重積分題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.二重積分的積分區(qū)域是平面上的（）A.曲線B.直線C.平面區(qū)域D.空間區(qū)域2.若\(D\)是\(x\)軸、\(y\)軸及\(x+y=1\)所圍成的區(qū)域，則\(\iint_Ddxdy\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.\(\frac{1}{3}\)D.23.設(shè)\(D\)是由\(x^2+y^2\leq1\)確定的區(qū)域，則\(\iint_D2dxdy\)等于（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.\(3\pi\)4.交換積分次序\(\int_0^1dx\int_x^1f(x,y)dy\)后的結(jié)果為（）A.\(\int_0^1dy\int_y^1f(x,y)dx\)B.\(\int_0^1dy\int_0^yf(x,y)dx\)C.\(\int_1^0dy\int_y^1f(x,y)dx\)D.\(\int_1^0dy\int_0^yf(x,y)dx\)5.三重積分\(\iiint_{\Omega}dxdydz\)，\(\Omega\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(z=0\)及\(x+y+z=1\)所圍成的區(qū)域，其值為（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.16.已知\(D\)是由\(y=x\)，\(y=0\)，\(x=1\)圍成的區(qū)域，則\(\iint_Dxydxdy\)的值為（）A.\(\frac{1}{8}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.17.若\(D\)是由\(x^2+y^2=4\)圍成的區(qū)域，則\(\iint_D(x^2+y^2)dxdy\)用極坐標(biāo)計算為（）A.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2r^3dr\)B.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2r^2dr\)C.\(\int_0^{\pi}d\theta\int_0^2r^3dr\)D.\(\int_0^{\pi}d\theta\int_0^2r^2dr\)8.設(shè)\(D\)是矩形區(qū)域\(0\leqx\leq1\)，\(0\leqy\leq2\)，則\(\iint_D(x+y)dxdy\)的值為（）A.3B.2C.1D.49.由\(z=x^2+y^2\)，\(z=1\)所圍成的閉區(qū)域\(\Omega\)，\(\iiint_{\Omega}dxdydz\)用柱坐標(biāo)計算為（）A.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_{r^2}^1dz\)B.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_0^1dz\)C.\(\int_0^{\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_{r^2}^1dz\)D.\(\int_0^{\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_0^1dz\)10.已知\(D\)是由\(y=\sqrt{1-x^2}\)，\(y=0\)圍成的上半圓區(qū)域，則\(\iint_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\)用極坐標(biāo)計算為（）A.\(\int_0^{\pi}d\theta\int_0^1r\sqrt{1-r^2}dr\)B.\(\int_0^{\pi}d\theta\int_0^1\sqrt{1-r^2}dr\)C.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r\sqrt{1-r^2}dr\)D.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1\sqrt{1-r^2}dr\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是計算二重積分的方法（）A.直角坐標(biāo)法B.極坐標(biāo)法C.柱坐標(biāo)法D.球坐標(biāo)法2.關(guān)于二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)，正確的說法有（）A.\(D\)是積分區(qū)域B.\(f(x,y)\)是被積函數(shù)C.積分值與積分次序無關(guān)（在可交換次序時）D.一定可以化為二次積分計算3.下列區(qū)域中，適合用極坐標(biāo)計算二重積分的有（）A.\(x^2+y^2\leqa^2\)B.\(x^2+y^2\leq2x\)C.\(y\geqx^2\)且\(y\leq1\)D.\(x^2+y^2\leq2y\)4.三重積分的計算方法有（）A.直角坐標(biāo)法B.柱坐標(biāo)法C.球坐標(biāo)法D.極坐標(biāo)法5.設(shè)\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)圍成的區(qū)域，下列等式正確的是（）A.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_0^1dx\int_0^{1-x}f(x,y)dy\)B.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_0^1dy\int_0^{1-y}f(x,y)dx\)C.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_0^1dx\int_x^1f(x,y)dy\)D.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_0^1dy\int_y^1f(x,y)dx\)6.對于二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)，如果\(D\)關(guān)于\(x\)軸對稱，\(f(x,-y)=-f(x,y)\)，則（）A.\(\iint_Df(x,y)dxdy=0\)B.\(\iint_Df(x,y)dxdy=2\iint_{D_1}f(x,y)dxdy\)（\(D_1\)是\(D\)在\(x\)軸上方部分）C.被積函數(shù)\(f(x,y)\)關(guān)于\(y\)是奇函數(shù)D.積分值與\(D\)在\(x\)軸下方部分無關(guān)7.以下哪些情況適合使用柱坐標(biāo)計算三重積分（）A.積分區(qū)域是圓柱或部分圓柱B.被積函數(shù)含有\(zhòng)(x^2+y^2\)C.積分區(qū)域由\(z=x^2+y^2\)和平面所圍成D.積分區(qū)域關(guān)于\(z\)軸對稱8.關(guān)于球坐標(biāo)\((r,\varphi,\theta)\)，正確的是（）A.\(r\geq0\)B.\(0\leq\varphi\leq\pi\)C.\(0\leq\theta\leq2\pi\)D.\(x=r\sin\varphi\cos\theta\)9.若\(D\)是由\(x^2+y^2\leq1\)，\(z=0\)，\(z=1\)圍成的圓柱體區(qū)域，\(\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz\)用柱坐標(biāo)表示為（）A.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_0^1f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz\)B.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1dr\int_0^1f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz\)C.\(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_0^1f(x,y,z)dz\)D.\(\int_0^{\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_0^1f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz\)10.計算重積分時，常用的積分性質(zhì)有（）A.線性性質(zhì)B.區(qū)域可加性C.比較性質(zhì)D.中值定理三、判斷題（每題2分，共10題）1.二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)的值只與被積函數(shù)\(f(x,y)\)和積分區(qū)域\(D\)有關(guān)。（）2.交換二重積分的積分次序，積分值一定不變。（）3.若\(D\)關(guān)于\(y\)軸對稱，\(f(x,-y)=f(x,y)\)，則\(\iint_Df(x,y)dxdy=2\iint_{D_1}f(x,y)dxdy\)，\(D_1\)是\(D\)在\(y\)軸右側(cè)部分。（）4.柱坐標(biāo)下\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，\(z=z\)，\(dxdydz=rdzdrd\theta\)。（）5.球坐標(biāo)下\(x=r\sin\varphi\cos\theta\)，\(y=r\sin\varphi\sin\theta\)，\(z=r\cos\varphi\)，\(dxdydz=r^2\sin\varphidrd\varphid\theta\)。（）6.計算二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)時，若\(D\)是矩形區(qū)域\(a\leqx\leqb\)，\(c\leqy\leqd\)，則\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_a^bf(x,y)dx\int_c^df(x,y)dy\)。（）7.對于三重積分\(\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz\)，積分區(qū)域\(\Omega\)是由\(z=0\)，\(z=1\)，\(x^2+y^2\leq1\)圍成的圓柱體，用柱坐標(biāo)計算時\(\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_0^1f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz\)。（）8.若被積函數(shù)\(f(x,y)=1\)，則二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)的值等于積分區(qū)域\(D\)的面積。（）9.重積分的計算中，積分區(qū)域的劃分不影響最終結(jié)果。（）10.球坐標(biāo)適用于積分區(qū)域是球體或部分球體的情況。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述二重積分直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)計算方法的適用情況。答：直角坐標(biāo)適用于積分區(qū)域邊界由直線或拋物線等規(guī)則曲線表示，且被積函數(shù)在直角坐標(biāo)下易積分；極坐標(biāo)適用于積分區(qū)域為圓形、扇形、環(huán)形等，或被積函數(shù)含有\(zhòng)(x^2+y^2\)的情況。2.說明三重積分柱坐標(biāo)計算方法的步驟。答：先將直角坐標(biāo)\((x,y,z)\)轉(zhuǎn)化為柱坐標(biāo)\((r,\theta,z)\)，\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，\(z=z\)，\(dxdydz=rdzdrd\theta\)。確定積分區(qū)域\(\Omega\)在柱坐標(biāo)下的范圍，再將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為柱坐標(biāo)形式，最后按\(dz\)、\(dr\)、\(d\theta\)順序計算積分。3.若積分區(qū)域\(D\)關(guān)于\(x\)軸對稱，\(f(x,y)\)滿足什么條件時\(\iint_Df(x,y)dxdy=0\)？答：當(dāng)\(f(x,-y)=-f(x,y)\)，即被積函數(shù)\(f(x,y)\)關(guān)于\(y\)是奇函數(shù)時，\(\iint_Df(x,y)dxdy=0\)。4.簡述球坐標(biāo)計算三重積分的優(yōu)勢。答：球坐標(biāo)計算三重積分的優(yōu)勢在于當(dāng)積分區(qū)域是球體、球缺或部分球體等形狀，以及被積函數(shù)含有\(zhòng)(x^2+y^2+z^2\)形式時，用球坐標(biāo)可簡化積分計算，使積分限和被積函數(shù)形式更簡單易求。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在實際問題中如何選擇合適的重積分計算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)）。答：需綜合考慮積分區(qū)域形狀和被積函數(shù)形式。如區(qū)域為矩形、三角形等規(guī)則圖形且被積函數(shù)在直角坐標(biāo)下易積分，選直角坐標(biāo)；區(qū)域是圓形相關(guān)或含\(x^2+y^2\)，考慮極坐標(biāo)；對于圓柱或含\(x^2+y^2\)的三維區(qū)域，選柱坐標(biāo)；區(qū)域是球體相關(guān)或含\(x^2+y^2+z^2\)，選球坐標(biāo)。2.舉例說明重積分在物理中的應(yīng)用（至少兩個例子）。答：例如計算平面薄片質(zhì)量，若薄片在\(xOy\)平面區(qū)域\(D\)，面密度為\(\rho(x,y)\)，則質(zhì)量\(M=\iint_D\rho(x,y)dxdy\)；計算空間物體質(zhì)量，物體占區(qū)域\(\Omega\)，體密度\(\rho(x,y,z)\)，質(zhì)量\(M=