4.5.1角的比較第4章

幾何圖形初步【2025-2026學(xué)年】2024滬科版

數(shù)學(xué)

七年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********4.5.1角的比較匯報(bào)人：[教師姓名]匯報(bào)班級(jí)：[具體班級(jí)]知識(shí)回顧在前面對(duì)角的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)了解了角的定義、表示方法，以及角的度量單位和換算。角和線段一樣，是可以比較大小的。本節(jié)課我們將專門深入學(xué)習(xí)角的比較方法，進(jìn)一步加深對(duì)“角的大小”這一概念的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)角的和差、角平分線等知識(shí)做好鋪墊。學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握角的兩種比較方法——疊合法和度量法，能清晰描述兩種方法的操作過程。能運(yùn)用疊合法和度量法準(zhǔn)確比較兩個(gè)角的大小，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)（＞、＜、＝）表示比較結(jié)果。結(jié)合圖形，能根據(jù)角的大小關(guān)系判斷角的邊的位置關(guān)系，培養(yǎng)空間想象能力。體會(huì)數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受幾何圖形中“大小”比較的邏輯性。知識(shí)點(diǎn)：角的比較方法角的大小比較本質(zhì)上是比較角的開口程度，常用的方法有疊合法和度量法，兩種方法各有特點(diǎn)，適用于不同的場(chǎng)景。方法一：疊合法疊合法是通過將兩個(gè)角的頂點(diǎn)和一邊重合，觀察另一邊的位置關(guān)系來比較大小的方法，是幾何中比較圖形大小的基本方法之一。操作步驟重合頂點(diǎn)：將兩個(gè)角的頂點(diǎn)（如∠AOB的頂點(diǎn)O和∠COD的頂點(diǎn)C）重合在一起。重合一邊：將其中一個(gè)角的一條邊（如∠AOB的邊OB）與另一個(gè)角的一條邊（如∠COD的邊CO）重合，確保兩條邊的方向一致。觀察另一邊位置：若角的另一邊（如∠AOB的邊OA）落在另一個(gè)角（∠COD）的內(nèi)部，則說明這個(gè)角較小，記作∠AOB＜∠COD。若角的另一邊（如∠AOB的邊OA）與另一個(gè)角（∠COD）的另一邊（OD）完全重合，則說明這兩個(gè)角相等，記作∠AOB＝∠COD。若角的另一邊（如∠AOB的邊OA）落在另一個(gè)角（∠COD）的外部，則說明這個(gè)角較大，記作∠AOB＞∠COD。示例說明如圖，比較∠ABC和∠DEF的大?。篈D/\/\BCEF用疊合法將點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，邊BC與邊EF重合，使BA和ED在EF的同側(cè)。若BA落在∠DEF內(nèi)部，則∠ABC＜∠DEF；若BA與ED重合，則∠ABC＝∠DEF；若BA落在∠DEF外部，則∠ABC＞∠DEF。適用場(chǎng)景疊合法適用于需要直觀感受角的大小關(guān)系的情況，尤其在沒有測(cè)量工具時(shí)，能通過圖形的重合直接判斷角的大小，是幾何推理中常用的方法。方法二：度量法度量法是通過測(cè)量角的度數(shù)，再根據(jù)度數(shù)大小比較角的大小的方法，具有量化、精確的特點(diǎn)。操作步驟測(cè)量度數(shù)：使用量角器分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的度數(shù)。測(cè)量時(shí)，量角器的中心與角的頂點(diǎn)重合，量角器的0°

刻度線與角的一條邊重合，角的另一條邊所對(duì)的量角器上的刻度，就是這個(gè)角的度數(shù)。比較度數(shù)：將兩個(gè)角的度數(shù)進(jìn)行比較：若角α的度數(shù)大于角β的度數(shù)，則∠α＞∠β；若角α的度數(shù)等于角β的度數(shù)，則∠α＝∠β；若角α的度數(shù)小于角β的度數(shù)，則∠α＜∠β。示例說明已知∠1的度數(shù)為50°，∠2的度數(shù)為75°，因?yàn)?0°＜75°，所以∠1＜∠2。注意事項(xiàng)測(cè)量時(shí)要確保量角器的擺放正確，避免因頂點(diǎn)未對(duì)齊或0°

刻度線未重合導(dǎo)致測(cè)量誤差。讀數(shù)時(shí)要注意區(qū)分量角器的內(nèi)圈刻度和外圈刻度，當(dāng)角的一邊與內(nèi)圈0°

刻度線重合時(shí)，讀內(nèi)圈刻度；與外圈0°

刻度線重合時(shí)，讀外圈刻度。適用場(chǎng)景度量法適用于需要精確比較角的大小的情況，在實(shí)際測(cè)量、計(jì)算等場(chǎng)景中應(yīng)用廣泛，能通過具體的數(shù)值清晰反映角的大小差異。知識(shí)點(diǎn)：角的大小關(guān)系與圖形特征角的大小比較結(jié)果可以通過圖形直觀體現(xiàn)，掌握這些圖形特征有助于快速判斷角的大?。寒?dāng)兩個(gè)角的頂點(diǎn)和一邊重合，另一邊位置越“張開”，角的度數(shù)越大。角的大小與邊的長短無關(guān)，只與角的開口程度有關(guān)。例如，用放大鏡觀察一個(gè)角，角的邊的長度被放大，但角的度數(shù)不變，角的大小也不變。例題解析例1：如圖，比較∠AOB、∠AOC、∠AOD的大小，并說明理由。A/|/|/|OC\|\|\|B——D解：使用疊合法，以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，OA為公共邊：∠AOB的另一邊OB在∠AOC的外部，所以∠AOB＞∠AOC；∠AOC的另一邊OC在∠AOD的內(nèi)部（OD在OB的延長線上），所以∠AOC＜∠AOD；因此，∠AOC＜∠AOB＜∠AOD。例2：用量角器測(cè)量下圖中∠1、∠2、∠3的度數(shù)，并比較它們的大小。1/\/\/\/\23\/\/\/\/解：經(jīng)測(cè)量，∠1=100°，∠2=40°，∠3=40°。因?yàn)?0°=40°＜100°，所以∠2=∠3＜∠1。例3：判斷下列說法是否正確，并說明理由。（1）角的邊越長，角越大；（2）用疊合法比較兩個(gè)角時(shí)，只要頂點(diǎn)重合就可以。解：（1）不正確。角的大小與邊的長短無關(guān)，只與角的開口程度有關(guān)，即使邊很長，若開口程度小，角依然小。（2）不正確。用疊合法比較兩個(gè)角時(shí)，不僅要頂點(diǎn)重合，還需要將其中一條邊重合，且另一邊要在重合邊的同側(cè)，才能準(zhǔn)確判斷角的大小。小練習(xí)填空題：（1）比較兩個(gè)角的大小的方法有______和______。（2）用疊合法比較角的大小時(shí)，需將兩個(gè)角的______重合，一條______重合，觀察另一條______的位置。（3）已知∠α=35°，∠β=55°，則∠α______∠β（填“＞”“＜”或“=”）。選擇題：（1）下列關(guān)于角的大小比較的說法中，正確的是（

）A.大角的邊一定比小角的邊長B.用度量法比較角的大小，只需測(cè)量一個(gè)角的度數(shù)即可C.用疊合法比較∠AOB和∠COD時(shí)，若OA與OC重合，OB落在∠COD內(nèi)部，則∠AOB＜∠CODD.以上說法都不正確（2）如圖，∠AOB=∠COD，則（

）AC/\/\OO'\/\/BDA.OA=OCB.OB=ODC.∠AOB的度數(shù)=∠COD的度數(shù)D.以上都正確解答題：（1）用疊合法比較下圖中∠ABC和∠DEF的大小，并描述操作過程。BE/\/\/\/\ACDF（2）用量角器測(cè)量下圖中∠1、∠2、∠3的度數(shù)，并按從小到大的順序排列。1///O——2——3思考討論疊合法和度量法在比較角的大小時(shí)，各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？疊合法的優(yōu)點(diǎn)是直觀、不需要測(cè)量工具，能直接通過圖形重合判斷大小，適用于幾何推理；缺點(diǎn)是不夠精確，無法得到具體的度數(shù)差異。度量法的優(yōu)點(diǎn)是精確，能通過度數(shù)量化角的大小，適用于需要具體數(shù)值的場(chǎng)景；缺點(diǎn)是依賴測(cè)量工具，且測(cè)量過程可能存在誤差，同時(shí)不夠直觀體現(xiàn)圖形的位置關(guān)系。如何用角的比較方法說明“直角都相等”？用疊合法：任取兩個(gè)直角∠AOB和∠COD，將頂點(diǎn)O和C重合，邊OB和CO重合，因?yàn)橹苯堑亩葦?shù)都是90°，所以邊OA會(huì)與邊OD重合，因此∠AOB=∠COD，即直角都相等。用度量法：任意一個(gè)直角的度數(shù)都是90°，所以所有直角的度數(shù)相等，因此直角都相等。課堂小結(jié)角的比較方法：疊合法：通過頂點(diǎn)重合、一邊重合，觀察另一邊位置判斷大小，直觀且適用于幾何推理。度量法：測(cè)量度數(shù)后比較數(shù)值，精確且適用于需要量化結(jié)果的場(chǎng)景。關(guān)鍵要點(diǎn)：角的大小與邊的長短無關(guān)，只與開口程度有關(guān)；比較時(shí)需注意操作的規(guī)范性（如疊合法的重合要求、度量法的量角器使用規(guī)范）。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了角的兩種比較方法，能根據(jù)實(shí)際需求選擇合適的方法比較角的大小，這對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)角的和差計(jì)算、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)具有重要意義，希望同學(xué)們能在練習(xí)中熟練運(yùn)用。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解我們比較線段的長短時(shí)可以使用哪些方法？新知導(dǎo)入度量法、疊合法這些方法在比較角的大小上同樣適用嗎？1.度量法：用量角器量出角的度數(shù)，再比較它們的大小.BCAFED70°40°∠ABC

＞∠DEF新知探究知識(shí)點(diǎn)1角的大小比較2.疊合法：1移動(dòng)∠DEF，使頂點(diǎn)E與∠ABC的頂點(diǎn)B重合，一邊ED與BA重合.2另一邊EF和BC落在BA的同側(cè)；3由EF與BC的位置確定兩個(gè)角的大小.BACDEFEDFBAC①如果EF與BC重合，那么∠DEF等于∠ABC，記作∠DEF＝∠ABC.EDFBAC②如果EF落在∠ABC的內(nèi)部，那么∠DEF小于∠ABC，記作∠DEF＜∠ABC.BACEDF③如果EF落在∠ABC的外部，那么∠DEF大于∠ABC，記作∠DEF＞∠ABC.注意：使用疊合法時(shí)應(yīng)注意“兩個(gè)重合”，即兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合、一條邊重合；還要注意“一個(gè)同側(cè)”，即兩個(gè)角的另一條邊落在重合邊的同側(cè).位置圖形∠ABC與∠DEF的關(guān)系EF和BC重合∠DEF=∠ABCEF落在∠ABC的內(nèi)部∠DEF＜∠ABCEF落在∠ABC的外部∠DEF＞∠ABCB(E)A(D)C(F)【歸納總結(jié)】B(E)A(D)CFB(E)A(D)FC

思考：圖中共有幾個(gè)角？它們之間有什么關(guān)系？圖中共有

個(gè)角.3知識(shí)點(diǎn)2角的大小比較∠AOC是∠AOB與∠BOC的____.記作∠AOC=_____________，∠AOB是∠AOC與∠COB的____，記作∠AOB=__________.類似地，∠COB=______________.和∠AOB+∠BOC差∠AOC-∠COB∠AOC-∠AOB解：（1）由圖可以看出∠AOC＞∠BOC，（OB在∠AOC內(nèi)）∠BOD＞∠COD.（OC在∠BOD內(nèi)）例

1如圖，求解下列問題：（1）比較∠AOC與∠BOC，∠BOD與∠COD的大?。唬?）將∠AOC寫成兩個(gè)角的和與兩個(gè)角的差的形式.ODCBA（2）∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠AOC=∠AOD-∠DOC.例

1如圖，求解下列問題：（1）比較∠AOC與∠BOC，∠BOD與∠COD的大??；（2）將∠AOC寫成兩個(gè)角的和與兩個(gè)角的差的形式.ODCBA

如圖，如果∠AOC＝∠BOC，那么∠AOB＝2∠AOC＝2

，∠AOC＝∠BOC＝

.∠BOC∠AOB知識(shí)點(diǎn)3角的平分線在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫作這個(gè)角的平分線.注意：角的平分線滿足的三個(gè)條件：（1）從角的頂點(diǎn)引出的射線；（2）在角的內(nèi)部；（3）將已知角平分.知識(shí)拓展：把一個(gè)角分成三個(gè)相等的角的兩條射線，是這個(gè)角的三等分線.如圖，若OB，OC是∠AOD的三等分線，則∠1=∠2=∠3=∠AOD，∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3.1.如圖，以AB為一條邊的角有哪些？將這些角按從大到小的順序用“>”號(hào)連接起來.解：∠BAC，∠BAD，∠BAE；

∠BAE＞∠BAD＞∠BAC.練習(xí)ABCDE【教材P158練習(xí)第1題】2.只用一副三角板，畫出15°，75°的角.解：如圖所示15°75°【教材P158練習(xí)第2題】3.如圖，∠ABC=60°，∠ABD=145°，BE平分∠ABC.求∠DBE的度數(shù).ABECD解：因?yàn)锽E平分∠ABC，∠ABC=60°，所以∠EBC=∠ABC=30°.因?yàn)椤螦BD=145°，所以∠CBD=∠ABD-∠ABC=85°.所以∠DBE=∠EBC+∠CBD=115°.【教材P158練習(xí)第3題】1.按圖填空：(1)∠AOB+∠BOC=

;(2)∠AOC+∠COD=

;(3)∠BOD-∠COD=

;(4)∠AOD-

=∠AOB.∠AOC∠AOD∠BOC∠BOD隨堂練習(xí)2.如下圖，用“＝”或“>”或“<”填空：（1）∠AOC____∠AOB+∠BOC；（2）∠AOC____∠AOB；（3）∠BOD-∠BOC____∠DOC；（4）∠AOD____∠AOC+∠BOD.=＞=＜3.已知：如圖，∠AOB=165°，且∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD的度數(shù).AOBCD解：因?yàn)椤螦OB=∠AOC+∠BOC又因?yàn)椤螧OC=∠BOD-∠COD所以∠AOC+