已知雙曲線的左焦點為F，左頂點為E，虛軸的上端點為P，且，．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設(shè)是雙曲線C上不同的兩點，Q是線段的中點，O是原點，直線的斜率分別為，證明：為定值．3．（24-25高三上·遼寧鞍山·開學考試）已知橢圓，右焦點為且離心率為，直線，橢圓的左右頂點分別為為上任意一點，且不在軸上，與橢圓的另一個交點為與橢圓C的另一個交點為.

(1)直線和直線的斜率分別記為，求證：為定值；(2)求證：直線過定點.4．（23-24高二上·云南昆明·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為M，N，且經(jīng)過點.(1)求C的方程；(2)動點A在圓上，動點B在雙曲線C上，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，若N，A，B三點共線，試探索之間的關(guān)系．5．（2024高二上·江蘇·專題練習）已知圓C的圓心坐標為，且該圓經(jīng)過點.(1)求圓C的標準方程；(2)直線m交圓C于M，N兩點，若直線AM，AN的斜率之和為0，求證：直線m的斜率是定值，并求出該定值.6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，右焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為1，兩動點在雙曲線上，線段的中點為．(1)證明：直線的斜率為定值；(2)為坐標原點，若的面積為，求直線的方程．參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）由已知條件結(jié)合橢圓定義、離心率公式，確定a,b,c的值，得出橢圓的標準方程.（2）設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理得到，，再把用，表示出來，化簡即可得解.【詳解】（1）由的周長為16，及橢圓的定義，可知：，即，又離心率為所以．所以橢圓C的方程為：．（2）依題意，直線l與x軸不重合，設(shè)l的方程為：．聯(lián)立得：，因為在橢圓內(nèi)，所以，即，易知該不等式恒成立，設(shè)，由韋達定理得．又，則注意到，即：.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.2．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為，利用雙曲線的定義結(jié)合勾股定理計算即可；（2）設(shè)的坐標，利用中點坐標公式表示Q，再利用點差法計算即可.【詳解】（1）不妨設(shè)雙曲線C的半焦距為，，，解得，則，故雙曲線C的標準方程為；（2）設(shè)，則，為雙曲線C上的兩點，兩式相減得，整理得，則，故為定值，定值為4．3．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率列式求，即可得橢圓方程，結(jié)合斜率公式分析證明；（2）解法一：設(shè)，聯(lián)立方程可得韋達定理，根據(jù)斜率關(guān)系列式求得，即可得結(jié)果；解法二：設(shè)，聯(lián)立方程求坐標，進而根據(jù)直線方程分析定點.【詳解】（1）由題意，可得，所以橢圓，且設(shè)，則，即，可得，所以為定值.（2）解法一：設(shè)，則，可得，設(shè)直線，，聯(lián)立方程，消去x可得，則，解得，且，則，整理可得，則，因為，則，解得，所以直線過定點解法二：設(shè)，則，直線，可知與橢圓必相交，聯(lián)立方程，消去y可得，則，解得，同理，直線的斜率存在時，，則，令，；當?shù)男甭什淮嬖跁r，則，解得；綜上所述：直線過定點【點睛】方法點睛：1．過定點問題的兩大類型及解法（1）動直線l過定點問題．解法：設(shè)動直線方程（斜率存在）為由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動直線過定點；（2）動曲線C過定點問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．2．求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．4．(1)(2)【分析】（1）借助雙曲線定義計算即可得；（2）設(shè)，則有，即可得，結(jié)合得到，即可得解.【詳解】（1）由題意知，，由雙曲線定義得，所以，所以C的方程為．（2）設(shè)點，則，即，由，則①，又②，因為N，A，B三點共線，所以，由①②得，即．5．(1)；(2)證明見解析，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓C的半徑即可作答.（2）設(shè)出直線AM，AN的方程，與圓C的方程聯(lián)立，求出點M，N的坐標，再用斜率坐標公式計算作答.【詳解】（1）依題意，圓C的半徑，所以圓C的標準方程是：.（2）設(shè)直線方程為：，由消去y并整理得：，則有點，而直線：，同理，于是得直線的斜率，所以直線m的斜率是定值，該定值為.6．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意可得的關(guān)系，求解即可.（2）設(shè)，求得弦長與原點到直線的距離，由面積可求直線的方程.【詳解】（1）由已知可得，解得，所以雙曲線方程為，設(shè)，所以，兩式相減，可得，又線段的中點為，所以，，所以，解得，所以直線的斜率為定值；（2）由（1）設(shè)直線的方程為，由，所以，整理可得，所以，解得或，所以，，

所以，又原點到直線的距離為,所以的面積為，化簡可得，解得，所以直線的方程．反思提升：第一步求圓錐曲線的方程第二步特殊情況分類討論第三步聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程第四步應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系用參數(shù)表示點的坐標第五步根據(jù)相關(guān)條件計算推證第六步明確結(jié)論【考點3】幾何圖形的面積為定值一、解答題1．（2024高二上·江蘇·專題練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，連接BF并延長交橢圓C于點橢圓P．(1)若，，求橢圓C的方程(2)若直線AB與直線AP的斜率之比是-2，證明：為定值，并求出定值．2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知橢圓與圓在第一、第二象限分別交于Q、P兩點，且滿足(1)求橢圓γ的標準方程；(2)A是橢圓上的一點，若存在橢圓的弦BC使得，求證:四邊形OABC的面積為定值.3．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圓：，直線過點且與圓交于點B，C，中點為D，過中點E且平行于的直線交于點P，記P的軌跡為.(1)求的方程；(2)坐標原點O關(guān)于，的對稱點分別為，，點，關(guān)于直線的對稱點分別為，，過的直線與交于點M，N，直線，相交于點Q.請從下列結(jié)論中，選擇一個正確的結(jié)論并給予證明.①的面積是定值；②的面積是定值；③的面積是定值.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心是坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過A?2,0，兩點．(1)求C的方程；(2)設(shè)P，M，N三點在C的右支上，，，證明：（?。┐嬖诔?shù)，滿足；（ⅱ）的面積為定值．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓分別為橢圓的左?右頂點，分別為橢圓的左?右焦點，斜率存在的直線交橢圓于兩點，記直線的斜率分別為.(1)證明：；(2)若，求的取值范圍.6．（2024高三·全國·專題練習）如圖所示，已知橢圓系方程：（，），、是橢圓的焦點，是橢圓上一點，且．(1)求的離心率，求出的方程．(2)P為橢圓上任意一點，過P且與橢圓相切的直線l與橢圓交于M、N兩點，點P關(guān)于原點的對稱點為Q，求證：的面積為定值．參考答案：1．(1)(2)證明見解析，.【分析】（1）由和在橢圓上求出，即可.（2）求出直線BF的方程，并與橢圓方程聯(lián)立求得點坐標，再由給定條件結(jié)合面積公式求解即可．【詳解】（1）由，，得：，解得，又點在橢圓上，則，解得，所以橢圓的方程為．（2）證明:依題意，令，直線，由，得，直線AB的斜率，直線AP的斜率，則，即，有，得，，于是得點，，，所以為定值.2．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓和圓的對稱性可得，，再代入橢圓和圓的方程中，解方程組求出和的值即可；（2）設(shè)，，易知四邊形是平行四邊形，設(shè)直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，弦長公式以及橢圓的方程，推出，再利用點到直線的距離公式，表示出四邊形的面積，然后化簡即可得定值．【詳解】（1）由對稱性知，，因為，，所以△是邊長為1的等邊三角形，因為位于第一象限，所以,，代入橢圓的方程有，代入圓的方程有，聯(lián)立解得，，所以橢圓的標準方程為．（2）證明：設(shè)，，則直線的斜率為，且，即，因為，所以四邊形是平行四邊形，，設(shè)直線的方程為，,，,，聯(lián)立，得，所以，，所以，因為，所以，整理得，即，而點到直線的距離為，所以四邊形的面積，為定值．3．(1)(2)結(jié)論③正確，證明見解析【分析】（1）由幾何性質(zhì)知到，兩點的距離之和為定值可得的軌跡為橢圓.（2）設(shè)直線：，Mx1,y1，Nx2,y2，表示出直線【詳解】（1）由題意得，，，因為D為BC中點，所以，即，又，所以，又E為的中點，所以，所以，所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓（左、右頂點除外），設(shè)：，其中，，則，，，，故的方程為：.（2）結(jié)論③正確，下證：的面積是定值.由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，可設(shè)直線：，Mx1,y1，Nx2由，得，所以，，所以，直線的方程為：y=y1x1+2x+2由，得，解得，故點Q在直線上，所以Q到的距離，因此的面積是定值為.4．(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過A，B兩點，代入解得，即可.（2）（ⅰ）設(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2聯(lián)立結(jié)合韋達定理得到，．同理，．再結(jié)合向量運算即可解決.（ⅱ）結(jié)合前面結(jié)論，運用點到直線距離公式，三角形面積公式可解.【詳解】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過A，B兩點，故，，解得，．因此C的方程為．（2）（?。┰O(shè)Px0,y0，Mx1,y

因為，所以直線BM的斜率為，方程為．由，得，所以，．因此．同理可得直線AN的斜率為，直線AN的方程為．由，得，所以，，因此．則，即存在，滿足．（ⅱ）由（?。本€MN的方程為，所以點P到直線MN的距離．而，所以的面積為定值．【點睛】難點點睛：本題屬于中難題，考查直線與雙曲線．本題第（1）小問設(shè)問基礎(chǔ)，但需要注意所設(shè)方程的形式；第（2）（?。┬栐陬}干條件翻譯上未設(shè)置較多障礙，但是對4個坐標分量的求解非常考驗學生的代數(shù)基本功和計算能力，區(qū)分度較大．5．(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)出直線，聯(lián)立后消去得與有關(guān)的韋達定理后結(jié)合斜率公式計算即可得；（2）借助（1）中的結(jié)論，將面積用未知數(shù)表達后結(jié)合換元法，借助函數(shù)性質(zhì)求最最值即可得.【詳解】（1）設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去，得，需滿足，設(shè)，則，易知，所以，同理；（2）因為，則由（1）知，，即，由與軸不垂直可得，所以，即，所以，即，整理得，，整理得，解得或，因為在軸的兩側(cè)，所以，解得，又時，直線與橢圓有兩個不同的交點，因此，直線恒過點，當時，，，設(shè)，則，由與軸不垂直得，且，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.6．(1)(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)橢圓，，，求得a，b，進而得到橢圓的方程求解；（2）作伸縮變換，使橢圓變?yōu)閳A，橢圓變?yōu)閳A，由題意得到，再由點P關(guān)于原點的對稱點為Q，求解.【詳解】（1）解：橢圓的方程為，即，∵，∴，，∴，即．又，∴，，∴橢圓的方程為．∴的離心率，橢圓的方程為．（2）作伸縮變換，則橢圓變?yōu)閳A，橢圓變?yōu)閳A．如圖所示．∵直線MN與橢圓相切于點P，則變換后直線與圓相切于點，此時．而，，則，從而，故，于是．又點P關(guān)于原點的對稱點為Q，則，即的面積為定值．【點睛】方法點睛：本題第二問通過作伸縮變換，將橢圓問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，易得，再利用對稱性，由而得解.反思提升：探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題，一般用直接求解法，即可先利用三角形面積公式(如果是其他凸多邊形，可分割成若干個三角形分別求解)把要探求的幾何圖形的面積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達式中，化簡即可.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：的上、下頂點分別為，，是橢圓上異于，的一點，直線和的斜率分別為，，則滿足的橢圓的方程是（

）A． B． C． D．2．（2024·江西鷹潭·二模）雙曲線：的左，右頂點分別為，曲線上的一點關(guān)于軸的對稱點為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（

）A．3 B． C． D．3．（23-24高三上·湖北·期末）拋物線的方程為，過點的直線交于兩點，記直線的斜率分別為，則的值為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·四川內(nèi)江·期末）橢圓的焦點為、，點在橢圓上且軸，則到直線的距離為（

）A． B．3 C． D．二、多選題5．（22-23高三上·湖北咸寧·階段練習）過拋物線的焦點F的一條直線交拋物線于，兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為定值B．若經(jīng)過點A和拋物線的頂點的直線交準線于點C，則軸C．存在這樣的拋物線和直線AB，使得OA⊥OB（O為坐標原點）D．若直線AB與x軸垂直，則6．（22-23高二下·河南·階段練習）已知橢圓的兩個焦點為是橢圓上的動點，且的面積最大值是，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．橢圓的離心率是B．若是左，右端點，則的最大值為C．若點坐標是，則過的的切線方程是D．若過原點的直線交于兩點，則7．（22-23高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓與雙曲線有公共的焦點，，設(shè)是，的一個交點，與的離心率分別是，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．的面積C．若，則 D．三、填空題8．（22-23高二上·全國·期中）若雙曲線的左、右頂點分別為，，是上的點（異于，），則直線與的斜率乘積等于．9．（23-24高二上·廣西南寧·期中）已知拋物線，過拋物線焦點的直線與拋物線交于，則．10．（22-23高三下·遼寧本溪·階段練習）如圖，已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，點P是直線上的一點，直線PB交C于另外一點M，記直線PA，AM的斜率分別為，，則．四、解答題11．（24-25高三上·云南大理·開學考試）已知橢圓過點，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的兩點，且直線均不與軸垂直.(1)求橢圓的方程.(2)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.(3)若為橢圓的上頂點，求的面積.12．（20-21高三上·西藏日喀則·階段練習）設(shè)拋物線，F(xiàn)為C的焦點，過F的直線l與C交于A，B兩點．(1)若l的斜率為2，求的值；(2)求證：為定值．參考答案：題號1234567答案CBCAABDBDABD1．C【分析】利用點在橢圓上及兩點斜率公式轉(zhuǎn)化計算得，再判定選項即可.【詳解】由題意可知，．設(shè)（），則，所以，所以，所以．結(jié)合選項可得橢圓的方程可以為．故選:C．2．B【分析】依題求出點坐標，設(shè)出點，得，寫出，利用點在雙曲線上，化簡的表達式，計算即得.【詳解】如圖，,不妨設(shè)，則，依題意，，因點在雙曲線上，故有，于是，.故選：B.3．C【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用斜率坐標公式結(jié)合韋達定理計算即得.【詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，由消去y并整理得，則，所以.故選：C4．A【分析】先求出、的坐標，再由軸，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面積法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，所以，，當時，，解得，因為軸，所以，所以，設(shè)到直線的距離為，因為，所以，解得，故選：A5．ABD【分析】由已知可得AB的斜率不等于0，所以設(shè)直線方程為，代入拋物線方程，運用韋達定理，可判斷A；求得直線OA方程和準線方程聯(lián)立，求得交點C，可判斷B；若，即，運用韋達定理和點滿足拋物線方程，解方程即可判斷C；當AB與x軸垂直時，，可求得，可判斷D．【詳解】

由已知可得AB的斜率不等于0，所以設(shè)AB的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x得，所以為定值，即A正確，經(jīng)過點A和拋物線的頂點的直線的方程為，與準線的交點的坐標，因為，所以，即軸，所以B正確，因為，所以不可能，即C錯誤，當AB與x軸垂直時，，則由拋物線定義得，所以D正確，故選:ABD．6．BD【分析】利用已知解出得到橢圓方程，由離心率的公式計算結(jié)果驗證選項A；利用橢圓定義計算驗證選項B；通過聯(lián)立方程組求切線方程驗證選項C；運用點差法驗證選項D.【詳解】的面積最大值是，則，橢圓方程.，橢圓離心率，A選項錯誤；若是橢圓的左，右端點，則，以為焦點作新橢圓，P為兩個橢圓的交點，當新橢圓短軸最長時最大，所以當P為橢圓的上頂點或下頂點時，有最大值為，B選項正確；點在橢圓上，過點的的切線斜率顯然存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程消去y得，由，解得，則切線方程為，即，故C選項錯誤；設(shè)，都在橢圓上，有和，兩式相減得，，，，D選項正確.故選:BD.7．ABD【分析】根據(jù)焦點三角形與橢圓雙曲線的聯(lián)系，結(jié)合余弦定理，面積公式即可求解.【詳解】設(shè)，，又∵，即，又∵，，令，∴，，∴，故A正確；，，，故B正確；當時，，得，∴，故C不正確．設(shè)，證明橢圓的焦點三角形面積為，記，，在中，由余弦定理有：，∴，又由橢圓定義有：，∴；∴，又∵，∴，設(shè)，證明雙曲線的焦點三角形面積為，記，，在中，由余弦定理有：，∴，又由雙曲線定義有：，∴；∴，又∵，∴，由，故D正確．故選:ABD．8．/【分析】利用點在雙曲線上化簡斜率乘積的表達式可求解.【詳解】由題意得，，，不妨設(shè),則．故答案為：9．4【分析】設(shè)出過點的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解即得.【詳解】拋物線的焦點，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，由消去x并整理得，顯然，所以.故答案為：410．【分析】設(shè)，由斜率公式可得，設(shè)，則有，由，可得.【詳解】，，設(shè)，則，直線PB的斜率．設(shè)，則有，由，，所以，所以，故．故答案為：11．(1)(2)證明見解析(3)6【分析】（1）根據(jù)題意得到，再解方程組即可.（2）設(shè)，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得到，再利用根系關(guān)系求證為定值即可.（3）根據(jù)弦長公式得到或，利用點到直線的距離公式得到，即可得到答案.【詳解】（1）由題意得解得.故橢圓的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為.由得，由,得,則.因為直線PM,PN均不與軸垂直.,所以，則且,所以為定值.（3）由（2）易得，解得或.當時,直線經(jīng)過點，不符合題意，舍去.則時，此時直線的方程為.點到直線的距離,故的面積.12．(1)5(2)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用焦點弦長公式，即可求解；（2）首先設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，并利用韋達定理表示，即可求解.【詳解】（1）過點F1,0，且直線的斜率為2的直線為，設(shè)Ax1,聯(lián)立，得，，；（2）設(shè)過點F1,0的直線，

聯(lián)立，得，，則，.【能力篇】一、單選題1．（2024高二上·江蘇·專題練習）已知橢圓：經(jīng)過點，右焦點為，，分別為橢圓的上頂點和下頂點，若過且斜率存在的直線與橢圓交于兩點，直線與直線的斜率分別為和，則的值為（

）A．1 B．3 C．2 D．二、多選題2．（24-25高三上·江蘇南京·開學考試）拋物線的焦點為為拋物線上一動點，當運動到時，，直線與拋物線相交于兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的方程為：B．拋物線的準線方程為：C．當直線過焦點時，以為直徑的圓與軸相切D．當直線過焦點時，以為直徑的圓與準線相切三、填空題3．（2024高三·全國·專題練習）已知曲線的方程為，設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于A、兩點和，兩點，且，則直線的斜率與直線的斜率之和為．四、解答題4．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）動點到直線與直線的距離之積等于，且．記點M的軌跡方程為．(1)求的方程；(2)過上的點P作圓的切線PT，T為切點，求的最小值；(3)已知點，直線交于點A，B，上是否存在點C滿足？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由．參考答案：題號12答案BACD1．B【分析】由已知可得關(guān)于，，的方程組，從而可得，的值，從而可得橢圓的方程；設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩點的斜率公式表示出和，作比，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】由題意可知，，，橢圓的標準方程為．設(shè)直線：，聯(lián)立直線和橢圓方程，，得，記，，則，由題意知和．則，，則，所以．故選：B2．ACD【分析】對于A,B,根據(jù)拋物線的定義即可求解p,進而知道拋物線方程和準線方程；對于C,D，由拋物線的性質(zhì)易知該結(jié)論正確.證明過程見詳解.【詳解】對于A，如圖所示，過點作準線的垂線，垂足為，

則由拋物線的定義可知:,解得.拋物線的方程為:,故正確;對于，拋物線的準線方程為，故錯誤；對于,如圖所示，取的中點C,過點C作x軸的垂線，垂足為D,

易知拋物線的焦點，設(shè)，則,,所以,所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；對于,當直線過拋物線的焦點且與拋物線相交于兩點時，直線的斜率存在，假設(shè),設(shè),AB的中點為,則，如圖所示，作垂直于準線于點，則,

聯(lián)立，消去并整理可得，所以，所以所以,,,,以AB為直經(jīng)的圓與準線相切，故D正確.故選：ACD.【點睛】結(jié)論點睛：如圖所示，

已知拋物線,過其焦點且與