第10講相似三角形壓軸題（六大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握相似壓軸題的切入點(diǎn)；

2、綜合分析法解相似三角形壓軸題。

03知識(shí)清單

相似三角形壓軸題答題技巧

相似三角形壓軸題，解題需找好四大切入點(diǎn)：

切入點(diǎn)一：做不出、找相似，有相似、用相似

壓軸題牽涉到的知識(shí)點(diǎn)較多，知識(shí)轉(zhuǎn)化的難度較高。學(xué)生往往不知道該怎樣入手，這時(shí)往往應(yīng)根據(jù)題意去

尋找相似三角形。

切入點(diǎn)二：構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形

在解決問題的過程中，有時(shí)添加輔助線是必不可少的。對(duì)于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可

以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對(duì)學(xué)生添線的要求還是挺高的，但添輔

助線幾乎都遵循這樣一個(gè)原則：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形。

切入點(diǎn)三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論

在圖形運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某

兩個(gè)角或某兩個(gè)三角形所對(duì)應(yīng)的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變。

切入點(diǎn)四：在題目中尋找多解的信息

圖形在運(yùn)動(dòng)變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個(gè)

令考生頭痛的問題，其實(shí)多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實(shí)際上就是反

復(fù)認(rèn)真的審題。

【即學(xué)即練1】(2023?上海崇明?一模)已知RtAABC中，ABAC=90°,AB=AC=4,AD〃BC,點(diǎn)E為

射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A重合)，過點(diǎn)后作所,防，交射線C4于點(diǎn)尸，連接

(2)在(1)的情況下，射線C4與BE的延長線交于點(diǎn)。，設(shè)鉆=無，。尸=y,求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并

寫出定義域；

(3)當(dāng)BE=3時(shí)，求C尸的長.

【即學(xué)即練2】(22-23九年級(jí)上?上海?期中)在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn),

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在線段C。上，聯(lián)結(jié)AC,ACLEG,求GF的長；

(3)聯(lián)結(jié)AC,如果△AEC與以E、F、G為頂點(diǎn)所組成的三角形相似，求8E的長.

04題型精講

題型1:解答證明題

【典例11（2023八年級(jí)下?上海?專題練習(xí)）已知：ABCD中，對(duì)角線AC=AB,點(diǎn)E為邊上一點(diǎn),

點(diǎn)尸為4）延長線上一點(diǎn)，連接A￡、BF,ZABF=2ZEAB.

圖1

⑴如圖1,若NACB=3NE4B=45。，AB=4,B尸交DC于G點(diǎn)，求DG的長；

（2）如圖2,若3C=A3,求證：CE+AF=BF.

【典例2].（23-24九年級(jí)上?上海浦東新?期中）己知，在二ABC中，AB=AC=26NA4C=120。，一ADE

的頂點(diǎn)。在邊BC上，AE交8c于點(diǎn)F（點(diǎn)F在點(diǎn)。的右側(cè)），ZDAE=30°.

（1）求證：ABF^DCA；

（2）當(dāng)DF=1時(shí)，求8。的長；

（3）若AE>=ED,連接EC,寫出CE與4B的位置關(guān)系，并證明結(jié)論.

題型2：比值問題

【典例3].（23-24八年級(jí)上?上海松江?期末）在Rt^ABC中，NACB=90。，點(diǎn)。是邊AC上一點(diǎn)，過。作

DE垂直垂足為點(diǎn)E.

⑴如圖1,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，CD=DE,如果AB=6,求3C的長;

（2）已知CD=BC,

①如圖2,連接CE,求證：CE平分ZBED；

AF

②如圖3,延長DE至點(diǎn)尸，連接CF交線段于點(diǎn)G,當(dāng)NA=NF,且點(diǎn)G是CF中點(diǎn)時(shí)，求"的值.

ECJ

【典例4].（23-24九年級(jí)上?上海松江?期末）在VABC中，AC=BC.點(diǎn)。是射線AC上一點(diǎn)（不與A、C

重合），點(diǎn)廠在線段2C上，直線交直線A3于點(diǎn)E,CD2=CFCB.

（1）如圖，如果點(diǎn)。在AC的延長線上

①求證：DE=BD；

②聯(lián)結(jié)CE,如果CE〃跳>,CE=2,求取的長.

（2汝口果。尸:。匹=1:2,求：AE:￡B的值.

【典例5].（23-24九年級(jí)上?上海長寧?期中）如圖，已知在VABC中，BC>AB,BD平分NABC,交邊AC

于點(diǎn)。，E是2C邊上一點(diǎn)，且3E=BA,過點(diǎn)E作EF〃AC,交BD于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)DE、AF,延長AF交3c

于點(diǎn)G.

⑴求證：AB?=BGBC;

（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，

①若AB=5,BC=8,求。E的長；

s

②若BG=CE,聯(lián)結(jié)AE,求誠^的值.

）ABC

題型3：存在性問題

【典例6].（2020?上海黃浦一模）如圖，在VABC中，ZABC=90。，AB=3,3C=4,過點(diǎn)A作射線AM〃8C,

點(diǎn)。、E是射線AM上的兩點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在點(diǎn)。右側(cè)），聯(lián)結(jié)3D、8E分別交邊AC于點(diǎn)尸、

G,ZDBE=ZC.

DE_M

備用圖

⑴當(dāng)AD=1時(shí)，求用的長；

⑵設(shè)AD=x,FG=y,求V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

⑶聯(lián)結(jié)DG并延長交邊BC于點(diǎn)如果是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出AZ)的長.

【典例7].(23-24九年級(jí)上?上海?階段練習(xí))矩形ABCD中，AB=2,AD=4,動(dòng)點(diǎn)E在邊3C上，不與點(diǎn)

B、C重合，過點(diǎn)A作DE的垂線，交直線C。于點(diǎn)尸，交射線BC于點(diǎn)G.

ECGB

備用圖

⑴如圖，當(dāng)點(diǎn)G在2C延長線上時(shí)，求等的值；在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，分的值是否發(fā)生改變？

DFDF

(2)設(shè)=用含機(jī)的代數(shù)式表示線段CG的長；

⑶如果點(diǎn)G在2C延長線上，當(dāng).D3E與.DFG相似時(shí)，求。歹的長.

【典例8].(21-22九年級(jí)上?上海閔行?期中)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,BC=18,DB=DC=15,

點(diǎn)E、b分別在線段3。、CD±,DE=DF=5.AE的延長線交邊BC于點(diǎn)G,AF交BD于點(diǎn)N、其延

長線交的延長線于點(diǎn)”.

GC

(1)求證：BG=CH；

(2)設(shè)A￡>=x,△AZW的面積為V,求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)聯(lián)結(jié)F、G,當(dāng)..HBG與△ADN相似時(shí)，求的長.

題型4：旋轉(zhuǎn)、翻折問題

【典例9].(23-24九年級(jí)下?上海?階段練習(xí))已知：在VABC中，AB^AC,將VABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)8

落在直線AB上的點(diǎn)。處，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，直線DE與直線BC相交于點(diǎn)R射線AC與射線Z5E相交于點(diǎn)

P,BC=6.

AE

(1)如圖，連接AE,當(dāng)AB>6時(shí)，

求證：①四邊形ADCE是等腰梯形；

②PE是PD與PF的比例中項(xiàng).

(2)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A的距離為5時(shí)，求CP的長.

【典例10].(23-24八年級(jí)下?上海?期末)在直角梯形中，AD//BC,ZA=90°,AD=4,AB=3,

BC=8,點(diǎn)E是射線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)

(1)將做沿者直線BE翻折，點(diǎn)A落在A處，射線及交邊3C于點(diǎn)Q.

①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，求證：BQ=EQ.

②當(dāng)△3E4,中有一條邊平行于。C時(shí)，求AE的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在AD的延長線上時(shí)，連接CE,射線BE與射線交于點(diǎn)尸，且ZAEB=NECD,求尸E:CE的值.

【典例11].(23-24九年級(jí)上?上海崇明?期中)如圖(1),在直角三角形ABC中，ZA=90°,AC=8,

AB=6.點(diǎn)P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，作PDLBP,交.BM于點(diǎn)、D,/>￡>與2c相交于點(diǎn)E.

⑴求證：BP-^APBD.

(2)如圖2,將qABP沿3P翻折，點(diǎn)A落在A處，直線A'P交3D于點(diǎn)尸.

①當(dāng)VPDF:VBDE時(shí)，求AP的長.

②當(dāng)=g時(shí)，求AP的長.

題型5：取值范圍問題

【典例12】.(2024九年級(jí)下?上海?專題練習(xí))如圖，在中，ZACB=90°,以AC,3C為邊在VABC

外部作等邊三角形ACE和等邊三角形BCF,且連接EF.

⑵如圖2,延長AC交線段跖于點(diǎn)M.

①當(dāng)點(diǎn)”為線段族中點(diǎn)時(shí)，求類的值；

②請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在直線上方作等邊三角形海（不要求寫作法，保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論），當(dāng)點(diǎn)

Ar

M在的內(nèi)部時(shí)，求。的取值范圍.

BC

題型6：列函數(shù)解析式問題綜合

【典例13].（21-22九年級(jí)上?上海奉賢?期中）如圖，已知在RfflABC中，S4c8=90。，AB=W,AC=6,

點(diǎn)。是斜邊A8上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)C。，作。E0CO交射線C8于點(diǎn)E,設(shè)AZ）=x.

（1）當(dāng)點(diǎn)。是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求線段。E的長；

（2）當(dāng)回8即是等腰三角形時(shí)，求x的值；

（3）如果y=笠DF，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域.

DB

C

-----------方二~D

備用圖

【典例141.（21-22九年級(jí)上?上海徐匯?階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形ABCD中,0°<ZBAT>,90°,AD=DC,

AB=BC,4c平分

「一

圖①圖②

（1）求證：四邊形ABCD是菱形;

（2）如果點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，聯(lián)結(jié)BE并延長，交邊0c于點(diǎn)G,交線段的延長線于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸可與

點(diǎn)。重合），ZAFB=ZACB,設(shè)A3長度是。（。是常數(shù)，且。＞0）,AC=x,AF=y,求V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系式，并寫出定義域；

（3）在第（2）小題的條件下，當(dāng)一CGE是等腰三角形時(shí)，求AC的長（計(jì)算結(jié)果用含。的代數(shù)式表示）

【典例15].（23-24九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）如圖，已知在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,點(diǎn)E、

尸分別在邊3CCD上，AF的延長線交BC的延長線于點(diǎn)G,且NE4F=60。.

⑴如果C另F=；1，求線段BG的長；

DF3

（2）設(shè)C〃=x,AE=y,求y與尤的函數(shù)關(guān)系式；

S3

（3）連接ERAC交于點(diǎn)X,如果蕾絲=弓，求線段AE的長.

【典例16].（22-23八年級(jí)下?上海浦東新?期末）如圖，在正方形ABC。中，AB=6,點(diǎn)〃是邊BC的中點(diǎn),

點(diǎn)E是邊A3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，成;，4欣交4〃于點(diǎn)3,交射線C。于點(diǎn)F.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)2重合時(shí)，求證：BM=CF.

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，設(shè)BE為x,梯形AEED的面積為》寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出尤的取值范圍.

⑶若DF=1,求點(diǎn)A到線段跖的距離.

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、解答題

1.已知VA3c中，AB=AC=5,BC=8,E是射線54上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），線段3E的垂直平分線與

邊BC交于點(diǎn)D

Ei

a

BD\CBD\CBC

圖I圖2番用圖

⑴點(diǎn)E在邊曲上，

①如圖1,連接CE,如果CE平分，ACB,求B0的長；

②如圖2,射線DE交射線C4于點(diǎn)孔設(shè)瓦＞=x,AF=y,求y關(guān)于x的的數(shù)解析式，并寫出定義域.

(2)如果,.CDE是直角三角形，求BD的長.

2.在梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,AD=4,BC=6,。。=2屈，點(diǎn)E是射線A3上一點(diǎn)(不與

點(diǎn)A、8重合)，連接。E,過點(diǎn)E作砂，DE交射線CB于點(diǎn)R連接DF.設(shè)AE=x,FC=y.

⑴求AB的長；

⑵如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑶如果是以。歹為腰的等腰三角形，求AE的長.

3.如圖，在菱形ABCD中，/ABC是銳角，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),

交直線CD于點(diǎn)?

①求證：AE=AF；

Q

代EF3EF

②連結(jié)EF,

BD<1BDr求Q的值;

菱形A8CO

(2)當(dāng)NEAF=gN&W時(shí)，延長BC交射線AF于點(diǎn)M,延長DC交射線AE于點(diǎn)N,連結(jié)AC,MN,若

AB=4,AC=2,則當(dāng)CE為何值時(shí)，AAW是等腰三角形.

4.在矩形ABCD中，AB=4,點(diǎn)E為3C邊中點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)b，點(diǎn)尸在矩形ABCD內(nèi),

連接ZZF、FC.

⑴