第07練三角形的中位線

1.三角形的中位線連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。

2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，菱形A8C。的周長為36,對角線AC,8。相交于點。，E為C。中點，連接OE,則。E的長是

2.下列說法錯誤的是()

A.四個角都相等的四邊形是矩形

B.兩條對角線相等的四邊形是矩形

C.三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半

D.一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形

3.如圖，在RtZXABC中，D、E分別是直角邊BC、AC的中點，若DE=10,則AB邊上的中線CP的長為

()

A.5B.6C.5A/3D.10

4.如圖，平行四邊形ABCD的周長為20.AC=8,對角線AC,80相交于點。，點E是BC的中點.則ACOE

的周長為（）

5.如圖，CD是AABC的中線，E,尸分別是AC,。。的中點，EF=1,則8。的長為（）

BC

A.1B.2C.3D.4

6.如圖，在菱形ABC。中，AB=4,點尸是CO邊上一點，且。尸=1,點E是BC邊上的一個動點，M、N

分別是線段AE、A尸的中點，連接E尸和MN,當點E在2C邊上從點B向點C移動時，線段MN的最小值

是（）

7.如圖，DE為AABC的中位線，點歹在DE上，且NAFB=90。.若AB=7,BC=11,則E尸的長為（

117一

A.—B.—C.4D.2

22

8.如圖，WE、F、G、X分別是四邊形ABC。的邊AB、BC、CD、D4的中點.則下列說法:

?^AC=BD,則四邊形EFG/f為矩形；

②若AC，8D,則四邊形EFGH為菱形；

③若AC與BD互相垂直且相等，則四邊形EFGH是正方形；

④若四邊形所G8是平行四邊形，則AC與20互相平分.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，。是AABC內(nèi)一點，BDLCD,AD=1,BD=8,CD=6,E、F、G、H分別是AB、AC.CD、BD的

中點，則四邊形EFGH的周長是.

10.己知△ABC的周長為16,點。，E,尸分別為△ABC三條邊的中點，則△。所的周長為

11.如圖所示，OE為△ABC的中位線，點廠在DE上，且NAFB=90。，若AB=6,BC=10,則所的長為

12.如圖，在矩形ABC。中，A5=6,AD=12,E是A。上一點，AE=2,P是BC上一動點，連接AP,

取AP的中點片連接EF,當線段E尸取得最小值時，線段的長度是.

13.如圖，點E在口外，連接BE,DE,延長AC交。E于孔/為。E的中點.

(1)求證：AF//BE；

⑵若A￡>=2,ZADC=6Q°,ZACD=90°,AC=2CF,求BE.

14.如圖，△ABC中，ZABC=90°,。為AC的中點，連接2。并延長至。使。。=。2,連A。、CD.

⑴求證：四邊形ABC。為矩形；

⑵若NAO8=60。，E為BC的中點，連OE,0E=2.求對角線的長及矩形的面積.

15.如圖，E,F,G,X分別是四邊形ABC。各邊的中點，連接EFGH.

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)請再添加一個條件，使得四邊形EFGH是矩形，(寫出添加的條件即可，不用寫證明過程).

16.如圖，點。是ABC內(nèi)一點，點E,F,G,H分別是AB,AC,CD,2。的中點.

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形;

⑵如果/8OC=90°,NDBC=30°,CD=2,AD=6,求四邊形EFGH的周長.

拓展練

17.如圖，在DABCD中，點。是邊AD的中點，連接3。并延長，交8的延長線于點E,連接80、AE.

(1)求證：四邊形AED3是平行四邊形；

(2)請在圖1中用一把無刻度的直尺畫出邊的中點歹(保留畫圖痕跡，無需證明過程)；

(3)若N3DC=90。，DC=4,BC=5,動點P從點E出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EC-CB-54向終點

A運動，設點P運動的時間為t(r>0)秒.

①若點Q為直線AB上的一點，當P運動時間r為何值時，以8、C、尸、Q構(gòu)成的四邊形8CPQ可以是菱

形？

②在點P運動過程中，直接寫出點P到四邊形AECB相鄰兩邊距離相等時r的值.

7/26

8/26

第07練三角形的中位線

積累運用

1.三角形的中位線連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。

2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，菱形ABC。的周長為36,對角線AC,相交于點O,E為C。中點，連接OE,則OE的長是

A.3

【答案】B

【解析】解：,??菱形ABC。的周長為36,

:.CD=BC=9,且。為AD的中點，

為CD的中點，

：.OE為ABCD的中位線，

19

：.OE=^-CB=~.

22

故選：B.

2.下列說法錯誤的是（）

A.四個角都相等的四邊形是矩形

B.兩條對角線相等的四邊形是矩形

C.三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半

D.一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形

9/26

【答案】B

【解析】解：A、四個角都相等的四邊形是矩形，正確，不符合題意；B、錯誤.對角線相等的四邊形不一

定是矩形，符合題意；C、三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半，正確，不符合題意；

D、一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形，正確，不符合題意，故選：B

3.如圖，在RtA4BC中，D、E分別是直角邊8C、AC的中點，若。￡=10,則邊上的中線CP的長為

cEA

A.5B.6C.56D.10

【答案】D

【解析】解：E分別是邊BC、AC的中點，

是△ABC的中位線.

/.DE=-AB.

2

'：DE=IO,

：.AB=2DE=20.

,:CP是RtAABC中斜邊A8上的中線，，

CP=-AB=10

2

故選：D.

4.如圖，平行四邊形ABCD的周長為20.AC=8,對角線AC,相交于點。，點E是BC的中點.則ACOE

的周長為()

【答案】B

【解析】解：ABC。的周長為20,

：.2(BC+AB)=20,

貝ijBC+AB=10.

:四邊形ABC。是平行四邊形，對角線AC,3。相交于點。，AC=8,

10/26

：.OA=OC=^AC^4.

:點E是8C的中點，點。是AC的中點，

.?.0E是△ABC的中位線，CE=^BC,

：.OE=^AB,

：.△COE的周長=OC+CE+OE-1-AC+|（BC+AB）=4+5=9,

故選：B.

5.如圖，CO是AABC的中線，E,尸分別是AC,。。的中點，EF=1,則瓦）的長為（）

BC

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】解：：點E、尸分別是AC、0c的中點，

:。是4ACD的中位線，

：.AD=2EF=2,

是△ABC的中線，

：.BD=AD=2

故選：B.

6.如圖，在菱形ABC。中，AB=4,點/是C。邊上一點，且。尸=1,點E是邊上的一個動點，M、N

分別是線段AE、Af1的中點，連接￡歹和MN,當點E在8c邊上從點8向點C移動時，線段的最小值

是（）

11/26

【答案】B

【解析】解：???〃、N分別是線段AE、AF的中點,

/.MN=-EF,

2

?點E在BC邊上從點2向點C移動，

，當點E運動到點C的位置時，取最小，此時，跖=4-1=3,

線段MN的最小值為15

故選：B

7.如圖，DE為XABC的中位線，點下在上，且NA/^B=90。.若AB=7,BC=11,則EF的長為（）

117

A.—B.—C.4D.2

22

【答案】D

【解析】解：為AABC的中位線，

.-.￡>￡=-BC=5.5,

2

在的AABS中，。是的中點，

:.DF=-AB=3.5,

2

:.EF=DE-DF=2,

故選：D.

8.如圖，點E、F、G、H分別是四邊形ABC。的邊A8、BC、CD、D4的中點.則下列說法:

①若AC=5￡>,則四邊形EBG8為矩形；

②若AC則四邊形EFGH為菱形；

③若AC與BD互相垂直且相等，則四邊形EFGH是正方形；

④若四邊形跖G8是平行四邊形，則AC與互相平分.

其中正確的個數(shù)是（）

12/26

H

D

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】解：：點E、F、G、H分別是四邊形ABC。的邊AB、BC、CD、D4的中點，

；.EH是AABD的中位線，

AEH=\BD,EH//BD,

2

同理EF=-AC,GH=-AC,EF//AC

222

：.EH=GF,GH=EF,

四邊形EFGH是平行四邊形，

?^AC=BD,則EH=GF=GH=EP,則四邊形EFGH是菱形，故①錯誤；

②若ACLBD,貝IJEFLEH,，平行四邊形EFGH是矩形，故②錯誤；

③若AC與8?；ハ啻怪鼻蚁嗟龋Y(jié)合①②的判斷可知四邊形EFGH是正方形，故③正確；

④若四邊形EFG”是平行四邊形，并不能推出AC與8?；ハ嗥椒郑盛苠e誤，

故選A.

9.如圖，D是“1BC內(nèi)一點，BD±CD,AD=1,BD=8,CD=6,E、F、G、H分別是AB、AC.CD、BD的

中點，則四邊形EFGH的周長是.

【答案】17

【解析】；BD_LCD,BD=8,CD=6,

BC=^Blf+CD2=A/82+62=10-

13/26

；E、尸、G、J?分別是42、AC、CD、BD的中點，

:.EH=FG=；AD,EF=GH=1BC.

：.四邊形EFGH^z=EH+GH+FG+EF=AD+BC.

又：A￡>=7,

四邊形EFGH的周長=10+7=17.

故答案為：17.

10.已知△ABC的周長為16,點￡>,E,尸分別為△ABC三條邊的中點，則的周長為.

【答案】8

【解析】解：：點DE,尸分別為△ABC三邊的中點，

：.EF=^AB,DE=^AC,DF=^BC,

,/△ABC的周長為16,

：.AB+AC+BC=16,

.?.△?！晔闹荛L=￡尸+?！?。尸=：（AB+AC+BC^=8,

故答案為：8.

11.如圖所示，為AABC的中位線，點P在上，且/AEB=90。，若A2=6,BC=10,則EF的長為

【答案】2

【解析】解：為AABC的中位線，

：.DE=^BC=5,

VZAFB=90°,。是AB的中點，

：.DF=^AB=3,

；.EF=DE-DF=2.

故答案為：2.

12.如圖，在矩形中，A5=6,AD=12,E是AO上一點，AE=2,P是BC上一動點,連接AP,

14/26

取AP的中點/，連接EE當線段跖取得最小值時，線段尸。的長度是

【答案】10

【解析】

51_------------------IC

過點P作PM〃FE交AD于M,

如圖，尸為AP的中點，PM//FE,為AAPM的中位線,

：.AM=2AE=4,PM=2EF,

當EF取最小值時，即PM最短，

當時，最短，

止匕時PM=42=6,DM=S,

在放△PA?中，PD=yjpM2+DM2=V62+82=10，

當線段EF取得最小值時，線段PD的長度是10.

故答案為：10?

6」

能力提升練

13.如圖，點E在。ABC。外，連接BE,DE,延長AC交Z5E于R尸為。E的中點.

⑴求證：AF//BE；

⑵若AO=2,ZADC=6Q°,ZACD=90°,AC=2CF,求BE.

15/26

【答案】（1）證明見解析；（2）26

【分析】（1）證明：如圖，連接8。交AC于點0,

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.點。是8。的中點，

\?尸為DE的中點,

，。F是△O8E的中位線，

OF//BE,

J.AF//BE-,

（2）解：:四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AC=2OA=2OC,

\'AC=2CF,

：.OA=OC^CF,

'：ZADC=60°,ZACD=90°,

：./D4C=30。，

'：AD=2,

：.DC=1,

-'-AC=7AD2-DC2=74^1=百，

0F=AC=乖i,

:.BE=2OF=2拒.

14.如圖，AABC中，ZABC=90°,。為AC的中點，連接2。并延長至。使。。=。2,連A。、CD.

（1）求證：四邊形ABC。為矩形；

⑵若NAOB=60。，E為BC的中點，連。及0E=2.求對角線的長及矩形的面積.

16/26

【答案】⑴見解析；(2)對角線的長為8,矩形的面積為166

【分析】(1)證明：為AC的中點，

：.OA=OC,

又：8=02,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

又：ZABC=90°,

四邊形ABCO為矩形；

(2)解：'：OA=OC,

.?.E為的中點，

：.BE=CE,

.??0E為△ABC的中位線，

.,.AJB=2OE=2X2=4,

?.N2C。為矩形，

：.0A=^AC,0B=/D,

'：AC=BD,

：.OA=OB,

又：ZAOB=6Q°,

...△402為等邊三角形，

OA=BO=AB=49

???對角線AC=BD=2OA=Sf

'：NA3C=90。，

在放△ABC中，ABM,AC=8,

,,BC=A/82-42=4^/3，

矩形的面積87=4x40=166.

15.如圖，E,F,G,”分別是四邊形ABC。各邊的中點，連接EFGH.

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)請再添加一個條件，使得四邊形所GH是矩形，(寫出添加的條件即可，不用寫證明過程).

17/26

【答案】（1）見解析

（2）添加條件ACLBD,能使得四邊形EFGH是矩形.

【分析】（1）證明：如圖，連接B。，

;點、E、F、G、，分別是邊AB、BC、CD、D4的中點,

EH=-BD,EH//BD,FG=-BD,FG//BD,

22

：.EH=FG,EH//FG,

四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）解：添加條件ACUB。，能使得四邊形E尸G8是矩形,

理由如下：如圖，連接AC、BD,

由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，

'."EF//AC,

：.EF±BD,

,JEH//BD,

：.EHLEF,

：.NFEH=9Q°.

...四邊形瓦是矩形.

16.如圖，點。是A8C內(nèi)一點，點E,F,G,H分別是AB,AC,CD,3。的中點.

18/26

(1)求證：四邊形EFG8是平行四邊形；

⑵如果NB￡)C=90。，/DBC=30°,CD=2,AD=6,求四邊形EFGH的周長.

【答案】⑴見解析；(2)10

【分析】(1)證明：：點E,F,G,H分別是AB,AC,CD,8。的中點.

：.EH=FG=^AD,EF=HG=^BC,

???四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)VZBDC=90°,ZDBC=30°,

：.BC=2CD=4.

由(1)得：四邊形EFGH的周長=EH+GH+PG+E尸=AD+BC,

又：4￡)=6,

四邊形EFGH的周長=AD+BC=6+4=10.

誓［拓展練

17.如圖，在DABCD中，點。是邊AD的中點，連接3。并延長，交8的延長線于點E,連接3￡>、AE.

(1)求證：四邊形AED3是平行四邊形；

(2)請在圖1中用一把無刻度的直尺畫出邊的中點/(保留畫圖痕跡，無需證明過程)；

(3)若N3r>C=90。，DC=4,BC=5,動點P從點E出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EC-CB-54向終點

A運動，設點P運動的時間為t(t>0)秒.

①若點。為直線上的一點，當尸運動時間f為何值時，以8、C、P、。構(gòu)成的四邊形BCPQ可以是菱

形？

②在點尸運動過程中，直接寫出點尸到四邊形AECB相鄰兩邊距離相等時t的值.

19/26

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①3或〒；②0或3或8或13或14或17

O

【解析】解：（1）???四邊形ABC。是平行四邊形，

C.AD//BC,AB=CD,AB//CD,

又是AO的中點，

...0。是4EBC的中位線，

；.￡）是EC的中點，

:.ED=CD=AB,

5L,：ED//AB,

A四邊形AEDB是平行四邊形；

圖1

（2）如圖所示，連接AC交8。于連接并延長交AE于N,連接交AC于G,連接。G并延長

交AB于尸即為所求；

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

為BO的中點，

又為AD的中點，

.?.〃。是小ADB的中位線，

J.MN//AB,

?；四邊形AEDB是平行四邊形，

：.AE//BD,

，四邊形ANMB是平行四邊形，

；.G為AM的中點，

二0G為三角形AMN的中位線，

J.OF//BD,

；.G尸是的中位線，

尸為AB的中點;