2023-2024學(xué)年四川省成都市龍泉驛區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期

中試題及答案

A卷（共100分）

第I卷選擇題（共32分）

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有

一項(xiàng)符合題目要求，答案涂在答題卡上）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A,x+2y-lB.x=2x3-3

c1,

C."2=0D.3xH----=1

X

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；

D、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，注意：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)

的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程.

2.己知￡則區(qū)它的值為（）.

b5b

2372

A.—B.—C.—D.一

5553

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)計(jì)算即可；

【詳解】：/二，

b5

.a+b5+27

??-:-=----=一；

b55

故答案選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，矩形A3CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AC平分/氏4。B.AB=BC

C.AC=BDD.AC1BD

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，以及矩形與菱形性質(zhì)的區(qū)別判斷即可.

【詳解】解：由矩形A3CD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，

根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，

可得AC=5D.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì).

4.如圖，_ABC與位似,點(diǎn)0是它們的位似中心，且位似比為1：2,貝UA6C與

的周長之比是（）

1

D

A.1：2B.1：4：C.1：3D.1：9

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)位似圖形是相似圖形,位似比等于相似比，相似三角形的周長比等于相似比即

可求解.

【詳解】解：_ABC與.”打位似

/.AABCS&DEF

'：ABC與J）石尸的位似比是1:2

，_ABC與JyEF的相似比是1:2

/.ABC與J郎的周長比是1:2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì).

5.近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛

開展降價(jià)促銷活動(dòng).某款燃油汽車今年3月份售價(jià)為23萬元，5月份售價(jià)為16萬元.設(shè)該

款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x,則所列方程正確的是（）

A.16（1-%）2=23B.23（l-x）2=16

C.23—23（1—無7=16D.23（1—2x）2=16

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.根據(jù)題意正確的列方程是解題的關(guān)鍵.

由題意知，4月份的售價(jià)為23（1—%）,5月份的售價(jià)為23（1—進(jìn)而可列方程.

【詳解】解：依題意得，23（1—九『=16,

故選：B.

6.如圖，四邊形A3CD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,且Q4=0C,OB=OD,下列說

法錯(cuò)誤的是（）

;

A.若4?工3。，則43。。是菱形B.若則A3CD是矩形

C.若AC430且AC=6。，則ABCD是正方形D.若NABC=90。，則ABCD是正

方形

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定證明A3CD是平行四邊形，再根據(jù)已知條件結(jié)合菱形、

矩形及正方形的判定逐一判斷即可.

【詳解】解：；Q4=0C,OB=OD,

四邊形A3CD是平行四邊形，

若AC180,則四邊形A3CD是菱形，故A選項(xiàng)不符合題意；

若人。=%>,則四邊形A3CD是矩形，故B選項(xiàng)不符合題意；

若AC180且AC=8。，則四邊形A3CD是正方形，故C選項(xiàng)不符合題意；

若NABC=90°,則四邊形A3CD是矩形，故D選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定與矩形的判定、正方形的判定，熟練掌握

相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

7.若關(guān)于x的一元二次方程丘2一2彳+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k<—B.左W—C.k<—且左W0D.kW—

3333

且上w0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可解答.

【詳解】解：：入2一2x+3=0為一元二次方程，

??.左w0,

V該一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

A=（-2）2-4A;X3>0,

mk<-,

3

.?.左V，且左wo,

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟知當(dāng)判別式的值大

于0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，同時(shí)要滿足二次項(xiàng)的系數(shù)不能是0.

8.如圖，在4ABe中，AB=AC=6,。在8c邊上，ZADE=ZB，CD=4,若△ABD

的面積等于9,則△CDE的面積為（）

BD

A.4B.2C.3D.6

【答案】A

【解析】

【分析】過點(diǎn)。作D拉工A3于M，過點(diǎn)E作EN_LBC于N,首先根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，可證得,再根據(jù)三角形的面積公式，可求得

=3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可求得EN=2,據(jù)此即可求得.

【詳解】解：過點(diǎn)。作ZWIAB于過點(diǎn)E作ENLBC于N,

AB=AC=6,

/B=NC,

ZADE=/B，ZADC=ZB+ZBAD=ZADE+ZCDE,

：.ZBAD=ZCDE,

:△ABD^ADCE.

,ABDM

"~DC^~EN，

△AB。的面積等于9,

-ABDM=-x6xDM=9,

22

:.DM=3,

,6_3

"4"EV'

：.EN=2.

.?.△CDE的面積為：gcD.EN=gx4x2=4,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三

角形的面積公式，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

第II卷非選擇題（共68分）

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）

9.已知關(guān)于x的方程f+2%+。一1=0的一個(gè)根是1,則另一根是.

【答案】-3

【解析】

b

分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)玉+x,=—-,帶入即可求出答案.

a

,b

【詳解】解：：玉+九2=,一個(gè)根是1，

a

,2

l+x2=,

解得x2=-3,

故答案是：-3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，準(zhǔn)確記住公式是解題關(guān)鍵.

10.若^二1=：，且1+2y+3z=40,則3x+4y+5z的值為.

【答案】76

【解析】

【分析】利用設(shè)左法，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：設(shè);=?=：=4，

234

x=2k,y=3女，z=4女，

:x+2y+3z=40,

2k+6k+12k=40,

20左=40,

k=2,

:.x=4,y=6,z=8.

3x+4y+5z=3x4+4x6+5x8

=12+24+40

=36+40

=76,

故答案為：76.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)左法是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，Rt/VLBC中，ZACB=90°,CD±AB,AB=9,BC=6,則5D的長為

【解析】

【分析】由題意，證明_CDBS'ACB,得到處=生，然后代入數(shù)據(jù)，即可得到答案.

BCAB

【詳解】解:

ZACB=90°,CD±AB,

:.NCDB=ZACB=90P,

NB=NB,

CDBs-ACB,

BDBC

一拓一瓦’

AB=9,BC=6,

zr2

:.BD=—=4

9

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)

鍵.

12.將寬度相等的兩張紙條按如圖所示的方式放置，兩個(gè)紙條重疊部分組成的四邊形

ABCD中，對(duì)角線AC=6,BD=8,則紙條重疊部分的面積為.

缶7c

【答案】24

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì).熟練掌握菱形的判定與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

證明四邊形A3CD是平行四邊形，如圖，作AEL3C于E，AELCD于尸，由等寬可得

AE=AF,由28。*4石=工。。><4^，可得3C=CD,證明四邊形A3CD是菱形，根

22

據(jù)了菱形.CD=gACx30，計(jì)算求解即可?

【詳解】解：由題意知，AD//BC,AB//CD,

，四邊形A3CD是平行四邊形，

如圖，作AEL3C于E，AFLCD于產(chǎn)，由等寬可得=

BE/C

：.-BCxAE=-CDxAF,即8

...四邊形A3CD是菱形,

S菱形ABC。=—ACxBD=24,

故答案為：24.

13.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以點(diǎn)B為圓心，BC的長為半徑作弧交AD于點(diǎn)E,分

別以點(diǎn)c,E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP交AD的延長線

2

于點(diǎn)F,NCBE=60°,BC=6,則BF的長為

【答案】6A/3

【解析】

【分析】利用基本作圖得到6E=5C=6,BF平分NCBE,則NCB/=/口=30。，再

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明/尸=N￡B尸=30。，所以BE=FE,過E點(diǎn)作

EHLBF于H,如圖，則助=m，然后利用30°的三角函數(shù)值即可求出8H，從而

得到BF的長.

【詳解】解：由作法得5￡=5。=6,BF平分/CBE,

又：/CBE=60°,

ZCBF=ZEBF=-NCBE=30°,

2

四邊形ABCD為平行四邊形，

:.AD//BC,

:.ZF=NCBF,

ZF=ZEBF=30°,

:.BE=FE,

如圖，過E點(diǎn)作EHLBF于H,

VBE=FE,EH±BF，

：.BH=FH,

在RtAB￡H中，cosNEB"=—=cos30°=—,

BE2

:.BH=—BE=—x6=343,

22

BF=2.BH=60.

故答案為：6^3.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)

合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行四邊形的性質(zhì)、

等腰三角形的判定及性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用.

三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）

14.用適當(dāng)方法解下列方程：

（1）4尤2一1=0；

（2）X2-6X-3=0-

【答案】（1）引=—，x2=—

22

（2）%=3+2^/3,X2=3—2A/3

【解析】

【分析】本題考查了直接開平方法、公式法解一元二次方程.熟練掌握直接開平方法、公式

法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）利用直接開平方法解一元二次方程

（2）利用公式法解一元二次方程即可.

【小問1詳解】

解:4無2-1二0,

2_1

X一,

4

解得，%=一,%=—；

222

【小問2詳解】

解：x2-6x-3=0，

A=(—6『—4x1x(-3)=48,

???XI,2="『二3±2百,

解得，菁=3+2^/^,x2=3—2y/3-

15.如圖，已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B的坐標(biāo)分別為(3,1),(2,-1).

(1)畫出.0AB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后得到的OCD-,

(2)在y軸的左側(cè)以0為位似中心作,OAB的位似三角形OEF,使一OEF與一OAB的相

似比為2:1；

(3)直接寫出線段CD與線段所的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見解析(2)見解析

(3)CD//EF,CD=-EF

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可，Q旬與OCD關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱；

(2)根據(jù)位似進(jìn)行作圖即可；

(3)由中心對(duì)稱、位似的性質(zhì)，判斷作答即可.

【小問1詳解】

解：如圖1,OCD即為所求；

圖1

解：如圖1,。即即為所求;

【小問3詳解】

解：由中心對(duì)稱、位似的性質(zhì)可知，CD//EF,CD=-EF.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了作旋轉(zhuǎn)圖形，中心對(duì)稱的性質(zhì)，位似作圖，位似的性質(zhì).正確作圖是解

題的關(guān)鍵.

16.為了便于勞動(dòng)課程的開展，學(xué)校打算建一個(gè)矩形生態(tài)園A3CD（如圖），生態(tài)園一面

靠墻（墻足夠長），另外三面用18m的籬笆圍成.生態(tài)園的面積能否為40m2?如果能，請(qǐng)

求出A5的長；如果不能，請(qǐng)說明理由.

墻

AB

生態(tài)園

D'--------------------'C

【答案】AB長為8米或10米

【解析】

【分析】設(shè)AB=x米，則AD=3C=；（18—x）米，根據(jù)矩形生態(tài)園A3CD面積為40m2,

建立方程，解方程，即可求解.

【詳解】解：設(shè)=x米，則4。=5。=3（18-工）米，根據(jù)題意得，

gx（18-x）=40,

解得：西=8,%=10,

答：AB長為8米或10米.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在,ABC中，D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，連接DE,且NADE=NACB.

(1)求證：4ADEsaACB.

(2)若40=250,AE=4,AC=9,求BD的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）BD的長是指

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似即可得證；

ADAE

（2）根據(jù)相似二角形的性質(zhì)可知=,設(shè)BD=x,則AD=2x,AB=3x,從而列出方

ACAB

程解出x的值.

【小問1詳解】

證明：VZADE=ZACB,ZA=ZA,

/.ADE.ACB

【小問2詳解】

解：由（1）可知，ADEACB,

.ADAE

"ACAB-

設(shè)BD=x,則AD=2x,AB=3x,

VAE=4,AC=9,

?空—士

??一,

93x

解得x=#（負(fù)值舍去），

ABD的長是逐.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

18.探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究.

如圖1,將矩形紙片A3CD折疊，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C始終落在對(duì)角線AC上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)記為8',折痕與邊ABCD分別交于點(diǎn)E,F.

【初步感知】

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C與A重合時(shí)，連接CE,四邊形是哪種特殊的四邊形，并證明;

【深入探究】

(2)如圖3,當(dāng)AB=8,AD=4,點(diǎn)"，C,D在同一條直線上時(shí)，求C尸的長.

【答案】(1)菱形，證明見詳解(2)CF=3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得出Cr=ARZBEF=ZB'EF,BC=B'A,ZB=ZB',

根據(jù)角的和差推出ZCEF=ZAEF，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB|CD,ZB=90°,結(jié)合平

行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定定理推出CE=CF,利用AAS證明,BECWB'EA,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得出EC=EA,則AE=CF,根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平

行四邊形”推出四邊形AECE是平行四邊形，再根據(jù)“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”即

可推出四邊形AECF是菱形；

(2)設(shè)所與3。交于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作。'KLCD于K,根據(jù)折疊的性質(zhì)得出

/B'C'F=/BCF=NCMF=NCMF=90。,C'F=CF,CC=2CM,根據(jù)相似三角

形的判定與性質(zhì)得出也=竺，根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出AC=46，則

CDAC

CM=^-CF,根據(jù)題意推出二C'CKS_ACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出

5

CK=^CF,CK=*F,根據(jù)勾股定理求出CZ>2=g"2—1|§。/+64,根據(jù)點(diǎn)

B'，C,D在同一條直線上，推出NECD=90°,根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C'與A重合時(shí)，四邊形是菱形，理由如下:

由折疊性質(zhì)得C/=ARZBEF=ZB'EF,BC=B'A,ZB=ZB',

又NBEC=NB'EA,

：.NCEF=ZAEF,

?.?四邊形A3CD是矩形,

/.ABCD,ZB=90°,

ZAEF=ZCFE,

：.ZCEF=ZCFE,

：.CE=CF,

VZBEC=ZB'EA,ZB=ZB',BC=B'A,

...一BE8B'EA,

EC=EA,

：.AE=CF,

?/AECF,

...四邊形AECF是平行四邊形，

?/EC=EA,

.??四邊形3EDP是菱形；

解：如圖3,設(shè)防與3D交于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作C'KLCD于K,

由折疊得：ZB'C'F=ZBCF=Z.CMF=Z.CMF=90°,CF=CF,CC=2CM,

ZCMF=ZCDA,

又ZMCF=NDCA,

：.ACFM^ACAD,

.CM_CF

'，~CD~~AC，

在四邊形A3CD是矩形中，AB=8,AD=4,NADC=90°,

CD=AB=8,

?*-AC=y/CD2+AD2=4A/5,

CMCF

8

：.CM=^-CF，

5

?/CK±CD,

NCKC'=90。=/ADC,

又NC'CK=ZACD,

：..C'CKs一ACD,

.CCCKC'K

"AC~CD~AD'

?/CC'=2CM,

.2cMCKC'K

,,4非―8—4

84

ACK=~CF,C'K=-CF,

55

,?*C'K2+DK2=C'D-，

?,.!|CF2+^8-|CF^=C'D2

：.CD2=—CF2-—CF+64

55

；點(diǎn)B'，C,D在同一條直線上，

NFC'D=180°-ZB'C'F=90°,

；?CF"+C'D2=DF2,

：.CF2+yCF2-CF+64-（8-CF）2

.?.b=3或CF=0（舍去），

ACF=3.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三

角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)等，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大.

B卷（共50分）

一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）

19.三張紙牌，正面分別寫著-1,0,2,背面都寫著m,那么在摸牌游戲中使/=o

有實(shí)數(shù)根的概率為.

2

【答案】|

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，簡單的概率計(jì)算.熟練掌握一元二次方程根

的判別式是解題的關(guān)鍵.

由題意知，A=l2-4m>0）解得，/<,，由T,0能使尤2+%+m=0有實(shí)數(shù)根，根據(jù)

4

簡單的概率公式計(jì)算求解即可.

【詳解】解：???/+》+m=（）有實(shí)數(shù)根，

A=I2—4m>0，

解得，加<4，

4

,0能使x2+x+m=0有實(shí)數(shù)根，

2

/.在摸牌游戲中使x2+x+m=0有實(shí)數(shù)根的概率為I，

,2

故答案為：—.

20.若％夕是方程/一4%—2=0的兩根，貝1儲(chǔ)—2a+2￡=一.

【答案】10

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的根，根與系數(shù)的關(guān)系，以及已知式子的值求代數(shù)式的值,

先把0，/代入爐―4x—2=0,結(jié)合￡+〃=—彳=4化簡即可作答.

【詳解】解：???￡,￡是方程V—4%—2=0的兩根，

-4

a2—4a—2=0>a+/3=——=4

故。2一4。=2

即儲(chǔ)一2。+2，=/-4a+2a+2，=2+2x4=10

故答案為：10

21.如圖，矩形A3CD中，AB=6,AD=8,且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著往D點(diǎn)移動(dòng)，

若過P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過P點(diǎn)作A。的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF的長度最

小為

【解析】

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短及面積法求直角三角形斜邊上的高，需

要熟練掌握并靈活運(yùn)用.連接AP、EF,依據(jù)？PF±AD,ZA=90°,可得四

邊形為矩形，借助矩形的對(duì)角線相等，將求斯的最小值轉(zhuǎn)化成針的最小值，再

結(jié)合垂線段最短，將問題轉(zhuǎn)化成求Rt_B4。斜邊上的高，利用面積法即可得解.

詳解】解：如圖，連接AP、EF,

?：PELAB,PFLAD,

：.ZAEP=ZAFP=9Q°.

?.?四邊形A3CD是矩形，

AZ￡L4T>=90°.

四邊形尸尸為矩形.

：.AP=EF.

/.要求EF的最小值就是要求AP的最小值.

點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，

.,.當(dāng)虞）時(shí)，AP取最小值.

下面求此時(shí)AP的值，

在RLB4。中，

VZBAD^9Q°,AB=6,AD=S,

BD=y/AB2+AD2=10>

■/S=—ABxAD=—APxBD,

ABRDn22

“nABxAD24

，AP=-----------=——.

BD5

24

尸的長度最小為：y,

24

故答案為：.

22.如圖，ABC中，ZBAC=30°,AB=6,AC=10,分別以A3,AC為邊向兩側(cè)

構(gòu)造正方形ABGb,ACDE,連接CE,BF，EF；現(xiàn)取四邊形8CE產(chǎn)四邊的中點(diǎn)〃，

I,J,K，則四邊形HUK的面積為.

【答案】49

【解析】

【分析】連接EC，BF交于點(diǎn)、P，設(shè)正與AC交于點(diǎn)T，過點(diǎn)尸作出，84交8A的

延長線于先證.A3E和△AFC全等，得BE=CF,ZAEB=ZACF,再證

BELCF,由此可證四邊形印JK為正方形，然后求出NK4M=60°,進(jìn)而在RtAAEM

中求出AM=5,EM=56，在Rt.BEN中由勾股定理求出￡B=14,進(jìn)而得m=7,

據(jù)此可求出四邊形的面積.

【詳解】解：連接EC,BF交于點(diǎn)P，設(shè)BF與AC交于點(diǎn)T,過點(diǎn)產(chǎn)作府1.R4交5A

的延長線于如圖所示：

四邊形ABGb和四邊形ACDE均為正方形,

.-.AB=AF=6,ZBAF=90°,AE=AC=10,NC4E=90°,

ZBAC=30°,

ZCAF=ABAC+ZBAF=120°,ZBAE=ZBAC+ZCAE=120°,

:.ZBAE=ZCAF,

在，ABE和KFC中，

AB=AF

<NBAE=NCAF,

AE=AC

.-.△ABE^AAFC(SAS),

:.BE=CF,ZAEB=ZACF,

在RtZXAET中，/E4T=90°,貝UNAEB+NATE=90°,

ZAEB=ZACF,ZATE=ZCTP,

ZACF+ZCTP=90°,

ZCPT=180°-(ZACF+ZCTP)=90°,

即5ELCF,

H,I,J,K分別為BC，CE,EF,FB的中點(diǎn)，

二印為△CBE的中位線，區(qū)為,EBE的中位線，

:?HI〃BE，HI=-BE,JK//BE,JK=-BE,

22

BI//JK,BH=JK,

；?四邊形"UK為平行四邊形，

又?〃為-砂C的中位線，

IJ//CF,IJ=-CF,

2

BE=CF,BF±CF,

:.IJLHI,IJ=HI,

???平行四邊形HIJK為正方形，

ZfiAE=120°,

Z.EAM=180°-NBAE=60°,

EM^LAM,

:.ZAEM=30°,

在RtAAEN中，ZAEM=30°,AE=AC=10,

:.AM=~AE=5,

2

由勾股定理得：EM=^AE2-AM2=5A/3-

Rt6￡肘中，BM=AB+AM=6+5=11,EM=5上,

由勾股定理得：EB=y/BM2+EM-=14-

:.HI=-EB=7,

2

-v——4。

,?0四邊形HWK~nl一.

故答案為：49.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的判定和

性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)，三角形

的中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活利用含有30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股

定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

23.定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)m,n滿足m+八,加〃均為整數(shù)，則稱m,n為一組“齊整數(shù)”.現(xiàn)

y—4x+1

有一組“齊整數(shù)"x，且x,y滿足〈/,則％?+/的值為_____.

yX=4y+t

【答案】14或8或18或9

【解析】

【分析】本題主要考查了分解因式的應(yīng)用，先把已知條件中的方程組的兩根方程相減，然后

把所得結(jié)果分解因式，求出肛(x+y)=4=22,根據(jù)刀,丁都是整數(shù)，分三種情況討論，

求出尤+y和孫的值，再利用完全平方公式求出答案即可.解題關(guān)鍵是熟練掌握常見的幾

種分解因式的方法，注意利用分類討論的數(shù)學(xué)思想.

【詳解】解：???]￡，=4"+’,

yx=4y+t

33

xy-yx=4x-4yf

xyf^x2-y2)=4(x-y),

y)(x+y)=4(x-y),

xy(x+y)=4=22,

①當(dāng)孫=x+y=2時(shí)，x,y是方程—2々+2=0的兩根，

A="4ac=(-2『-4xlx2=T<0,方程無解；

②當(dāng)孫=1,x+y=4時(shí)，x,V是方程—4〃+1=o的兩根，

D=/-4ac=(-4『-4倉。1=12>0,方程有解；

③當(dāng)孫=4,x+y=l時(shí)，x,V是方程—〃+4=0的兩根，

A=/—4ac=(―Ip-4xlx4=-15<0,方程無解；

④當(dāng)孫=%+y=-2時(shí)，劉V是方程a?+2〃—2=0的兩根，

A="—4ac=22—4x1x(—2)=12>0,方程有解；

⑤當(dāng)孫=-1,x+y=-4時(shí)，x,V是方程4+4〃—i=o的兩根，

A=/_4ac=42_4xlx(―1)=20>0，方程有解；

⑥當(dāng)孫=—4,X+y=-1時(shí)，劉V是方程"+〃—4=0的兩根，

A=Z?2-4ac=12-4xlx(^4-)=17>0,方程有解；

綜上可知：孫=1,x+y=4或?qū)O=%+y=-2或呼=-1,%+y=-4或

xy=-4,x+y=-l

.,?當(dāng)孫=1,x+y=4時(shí)，

則公+/=(%+?一2孫=16-2=14；

當(dāng)*=%+y=-2時(shí)，

則％2+y2=(x+y)2-2沖=4+4=8；

當(dāng)呼=-1,%+y=—4時(shí)，

則+y2=(%+y)2一2孫=16+2=18；

當(dāng)呼=-4,%+'=-1時(shí),

則尤2+/=(%+y)-_2xy=1+8=9；

綜上可知：f+y2的值為*或8或18或9.

故答案為：14或8或18或9.

二、解答題(本大題共3個(gè)小題，共30分，解答過程寫在答題卡上)

24.某一皮衣專賣店銷售某款皮衣，其進(jìn)價(jià)為每件750元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若按每件1100

元出售，平均每天可售出30件；若每件降價(jià)50元，平均每天的銷售量可增加10件，皮衣

專賣店若想要平均每天獲利12000元，則每件皮衣定價(jià)為多少元？

【答案】每件皮衣定價(jià)為1050或950元

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.根據(jù)題意正確的列方程，并正確的解方程是解題

的關(guān)鍵.

設(shè)每件皮衣定價(jià)為x元，依題意得，(%-750)^30+11(^~%x10J=12000,計(jì)算求解即

可.

【詳解】解:設(shè)每件皮衣定價(jià)為x元，

依題意得，(x-750)f30+11(^~Xxl0j=12000,

整理得，龍2—2000%+997500=0，

(%-1050)(%-950)=0,

解得，西=1050,x2=950,

.??每件皮衣定價(jià)為1050或950元.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于

點(diǎn)B,與直線CD交于點(diǎn)—g，a),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).

(1)求直線CD的函數(shù)表達(dá)式；

(2)平面內(nèi)存在點(diǎn)F,使得以A,B,D,F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F

的坐標(biāo)；

(3)直線A3在E點(diǎn)左側(cè)部分上有一點(diǎn)P,y軸右側(cè)有一動(dòng)直線/y軸交AB于M,作直線

交1于N,是否存在點(diǎn)P使得無論直線1如何運(yùn)動(dòng)始終有APDE與，PMN相似，若存

在請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=--X+2

2

⑵點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-8,4)或(8,4)或(0,-4)

(3)存在點(diǎn)P,尸(-8,-4)

【解析】

【分析】⑴求出后[-+1],用待定系數(shù)法得直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=—gx+2；

(2)求出A(-4,0),5(0,4),設(shè)E(p,q),由、=—；x+2可得。(4,0),分三種情

—4—p+4

況：①若AB,。尸為對(duì)角線，則石廠的中點(diǎn)重合，有，②ARBD為對(duì)

[4=4

—4+〃=4-4+4=0

角線，貝叫；，③AD,為對(duì)角線，貝U八”,分別解方程組可得答案；

q=410=4+q

(3)過P作尸于H,過H作KT〃x軸，過D作DKLKT于K,過P作PT_LKT

于T,由。A=OB,直線"V軸交AB于M,作直線交1于N,可得

APMN=ZOBA=45°,故，PDEsPMN有NPDE=/PMN=45°,APDH是等腰

直角三角形，即可證.PHT經(jīng),PT=HK,TH=DK,設(shè)

-—n+2-(m+4)=4-n

P(m,m+4),H[nj—^n+2得《解方程組可得

i

n-m=--n+2

2

P（-8,-4）.

【小問1詳解】

（4148

解:把E[一]，aj代入y=x+4得。=_§+4=§,

'''￡H'5）

設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

將C點(diǎn)坐標(biāo)（0,2）,E1-?1，■1]代入得、=區(qū)+6：

4=2

<48，

-lk+b=-

I33

解得

[b=2

，直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=—+2；

【小問2詳解】

解：在y=x+4中，令x=0得y=4,令y=O得x=-4,

.?.A(Y,0),5(0,4),

..1°

?y-----x+2

2

當(dāng)y=0時(shí)，0=—」x+2,貝!]x=4

2

可得。（4,0）,

設(shè)萬(p,q),

①若AB為對(duì)角線，則ABOb的中點(diǎn)重合,

[-4=p+4

4=4

p=—8

解得《

a=4

AF（-8,4）；

②AF,5D為對(duì)角線,

-4+p=4

則＜

q=4

p=-8

解得

9二4

/.F（8,4）；

③A￡）,BE為對(duì)角線,

-4+4=p

則＜

0=4+q

p=0

解得＜

a=—4

/.F(0,-4)；

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-8,4）或（8,4）或（0,-4）；

【小問3詳解】

解：存在點(diǎn)P,使得無論直線1如何運(yùn)動(dòng)始終有△/￥）“與4PMN相似，理由如下：

過P作PHLCD于H,過H作KT〃x軸，過D作DKLKT于K,過P作尸TLKT于T,

如圖：

?.?A(T,O),6(0,4),

OA=OB,

NOB4=45。，

:直線/y軸交AB于M,作直線P￡)交1于N,

/PMN=ZOBA=45。，

由」PDEs_PMN可知,ZPDE=ZPMN=45°,

APDH是等腰直角三角形，

PH=DH,

ZPHT=90°-ZKHD=ZHDK,

：NT=/K=90。，

APHT^HDKQAAS)

APT=HK,TH=DK,

設(shè)P(m,m+4),H\n,----n+2\,

-：0(4,0),

n-m=——〃+2

2

m=-8

解得《

n=-4-

：.P(-8,-4)

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，平行四邊形，等腰直角三角形,

全等三角形判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段

的長度.

26.如圖，在菱形ABCD中，NB=120。，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,以AE為邊

在直線AE的左側(cè)作菱形AEFG,使得菱形AEFG^菱形ABCD.

圖1

(1)如圖1,連接G。，我們感覺，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，A3E與△AOG始終保持全

等關(guān)系，請(qǐng)說明理由.

(2)如圖2,連接AECF,AF交CD于H；

(I)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，8和。下有何位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由；

BE

(II)當(dāng)H為CD中點(diǎn)時(shí)，求——的值；

CE

(3)如圖3,連接GO,DF,當(dāng)A3=6,ZkEDG是直角三角形時(shí)，求菱形但G的邊

長.

【答案】(1)證明見解析

(2)(I)CD±CF,理由見解析；(II)-

3

(3)2而或6石

【解析】

【分析】(1)由菱形AEFGs菱形ABCD,可得AB=ADAE=AG,ZBAD=ZEAG,

則NBAE=ZDAG,進(jìn)而可證AABE空ADG(SAS)；

(2)(I)如圖2,連接AC,ZDCA=ZBCA=30°,由菱形AEFGs菱形A3CD,

ApAEAFAC

可得一=—,NFAE=NCAB,則——=——，ZFAC=ZEAB,證明

ACABAEAB

AACF^AABE,則/FCD=NACF—NDC4=90°,進(jìn)而可得CD_LCb；(II)如圖

2,作AK上CD交CD延長線于長，"，。。交4尸于心，證明.DHL空CHF(ASA),

則"=CF,設(shè)DH=CH=m,則48=5。=8=的＞=2m，ZDAK=30°,

1LL

DK=-AD^m=DH,由勾股定理得，KA=6m，則AC=2島2，證明

HLD^^HAK,則”=也==，解得DL=蟲"，由△ACFS/^SE,可求

KAKH22

BE=-m,則"=』7篦，然后求解0￡的值即可；

22CE

（3）由題意知，分NFDG=90。，ZFGD=90°,ZDFG=90°,三種情況求解；①當(dāng)

NFDG=90。時(shí)，如圖3,連接A