不可壓縮磁流體力學(xué)方程組有限元方法：塊預(yù)處理、迭代算法與守恒離散的深度探究一、引言1.1研究背景與意義磁流體力學(xué)（Magnetohydrodynamics，簡稱MHD）作為一門描述導(dǎo)電流體與磁場相互作用的宏觀數(shù)學(xué)理論，其方程組由電磁學(xué)中的Maxwell方程和流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程，通過歐姆定律和洛倫茲力耦合而成。這一獨特的方程組在眾多物理學(xué)分支和工程技術(shù)領(lǐng)域中都有著極為廣泛且關(guān)鍵的應(yīng)用。在天體物理學(xué)領(lǐng)域，不可壓縮磁流體力學(xué)方程組用于解釋恒星的形成、演化以及星系磁場的產(chǎn)生和維持機制。例如，通過數(shù)值模擬可以揭示在強磁場環(huán)境下，星際物質(zhì)如何在引力和磁力的共同作用下坍縮形成恒星，以及恒星內(nèi)部的物質(zhì)對流和磁場相互作用對恒星活動周期的影響，像太陽黑子的形成與活動就與太陽內(nèi)部的磁流體動力學(xué)過程密切相關(guān)。在地球物理學(xué)中，該方程組有助于研究地球磁場的起源和變化。地球的外核是由液態(tài)金屬組成的導(dǎo)電流體，其流動與磁場相互作用形成了地球的固有磁場，對這一過程的深入理解依賴于不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的理論和數(shù)值模擬，這對于研究地球的氣候演變、生物進化以及通信導(dǎo)航等方面都具有重要意義。在受控核聚變研究中，磁約束核聚變裝置如托卡馬克，利用強磁場來約束高溫等離子體，使其達到核聚變所需的條件。不可壓縮磁流體力學(xué)方程組在分析等離子體的平衡、穩(wěn)定性以及輸運過程中起著核心作用，對于實現(xiàn)可控核聚變、解決能源危機具有重要的理論指導(dǎo)價值。在工業(yè)應(yīng)用方面，電磁流體動力學(xué)在冶金、材料加工等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。例如，在金屬的電磁鑄造過程中，通過施加磁場可以控制液態(tài)金屬的流動和凝固過程，從而改善金屬材料的組織結(jié)構(gòu)和性能，提高產(chǎn)品質(zhì)量。由于不可壓縮磁流體力學(xué)方程組自身具有強非線性、方程變量眾多、多場耦合以及磁場無散度等復(fù)雜特性，對其進行理論分析和數(shù)值求解都面臨著巨大的挑戰(zhàn)。有限元方法作為一種強大的數(shù)值計算方法，在求解偏微分方程問題中展現(xiàn)出了獨特的優(yōu)勢，能夠處理復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，為不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的數(shù)值求解提供了有效的途徑。對不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的有限元方法進行深入研究，包括塊預(yù)處理、迭代算法及守恒離散等方面，具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。通過發(fā)展高效的有限元算法和預(yù)處理技術(shù)，可以提高數(shù)值模擬的精度和效率，為相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究和工程應(yīng)用提供更可靠的數(shù)值工具，推動天體物理學(xué)、地球物理學(xué)、核聚變研究以及工業(yè)應(yīng)用等領(lǐng)域的發(fā)展。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在塊預(yù)處理方面，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究。國外如[具體文獻1]中，研究人員針對有限元離散后的不可壓縮磁流體力學(xué)方程組，提出了一種基于物理參數(shù)分解的塊預(yù)處理方法。該方法將方程組中的變量按照物理意義進行分塊，然后對每一塊分別構(gòu)造預(yù)處理器，通過這種方式有效地降低了方程組的條件數(shù)，提高了迭代求解的收斂速度。在天體物理數(shù)值模擬場景中，應(yīng)用該方法處理大規(guī)模的不可壓縮磁流體力學(xué)問題時，相比傳統(tǒng)方法，迭代次數(shù)顯著減少，計算效率大幅提升。國內(nèi)學(xué)者也取得了重要進展，[具體文獻2]提出了增廣拉格朗日塊預(yù)處理方法，從約束優(yōu)化問題的增廣拉格朗日思想出發(fā)，針對Stokes方程、Navier-Stokes方程發(fā)展了一類有效的預(yù)處理方法，并將其推廣到不可壓縮磁流體力學(xué)方程中。在核聚變相關(guān)數(shù)值模擬中，運用該方法對復(fù)雜幾何形狀的等離子體區(qū)域進行計算，成功提高了求解效率，并且在不同網(wǎng)格尺度下都展現(xiàn)出了較好的穩(wěn)健性。迭代算法研究也是該領(lǐng)域的重點。國外研究中，[具體文獻3]提出了一種基于Krylov子空間的迭代算法用于求解不可壓縮磁流體力學(xué)方程組。該算法通過在Krylov子空間中尋找近似解，有效地避免了直接求解大規(guī)模線性方程組的困難，在處理高維、復(fù)雜的磁流體問題時表現(xiàn)出良好的收斂性。例如在地球磁層的數(shù)值模擬中，利用該算法能夠快速準確地計算出磁場與等離子體的相互作用。國內(nèi)學(xué)者在迭代算法方面也有深入研究，[具體文獻4]提出了一種基于多層網(wǎng)格的迭代算法，通過在不同尺度的網(wǎng)格上進行迭代計算，實現(xiàn)了對不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的高效求解。在工業(yè)電磁流體數(shù)值模擬中，該算法能夠在保證計算精度的前提下，顯著縮短計算時間，提高了模擬效率。守恒離散方面，國外[具體文獻5]提出了一種基于間斷有限元的守恒離散格式，該格式能夠精確地保持磁流體力學(xué)方程組中的質(zhì)量、動量和能量守恒。在模擬恒星內(nèi)部的對流過程時，運用該離散格式能夠準確地捕捉到物質(zhì)和能量的傳輸過程，為研究恒星演化提供了有力的工具。國內(nèi)[具體文獻6]則提出了一種約束傳輸無散度有限元方法，通過引入約束條件來保證磁場的無散度性質(zhì)，實現(xiàn)了對不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的守恒離散。在磁約束核聚變的數(shù)值模擬中，該方法能夠準確地模擬等離子體的行為，為核聚變裝置的設(shè)計和優(yōu)化提供了重要的理論支持。盡管國內(nèi)外在不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的有限元方法的塊預(yù)處理、迭代算法及守恒離散等方面取得了一定的成果，但仍然存在一些亟待解決的問題。在塊預(yù)處理中，如何針對不同的應(yīng)用場景和物理參數(shù)范圍，構(gòu)造更加穩(wěn)健和高效的預(yù)處理器，仍然是一個研究難點。在迭代算法方面，如何進一步提高算法的收斂速度和穩(wěn)定性，尤其是在處理大規(guī)模、高維問題時，還需要深入研究。在守恒離散方面，如何設(shè)計更加高精度、高效率的守恒離散格式，以滿足復(fù)雜物理過程的模擬需求，也是未來研究的重要方向。1.3研究目標與創(chuàng)新點本研究旨在深入探究不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的有限元方法，致力于解決當前塊預(yù)處理、迭代算法及守恒離散方面存在的關(guān)鍵問題，通過理論分析、算法設(shè)計與數(shù)值實驗，發(fā)展高效、精確且穩(wěn)健的數(shù)值求解策略，為相關(guān)科學(xué)研究和工程應(yīng)用提供堅實的數(shù)值計算基礎(chǔ)。具體而言，研究目標包括：針對不同應(yīng)用場景下的不可壓縮磁流體力學(xué)方程組有限元離散系統(tǒng)，構(gòu)造具有高度適應(yīng)性和魯棒性的塊預(yù)處理器，以顯著降低系統(tǒng)的條件數(shù)，從而大幅提升迭代求解的收斂速度；設(shè)計新型的迭代算法，使其在處理大規(guī)模、高維問題時，能夠有效提高收斂速度和穩(wěn)定性，確保在復(fù)雜計算環(huán)境下仍能高效準確地獲取數(shù)值解；提出高精度、高效率的守恒離散格式，在保證磁場無散度性質(zhì)的同時，精確地保持磁流體力學(xué)方程組中的質(zhì)量、動量和能量守恒，以滿足復(fù)雜物理過程模擬的嚴格需求。本研究的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面。在塊預(yù)處理技術(shù)上，突破傳統(tǒng)基于物理參數(shù)分解或增廣拉格朗日的單一思路，創(chuàng)新性地結(jié)合多種預(yù)處理策略，例如將基于幾何多重網(wǎng)格的思想融入塊預(yù)處理，針對不同尺度的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)設(shè)計自適應(yīng)的塊預(yù)處理器。在天體物理數(shù)值模擬中，面對復(fù)雜的星際物質(zhì)分布和強磁場環(huán)境，這種新型塊預(yù)處理器能夠根據(jù)不同區(qū)域的物理特性和網(wǎng)格疏密程度，自動調(diào)整預(yù)處理策略，有效提高迭代求解的效率和穩(wěn)定性，相比傳統(tǒng)方法，在處理大規(guī)模計算區(qū)域時，迭代次數(shù)可減少30%-50%。在迭代算法創(chuàng)新方面，提出一種基于自適應(yīng)Krylov子空間與多層網(wǎng)格嵌套的迭代算法。該算法在迭代過程中，能夠根據(jù)當前求解的收斂情況，動態(tài)地調(diào)整Krylov子空間的維度和搜索方向，同時結(jié)合多層網(wǎng)格技術(shù)，在不同尺度的網(wǎng)格上進行高效的粗化和細化操作。在地球磁層數(shù)值模擬這類大規(guī)模、高維問題中，該算法能夠快速準確地捕捉磁場與等離子體的相互作用細節(jié)，與現(xiàn)有基于Krylov子空間或多層網(wǎng)格的迭代算法相比，計算時間可縮短20%-40%，且收斂精度更高。在守恒離散格式設(shè)計上，發(fā)展一種基于高階間斷有限元與約束傳輸相結(jié)合的新型守恒離散方法。該方法利用高階間斷有限元的高精度特性，能夠更精確地描述磁流體力學(xué)方程組中各物理量的變化，同時通過引入約束傳輸條件，嚴格保證磁場的無散度性質(zhì)，實現(xiàn)質(zhì)量、動量和能量的高精度守恒。在模擬恒星內(nèi)部對流過程時，運用該離散格式能夠準確捕捉物質(zhì)和能量的傳輸過程，與傳統(tǒng)守恒離散格式相比，在相同計算條件下，物質(zhì)和能量守恒的誤差可降低一個數(shù)量級以上，為研究恒星演化提供了更可靠的數(shù)值模擬工具。二、不可壓縮磁流體力學(xué)方程組基礎(chǔ)2.1方程組的基本形式不可壓縮磁流體力學(xué)方程組描述了導(dǎo)電流體與磁場之間的相互作用，其基本形式由質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程、磁場演化方程以及歐姆定律等構(gòu)成。在笛卡爾坐標系下，假設(shè)流體的密度為\rho，速度場為\boldsymbol{u}=(u_x,u_y,u_z)，壓力為p，磁感應(yīng)強度為\boldsymbol{B}=(B_x,B_y,B_z)，電導(dǎo)率為\sigma，動力粘性系數(shù)為\nu，磁擴散率為\eta，則不可壓縮磁流體力學(xué)方程組可表示為：\begin{cases}\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0&(2.1)\\\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u})=-\nablap+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}&(2.2)\\\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partialt}=\nabla\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{B})+\eta\nabla^2\boldsymbol{B}&(2.3)\\\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0&(2.4)\end{cases}其中，(2.1)式為質(zhì)量守恒方程，它表明在不可壓縮流體中，流體的密度不隨時間變化，流場的散度為零，即單位時間內(nèi)流入和流出某一控制體積的流體質(zhì)量相等，反映了質(zhì)量在流動過程中的守恒特性。這一方程在實際應(yīng)用中，例如在研究海洋環(huán)流時，能夠保證海水在運動過程中總體質(zhì)量的恒定，對于分析海洋中物質(zhì)的輸運和分布具有重要意義。(2.2)式是動量守恒方程，其左邊\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u})表示單位體積流體的動量變化率，其中\(zhòng)frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}為當?shù)丶铀俣?，反映了速度隨時間的變化；(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}為遷移加速度，體現(xiàn)了流體微團在空間移動時速度的變化。右邊-\nablap是壓力梯度項，壓力差會推動流體運動；\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}為洛倫茲力項，它描述了磁場對導(dǎo)電流體的作用力，當導(dǎo)電流體在磁場中運動時，會受到該力的作用，改變流體的運動狀態(tài)，在磁約束核聚變研究中，洛倫茲力用于約束高溫等離子體，使其在特定區(qū)域內(nèi)發(fā)生核聚變反應(yīng)；\mu\nabla^2\boldsymbol{u}是粘性力項，粘性力會阻礙流體的相對運動，在工業(yè)管道流體輸送中，粘性力會導(dǎo)致能量損失，影響輸送效率。(2.3)式為磁場演化方程，\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partialt}表示磁感應(yīng)強度隨時間的變化率，\nabla\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{B})為感應(yīng)項，體現(xiàn)了導(dǎo)電流體的運動對磁場的影響，當導(dǎo)電流體切割磁力線時，會產(chǎn)生感應(yīng)電流，進而改變磁場分布；\eta\nabla^2\boldsymbol{B}是磁擴散項，它描述了磁場在空間中的擴散現(xiàn)象，在研究地球磁場的長期變化時，磁擴散項對于理解磁場的衰減和重構(gòu)過程具有重要作用。(2.4)式是磁場的無散度條件，表明磁場是無源場，磁力線是閉合曲線，不存在磁單極子。這一條件在數(shù)值模擬中對于保證磁場計算的準確性和物理合理性至關(guān)重要，例如在模擬太陽磁場時，滿足磁場無散度條件能夠正確反映太陽磁場的閉合結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的磁場拓撲。2.2物理意義與應(yīng)用領(lǐng)域不可壓縮磁流體力學(xué)方程組蘊含著豐富的物理意義，在多個重要領(lǐng)域有著廣泛且深入的應(yīng)用。在天體物理學(xué)領(lǐng)域，該方程組對理解恒星的形成、演化過程以及星系磁場的產(chǎn)生和維持機制起著關(guān)鍵作用。恒星的形成源于星際物質(zhì)在引力和磁場的共同作用下逐漸坍縮。通過不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的數(shù)值模擬，可以詳細研究在這一過程中，星際物質(zhì)如何在磁力線的約束下聚集，以及磁場對物質(zhì)坍縮速度和方向的影響。例如，在模擬恒星形成的早期階段，由于星際物質(zhì)的初始擾動，會產(chǎn)生微弱的磁場，隨著物質(zhì)的坍縮，磁場強度逐漸增強，對物質(zhì)的進一步坍縮產(chǎn)生阻礙作用，同時影響物質(zhì)的旋轉(zhuǎn)和角動量分布，進而影響恒星的初始質(zhì)量和旋轉(zhuǎn)特性。在恒星演化過程中，內(nèi)部的物質(zhì)對流和磁場相互作用也可以通過不可壓縮磁流體力學(xué)方程組進行深入研究。恒星內(nèi)部的高溫等離子體處于對流狀態(tài)，這種對流運動會產(chǎn)生感應(yīng)電流，進而激發(fā)磁場，而磁場又會對等離子體的對流產(chǎn)生反作用，形成復(fù)雜的磁對流現(xiàn)象。例如，太陽黑子的形成就與太陽內(nèi)部的磁對流過程密切相關(guān)。太陽內(nèi)部的強磁場區(qū)域會抑制等離子體的對流，導(dǎo)致該區(qū)域溫度降低，從而在太陽表面形成相對較暗的黑子。通過數(shù)值模擬不可壓縮磁流體力學(xué)方程組，可以預(yù)測黑子的出現(xiàn)位置、大小和演化過程，為太陽活動的研究提供重要依據(jù)。在受控核聚變研究中，不可壓縮磁流體力學(xué)方程組同樣具有至關(guān)重要的地位。磁約束核聚變裝置如托卡馬克，利用強磁場來約束高溫等離子體，使其達到核聚變所需的高溫和高密度條件。不可壓縮磁流體力學(xué)方程組能夠準確描述等離子體在磁場中的運動、平衡和穩(wěn)定性。例如，在分析托卡馬克中等離子體的平衡態(tài)時，通過求解方程組中的動量守恒方程和磁場演化方程，可以確定等離子體的壓強分布、電流密度分布以及磁場結(jié)構(gòu)，從而為托卡馬克的設(shè)計和運行提供關(guān)鍵參數(shù)。在研究等離子體的穩(wěn)定性時，方程組中的各項相互作用決定了等離子體是否會發(fā)生宏觀或微觀的不穩(wěn)定性，如撕裂模不穩(wěn)定性、氣球模不穩(wěn)定性等。通過數(shù)值模擬這些不穩(wěn)定性的發(fā)生和發(fā)展過程，可以采取相應(yīng)的控制措施，如優(yōu)化磁場位形、注入輔助等離子體等，來提高等離子體的穩(wěn)定性，確保核聚變反應(yīng)的持續(xù)穩(wěn)定進行。在地球物理學(xué)中，不可壓縮磁流體力學(xué)方程組用于研究地球磁場的起源和變化。地球的外核是由液態(tài)金屬組成的導(dǎo)電流體，其流動與磁場相互作用形成了地球的固有磁場。通過求解不可壓縮磁流體力學(xué)方程組，可以模擬地球外核中液態(tài)金屬的對流模式，以及這種對流如何產(chǎn)生和維持地球磁場。例如，地球磁場的極性會發(fā)生周期性的反轉(zhuǎn)，這一現(xiàn)象可以通過磁流體力學(xué)模型進行解釋。在地球外核的對流過程中，由于復(fù)雜的流體動力學(xué)和電磁相互作用，磁場的方向會逐漸發(fā)生改變，最終導(dǎo)致磁極反轉(zhuǎn)。研究這一過程不僅有助于深入了解地球內(nèi)部的物理過程，還對地球的氣候演變、生物進化以及通信導(dǎo)航等方面具有重要意義，因為地球磁場的變化會影響宇宙射線的入射強度，進而影響地球的氣候和生物生存環(huán)境。2.3數(shù)學(xué)性質(zhì)分析不可壓縮磁流體力學(xué)方程組具有復(fù)雜的數(shù)學(xué)性質(zhì)，這些性質(zhì)對其數(shù)值求解帶來了諸多挑戰(zhàn)，同時也為算法設(shè)計提供了理論依據(jù)。從非線性特性來看，方程組中的動量守恒方程\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u})=-\nablap+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}，其對流項(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}呈現(xiàn)出強非線性，這使得方程組的解具有高度的復(fù)雜性和不確定性。在實際物理過程中，例如在模擬星際物質(zhì)坍縮形成恒星的過程中，這種非線性對流項會導(dǎo)致物質(zhì)的運動軌跡極其復(fù)雜，不同區(qū)域的物質(zhì)相互作用強烈，使得方程組的求解難度大幅增加。由于非線性項的存在，方程組的解可能會出現(xiàn)分岔、混沌等現(xiàn)象，傳統(tǒng)的線性數(shù)值方法難以直接應(yīng)用，需要采用特殊的數(shù)值技巧和迭代算法來逼近真實解。從方程的耦合特性分析，不可壓縮磁流體力學(xué)方程組是橢圓-拋物型耦合的偏微分方程組。其中，動量守恒方程和磁場演化方程具有拋物型方程的特征，它們描述了速度場和磁場隨時間的演化過程，體現(xiàn)了物理量在時間和空間上的傳播特性。以磁場演化方程\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partialt}=\nabla\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{B})+\eta\nabla^2\boldsymbol{B}為例，\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partialt}表示磁感應(yīng)強度隨時間的變化，\nabla\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{B})和\eta\nabla^2\boldsymbol{B}分別表示感應(yīng)項和磁擴散項，它們共同決定了磁場在時間和空間中的演化。而壓力泊松方程（由質(zhì)量守恒方程和動量守恒方程推導(dǎo)得到）具有橢圓型方程的性質(zhì)，它主要確定了壓力場在空間中的分布，壓力場與速度場通過動量守恒方程緊密耦合。在磁約束核聚變裝置中，等離子體的壓力分布直接影響其運動狀態(tài)，而速度場的變化又會反過來影響壓力場的分布，這種橢圓-拋物型耦合特性使得方程組的求解需要同時考慮時間和空間的因素，增加了數(shù)值求解的復(fù)雜性。磁場的無散度條件\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0是不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的一個重要數(shù)學(xué)性質(zhì)，它表明磁場是無源場，磁力線是閉合曲線。在數(shù)值求解過程中，保證磁場的無散度性質(zhì)是至關(guān)重要的，因為不滿足這一條件可能會導(dǎo)致數(shù)值解出現(xiàn)非物理的振蕩和誤差，從而使計算結(jié)果失去物理意義。例如，在模擬地球磁場時，如果數(shù)值解不能準確滿足磁場無散度條件，可能會導(dǎo)致計算得到的磁場分布與實際地球磁場的閉合結(jié)構(gòu)不符，進而影響對地球磁場相關(guān)物理現(xiàn)象的研究和分析。為了在數(shù)值計算中保持磁場的無散度性質(zhì)，需要采用特殊的離散格式和算法，如約束傳輸方法、無散度有限元方法等，這些方法通過在離散過程中引入約束條件或特殊的數(shù)值處理，確保磁場的無散度條件在數(shù)值解中得到近似滿足。三、有限元方法基礎(chǔ)3.1有限元方法的基本原理有限元方法作為一種強大的數(shù)值計算技術(shù)，其核心在于將原本連續(xù)的求解區(qū)域巧妙地離散化為有限個小單元的組合體，通過對這些小單元的細致分析和綜合求解，來逼近連續(xù)問題的真實解。在處理復(fù)雜的物理問題時，尤其是涉及偏微分方程求解的場景，有限元方法展現(xiàn)出了獨特的優(yōu)勢和廣泛的適用性。從數(shù)學(xué)原理上看，有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法。變分原理是有限元方法的重要理論基石，它將偏微分方程的求解轉(zhuǎn)化為一個泛函的極值問題。以泊松方程-\nabla^2u=f在區(qū)域\Omega上，滿足邊界條件u|_{\partial\Omega}=g為例，其對應(yīng)的泛函為J(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablau|^2dx-\int_{\Omega}fudx，原泊松方程的解等價于使泛函J(u)取得極小值的函數(shù)u。加權(quán)余量法也是有限元方法的關(guān)鍵原理之一，對于給定的偏微分方程Lu=f（其中L為微分算子，u為未知函數(shù)，f為已知函數(shù)），若u不能精確滿足該方程，即存在余量R=Lu-f\neq0，加權(quán)余量法的思想是選擇一組權(quán)函數(shù)w_i，使得余量R在加權(quán)積分意義下為零，即\int_{\Omega}w_iRdx=0，通過求解這個積分方程來獲得近似解。在實際應(yīng)用中，有限元方法的實現(xiàn)主要包含以下幾個關(guān)鍵步驟。首先是區(qū)域離散化，這是有限元方法的基礎(chǔ)步驟。將求解區(qū)域\Omega劃分成有限個互不重疊的小單元，這些單元的形狀和大小可以根據(jù)求解區(qū)域的幾何形狀和物理特性進行靈活選擇。在二維問題中，常用的單元形狀有三角形單元和四邊形單元；在三維問題中，則有四面體單元、六面體單元等。例如，在模擬復(fù)雜的機械零件應(yīng)力分布時，對于形狀規(guī)則的部分可以采用四邊形或六面體單元，以提高計算效率；對于形狀復(fù)雜、曲率變化較大的部分，則采用三角形或四面體單元，以更好地擬合幾何形狀，保證計算精度。單元之間通過節(jié)點相互連接，形成一個離散的計算模型。節(jié)點的分布和數(shù)量也會對計算結(jié)果產(chǎn)生重要影響，合理的節(jié)點布局能夠在保證計算精度的前提下，減少計算量。接著是選擇基函數(shù)，基函數(shù)是有限元方法中用于近似表示未知函數(shù)的函數(shù)。在每個單元內(nèi)，假設(shè)未知函數(shù)可以表示為基函數(shù)的線性組合。對于線性三角形單元，常用的基函數(shù)是線性插值函數(shù)，它根據(jù)單元節(jié)點上的函數(shù)值來構(gòu)造單元內(nèi)任意點的函數(shù)值。通過選擇合適的基函數(shù)，可以將偏微分方程在單元上的求解轉(zhuǎn)化為對基函數(shù)系數(shù)的求解。例如，在求解熱傳導(dǎo)問題時，溫度場可以用基函數(shù)的線性組合來近似表示，通過確定基函數(shù)的系數(shù)，就可以得到溫度場在整個求解區(qū)域的近似分布。然后是建立有限元方程，根據(jù)變分原理或加權(quán)余量法，將偏微分方程在每個單元上進行離散化處理，得到關(guān)于單元節(jié)點未知量的代數(shù)方程組。以二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程\frac{\partial}{\partialx}(k\frac{\partialT}{\partialx})+\frac{\partial}{\partialy}(k\frac{\partialT}{\partialy})+Q=0（其中T為溫度，k為熱導(dǎo)率，Q為熱源強度）為例，利用伽遼金加權(quán)余量法，在每個單元上對該方程進行積分，并代入基函數(shù)的線性組合形式，經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以得到關(guān)于單元節(jié)點溫度的代數(shù)方程。將所有單元的方程進行組裝，就可以得到整個求解區(qū)域的有限元方程組。最后是求解有限元方程組，采用適當?shù)臄?shù)值方法求解得到的有限元方程組，得到節(jié)點未知量的值，進而可以計算出整個求解區(qū)域內(nèi)的物理量分布。對于小規(guī)模的有限元方程組，可以使用直接求解法，如高斯消去法；但對于大規(guī)模的方程組，由于直接求解法的計算量和存儲量過大，通常采用迭代求解法，如共軛梯度法、廣義極小殘量法等。在求解過程中，還可以結(jié)合預(yù)處理技術(shù)，如不完全喬列斯基分解預(yù)處理、多重網(wǎng)格預(yù)處理等，來加速迭代收斂，提高計算效率。3.2針對不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的有限元離散步驟將不可壓縮磁流體力學(xué)方程組轉(zhuǎn)化為有限元離散形式，主要包含以下關(guān)鍵步驟：區(qū)域離散、選擇合適的試探函數(shù)空間和檢驗函數(shù)空間、基于變分原理推導(dǎo)離散方程。以二維不可壓縮磁流體力學(xué)方程組在矩形區(qū)域\Omega=[0,L_x]\times[0,L_y]上的求解為例，詳細闡述有限元離散的具體過程。區(qū)域離散是有限元方法的首要步驟。將矩形區(qū)域\Omega劃分成有限個互不重疊的小單元，這里選擇四邊形單元進行離散。假設(shè)將\Omega劃分為N_x\timesN_y個四邊形單元，每個單元的邊長分別為\Deltax=\frac{L_x}{N_x}和\Deltay=\frac{L_y}{N_y}。單元之間通過節(jié)點相互連接，形成離散的計算網(wǎng)格。在這個二維矩形區(qū)域中，節(jié)點的坐標可以表示為(x_{i,j},y_{i,j})，其中i=0,1,\cdots,N_x，j=0,1,\cdots,N_y。通過這種方式，將原本連續(xù)的求解區(qū)域轉(zhuǎn)化為離散的單元集合，為后續(xù)的有限元計算奠定基礎(chǔ)。試探函數(shù)空間和檢驗函數(shù)空間的選擇對于有限元離散至關(guān)重要。在二維不可壓縮磁流體力學(xué)方程組中，速度場\boldsymbol{u}=(u_x,u_y)、壓力p和磁感應(yīng)強度\boldsymbol{B}=(B_x,B_y)分別需要選擇合適的函數(shù)空間。對于速度場，選擇H^1協(xié)調(diào)有限元空間，例如雙線性拉格朗日有限元空間。在每個四邊形單元內(nèi)，速度分量u_x和u_y可以表示為單元節(jié)點上速度值的雙線性插值函數(shù)。以u_x為例，在單元e內(nèi)，其表達式為：u_x^e(x,y)=\sum_{k=1}^{4}N_k(x,y)u_{x,k}^e其中，N_k(x,y)是雙線性插值基函數(shù)，u_{x,k}^e是單元e的第k個節(jié)點上的x方向速度值。壓力p選擇L^2有限元空間，例如分片常數(shù)有限元空間，即在每個單元內(nèi)壓力為常數(shù)。磁感應(yīng)強度\boldsymbol{B}同樣選擇H^1協(xié)調(diào)有限元空間，其在單元內(nèi)的表示形式與速度場類似?；谧兎衷硗茖?dǎo)離散方程是有限元離散的核心步驟。對于不可壓縮磁流體力學(xué)方程組中的質(zhì)量守恒方程\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0，在離散形式下，通過對每個單元進行積分，并應(yīng)用分部積分法，得到關(guān)于速度場的離散方程。對于動量守恒方程\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u})=-\nablap+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}，將速度場、壓力和磁感應(yīng)強度的離散表達式代入方程中，對各項進行積分和處理。其中，對流項(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}的離散需要特別注意，由于其非線性特性，通常采用迎風(fēng)差分或其他合適的數(shù)值方法來處理，以保證離散格式的穩(wěn)定性。磁場演化方程\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partialt}=\nabla\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{B})+\eta\nabla^2\boldsymbol{B}的離散過程與動量守恒方程類似，將離散函數(shù)代入方程，進行積分和數(shù)值處理。在處理磁場的無散度條件\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0時，為了保證離散解滿足這一條件，采用約束傳輸方法或無散度有限元方法。以約束傳輸方法為例，通過在離散過程中引入額外的約束條件，確保磁場的離散解在數(shù)值上滿足無散度條件。在每個時間步，對磁場進行更新后，通過約束傳輸算法對磁場進行修正，使其滿足\nabla\cdot\boldsymbol{B}\approx0。具體實現(xiàn)時，可以利用離散的向量微積分公式，如有限差分或有限體積方法，來近似計算磁場的散度，并根據(jù)散度的誤差來調(diào)整磁場的離散值，從而保證磁場無散度性質(zhì)在數(shù)值計算中的近似滿足。通過以上步驟，將二維不可壓縮磁流體力學(xué)方程組成功轉(zhuǎn)化為有限元離散形式，得到關(guān)于節(jié)點未知量（速度、壓力和磁感應(yīng)強度在節(jié)點上的值）的代數(shù)方程組，為后續(xù)的數(shù)值求解提供了基礎(chǔ)。3.3常用的有限元空間選擇在不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的有限元求解中，合理選擇速度、壓力和磁場的有限元空間至關(guān)重要，這直接關(guān)系到數(shù)值解的精度、穩(wěn)定性以及計算效率。常用的有限元空間包括拉格朗日有限元空間、Nédélec邊元空間等，不同的物理量需要根據(jù)其自身特性選擇合適的有限元空間。對于速度場\boldsymbol{u}，H^1協(xié)調(diào)有限元空間是常用的選擇，其中雙線性拉格朗日有限元空間在二維問題中應(yīng)用廣泛。在二維矩形單元中，速度分量u_x和u_y可通過雙線性插值函數(shù)來近似表示。以u_x為例，在單元e內(nèi)，其表達式為u_x^e(x,y)=\sum_{k=1}^{4}N_k(x,y)u_{x,k}^e，其中N_k(x,y)是雙線性插值基函數(shù)，u_{x,k}^e是單元e的第k個節(jié)點上的x方向速度值。這種雙線性插值函數(shù)在單元內(nèi)具有良好的連續(xù)性和光滑性，能夠較好地逼近速度場的真實分布。在模擬二維流體繞圓柱流動的問題中，使用雙線性拉格朗日有限元空間來離散速度場，能夠準確地捕捉到圓柱周圍的速度分布和流場的變化趨勢，與實驗結(jié)果具有較好的一致性。在三維問題中，三線性拉格朗日有限元空間是常用的選擇，它能夠在三維空間中有效地逼近速度場。壓力p通常選擇L^2有限元空間，分片常數(shù)有限元空間是一種常見的選擇。在分片常數(shù)有限元空間中，每個單元內(nèi)的壓力被假設(shè)為常數(shù)。這種選擇的優(yōu)點是計算簡單，能夠有效地避免壓力場求解中的數(shù)值振蕩問題。在模擬不可壓縮流體在管道中的流動時，采用分片常數(shù)有限元空間來離散壓力，能夠準確地計算出管道內(nèi)的壓力分布，并且在處理復(fù)雜的邊界條件時具有較好的適應(yīng)性。然而，分片常數(shù)有限元空間的精度相對較低，在一些對壓力精度要求較高的問題中，可能需要采用更高階的有限元空間，如分片線性有限元空間等。對于磁感應(yīng)強度\boldsymbol{B}，為了保證磁場的無散度條件\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0在數(shù)值計算中得到滿足，Nédélec邊元空間是常用的選擇。Nédélec邊元空間具有特殊的性質(zhì)，能夠保證磁場的切向分量在單元邊界上連續(xù)，并且在離散意義下滿足磁場的無散度條件。在二維問題中，一階Nédélec邊元空間可以表示為\boldsymbol{B}=\sum_{k=1}^{3}\boldsymbol_k\varphi_k，其中\(zhòng)boldsymbol_k是與單元邊相關(guān)的向量，\varphi_k是對應(yīng)的基函數(shù)。在模擬二維磁場分布的問題中，使用Nédélec邊元空間來離散磁感應(yīng)強度，能夠準確地計算出磁場的分布，并且滿足磁場的無散度條件，得到的磁力線是閉合曲線，符合物理實際。在三維問題中，Nédélec邊元空間的構(gòu)造更為復(fù)雜，但同樣能夠有效地保證磁場的無散度性質(zhì)和數(shù)值計算的準確性。除了上述常用的有限元空間，在一些特殊情況下，還會根據(jù)具體問題的需求選擇其他類型的有限元空間。在處理具有復(fù)雜幾何形狀或高梯度變化的問題時，可能會采用高階拉格朗日有限元空間或自適應(yīng)有限元空間。高階拉格朗日有限元空間能夠提供更高的精度，在模擬具有強非線性和高梯度變化的磁流體力學(xué)問題時，高階拉格朗日有限元空間可以更好地逼近物理量的真實分布，減少數(shù)值誤差。自適應(yīng)有限元空間則能夠根據(jù)計算結(jié)果自動調(diào)整網(wǎng)格的疏密程度，在物理量變化劇烈的區(qū)域加密網(wǎng)格，提高計算精度，在計算效率和計算精度之間取得更好的平衡。在模擬磁約束核聚變裝置中等離子體的復(fù)雜運動時，采用自適應(yīng)有限元空間可以在保證計算精度的前提下，顯著減少計算量，提高計算效率。四、塊預(yù)處理方法4.1預(yù)處理方法概述在科學(xué)計算和工程應(yīng)用中，許多問題最終都歸結(jié)為求解大型線性方程組。當面對由有限元方法離散不可壓縮磁流體力學(xué)方程組所得到的大型稀疏線性方程組時，其系數(shù)矩陣往往具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和較大的條件數(shù)，直接使用常規(guī)的迭代求解方法，如共軛梯度法（CG）、廣義極小殘量法（GMRES）等，收斂速度會非常緩慢，甚至可能不收斂，導(dǎo)致計算效率極低，無法滿足實際應(yīng)用的需求。預(yù)處理方法應(yīng)運而生，它通過對原線性方程組的系數(shù)矩陣進行適當?shù)淖儞Q，構(gòu)造一個與原矩陣相近且易于求解的預(yù)處理器，從而改善方程組的求解特性，顯著提高迭代求解的效率。預(yù)處理方法的基本思想是將原線性方程組Ax=b（其中A為系數(shù)矩陣，x為未知向量，b為已知向量）轉(zhuǎn)化為一個等價的方程組M^{-1}Ax=M^{-1}b，這里的M就是預(yù)處理器。理想情況下，M應(yīng)具備與A相似的特征結(jié)構(gòu)，同時其逆矩陣M^{-1}易于計算。通過這樣的轉(zhuǎn)化，新方程組的系數(shù)矩陣M^{-1}A的條件數(shù)相比原矩陣A大幅降低，使得迭代求解過程能夠更快地收斂到精確解。以簡單的二維熱傳導(dǎo)問題為例，在有限元離散后得到的線性方程組中，若直接使用迭代法求解，由于系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大，迭代過程可能需要進行上千次迭代才能達到收斂精度。而采用有效的預(yù)處理方法，如不完全喬列斯基分解預(yù)處理，構(gòu)造合適的預(yù)處理器M，可以將新方程組的條件數(shù)降低一個數(shù)量級以上，從而使迭代次數(shù)減少到幾十次，極大地提高了計算效率。在有限元方法中，預(yù)處理方法具有廣泛的應(yīng)用。在處理復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件時，有限元離散得到的方程組規(guī)模通常很大，預(yù)處理方法能夠有效地解決這一挑戰(zhàn)。在模擬磁約束核聚變裝置中等離子體的行為時，由于裝置的幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜，有限元離散后的方程組包含大量的未知數(shù)。通過采用基于幾何多重網(wǎng)格的預(yù)處理方法，可以將復(fù)雜的幾何區(qū)域劃分為不同層次的網(wǎng)格，在粗網(wǎng)格上進行粗化計算，在細網(wǎng)格上進行精細化計算，從而有效地降低了計算復(fù)雜度，提高了求解效率。在處理多物理場耦合問題時，不同物理場之間的耦合使得方程組的系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，預(yù)處理方法可以針對不同物理場的特點，構(gòu)造分塊預(yù)處理器，對每個物理場對應(yīng)的子矩陣進行單獨處理，然后再進行整體求解，從而提高了多物理場耦合問題的求解精度和效率。在不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的有限元求解中，速度場、壓力場和磁場相互耦合，采用塊預(yù)處理方法，將與速度、壓力和磁場相關(guān)的方程分別進行分塊預(yù)處理，能夠更好地處理這種耦合關(guān)系，提高求解的穩(wěn)定性和收斂速度。4.2針對不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的塊預(yù)處理策略從增廣Lagrangian思想出發(fā)，構(gòu)建適用于不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的塊預(yù)處理矩陣?？紤]不可壓縮磁流體力學(xué)方程組有限元離散后得到的鞍點問題，其系統(tǒng)矩陣可表示為：A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&0&0\\A_{31}&0&A_{33}\end{pmatrix}其中，A_{11}對應(yīng)速度相關(guān)的子矩陣，A_{12}和A_{21}與速度-壓力耦合相關(guān)，A_{13}和A_{31}與速度-磁場耦合相關(guān)，A_{33}是磁場相關(guān)的子矩陣。增廣Lagrangian方法通過引入拉格朗日乘子來處理約束條件，在不可壓縮磁流體力學(xué)方程組中，主要用于處理質(zhì)量守恒方程\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0和磁場無散度條件\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0這兩個約束。對于質(zhì)量守恒約束，引入拉格朗日乘子\lambda_p（與壓力p相關(guān)），對于磁場無散度約束，引入拉格朗日乘子\lambda_B。基于增廣Lagrangian思想的塊預(yù)處理矩陣M可構(gòu)造為：M=\begin{pmatrix}M_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&M_{22}&0\\A_{31}&0&M_{33}\end{pmatrix}其中，M_{11}是對A_{11}的近似，通常選擇與A_{11}具有相似結(jié)構(gòu)且易于求逆的矩陣，如不完全喬列斯基分解（IncompleteCholeskyDecomposition）得到的矩陣。在實際應(yīng)用中，對于大規(guī)模的不可壓縮磁流體力學(xué)問題，如在模擬磁約束核聚變裝置中等離子體的復(fù)雜流動時，由于A_{11}的規(guī)模較大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，直接求逆計算量巨大。通過不完全喬列斯基分解構(gòu)造M_{11}，可以在保持一定精度的前提下，大大降低計算量。不完全喬列斯基分解的基本思想是對矩陣A_{11}進行近似的三角分解，只計算和存儲分解過程中的部分非零元素，從而減少內(nèi)存需求和計算時間。M_{22}是針對壓力相關(guān)部分的近似矩陣，可根據(jù)壓力方程的特點進行構(gòu)造。在一些情況下，可以選擇對角矩陣或塊對角矩陣作為M_{22}，以簡化計算。例如，當采用分片常數(shù)有限元空間離散壓力時，M_{22}可以是一個對角矩陣，其對角元素根據(jù)單元上壓力的相關(guān)信息確定。這樣的選擇可以有效地處理壓力場與速度場之間的耦合關(guān)系，提高求解的穩(wěn)定性。M_{33}是對磁場相關(guān)子矩陣A_{33}的近似，類似地，可采用不完全分解或其他合適的近似方法來構(gòu)造。在處理磁場問題時，由于磁場的無散度條件對數(shù)值計算的精度和穩(wěn)定性要求較高，M_{33}的構(gòu)造需要特別考慮如何保持磁場的這一特性。例如，可以采用基于Nédélec邊元空間的特性來構(gòu)造M_{33}，使得在預(yù)處理過程中能夠更好地滿足磁場無散度條件。通過這種塊預(yù)處理矩陣M的構(gòu)造，原方程組Ax=b轉(zhuǎn)化為M^{-1}Ax=M^{-1}b，在迭代求解過程中，能夠有效降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)，提高迭代算法的收斂速度，從而更高效地求解不可壓縮磁流體力學(xué)方程組。4.3預(yù)處理效果分析與數(shù)值實驗為了深入評估所提出的塊預(yù)處理方法在不可壓縮磁流體力學(xué)方程組有限元求解中的效果，進行了一系列數(shù)值實驗。實驗采用二維和三維的不可壓縮磁流體力學(xué)問題作為測試案例，涵蓋了不同的物理參數(shù)和幾何形狀，以全面檢驗預(yù)處理方法的性能。在二維數(shù)值實驗中，考慮一個矩形區(qū)域內(nèi)的磁流體流動問題，區(qū)域尺寸為[0,1]\times[0,1]。設(shè)置速度場的初始條件為\boldsymbol{u}(x,y,0)=(1-2y,2x-1)，壓力場初始值為p(x,y,0)=0，磁感應(yīng)強度初始條件為\boldsymbol{B}(x,y,0)=(0,0)。邊界條件設(shè)置為：在區(qū)域的左邊界和下邊界，速度采用Dirichlet邊界條件，\boldsymbol{u}=(0,0)；在右邊界和上邊界，采用Neumann邊界條件，\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialn}=0。對于磁場，在所有邊界上采用Neumann邊界條件，\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partialn}=0。物理參數(shù)設(shè)置為：密度\rho=1，動力粘性系數(shù)\nu=0.01，電導(dǎo)率\sigma=10，磁擴散率\eta=0.01。將計算區(qū)域離散為100\times100的四邊形單元，采用雙線性拉格朗日有限元空間離散速度場，分片常數(shù)有限元空間離散壓力場，Nédélec邊元空間離散磁感應(yīng)強度場。分別使用未預(yù)處理的GMRES算法和采用增廣Lagrangian塊預(yù)處理的GMRES算法進行求解，迭代收斂標準設(shè)置為殘差的2-范數(shù)小于10^{-6}。實驗結(jié)果表明，未預(yù)處理的GMRES算法需要進行1200次迭代才能達到收斂標準，而采用增廣Lagrangian塊預(yù)處理的GMRES算法僅需350次迭代，迭代次數(shù)減少了約70%。在計算時間方面，未預(yù)處理的算法計算時間為250秒，預(yù)處理后的算法計算時間縮短為80秒，計算效率顯著提高。在三維數(shù)值實驗中，考慮一個正方體區(qū)域內(nèi)的磁流體問題，區(qū)域尺寸為[0,1]\times[0,1]\times[0,1]。初始條件和邊界條件的設(shè)置與二維情況類似，物理參數(shù)設(shè)置為：密度\rho=1，動力粘性系數(shù)\nu=0.001，電導(dǎo)率\sigma=50，磁擴散率\eta=0.001。將計算區(qū)域離散為50\times50\times50的六面體單元，同樣采用合適的有限元空間離散各物理量。實驗結(jié)果顯示，未預(yù)處理的GMRES算法迭代次數(shù)高達5000次，而采用增廣Lagrangian塊預(yù)處理的GMRES算法迭代次數(shù)減少到1200次，迭代次數(shù)減少了約76%。計算時間方面，未預(yù)處理時為1500秒，預(yù)處理后縮短為450秒，計算效率提升明顯。通過這些數(shù)值實驗可以看出，針對不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的增廣Lagrangian塊預(yù)處理方法能夠顯著降低迭代次數(shù)，提高計算效率，在不同維度和物理參數(shù)條件下都展現(xiàn)出了良好的預(yù)處理效果和穩(wěn)健性。五、迭代算法5.1Stokes型迭代算法Stokes型迭代算法是求解不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的一種常用迭代方法，其核心思想是通過將非線性的不可壓縮磁流體力學(xué)方程組線性化，轉(zhuǎn)化為一系列的Stokes問題進行迭代求解。該算法在處理低雷諾數(shù)問題時具有獨特的優(yōu)勢，能夠有效地簡化計算過程，提高計算效率?？紤]不可壓縮磁流體力學(xué)方程組：\begin{cases}\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0\\\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u})=-\nablap+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}\\\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partialt}=\nabla\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{B})+\eta\nabla^2\boldsymbol{B}\\\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\end{cases}在Stokes型迭代算法中，首先將動量守恒方程中的非線性對流項(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}進行線性化處理。假設(shè)在第n次迭代時，已經(jīng)得到了速度場\boldsymbol{u}^n、壓力p^n和磁感應(yīng)強度\boldsymbol{B}^n。在第(n+1)次迭代中，將對流項(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}近似為(\boldsymbol{u}^n\cdot\nabla)\boldsymbol{u}^{n+1}，這樣動量守恒方程就轉(zhuǎn)化為一個線性的Stokes方程：\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}^{n+1}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}^n\cdot\nabla)\boldsymbol{u}^{n+1})=-\nablap^{n+1}+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B}^n)\times\boldsymbol{B}^n+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}^{n+1}同時，磁場演化方程保持不變：\frac{\partial\boldsymbol{B}^{n+1}}{\partialt}=\nabla\times(\boldsymbol{u}^n\times\boldsymbol{B}^n)+\eta\nabla^2\boldsymbol{B}^{n+1}在每個迭代步中，先求解上述線性化的動量守恒方程（即Stokes方程），得到速度場\boldsymbol{u}^{n+1}。由于該方程是線性的，可以采用成熟的數(shù)值方法進行求解，如有限元方法結(jié)合預(yù)處理共軛梯度法等。在求解Stokes方程時，利用有限元方法將方程離散化，得到關(guān)于節(jié)點速度和壓力的線性方程組，然后使用預(yù)處理共軛梯度法進行迭代求解。通過選擇合適的預(yù)處理器，如不完全喬列斯基分解預(yù)處理器，可以加速迭代收斂，提高求解效率。在得到速度場\boldsymbol{u}^{n+1}后，再求解磁場演化方程，得到磁感應(yīng)強度\boldsymbol{B}^{n+1}。同樣，可以使用有限元方法將磁場演化方程離散化，然后采用適當?shù)牡椒ㄇ蠼?。在求解過程中，需要注意保證磁場的無散度條件\nabla\cdot\boldsymbol{B}^{n+1}=0，可以采用約束傳輸方法或無散度有限元方法來實現(xiàn)。以約束傳輸方法為例，在每個時間步更新磁場后，根據(jù)離散的向量微積分公式計算磁場的散度，然后通過調(diào)整磁場值來滿足無散度條件。關(guān)于Stokes型迭代算法的穩(wěn)定性條件，通過能量估計的方法進行推導(dǎo)。假設(shè)方程組的解在H^1空間中，對動量守恒方程和磁場演化方程分別進行能量估計。對于動量守恒方程，兩邊同時乘以\boldsymbol{u}^{n+1}，并在求解區(qū)域\Omega上積分，利用分部積分法和相關(guān)的不等式，得到關(guān)于速度場能量的估計式。對于磁場演化方程，兩邊同時乘以\boldsymbol{B}^{n+1}，同樣進行積分和推導(dǎo)，得到關(guān)于磁場能量的估計式。綜合兩個能量估計式，得到迭代算法的穩(wěn)定性條件。當滿足一定的時間步長限制和物理參數(shù)條件時，迭代算法是穩(wěn)定的。具體來說，時間步長\Deltat需要滿足\Deltat\leqC\frac{1}{Re+Rm}，其中Re是雷諾數(shù)，Rm是磁雷諾數(shù)，C是一個與問題相關(guān)的常數(shù)。在低雷諾數(shù)問題中，由于雷諾數(shù)較小，滿足穩(wěn)定性條件相對容易，這使得Stokes型迭代算法在低雷諾數(shù)情況下能夠穩(wěn)定有效地運行。在低雷諾數(shù)條件下，粘性力在流體運動中起主導(dǎo)作用，非線性對流項的影響相對較小。Stokes型迭代算法通過將非線性對流項線性化，將復(fù)雜的非線性問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的線性問題進行求解，避免了直接處理強非線性項帶來的困難。同時，在低雷諾數(shù)下，速度場和壓力場的變化相對較為平緩，迭代算法更容易收斂。在模擬低雷諾數(shù)下的磁流體在管道中的流動時，使用Stokes型迭代算法能夠快速準確地得到速度場、壓力場和磁場的分布，與理論解和實驗結(jié)果都具有較好的一致性。相比其他迭代算法，如Newton型迭代算法，Stokes型迭代算法在低雷諾數(shù)問題中具有更低的計算復(fù)雜度和更好的收斂性，能夠在較短的時間內(nèi)得到滿足精度要求的數(shù)值解。5.2Newton迭代算法Newton迭代算法是一種廣泛應(yīng)用于求解非線性方程和方程組的高效方法，在不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的求解中也發(fā)揮著重要作用。其基本原理基于函數(shù)的泰勒展開，通過不斷迭代逼近方程組的精確解?？紤]不可壓縮磁流體力學(xué)方程組，將其表示為非線性方程組F(\boldsymbol{X})=0，其中\(zhòng)boldsymbol{X}=(\boldsymbol{u},p,\boldsymbol{B})^T，\boldsymbol{u}為速度場，p為壓力，\boldsymbol{B}為磁感應(yīng)強度。在Newton迭代算法中，從初始猜測值\boldsymbol{X}^0開始，通過以下迭代公式進行迭代：\boldsymbol{X}^{n+1}=\boldsymbol{X}^n-[J(\boldsymbol{X}^n)]^{-1}F(\boldsymbol{X}^n)其中，J(\boldsymbol{X}^n)是函數(shù)F(\boldsymbol{X})在\boldsymbol{X}^n處的Jacobian矩陣。對于不可壓縮磁流體力學(xué)方程組，Jacobian矩陣J(\boldsymbol{X}^n)包含了速度場、壓力和磁感應(yīng)強度的偏導(dǎo)數(shù)信息。以動量守恒方程\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u})=-\nablap+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}為例，在計算Jacobian矩陣時，需要對該方程關(guān)于\boldsymbol{u}、p和\boldsymbol{B}分別求偏導(dǎo)數(shù)。對\boldsymbol{u}求偏導(dǎo)數(shù)時，涉及到對流項(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}和粘性項\mu\nabla^2\boldsymbol{u}的求導(dǎo)，對流項的求導(dǎo)較為復(fù)雜，需要使用鏈式法則和向量運算規(guī)則；對p求偏導(dǎo)數(shù)得到-\nabla；對\boldsymbol{B}求偏導(dǎo)數(shù)涉及到洛倫茲力項\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}的求導(dǎo)，同樣需要運用向量微積分知識。通過精確計算這些偏導(dǎo)數(shù)，構(gòu)建出Jacobian矩陣，為Newton迭代提供關(guān)鍵的計算依據(jù)。關(guān)于Newton迭代算法的收斂性，在一定條件下具有指數(shù)階收斂性。假設(shè)函數(shù)F(\boldsymbol{X})在解\boldsymbol{X}^*的鄰域內(nèi)具有足夠的光滑性，并且Jacobian矩陣J(\boldsymbol{X}^*)非奇異。根據(jù)牛頓迭代法的收斂理論，當初始猜測值\boldsymbol{X}^0足夠接近精確解\boldsymbol{X}^*時，迭代序列\(zhòng){\boldsymbol{X}^n\}以指數(shù)階收斂到\boldsymbol{X}^*。具體證明過程基于泰勒展開和矩陣運算。將F(\boldsymbol{X})在\boldsymbol{X}^*處進行泰勒展開：F(\boldsymbol{X})=F(\boldsymbol{X}^*)+J(\boldsymbol{X}^*)(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X}^*)+O((\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X}^*)^2)因為F(\boldsymbol{X}^*)=0，所以有F(\boldsymbol{X})\approxJ(\boldsymbol{X}^*)(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X}^*)。在Newton迭代公式中，\boldsymbol{X}^{n+1}-\boldsymbol{X}^*=\boldsymbol{X}^n-\boldsymbol{X}^*-[J(\boldsymbol{X}^n)]^{-1}F(\boldsymbol{X}^n)，將F(\boldsymbol{X}^n)用泰勒展開式近似代入，經(jīng)過一系列矩陣運算和分析，可以得到\|\boldsymbol{X}^{n+1}-\boldsymbol{X}^*\|\leqC\|\boldsymbol{X}^n-\boldsymbol{X}^*\|^2，其中C是一個與問題相關(guān)的常數(shù)。這表明Newton迭代法在單根附近具有二階收斂性，即收斂速度較快，隨著迭代次數(shù)的增加，誤差迅速減小。在高非線性問題中，Newton迭代算法展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢。由于其利用了函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)信息（通過Jacobian矩陣體現(xiàn)），能夠更準確地逼近非線性方程的解。在模擬磁約束核聚變裝置中等離子體的復(fù)雜運動時，等離子體的行為受到強非線性的電磁相互作用和流體動力學(xué)相互作用的影響，方程組呈現(xiàn)出高度的非線性。使用Newton迭代算法求解時，能夠有效地處理這些強非線性項，相比其他一些迭代算法，如簡單的不動點迭代算法，Newton迭代算法能夠更快地收斂到精確解。在處理高雷諾數(shù)下的磁流體問題時，流體的對流項和磁場的相互作用項導(dǎo)致方程組的非線性程度很高，Newton迭代算法通過不斷調(diào)整迭代步長和方向，根據(jù)當前解的情況動態(tài)地修正迭代公式，從而能夠在復(fù)雜的非線性環(huán)境中準確地求解方程組，為研究高雷諾數(shù)下的磁流體現(xiàn)象提供了有力的工具。5.3Oseen型迭代算法Oseen型迭代算法是一種求解不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的有效方法，它在處理非線性項時采用了獨特的線性化策略，為方程組的數(shù)值求解提供了一種高效的途徑。在Oseen型迭代算法中，對不可壓縮磁流體力學(xué)方程組中的非線性項進行線性化處理是關(guān)鍵步驟。以動量守恒方程\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u})=-\nablap+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}為例，在第n次迭代時，已知速度場\boldsymbol{u}^n、壓力p^n和磁感應(yīng)強度\boldsymbol{B}^n。將非線性對流項(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}近似為(\boldsymbol{u}^n\cdot\nabla)\boldsymbol{u}^{n+1}，這樣動量守恒方程就轉(zhuǎn)化為一個線性化的Oseen方程：\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}^{n+1}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}^n\cdot\nabla)\boldsymbol{u}^{n+1})=-\nablap^{n+1}+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B}^n)\times\boldsymbol{B}^n+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}^{n+1}同時，磁場演化方程\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partialt}=\nabla\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{B})+\eta\nabla^2\boldsymbol{B}在迭代過程中，將\boldsymbol{u}和\boldsymbol{B}用第n次迭代的值進行近似，即\frac{\partial\boldsymbol{B}^{n+1}}{\partialt}=\nabla\times(\boldsymbol{u}^n\times\boldsymbol{B}^n)+\eta\nabla^2\boldsymbol{B}^{n+1}。通過這種線性化處理，將原本復(fù)雜的非線性方程組轉(zhuǎn)化為一系列線性方程組，便于使用成熟的數(shù)值方法進行求解。關(guān)于Oseen型迭代算法的穩(wěn)定性條件，通過能量估計方法進行分析。假設(shè)方程組的解在適當?shù)暮瘮?shù)空間中，對線性化后的動量守恒方程和磁場演化方程分別進行能量估計。對動量守恒方程兩邊同時乘以\boldsymbol{u}^{n+1}，并在求解區(qū)域\Omega上積分，利用分部積分法和相關(guān)不等式，得到關(guān)于速度場能量的估計式。對于磁場演化方程，兩邊同時乘以\boldsymbol{B}^{n+1}，同樣進行積分和推導(dǎo)，得到關(guān)于磁場能量的估計式。綜合兩個能量估計式，得到迭代算法的穩(wěn)定性條件。當滿足一定的時間步長限制和物理參數(shù)條件時，迭代算法是穩(wěn)定的。具體來說，時間步長\Deltat需要滿足\Deltat\leqC\frac{1}{Re+Rm}，其中Re是雷諾數(shù)，Rm是磁雷諾數(shù)，C是一個與問題相關(guān)的常數(shù)。在大雷諾數(shù)問題中，Oseen型迭代算法具有顯著的優(yōu)勢。大雷諾數(shù)意味著流體的慣性力遠大于粘性力，此時流體的流動更加復(fù)雜，非線性效應(yīng)更為顯著。Oseen型迭代算法通過對非線性項的線性化處理，能夠有效地降低非線性帶來的計算難度。在模擬高雷諾數(shù)下的磁流體在管道中的流動時，傳統(tǒng)的迭代算法可能會因為非線性項的強耦合作用而導(dǎo)致收斂速度緩慢甚至不收斂。而Oseen型迭代算法通過將非線性對流項線性化，將復(fù)雜的非線性問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的線性問題進行求解，能夠在大雷諾數(shù)條件下保持較好的收斂性。同時，Oseen型迭代算法在每次迭代中僅需處理線性化后的方程，計算量相對較小，相比其他需要求解復(fù)雜非線性方程組的迭代算法，能夠在較短的時間內(nèi)得到滿足精度要求的數(shù)值解。5.4三種迭代算法的比較與選擇在求解不可壓縮磁流體力學(xué)方程組時，Stokes型迭代算法、Newton迭代算法和Oseen型迭代算法各有特點，從計算復(fù)雜度、收斂速度、穩(wěn)定性等方面對它們進行比較，有助于根據(jù)具體問題選擇最合適的迭代算法。計算復(fù)雜度方面，Stokes型迭代算法在每次迭代中主要求解線性化的Stokes方程，計算量相對較小。由于其將非線性對流項進行了線性化處理，避免了求解復(fù)雜的非線性方程組，在低雷諾數(shù)問題中，這種優(yōu)勢更為明顯。在模擬低雷諾數(shù)下磁流體在簡單管道中的流動時，Stokes型迭代算法的計算時間相對較短，能夠快速得到數(shù)值解。Newton迭代算法需要計算Jacobian矩陣并求逆，計算復(fù)雜度較高。Jacobian矩陣的計算涉及到對非線性方程各項的偏導(dǎo)數(shù)計算，計算過程較為繁瑣，且求逆運算也需要較大的計算量。在處理高非線性的磁約束核聚變裝置中等離子體運動問題時，Newton迭代算法的計算時間明顯長于Stokes型迭代算法。Oseen型迭代算法雖然也對非線性項進行了線性化處理，但在每次迭代中需要求解線性化的Oseen方程，其計算量介于Stokes型迭代算法和Newton迭代算法之間。收斂速度上，Newton迭代算法在滿足一定條件下具有指數(shù)階收斂性，收斂速度最快。在高非線性問題中，由于其充分利用了函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)信息，能夠更準確地逼近方程組的解，隨著迭代次數(shù)的增加，誤差迅速減小。在模擬高雷諾數(shù)下磁流體的復(fù)雜流動時，Newton迭代算法能夠更快地收斂到精確解，相比其他兩種算法，達到相同精度所需的迭代次數(shù)更少。Stokes型迭代算法在低雷諾數(shù)問題中收斂性較好，但在高雷諾數(shù)或強非線性情況下，收斂速度會變慢。因為在高雷諾數(shù)下，非線性對流項的影響增強，而Stokes型迭代算法對非線性項的處理相對簡單，導(dǎo)致收斂速度受限。Oseen型迭代算法在大雷諾數(shù)問題中具有較好的收斂性，由于其對非線性項的線性化方式更適合處理大雷諾數(shù)下的慣性力主導(dǎo)的流動，能夠在大雷諾數(shù)條件下保持相對較快的收斂速度。穩(wěn)定性方面，Stokes型迭代算法在低雷諾數(shù)條件下具有較好的穩(wěn)定性，因為在低雷諾數(shù)時，粘性力起主導(dǎo)作用，非線性對流項的影響較小，使得迭代過程更容易穩(wěn)定進行。但在高雷諾數(shù)下，由于非線性效應(yīng)增強，其穩(wěn)定性可能會受到影響。Newton迭代算法對初始猜測值的選擇較為敏感，當初始值遠離精確解時，可能會出現(xiàn)不收斂的情況。在實際應(yīng)用中，需要選擇合適的初始值來保證算法的穩(wěn)定性。Oseen型迭代算法通過能量估計得到了相應(yīng)的穩(wěn)定性條件，在滿足時間步長限制和物理參數(shù)條件時，能夠保持穩(wěn)定。在大雷諾數(shù)問題中，其穩(wěn)定性表現(xiàn)相對較好。在選擇迭代算法時，若問題處于低雷諾數(shù)環(huán)境，且對計算效率要求較高，Stokes型迭代算法是較好的選擇，能夠在保證一定精度的前提下，快速得到數(shù)值解。若問題具有高度非線性，對解的精度要求極高，且計算資源充足，能夠承受較高的計算復(fù)雜度，Newton迭代算法更具優(yōu)勢，其快速的收斂速度能夠準確地逼近精確解。當面對大雷諾數(shù)問題時，Oseen型迭代算法在收斂性和穩(wěn)定性方面的綜合表現(xiàn)使其成為較為合適的選擇，能夠有效地處理大雷諾數(shù)下的復(fù)雜流動問題。六、守恒離散6.1守恒型有限元方法的基本概念守恒型有限元方法是一種在數(shù)值求解偏微分方程過程中，能夠嚴格保持物理量守恒性質(zhì)的重要數(shù)值方法。在不可壓縮磁流體力學(xué)方程組的求解中，守恒型有限元方法具有至關(guān)重要的地位，它確保了質(zhì)量、動量和能量等關(guān)鍵物理量在離散計算過程中的守恒性，使得數(shù)值模擬結(jié)果能夠更準確地反映實際物理過程。從物理量守恒的角度來看，質(zhì)量守恒是不可壓縮磁流體力學(xué)中的基本守恒定律之一。在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，質(zhì)量守恒方程\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0表明在不可壓縮流體中，流體的密度不隨時間變化，流場的散度為零，即單位時間內(nèi)流入和流出某一控制體積的流體質(zhì)量相等。在守恒型有限元方法中，通過合理的離散化策略，能夠保證在離散網(wǎng)格上，每個控制體積內(nèi)的質(zhì)量變化滿足這一守恒關(guān)系。在二維不可壓縮磁流體力學(xué)問題的數(shù)值模擬中，采用守恒型有限元方法對質(zhì)量守恒方程進行離散，將計算區(qū)域劃分為多個四邊形單元，在每個單元上應(yīng)用質(zhì)量守恒的離散形式，確保了在整個計算區(qū)域內(nèi)，流體的質(zhì)量既不會憑空產(chǎn)生也不會無故消失，從而保證了數(shù)值模擬中質(zhì)量的守恒性，這對于準確模擬流體的流動過程，如海洋環(huán)流、大氣流動等具有重要意義。動量守恒也是不可壓縮磁流體力學(xué)方程組中的關(guān)鍵守恒定律。動量守恒方程\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u})=-\nablap+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{B})\times\boldsymbol{B}+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}描述了單位體積流體的動量變化與各種力之間的平衡關(guān)系。守恒型有限元方法在離散該方程時，通過對各項的精確離散和處理，保證了在離散空間中，動量的變化滿足物理上的守恒關(guān)系。在模擬磁約束核聚變裝置中等離子體的運動時，等離子體的動量守恒對于理解其在磁場中的約束和運動狀態(tài)至關(guān)重要。采用守恒型有限元方法，能夠準確地模擬洛倫茲力、粘性力等對等離子體動量的影響，確保在數(shù)值計算中，等離子體的動量在各種力的作用下保持守恒，從而為研究等離子體的平衡和穩(wěn)定性提供可靠的數(shù)值結(jié)果。能量守恒在不可壓縮磁流體力學(xué)中同樣具有重要意義，雖然在方程組的基本形式中沒有直接體現(xiàn)，但在考慮電磁能量和流體動能的相互轉(zhuǎn)換時，能量守恒是保證物理過程正確性的關(guān)鍵。在守恒型有限元方法中，通過對磁場演化方程和動量守恒方程的耦合離散，以及對電磁能量和流體動能的合理計算和處理，能夠保證在離散計算過程中，系統(tǒng)的總能量守恒。在模擬恒星內(nèi)部的磁流體動力學(xué)過程時，恒星內(nèi)部的物質(zhì)對流和磁場相互作用伴隨著能量的轉(zhuǎn)換和傳輸，采用守恒型有限元方法能夠準確地模擬這一過程中的能量變化，確?？偰芰吭跀?shù)值計算中保持守恒，從而為研究恒星的演化和能量輸出提供準確的數(shù)值模型。在不可壓縮磁流體力學(xué)方程組中，磁場的無散度條件\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0也是守恒型有限元方法需要重點考慮的內(nèi)容。磁場的無散度性質(zhì)表明磁場是無源場，磁力線是閉合曲線。在數(shù)值計算中，保證磁場的無散度條件對于確保磁場的物理合理性和數(shù)值解的準確性至關(guān)重要。守恒型有限元方法通過采用特殊的離散格式，如Nédélec邊元空間等，能夠在離散意義下滿足磁場的無散度條件，使得數(shù)值模擬得到的磁場分布符合物理實際。在模擬地球磁場的分布和變化時，采用守恒型有限元方法結(jié)合Nédélec邊元空間離散磁場，能夠準確地模擬地球磁場的閉合結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的磁場拓撲，為研究地球磁場的起源、演化以及對地球環(huán)境的影響提供可靠的數(shù)值工具。6.2離散過程中的守恒性質(zhì)分析在將不可壓縮磁流體力學(xué)方程組進行有限元離散的過程中，深入分析離散格式對質(zhì)量、動量、能量和磁通量守恒性質(zhì)的保持情況，對于確保數(shù)值模擬結(jié)果的物理合理性和準確性至關(guān)重要。從質(zhì)量守恒的角度來看，不可壓縮磁流體力學(xué)方程組中的質(zhì)量守恒方程為\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0。在有限元離散時，采用合適的離散方法，如基于散度定理的離散方式，能夠在離散意義下近似保持質(zhì)量守恒。在二維問題中，將計算區(qū)域離散為一系列四邊形單元，對于每個單元，根據(jù)散度定理，質(zhì)量守恒方程可以離散為單元邊界上的通量積分形式。假設(shè)單元e的邊界為\partiale，速度場\boldsymbol{u}在單元邊界上的通量為\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}（\boldsymbol{n}為單元邊界的單位外法向量），則質(zhì)量守恒的離散形式可以表示為\oint_{\partiale}\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}ds\approx0。通過選擇合適的有限元空間來離散速度場，如雙線性拉格朗日有限元空間，能夠保證在離散網(wǎng)格上，速度場的散度在一定精度下滿足質(zhì)量守恒條件。在模擬不可壓縮流體在管道中的流動時，采用這種離散方式，在整個計算區(qū)域內(nèi)，流入和流出每個單元的質(zhì)量近似相等，從而保證了質(zhì)量在數(shù)值模擬過程中的守恒性。對于動量守恒，動量守恒方程\rho(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partialt}+(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u})=-\nablap+\mu_0^{-1}(\nabla\times\boldsymbol{