專題652《圖形的柳緲挑瞬合（壓軸）題分類專題

（專項(xiàng)練習(xí)）

【知識點(diǎn)一】平行線分線段成比例

【類型①】平行線分線段成比例＞*-作圖★★求值★★證明

1.（2019?廣東?中考真題）如圖，在AABC中，點(diǎn)。是邊AB上的一點(diǎn).

（1）請用尺規(guī)作圖法，在AABC內(nèi)，求作/ADE■，使N4DE=NB,DE交AC于E；（不要求寫作法,

保留作圖痕跡）

An

（2）在（1）的條件下，若黑=2,求差的值.

DBEC

2.（2021.福建漳州.模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)。是RtAABC斜邊的中點(diǎn)，ZACB=90°,ZA=60°.

（1）求作RtAOEH使點(diǎn)尸在AB的延長線上，/DEF=90。,/EDF=6。。,且（要求：尺

規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的前提下，連結(jié)CE,BE.求證：EB=EC.

【類型②】平行線分線段成比例★川寺珠三角形

3.（2016?山東淄博?中考真題）如圖，已知AABC,平分/8AC交8c于點(diǎn)。，的中點(diǎn)為

MEI/AD,交BA的延長線于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)凡

⑴求證：AE=AF；

(2)求證：B￡=1(AB+AC).

4.(2015?浙江杭州?中考真題)如圖，在AABC中(BOAC),ZACB=90°,點(diǎn)￡＞在AB邊上，DE±AC

于點(diǎn)E

AT)1

(1)若能=J，AE=2,求EC的長

DB3

(2)設(shè)點(diǎn)尸在線段EC上，點(diǎn)G在射線C2上，以RC,G為頂點(diǎn)的三角形與AEDC有一個(gè)銳角相

等，F(xiàn)G交于點(diǎn)P,問：線段“可能是△CEG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由

【類型③】平行線分線段成比例★川寺殊平行四邊形

5.(2022?福建三明?二模)已知：如圖，在,ABCD^,E為8C的中點(diǎn)，。尸，AE于點(diǎn)RCG±DF

于點(diǎn)G.

求證：(1)ZDAE=ZBCG；(2)G為。F的中點(diǎn).

AD

G

6.（2022?安徽?合肥38中一模）如圖，在正方形ABC。中，E為對角線AC上且與點(diǎn)A、C不重合的一

個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)EEG，3c于點(diǎn)G,連接。￡、FG

（1）FG與。E的數(shù)量關(guān)系是_____；

（2）若正方形ABC。的邊長為6,且A￡:CE=1:2,則。E的長為；

【類型④】平行線分線段成比例構(gòu)造平行線（作輔助線）

7.（2022?北京昌平?模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形A8CO的邊長

為12,尸為邊BC延長線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊。C于交邊A2的延長線

于N.當(dāng)CP=6時(shí)，與EN的比值是多少？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線

r）FDF

平行于BC交。C,分別于尸，G,如圖2,則可得：—,因?yàn)?。E=EP,所以=FC.可求出

FCEP

EF和EG的值，進(jìn)而可求得EM與EN的比值.

(1)請按照小明的思路寫出求解過程.

(2)小東又對此題作了進(jìn)一步探究，得出了。的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正

確，請給予證明；如果不正確,請說明理由.

8.(2020?福建莆田?二模)(1)如圖1,ABC的三條中線AF、BD、CE相交于點(diǎn)/,求)的值；

IF

ApAD

(2)如圖2,在ABC中，—,EC與3。相交于點(diǎn)/,連接并延長旬交線段BC于點(diǎn)產(chǎn).求

EBDC

證：歹是BC的中點(diǎn)；

(3)如圖3,已知矩形ABCD,僅用無刻度的直尺畫出線段A2的中點(diǎn)M,并簡要寫出畫圖過程.

【知識點(diǎn)二】相似三角形性質(zhì)與判定

【類型①】相似三角形★★全等三角形證明★★求值

9.(2022?上海?中考真題)如圖所示，在等腰三角形ABC中，4B=AC,點(diǎn)E,F在線段8c上，點(diǎn)。

在線段A8上，＞CF=BE,求證：

(1)ZCAE=ZBAF；(2)CFFQ=AFBQ

10.(2015.湖北咸寧?中考真題)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,BD為角平分線，DELAB,

垂足為E.

(1)寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形；

(2)選擇(1)中一對加以證明.

R

【類型②】相似三角形★大!寺殊四邊形證明★★求值

11.(2022.浙江杭州.中考真題)如圖，在ABC中，點(diǎn)。，E,P分別在邊A江AC,8C上，連接。E,

EF,已知四邊形是平行四邊形，^|=4.

BC4

(1)若AB=8,求線段的長.

(2)若，ADE的面積為1,求平行四邊形BFE。的面積.

12.(2022?山東泰安?中考真題)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在。C上，DE=BE,AC與3D相交于

點(diǎn)。.3E與AC相交于點(diǎn)?

(1)若BE平分NCB。，求證：BFYAC-,

(2)找出圖中與08尸相似的三角形，并說明理由；

(3)若。尸=3,EF=2,求DE的長度.

AB

【類型③】相似三角形★★動點(diǎn)問題折疊問題證明★★求值

13.(2022?遼寧撫順?一模)如圖，在矩形ABC。中，E是A8的中點(diǎn)，F(xiàn)是為射線AQ上的一個(gè)動點(diǎn),

將AAEF沿所折疊得到AHEE連接AC,分別交EP和直線EH于點(diǎn)N,M,已知N8AC=30,BC=2,

若4EMN與4AEF相似，則AF的長為多少？

14.(2021?安徽?一模)如圖，AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，若點(diǎn)〃在邊AC上，點(diǎn)N在邊8c

上，沿直線MN將AMCN翻折，使點(diǎn)C落在邊AB上，設(shè)其落點(diǎn)為P.

(1)求證：AM=PN；

PA_CM

(2)當(dāng)點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證:

1PB~1JN

親=詈是否仍然成立？

(3)當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí),請說明理由.

【類型④】相似三角形★★動點(diǎn)問題旋轉(zhuǎn)》一證明★★求值

15.（2012.湖北省直轄縣級單位.中考真題）△ABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作

NMDN二NB,

DD

備用圖

圖（1

（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線，寫出圖中所有與AADE

相似的三角形.

（2）如圖（2）,將NMDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM,DN分別交線段AC,AB于E,F點(diǎn)（點(diǎn)

E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論.

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10,BC=12,當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的5時(shí)，求線段EF

的長.

16.（2021?河南?鶴壁市淇濱中學(xué)九年級階段練習(xí)）己知在MAA3C中，/A4c=90。，AB=2,AC=6,

。為8C邊上的一點(diǎn).過點(diǎn)。作射線。ELOF,分別交邊AB,AC于點(diǎn)E,F.

圖①圖②圖③

(1)當(dāng)。為BC的中點(diǎn)，且。ELA8,。尸，AC時(shí)，如圖①，——=______.

DF

DF

(2)①若。為的中點(diǎn)，將/EQF繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖②位置時(shí)，—=______.

DF

②若改變點(diǎn)。的位置，且C胃D=m%時(shí)，求D器F的值，請就圖③的情形寫出解答過程.

BDnDF

⑶如圖③連接EF,當(dāng)時(shí)，△。石尸與448(?相似.

【類型⑤】相似三角形★★動點(diǎn)問題★★坐標(biāo)系證明★★求值

2

17.(2021.河北唐山?一模)如圖，A(0,4),B(0,2),AC//x軸，與直線＞=交于點(diǎn)C,CDJLx軸

于點(diǎn)。，P是折線AC-CD上一動點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)8,P的直線為/.

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

(2)若直線/所在的函數(shù)隨x的增大而減少，則尸D的取值范圍是；

(3)若動點(diǎn)尸在AC上運(yùn)動，△ABP與△AOC相似時(shí)，求此時(shí)直線/的解析式.

18.(2012?四川巴中?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸上，四邊形

ABCO

為矩形，AB=16,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，tan/ACB=1,點(diǎn)E,F分別是線段AD,AC上的動點(diǎn)

(點(diǎn)

E不與點(diǎn)A,D重合)，且/CEF=/ACB.

(1)求AC的長和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)說明△AEF與ADCE相似；

(3)當(dāng)AEFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【類型⑥】相似三角形★★動點(diǎn)問題★★坐標(biāo)系＞*?最值

19.(2019?浙江紹興?中考真題)如圖，矩形ABCD中，AB=a,BC=b,點(diǎn)分別在邊A3,CD

上，點(diǎn)及F分別在2C,上，MN,EF交于點(diǎn)P,^k=MN:EF.

(1)若的值是1,當(dāng)MN_LEF時(shí)，求左的值.

(2)若的值是求％的最大值和最小值.

(3)若上的值是3,當(dāng)點(diǎn)N是矩形的頂點(diǎn)，ZMPE=60°,MP=EF=3PE時(shí)，求的值.

20.(2018?山東濟(jì)寧?中考真題)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊AD,BC的中點(diǎn)，連

接DF,過點(diǎn)E作EHLDF,垂足為H,EH的延長線交DC于點(diǎn)G.

(工)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)過點(diǎn)H作MN〃CD,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長為工。，點(diǎn)P是

MN上一點(diǎn)，求仆PDC周長的最小值.

【知識點(diǎn)三】相似三角形性質(zhì)與判定拓展與探究

【類型①】相似三角形-A”操作與問題發(fā)現(xiàn)

21.（2020.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.中考真題）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖1,在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

①請按要求畫圖:將4ABe繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C.連

接班'；

②在①中所畫圖形中，ZAB'B=°.

（2）【問題解決】

如圖2,在RrABC中，BC=1,ZC=90°,延長CA到D,使CD=1,將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。到AE,連接DE,求NADE的度數(shù).

（3）【拓展延伸】

如圖3,在四邊形ABCD中，AEXBC,垂足為E,NBAE=NADC,BE=CE=1,CD=3,AD=kAB

（k為常數(shù)），求BD的長（用含k的式子表示）.

B

圖1圖2圖3

22.(2022?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級下冊教材”實(shí)驗(yàn)與探

究”中我們研究過的兩個(gè)圖形.受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問題，請你回答:

圖①

(1)【問題一】如圖①，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)。又是正方形4片G。的一個(gè)頂點(diǎn)，。4

交A2于點(diǎn)E,0G交2c于點(diǎn)/，則AE與3尸的數(shù)量關(guān)系為；

(2)【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線加、〃經(jīng)過正方形"CD的對稱中心。，直線

加分別與A。、BC交于點(diǎn)E、F,直線”分別與AB、8交于點(diǎn)G、H,且相，%若正方形ABCD邊

長為8,求四邊形困G的面積；

(3)【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊。上，

頂點(diǎn)E在3c的延長線上，且3c=6,CE=2.在直線8E上是否存在點(diǎn)P,使，APF為直角三角形？若存

在，求出的長度；若不存在，說明理由.

圖④

【類型②】相似三角形背景問題與探究

23.（2022.湖北武漢.中考真題）問題提出：如圖（1）,ABC中，AB^AC,。是AC的中點(diǎn)，延長BC

AF

至點(diǎn)、E,使DE=DB,延長瓦）交A2于點(diǎn)尸，探究一的值.

AB

（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當(dāng)44c=60。時(shí)，直接寫出一的值；

AB

（2）再探究一般情形.如圖（1）,證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展：如圖（3）,在二ABC中，AB^AC,。是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，||=-（/7<2）,

BCn

延長8c至點(diǎn)E,使DE=DG,延長即交A3于點(diǎn)直接寫出竺的值（用含〃的式子表示）.

AB

24.（2021.山東日照?中考真題）問題背景：

如圖1,在矩形ABCD中，AB=20ZABD=30°,點(diǎn)E是邊A3的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作￡F_LM交8。于

點(diǎn)尸.

實(shí)驗(yàn)探究：

（1）在一次數(shù)學(xué)活動中，小王同學(xué)將圖1中的班F繞點(diǎn)8按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，如圖2所示，得

到結(jié)論：①=二；②直線AE與。尸所夾銳角的度數(shù)為.

(2)小王同學(xué)繼續(xù)將膽繞點(diǎn)8按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請問探究(1)中的結(jié)

論是否仍然成立？并說明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，當(dāng)BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)，貝LADE的面積為.

【類型③】相似三角形問題拓展與延伸

25.(2022?四川達(dá)州?中考真題)某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰

直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,按如圖1的方式擺放，ZACB=ZECD=90°,隨后保持.ABC不

動，將△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a(0。<1<90。),連接4后，延長交AE于點(diǎn)兒連接CF.該

數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請你幫忙解答：

圖4圖5圖6

(1)【初步探究】如圖2,當(dāng)即〃3C時(shí)，則&=；

(2)【初步探究】如圖3,當(dāng)點(diǎn)E,尸重合時(shí)，請直接寫出AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系：；

(3)【深入探究】如圖4,當(dāng)點(diǎn)E,尸不重合時(shí)，(2)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過

程；若不成立，請說明理由.

(4)【拓展延伸】如圖5,在A5c與中，ZACB=ZDCE=90°,若3C=mAC,CD=mCE(m

為常數(shù)）.保持一ABC不動，將△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)［（00<a<90°）,連接AE,BD,延長加

交AE于點(diǎn)憶連接b,如圖6.試探究AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

26.（2021?浙江寧波?中考真題）【證明體驗(yàn)】

（1）如圖1,AQ為9ABe的角平分線，NADC=60。，點(diǎn)￡在A3上，AE=AC.求證：OE平分NAD3.

圖2圖3

【思考探究】

⑵如圖2,在（1）的條件下，E為A3上一點(diǎn)，連結(jié)尸C交AD于點(diǎn)G.若FB=FC,DG=2,CD=3,

求8。的長.

【拓展延伸】

（3）如圖3,在四邊形ABCD中，對角線AC平分NBW,/BC4=2/￡）C4,點(diǎn)E在AC上,

NEDC=ZABC.BC=5,CD=2y[5,AD=2AE,求AC的長.

【類型④】相似三角形>>—>>”閱讀材料與教材呈現(xiàn)

27.（2019?遼寧大連?中考真題）閱讀下面材料，完成（1）-（3）題

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1,A4BC中，NBAC=90,點(diǎn)在BC上，AD=AB,

6

AB=kBD（其中”</<1）ZABC=ZACB+ZBAE,/E4c的平分線與3c相交于點(diǎn)/，3G_LA/垂足

2

為G,探究線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自己的想法：

小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)44E與NZMC相等.”

小偉：“通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過進(jìn)一步推理，可以得到線段3G與AC的數(shù)量關(guān)系.”

AJ-J

老師：“保留原題條件，延長圖1中的8G,與AC相交于點(diǎn)H（如圖2）,可以求出黑的值."

HC

(1)求證：ZBAE=NDAC；

探究線段3G與AC的數(shù)量關(guān)系（用含％的代數(shù)式表示），并證明;

A14

(3)直接寫出黑的值（用含上的代數(shù)式表示）.

r/C

28.（2021.吉林長春.二模）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材102103頁的部分內(nèi)容.

性質(zhì)：直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半

給出上述性質(zhì)證明中的部分演繹推理的過程如下：

己知：如圖①，在"中，N4cB=90。，8為斜邊ZB上的中線.

求證：CD=—AB

2

證明：如圖②，延長CD至點(diǎn)E,使DE=CD,連接IE,BE.

RB

圖①圖②

(1)【問題解決】請結(jié)合圖1將證明過程補(bǔ)充完整.

(2)【應(yīng)用探究】

如圖2,在△ABC中，AD是高，CE是中線，點(diǎn)尸是CE的中點(diǎn)，。尸，CE,點(diǎn)F為垂足，ZAEC=78°,

則NBCE為度

(3)如圖3,在線段AC上有一點(diǎn)8,AB=4,AC=11,分別以A8和8C為邊作正方形ABEQ和正方形

BCFG,點(diǎn)、E落在邊BG上,連接。F,點(diǎn)以為。尸的中點(diǎn)，連接GH則G8的長為.

參考答案

AJ7

1.(1)見分析；(2)—=2.

EC

【分析】(1)以點(diǎn)B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交BA、BC于點(diǎn)F、G,以點(diǎn)D為圓心，以BF長

為半徑畫弧，交DA于點(diǎn)M,再以M為圓心，以FG長為半徑畫弧，與前弧交于點(diǎn)H,過點(diǎn)D、H作射線，

交AC于點(diǎn)E,由此即可得；

(2)由(1)可知DE//BC,利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行求解即可.

解：⑴如圖所示；

(2)VZADE=ZB,

/.DE//BC.

.AEAD

>?-------------------2.

ECDB

【點(diǎn)撥】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，平行線分線段成比例定理，熟練掌握利用尺規(guī)作一個(gè)角等

于已知角的作圖方法是解題的關(guān)鍵.

2.(1)見分析(2)見分析

【分析】(1)作延長AB至凡使然后作即可解決問題;

(2)結(jié)合(1)證明DE是的垂直平分線，進(jìn)而可以解決問題.

解：(1)如圖所示，就是所求作的三角形;

J.AC//DE,

：.ZEGC=ZACB=90°,

是R3ABC斜邊的中點(diǎn),

嚏-黑4—,

，即垂直平分8C.

：.EB=EC.

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：作一個(gè)角等于已知角，垂直平分線的判定與性質(zhì)，平行線分線段

成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

3.(1)證明見分析；(2)證明見分析.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)易NAEQNAFE,即可得

(2)作CG〃EM,交BA的延長線于G,已知AC=AG,根據(jù)三角形中位線定理的推論證明BE=EG,

再利用三角形的中位線定理即可證得結(jié)論.

解：(1)：/兇平分NBAC,

：.ZBAD=ZCAD,

YADIIEM,

：.ZBAD=ZAEF,ZCAD=ZAFE,

：.ZAEF=ZAFE,

：.AE=AF.

(2)悍CGIIEM,交84的延長線于G.

u：EFIICG,

：.ZG=ZAEFfZACG=ZAFE,

'：ZAEF=ZAFEf

：.ZG=ZACG,

：.AG=AC9

?：BM=CM.EMI/CG,

.BE_BM-

：?BE=EG,

：.BE=^BG=^(BA+AG)(AB+AC).

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等，準(zhǔn)確識

圖，靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

4.(1)6；(2)見分析.

【分析】(1)易證3E〃BC,由平行線分線段成比例定理列比例式即可求解；

(2)分三種情況討論：①若/CFG=/ECD,此時(shí)線段CP是△CFG的FG邊上的中線；②若/CFG

=ZEDC,此時(shí)線段CP為△CFG的尸G邊上的高線；③當(dāng)C。為NACB的平分線時(shí)，CP既是ACFG的

FG邊上的高線又是中線.

解：(1)VZACB=90°,DELAC,

J.DE//BC,

.AD_AE

''~DE~~EC

AD_1

AE=2,

DB-3

2_1

EC-3

解得：EC=6；

(2)①如圖1,若NCFG=NECD,此時(shí)線段C尸是△CFG的尸G邊上的中線.

證明：VZCFG+ZCGF=90°,ZECD+ZPCG=90°,

又?：NCFG=/ECD,

：.ZCGF=ZPCG,

:?CP=PG,

■:/CFG=/ECD,

：.CP=FP,

：.PF=PG=CP,

???線段3是4。尸G的尸G邊上的中線;

②如圖2,若/CFG=/EDC,此時(shí)線段。尸為△CTG的/G邊上的高線.

證明：V￡)E±AC,

：.ZEDC^ZECD=90°,

■:NCFG=NEDC,

：.ZCFG+ZECD=90°,

：.ZCPF=9Q°,

???線段。尸為△bG的bG邊上的高線.

③如圖3,當(dāng)CO為NACB的平分線，N尸GC=NC0E時(shí)，則CO為NAC3的平分線，CP既是

的bG邊上的高線又是中線.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知

識，正確理解題意、熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

5.(1)見分析;(2)見分析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AD〃3C,再得內(nèi)錯(cuò)角=由。尸，AE,。下，CG

可得鉆〃CG,同位角NAE3=NBCG,等量轉(zhuǎn)化，即可得出結(jié)論；

(2)由四邊形ABCD為平行四邊形，DF_LAE,DF±CGf可得四邊形AECM為平行四邊形，故

AM=CE,再由中位線得AE,再根據(jù)平行線分線段成比例即可得出結(jié)論.

(1)證明：???四邊形ABCD為平行四邊形，

:.AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB,

'：DF±AE,DF±CG,

：.ZDFE=ZDGC=90。,

：.AE//CG,

:.ZAEB=NBCG,

：.ZDAE=ZBCG.

(2)證明：延長CG交AD于點(diǎn)

,/四邊形ABC。為平行四邊形,

AD//BC,AD=BC.

'：DF±AE,DF±CG,

：.ZDFE=ZDGC=90。.

：.AE//CM.

???四邊形AECM為平行四邊形.

AM=CE.

為BC的中點(diǎn)，

CE=-BC.

2

AM=-AD.

2

/.AE//CM.

.FGAM_1

"^F~~XD~2'

J.FG^DF,即G為。尸的中點(diǎn).

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、中位線的判定及性質(zhì)以及平行

線分線段成比例.

6.FG=DE275

【分析】(1)連接2E,證明四邊形EPBG是矩形，由矩形的對角線相等解得尸G=BE,再結(jié)合正方形

的性質(zhì)證明.5色=DAE(SAS),最后由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BE=DE,據(jù)此解答；

(2)由正方形的性質(zhì)證明AF=EF,由四邊形EEBG是矩形證明及V/3G,利用平行線分線段成比

例解得名=［，由正方形的邊長為6解得跖=2,2尸=4,最后根據(jù)勾股定理解答即可.

BF2

解：(1)FG=DE,理由如下

連接2E,

在正方形4BC。中，

EF±AB,EG1BC,ABLBC

ZEFB=ZABC=ZBGE=90°

四邊形EFBG是矩形

FG=BE

:?正方形ABC。中，AB=AD,對角線AC平分ZSW

，在ZWE與&ADE1中，

AB=AD

<NBAE=NDAE

AE=AE

:.一BAE二-DAE(SAS)

:.BE=DE

，F(xiàn)G=DE

故答案為：FG=DE；

(2)「正方形ABC。中，對角線AC平分NSW

，ABAC=45°

EF±AB

:.ZAFE=90°

:.ZAEF=45°

,\AF=EF

四邊形由G是矩形

:.EFIIBG

?_1

.EF1

,BF-2

正方形ABC。的邊長為6,

EF=AF=-x6=2,BF=-x6=4

33

??.BFH*+42=2石

/.FG=2A/5

/.DE=2V5.

【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識,

是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

7.(1)見分析(2)正確，見分析

【分析】(1)過E作EG〃3C交。C、A3分別于尸、G,結(jié)合平行線分線段成比例定理可得：WDF二株DF，

FCEP

HMFF

由0七=￡：尸，可知。尸=尸?？汕蟪鯡尸和EG的值，再利用A5〃CO,可得——=——，進(jìn)而可求得與

ENEG

硒的比值；

(2)作5c交A8于點(diǎn)H,可得一對直角和一組對應(yīng)邊相等，然后根據(jù)A5〃CD,可得NMNH

/CMN,結(jié)合對頂角的性質(zhì)可證得NOPC=NMNH,進(jìn)而可得△。尸。絲從而有DP=MN.

(1)解：過E作直線GE平行于5。交。C,A3分別于點(diǎn)尸，G,(如圖1),

*：DE=EP,

：.DF=FC,

：.EF=^-CP=-x6=3,EG=GF+EF=12+3=15,

22

^ABZ/CD.

.EM_EF3_1

??西一法一石F

⑵解：正確，

證明：作MH〃BC交A3于點(diǎn)H,(如圖2),

則MH=C3=C。，ZMHN=90°,

丁ZDCP=180°-90°=90°,

：.ZDCP=ZMHNf

*：AB//CD,

：.ZMNH=ZCMN,

?:NE是DP的垂直平分線，

:?NCMN=NDME=90。-/CDP,

丁NDPC=90。-/CDP,

：.NDPC=Z.MNH,

:?△DPCQAMNH(AAS),

:?DP=MN.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和

性質(zhì)等知識.關(guān)鍵是作出合適的輔助線，使所求的線段在一個(gè)三角形中.

8.(1)2；(2)見分析；(3)見分析，過程見分析

【分析】(1)過點(diǎn)/作交AC于點(diǎn)G,運(yùn)用平行線分線段成比例定理求解即可；

AJ7AT

(2)過點(diǎn)3作5G//EC,交"的延長線于點(diǎn)G,連接CG,可證明)二),進(jìn)一步證明ZD//CG,

EBIG

得四邊形6GC/是平行四邊形，從而可得結(jié)論；

(3)根據(jù)題意作出圖形即可.

解：(1)如圖1,過點(diǎn)尸作尸G//BD交AC于點(diǎn)G.

AF.50是AABC的中線

:.BF=CF,AD=CD

FG//BD

CGCFAI_AD

--'ZF-DG

:.CG=DG=-CD=A

2

(2)如圖，過點(diǎn)5作BG//EC,交"的延長線于點(diǎn)G,連接CG

BG//EC

AE_AI

~EB~1G

AEAD

EB-DC

AI_AD

~\G~~DC

：.ID//CG

四邊形8GC/是平行四邊形

BF=CF

即點(diǎn)歹是3c的中點(diǎn)

(3)①在CD上方任取一點(diǎn)連接A"、分別交8于點(diǎn)歹、G

②連接4G、BF交于點(diǎn)I,連接我并延長交AB于點(diǎn)M

則點(diǎn)M就是所求作A3的中點(diǎn)

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的重心性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì).關(guān)

鍵是由中位線定理得出線段的比.

9.(1)見分析Q)見分析

【分析】(1)利用SAS證明△ACEg/VlBF即可；

(2)先證AACES/VI/。可得NAEC=NAQRZBQF=ZAFE,/\BFQ,禾(J用相似

三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.

(1)證明：'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

,:CF=BE,

：.CE=BF,

AC=AB

在AACE1和AAB歹中，＜ZC=ZB,

CE=BF

MACEdABF(SAS),

：.ZCAE^ZBAF；

⑵證明：；AACE咨AABF,

：.AE=AF,ZCAE=ZBAF,

9

：AE^=AQAB,AC=ABf

AE_ABAE_AC

..?而=布，即而=IP

^ACE^/\AFQ,

：.ZAEC=ZAQF,

：.ZAEF=ZBQF,

'：AE=AF,

：.NAEF=NAFE,

：.ZBQF=ZAFE,

'：ZB=ZC,

；.△CAR's△BFQ,

CFAF

:?麗=氏，?CFFQ=AFBQ.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟

練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.(1)△ADE^ABDE,△ABC^ABCD；(2)證明見分析.

解：(1)利用相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)得出符合題意的答案；

(2)利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分別得出即可.

解：(1)△ADE^ABDE,AABC^ABCD；

(2)證明：VAB=AC,ZA=36°,

.?./ABC=NC=72。，

VBD為角平分線，

ZABD=-ZABC=36°=ZA,

2

在小ADE^HABDE中

'/A=NDBA

NAED=/BED，

ED=ED

.?.△ADE^ABDE(AAS)；

證明：VAB=AC,ZA=36°,

；./ABC=/C=72。，

VBD為角平分線，

ZDBC=-ZABC=36°=ZA,

2

VZC=ZC,

AAABC^ABCD.

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的判定.

11.(1)2(2)6

n/7An

【分析】(I)利用平行四邊形對邊平行證明得到=三即可求出；

BCAB

(2)利用平行條件證明-ADEs,所0,分別求出ADE與EFC、AZ組與ABC的相似比，通過相似三

SS

角形的面積比等于相似比的平方分別求出SVEFC、SABC，最后通過SBFED=SABC-.EFC-ADE求出.

(1),??四邊形3FEO是平行四邊形，

：.DE//BC,

???AADE^AABC,

.DEAD

??—f

BCAB

..DE1

,京7,

?9

**AB4’

：.AD=-AB=-xS=2；

44

(2),?,四邊形3bEO是平行四邊形，

DE//BC,EFIIAB,DE=BF,

：.ZAED=ZECF,ZEAD=NCEF,

：..ADEEFC

?§小產(chǎn)丫

9

-SEFCVFC)

DE=BF,

：.FC=BC—DE=4DE—DE=3DE,

.DEDE\

?,標(biāo)-3DEW

,

??sEFCUCJI3J9

AADE^AABC,空=J,

BC4

?黑*儂丫川=，

''s.cIBCJI4J16

*,SAADE=1'

??SEFC=9,SABC=16，

??S.BFED=S—S^EFC—SADE=16—9—1=6.

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運(yùn)用平行條

件證明三角形相似并求出相似比是解題關(guān)鍵.

12.(1)證明見分析(2)4及獷，△友S與“汨尸相似，理由見分析(3)3+M

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)判定兩個(gè)三角形相似的判定定理，找到相應(yīng)的角度相等即可得出；

(3)根據(jù)△OBFS^ECF得出3。4=2族+9,根據(jù)△。班得出臺產(chǎn)=3(。4+3),聯(lián)立方程

組求解即可.

(1)證明：如圖所示：

四邊形ABCD為矩形,

;./2=/3=/4,

DE=BE,

.?./=/2,

.?/=/3,

X-.BE平分■4DBC,

Zl=Z6,

Z3=Z6,

又，，/3與/5互余，

N6與N5互余，

BFA.AC；

(2)解：AECF,△BA/與一。的相似.

理由如下：

Z1=Z2,N2=/4,

.-.Z1=Z4,

又.ZOFB=ZBFO,

:△OBFS/\BAF,

N1=N3,NOFB=ZEFC,

:△OBFS/\ECF；

(3)解：AOBF^AECF,

EFCF

''OF~^F9

.2CF

??一，

3BF

,\3CF=2BFf

在矩形ABC。中對角線相互平分，圖中Q4=OC=O尸+/。=3+方C,

.?.3Q4=2"+9①，

.AOBFs^BAF,

.OFBF

*BF-AFy

,\BF2=OFAF,

在矩形ABC。中AF=Q4+Ob=Q4+3,

.?.8尸2=3((24+3網(wǎng)

由①②，得8尸=1土片(負(fù)值舍去)，

DE=BE=2+1+V19=3+V19.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形綜合問題，涉及到矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、角度的互余關(guān)系、兩個(gè)三角

形相似的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

13.1或3

【分析】分兩種情況：①當(dāng)EAUAC時(shí)NAME=90。，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得解；②當(dāng)ENL4C

時(shí)，ZMNE=90°,然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得解.

解：由已知△皮例與AAEF相似，XAEF與&HEF全等,所以可以分為兩種情況：

①當(dāng)石加工人。時(shí)，ZAME=90°,

:四邊形ABC。是矩形，

：.AD=BC=2,ZB=90o,

,：ZCAB=30°,

ZAEM=60°,AB=2拒,

由已知可得/AEP=30。，AEf,

AF=AE-tan30°=6x=1；

3

②當(dāng)EALLAC時(shí)，ZANE=90°,

：.ZAEN=60°,

/.AF=AE-tan60°-x5/3=3,

故答案為：1或3.

【點(diǎn)撥】本題考查三角形圖形變換的應(yīng)用，熟練掌握折疊、三角形相似、三角形全等及三角函數(shù)的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

14.（1）見分析；（2）見分析；（3）成立，理由見分析.

【分析】（1）連接PC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得MN是PC的垂直平分線，證明AM=PM=1AC即可得到結(jié)

論;

（2）易證得ACMNs/XCAB,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得％=$=：!,繼而可得比

CNBC

PACM

例式詬=

~CN

(3)首先連接PC,則MN±PC,過點(diǎn)P作PE1AC于點(diǎn)E,易證得△AEP^AACB,△MCN^APEC,

pA「M

然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得詬=有成立.

解：（1）連接PC,如圖1,

圖1

：△ABC是等腰直角三角形，ZC=90°

.-.ZA=ZB=45°

；.MC=NC

VMN是折痕，

MN垂直平分PC,MN//AB,MC=PM=PN

；.CP_LAB,ZMPC=ZMCP=45°

ZMPA=45°

AZMPA=ZA

，AM二PM

Z.AM=PN

(2)如圖1,

VMN是