中心極限定理試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列\(zhòng)(X_1,X_2,\cdots\)，其均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^2\)，當(dāng)\(n\)充分大時(shí)，\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服從（）A.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,\sigma^2)\)2.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，則根據(jù)中心極限定理，當(dāng)\(n\)充分大時(shí)，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服從（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,\sigma^2)\)3.用中心極限定理計(jì)算在拋一枚均勻硬幣時(shí)，出現(xiàn)正面次數(shù)大于\(60\)次的概率（拋\(100\)次），設(shè)\(X\)表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，則\(X\)服從（）A.\(B(100,0.5)\)B.\(N(50,25)\)C.\(B(50,0.5)\)D.\(N(100,25)\)4.某班有\(zhòng)(49\)名學(xué)生，一次考試成績(jī)服從正態(tài)分布\(N(80,10^2)\)，從該班任選一名學(xué)生，其成績(jī)?cè)赲(78\)到\(82\)之間的概率為（）（\(\varPhi(0.14)=0.5557\)，\(\varPhi(0.2)=0.5793\)）A.\(0.5557\)B.\(0.5793\)C.\(0.14\)D.\(0.2\)5.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)獨(dú)立同分布，\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，則當(dāng)\(n\)充分大時(shí)，\(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\)近似服從（）A.\(N(0,1)\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)D.\(N(0,\sigma^2)\)6.獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列\(zhòng)(X_1,X_2,\cdots\)，滿足\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2\)，\(i=1,2,\cdots\)，用中心極限定理近似計(jì)算\(P(\sum_{i=1}^{100}X_i\leq100\mu+10\sigma)\)為（）（\(\varPhi(1)=0.8413\)）A.\(0.8413\)B.\(0.1587\)C.\(0.5\)D.\(0.9772\)7.中心極限定理表明，無(wú)論總體服從什么分布，只要滿足一定條件，當(dāng)樣本容量\(n\)充分大時(shí)，（）的分布近似正態(tài)分布。A.樣本均值B.樣本方差C.總體均值D.總體方差8.已知某廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度\(X\)服從\(E(2)\)（指數(shù)分布，均值為\(\frac{1}{2}\)），從中抽取\(n=100\)個(gè)零件，求這\(100\)個(gè)零件的平均長(zhǎng)度\(\overline{X}\)大于\(0.6\)的概率，此時(shí)根據(jù)中心極限定理，\(\overline{X}\)近似服從（）A.\(N(\frac{1}{2},\frac{1}{400})\)B.\(N(\frac{1}{2},\frac{1}{200})\)C.\(N(\frac{1}{2},\frac{1}{100})\)D.\(N(\frac{1}{2},\frac{1}{50})\)9.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且\(E(X_i)=3\)，\(D(X_i)=4\)，\(i=1,\cdots,n\)，當(dāng)\(n=100\)時(shí)，\(P(\sum_{i=1}^{100}X_i\leq320)\)近似為（）（\(\varPhi(1)=0.8413\)）A.\(0.8413\)B.\(0.1587\)C.\(0.5\)D.\(0.9772\)10.中心極限定理在實(shí)際應(yīng)用中，樣本容量\(n\)一般要求（）A.\(n\leq30\)B.\(n\geq30\)C.\(n\leq50\)D.\(n\geq50\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于中心極限定理的說(shuō)法正確的有（）A.獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列滿足一定條件時(shí)，其和的分布近似正態(tài)分布B.無(wú)論總體分布如何，樣本均值的分布一定是正態(tài)分布C.當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的分布近似正態(tài)分布D.中心極限定理是大數(shù)定律的特殊情況2.中心極限定理的應(yīng)用條件有（）A.隨機(jī)變量相互獨(dú)立B.隨機(jī)變量同分布C.隨機(jī)變量的均值和方差存在D.樣本容量足夠大3.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2\)，\(i=1,\cdots,n\)，根據(jù)中心極限定理，以下正確的有（）A.\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服從\(N(n\mu,n\sigma^2)\)B.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服從\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)C.\(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\)近似服從\(N(0,1)\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)近似服從\(N(0,1)\)4.在實(shí)際問(wèn)題中，利用中心極限定理可以（）A.計(jì)算事件發(fā)生的概率B.對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)C.檢驗(yàn)總體分布D.分析變量之間的關(guān)系5.關(guān)于中心極限定理與正態(tài)分布的關(guān)系，以下說(shuō)法正確的是（）A.中心極限定理說(shuō)明了在一定條件下，許多分布可以用正態(tài)分布近似B.正態(tài)分布是中心極限定理成立的前提條件C.中心極限定理是正態(tài)分布的推廣D.當(dāng)滿足中心極限定理?xiàng)l件時(shí)，樣本均值的極限分布是正態(tài)分布6.設(shè)總體\(X\)的均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^2\)，從總體中抽取樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，以下哪些式子在\(n\)充分大時(shí)近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（）A.\(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\)B.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)C.\(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma}\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\)7.中心極限定理在（）等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。A.質(zhì)量管理B.保險(xiǎn)精算C.市場(chǎng)調(diào)研D.密碼學(xué)8.下列隨機(jī)變量序列中，可能適用中心極限定理的有（）A.獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量序列B.獨(dú)立同分布的連續(xù)型隨機(jī)變量序列C.不獨(dú)立但同分布的隨機(jī)變量序列D.獨(dú)立不同分布的隨機(jī)變量序列（滿足一定條件）9.用中心極限定理近似計(jì)算概率時(shí)，需要知道（）A.總體的均值B.總體的方差C.樣本容量D.事件的具體形式10.中心極限定理的重要意義在于（）A.為實(shí)際問(wèn)題中的概率計(jì)算提供了簡(jiǎn)便方法B.揭示了大量隨機(jī)變量和的分布規(guī)律C.是許多統(tǒng)計(jì)推斷方法的理論基礎(chǔ)D.證明了正態(tài)分布的普遍性判斷題（每題2分，共10題）1.中心極限定理表明，任意總體的樣本均值一定服從正態(tài)分布。（）2.只有獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列才適用中心極限定理。（）3.當(dāng)樣本容量\(n\)很小時(shí)，也能使用中心極限定理進(jìn)行概率計(jì)算。（）4.中心極限定理與大數(shù)定律沒(méi)有任何聯(lián)系。（）5.用中心極限定理計(jì)算概率時(shí)，不需要知道總體的分布形式。（）6.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)獨(dú)立同分布，\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2\)，則\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)精確服從\(N(n\mu,n\sigma^2)\)。（）7.中心極限定理只能用于計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的概率。（）8.樣本容量\(n\)越大，中心極限定理的近似效果越好。（）9.若總體\(X\)服從正態(tài)分布，則不需要中心極限定理，樣本均值也服從正態(tài)分布。（）10.中心極限定理可以幫助我們分析總體的特征。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述中心極限定理的基本內(nèi)容。答案：獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列\(zhòng)(X_1,X_2,\cdots\)，若\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2\)，當(dāng)\(n\)充分大時(shí)，\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服從\(N(n\mu,n\sigma^2)\)，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服從\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)。2.說(shuō)明中心極限定理在實(shí)際應(yīng)用中的作用。答案：在實(shí)際中，很多問(wèn)題涉及多個(gè)隨機(jī)因素綜合作用。中心極限定理可將其歸結(jié)為近似正態(tài)分布，從而簡(jiǎn)便計(jì)算概率，為質(zhì)量控制、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、抽樣推斷等提供理論支持。3.中心極限定理與正態(tài)分布有什么聯(lián)系？答案：中心極限定理表明在一定條件下，大量獨(dú)立同分布隨機(jī)變量和或樣本均值的分布近似正態(tài)分布。它揭示了正態(tài)分布在實(shí)際問(wèn)題中的普遍性，為用正態(tài)分布處理問(wèn)題提供依據(jù)。4.應(yīng)用中心極限定理時(shí)，對(duì)樣本容量\(n\)有什么要求？為什么？答案：一般要求\(n\geq30\)。因?yàn)楫?dāng)\(n\)較小時(shí)，近似效果不佳，隨著\(n\)增大，隨機(jī)變量和或樣本均值的分布才更接近正態(tài)分布，才能保證用中心極限定理計(jì)算概率的準(zhǔn)確性。討論題（每題5分，共4題）1.舉例說(shuō)明中心極限定理在生活中的應(yīng)用場(chǎng)景。答案：比如商場(chǎng)每日銷售額，由眾多顧客消費(fèi)構(gòu)成。每位顧客消費(fèi)是隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立近似同分布。根據(jù)中心極限定理，每日銷售額近似正態(tài)分布，可據(jù)此預(yù)估銷售額范圍、安排庫(kù)存等。2.在大數(shù)據(jù)時(shí)代，中心極限定理有哪些新的意義和價(jià)值？答案：大數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)海量且復(fù)雜。中心極限定理幫助處理大量數(shù)據(jù)，不管原始數(shù)據(jù)分布，可將樣本均值看作近似正態(tài)分布，便于數(shù)據(jù)挖掘、分析趨勢(shì)、預(yù)測(cè)結(jié)果，為決策提供依據(jù)。3.如何理解中心極限定理在統(tǒng)計(jì)推斷中的地位？答案：中心極限定理是統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)。很多統(tǒng)計(jì)方法如參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)依賴它。它使我們能依據(jù)樣本推斷總體，通過(guò)樣本均值等統(tǒng)計(jì)量，利用正態(tài)分布性質(zhì)進(jìn)行分析，保證統(tǒng)計(jì)推斷的科學(xué)性和有效性。4.中心極限定理與其他概率統(tǒng)計(jì)理論有什么相互關(guān)系？答案：與大數(shù)定律緊密相關(guān)，大數(shù)定律表明樣本均值依概率收斂于總體均值，中心極限定理進(jìn)一步說(shuō)明樣本均值的分