.4函數(shù)的應(yīng)用(一)基礎(chǔ)過關(guān)練題組一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型及其應(yīng)用1.以速度v(單位:m/s)從地面豎直向上發(fā)射子彈,經(jīng)過時間t(單位:s)后的子彈高度h(單位:m)可由二次函數(shù)h=vt-4.9t2確定.已知發(fā)射后第5s末時的子彈高度為245m,則子彈在245m以上的高度能持續(xù)()A.10sB.長于5s短于10sC.長于10sD.5s2.某批發(fā)市場一服裝店試銷一種成本為每件60元的服裝,規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價,且獲利不得高于成本的40%.經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量y(件)與銷售單價x(元)近似滿足一次函數(shù)y=kx+b,且x=80時,y=40,x=70時,y=50,則這個一次函數(shù)的解析式為,x的取值范圍是.

3.一個服裝廠生產(chǎn)風(fēng)衣,月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關(guān)系式為p=160-2x,生產(chǎn)x件風(fēng)衣的成本R(元)與x之間的關(guān)系式為R=500+30x.(1)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時,月利潤不少于1300元?(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時,可獲得最大利潤?最大利潤是多少?題組二分段函數(shù)模型及其應(yīng)用4.(多選題)某公司計(jì)劃定制一批精美小禮品,準(zhǔn)備在公司年終慶典大會上發(fā)給各位嘉賓,現(xiàn)有兩個工廠可供選擇,甲廠費(fèi)用分為設(shè)計(jì)費(fèi)和加工費(fèi)兩部分,先收取固定的設(shè)計(jì)費(fèi),再按禮品數(shù)量收取加工費(fèi),乙廠直接按禮品數(shù)量收取加工費(fèi),甲廠的總費(fèi)用y1(千元),乙廠的總費(fèi)用y2(千元)與禮品數(shù)量x(千個)的函數(shù)關(guān)系圖象分別如圖中甲、乙所示,則()A.甲廠的總費(fèi)用y1與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=12B.當(dāng)禮品數(shù)量不超過2千個時,乙廠的加工費(fèi)為1.5元/個C.當(dāng)禮品數(shù)量超過2千個時,乙廠的總費(fèi)用y2與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2=13x+D.若該公司需定制的禮品數(shù)量為6千個,則該公司選擇乙廠更節(jié)省費(fèi)用5.如圖,點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā),按逆時針方向沿邊長為a的正三角形ABC運(yùn)動一周,O為正三角形ABC的中心,設(shè)點(diǎn)P走過的路程為x,△OAP的面積為f(x),則函數(shù)f(x)的圖象大致為()6.為了保護(hù)水資源,提倡節(jié)約用水,某城市對居民生活用水實(shí)行“階梯水價”.計(jì)費(fèi)方法如下表:每戶每月用水量水價不超過12m33元/m3超過12m3但不超過18m3的部分6元/m3超過18m3的部分9元/m3(1)設(shè)每戶每月用水量為xm3時,應(yīng)交納的水費(fèi)為y元,寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)甲同學(xué)家本月用水20m3,則應(yīng)交納的水費(fèi)為多少元?(3)若乙同學(xué)家本月交納的水費(fèi)為54元,則其本月用水量是多少m3?題組三冪函數(shù)等其他函數(shù)模型及其應(yīng)用7.某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求,引進(jìn)某種新設(shè)備,以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本.已知購買m臺設(shè)備的總成本為f(m)=1200m2+m+200(單位:萬元),若要使每臺設(shè)備的平均成本最低,則應(yīng)購買設(shè)備A.100臺B.200臺C.300臺D.400臺8.某公司一年購買某種貨物800噸,每次購買x噸,運(yùn)費(fèi)為8萬元/次,一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小,則x的值是.

9.某公司研發(fā)的A,B兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元,現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測,生產(chǎn)A芯片的毛收入y1(千萬元)與投入資金x(千萬元)成正比,已知每投入1千萬元,公司獲得毛收入0.25千萬元;生產(chǎn)B芯片的毛收入y2(千萬元)與投入資金x(千萬元)的函數(shù)關(guān)系為y2=kxa(x>0),其圖象如圖所示.(1)試分別求出生產(chǎn)A,B兩種芯片的毛收入y1,y2與投入資金x的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果公司只生產(chǎn)一種芯片,那么生產(chǎn)哪種芯片的毛收入更大?(3)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時生產(chǎn)A,B兩種芯片,求分別對A,B兩種芯片投入多少資金時,可以獲得最大凈利潤,并求出最大凈利潤.(凈利潤=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研發(fā)耗費(fèi)資金)能力提升練題組一非分段函數(shù)模型及其應(yīng)用1.已知超市內(nèi)某商品的日銷售量y(單位:件)與當(dāng)日銷售單價x(單位:元)滿足關(guān)系式y(tǒng)=ax-10-2x+100,其中10<x<55,a為常數(shù).當(dāng)該商品的銷售單價為15元時,日銷售量為110件.若該商品的進(jìn)價為每件10元,A.1500元B.1200元C.1000元D.800元2.(多選題)設(shè)矩形ABCD(AB>BC)的周長為定值2a,把△ABC沿AC向△ADC折疊,AB折過去后交DC于點(diǎn)P,如圖,則下列說法正確的是()A.矩形ABCD的面積有最大值B.△APD的周長為定值C.△APD的面積有最大值D.線段PC的長有最大值3.近年來,共享單車的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投入資金200萬元,每座城市都至少要投入資金70萬元,由前期市場調(diào)研可知,在甲城市投入資金a萬元時,甲城市的收益P(單位:萬元)滿足P=25a-8,乙城市的收益Q(單位:萬元)滿足Q=53-a(1)當(dāng)在甲城市投入資金125萬元時,求該公司的總收益;(2)當(dāng)分別在甲、乙兩座城市投入多少資金時,總收益最大?4.某企業(yè)開發(fā)、生產(chǎn)了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品,對市場需求調(diào)研后,決定提高產(chǎn)品的產(chǎn)量,投入90萬元安裝了一臺新設(shè)備,并立即進(jìn)行生產(chǎn),預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前n(n∈N*)年的材料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資等共52n2+5n萬元,每年的銷售收入為55萬元,設(shè)使用該設(shè)備前(1)寫出f(n)關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式,并計(jì)算該設(shè)備從第幾年開始使企業(yè)盈利;(2)使用若干年后,對該設(shè)備的處理方案有兩種:方案一:當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時,該設(shè)備以10萬元的價格處理;方案二:當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時,該設(shè)備以50萬元的價格處理.問選擇哪種處理方案更合適?請說明理由.題組二分段函數(shù)模型及其應(yīng)用5.濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在如火如荼地進(jìn)行中,通車后將給市民出行帶來便利,已知某條線路通車后,列車的發(fā)車時間間隔t(單位:分鐘)滿足2≤t≤20,經(jīng)市場調(diào)研測算,列車的載客量p(t)(單位:人)與發(fā)車時間間隔t相關(guān),當(dāng)10≤t≤20時,列車為滿載狀態(tài),載客量為500人,當(dāng)2≤t<10時,載客量會減少,減少的人數(shù)與(10-t)2成正比,且當(dāng)t=2時,載客量為372人.(1)求p(t)的表達(dá)式,并求當(dāng)列車的發(fā)車時間間隔為5分鐘時,列車的載客量;(2)若該線路每分鐘的凈收益(單位:元)為Q(t)=8p(t)-2656t-60,則當(dāng)列車的發(fā)車時間間隔為多少時6.電動出租車司機(jī)小李到商場里充電,充電費(fèi)由電費(fèi)和服務(wù)費(fèi)兩部分組成,即充電費(fèi)=(電費(fèi)+服務(wù)費(fèi))×度數(shù),商場采用按時間分不同時段的方式計(jì)算費(fèi)用,11:00—13:00時電費(fèi)是0.50元/度,服務(wù)費(fèi)為0.35元/度,13:00—15:00時電費(fèi)為1.15元/度,服務(wù)費(fèi)為0.20元/度,假定在充電時電量是均勻輸入的,車主小李充電30度需要60分鐘.(1)小李從12:40開始到充電30度需要多少充電費(fèi)?(2)若小李在某春運(yùn)期間第x天的收入g(x)(元)近似地滿足g(x)=165-|30-x|,1≤x≤40,x∈N*,第x天的充電費(fèi)f(x)(元)近似地滿足f(x)=35+12x,1≤x≤40,x∈N*,記盈利比=收入充電費(fèi),答案與分層梯度式解析3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)基礎(chǔ)過關(guān)練1.D4.ABC5.A7.B1.D由題意知,當(dāng)t=5時,h=245,即5v-4.9×52=245,解得v=73.5,所以h=73.5t-4.9t2,該二次函數(shù)圖象的對稱軸方程為t=-73.5(-4.9)×2=7.5,所以子彈在245m以上的高度能持續(xù)2×(7.5-5)=5(s).故選D2.答案y=-x+120;[60,84]解析根據(jù)題意,得70k+∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+120.由題意可得60≤x≤60(1+40%),∴60≤x≤84,即x的取值范圍為[60,84].3.解析(1)設(shè)該廠的月利潤為y元,由題意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500,由y≥1300得-2x2+130x-500≥1300,∴x2-65x+900≤0,即(x-20)(x-45)≤0,解得20≤x≤45,∴當(dāng)x∈[20,45]時,月利潤不少于1300元.(2)由(1)知y=-2x2+130x-500=-2(x-32.5)2+1612.5.∵x為正整數(shù),∴當(dāng)x=32或x=33時,y取得最大值,為1612,∴當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時,可獲得最大利潤,為1612元.4.ABC由題圖可知甲廠的總費(fèi)用y1(千元)與禮品數(shù)量x(千個)滿足的函數(shù)為一次函數(shù),且圖象過(0,1),(8,5)兩點(diǎn),所以甲廠的總費(fèi)用y1(千元)與禮品數(shù)量x(千個)滿足的函數(shù)關(guān)系式為y1=12x+1,因此A正確當(dāng)禮品數(shù)量不超過2千個時,乙廠的總費(fèi)用y2(千元)與禮品數(shù)量x(千個)之間的函數(shù)關(guān)系式為y2=32所以乙廠的加工費(fèi)為32=1.5元/個,因此B正確易知當(dāng)x≥2時,y2與x之間的函數(shù)為一次函數(shù),且圖象過點(diǎn)(2,3),(8,5),所以函數(shù)關(guān)系式為y2=13x+73,因此C當(dāng)x=6時,y1=12×6+1=4,y2=13×6+73=133,因?yàn)閥1<y2,所以當(dāng)禮品數(shù)量為6千個時,選擇甲廠更節(jié)省費(fèi)用,因此D不正確5.A由三角形的面積公式知,當(dāng)0≤x≤a時,f(x)=12·x·13·32a=312ax,因此f(x)在[0,a]當(dāng)a<x<32a時,f(x)=12×23×32a×32a-x=36a·32a-6.解析(1)當(dāng)0≤x≤12時,y=3x;當(dāng)12<x≤18時,y=12×3+(x-12)×6=6x-36;當(dāng)x>18時,y=12×3+6×6+(x-18)×9=9x-90,所以y=3(2)因?yàn)?0∈(18,+∞),所以當(dāng)x=20時,y=9×20-90=90,所以應(yīng)交納的水費(fèi)為90元.(3)令3x=54,解得x=18,不滿足0≤x≤12,舍去;令6x-36=54,解得x=15,滿足12<x≤18;令9x-90=54,解得x=16,不滿足x>18,舍去.綜上所述,x=15,所以乙同學(xué)家本月用水量是15m3.7.B由題意得f(m)m=1200m+1+200m≥2m200·200m+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)m200=200m,即m=200時8.答案40解析由題意可設(shè)一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為y萬元,則y=800x×8+4x=6400x+4x,0<x∴y=6400x+4x≥26400x·4x=320,當(dāng)且僅當(dāng)6400x=4x,即∴當(dāng)x=40時,一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小.9.解析(1)由題意可設(shè)y1=ax(x>0),由已知得當(dāng)x=1時,y1=0.25,故a=14,即y1=x將(1,1),(4,2)代入y2=kxa,得k=1,k·4a=2,∴(2)令x4=x,得x=16;令x4>x,令x4<x,得∴當(dāng)投入資金大于16千萬元時,生產(chǎn)A芯片的毛收入更大;當(dāng)投入資金等于16千萬元時,生產(chǎn)A,B兩種芯片的毛收入相等;當(dāng)投入資金小于16千萬元時,生產(chǎn)B芯片的毛收入更大.(3)設(shè)凈利潤為f(x)千萬元,對B芯片投入x千萬元資金,則對A芯片投入(40-x)千萬元資金,故f(x)=40?x4+x-2=-14(x-2)2+9,故當(dāng)x=2,即x=4時,f(x)max=9,此時40-x=36,所以分別對A,B兩種芯片投入36千萬元和4千萬元資金時,所獲凈利潤最大,最大凈利潤為能力提升練1.C根據(jù)條件,將x=15,y=110代入y=ax-10-2x+100,設(shè)該商品的日利潤為g(x)元,則g(x)=(x-10)200x-10-2=-2(x-30)2+1000,其中10<x<55,所以當(dāng)x=30時,該商品的日利潤取得最大值,且最大值為1000元.故選C.2.BC設(shè)AB=x,則BC=a-x,因?yàn)锳B>BC>0,所以x>a-x>0,即12矩形ABCD的面積S=x(a-x)≤x+a-x22=a24,當(dāng)且僅當(dāng)x=根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,△APD≌△CPB1,所以△APD的周長為AP+PD+DA=AP+PB1+DA=AB+DA=a,B正確;設(shè)DP=m,則AP=PC=x-m,因?yàn)镈P2+DA2=AP2,所以m2+(a-x)2=(x-m)2,化簡得m=a-a2所以△APD的面積S=12a-a22x(a-x)=3a2當(dāng)且僅當(dāng)x=22a時取等號,此時S取得最大值,C正確由上述分析可知PC=x+a22x-a,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知,PC在x∈a2,a內(nèi)取不到最大值3.解析(1)由已知得總收益為25×125-8+53-1254=63.75(萬元(2)設(shè)總收益為f(a)萬元,則f(a)=25a-8+53-a4=-14依題意得a≥70,200?a≥70,解得70所以f(a)=-14a+25a+45(70≤a令t=a,則t∈[70,130],所以y=-14t2+25t+45,t∈[70,130因?yàn)樵摱魏瘮?shù)的圖象開口向下,且對稱軸方程為t=45,而45∈[70,130],所以當(dāng)t=45,即a=80時,y取得最大值,為65,所以當(dāng)在甲城市投入資金80萬元,在乙城市投入資金120萬元時,總收益最大,且最大總收益為65萬元.4.解析(1)由題意得,f(n)=55n-90-52n2+5n令f(n)>0,得-52n2+50n-90>0,即n2解得2<n<18.由于n∈N*,故該設(shè)備從第3年開始使企業(yè)盈利.(2)方案一:f(n)=-52(n-10)2+160,易知當(dāng)n=10時,f(n)max故使用方案一處理設(shè)備后的總利潤為160+10=170(萬元),此時n=10.方案二:f(n)n=50-52n+36n≤50-52×236=20,故使用方案二處理設(shè)備后的總利潤為6×20+50=170(萬元),此時n=6.比較兩種方案,可知獲利都是170萬元,但由于第一種方案需要10年,