第2節(jié)平面向量基本定理及坐標表示

考試要求1.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐

標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標表示的平

面向量共線的條件.

■知識診斷自測

【知識梳理】

1.平面向量的基本定理

條件ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量

結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)力，丸2,使。=九g+/12?2

若ei,e2不共線,我們把｛ei,e2｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基

基底

底

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標運算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

設(shè)a=(xi,yi),b=g,yi),則

a+b=(xi+x2,yi+y2),a—Z>=(XLX2,yi—Y2),^a=(Axi,Ayi,),lai=、/1+￡.

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設(shè)A(xi,yi),B(X2,>2),則檢=(X2—XI,丫2-yi),I矗1=，(X2—XI)2+(丫2-yi)2.

4.平面向量共線的坐標表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,yi),向量a,Z>(Z>WO)共線的充要條件是制.一x2yi=0.

［常用結(jié)論與微點提醒］

1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.

2.若a與力不共線，？la+〃方=0,則2=〃=0.

3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的

向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“?”或“X”)

(1)設(shè)a,8是平面內(nèi)的一個基底，若實數(shù)力，h,〃2滿足丸ia+〃山=i2a+〃2〃，

則丸1=丸2,〃1=〃2.()

(2)若a=(xi,yi),b=(X2,刈，則a"&的充要條件可以表示成三=意()

A2yz.

(3)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變.()

答案(1)V(2)X(3)V

解析(2)若8=(0,0),則葭=￡無意義.

2.(必修二P31例7改編)已知a=(4,2),b=(6,y),且a〃4則y=.

答案3

解析因為a〃仇所以4y—2X6=0,解得y=3.

3.(必修二P30例5改編)已知平行四邊形A3CD的頂點A(—1,—2),3(3,—1),

C(5,6),則頂點。的坐標為.

答案(1，5)

解析設(shè)D(x,y),則獲=反，

得(3—■(—1),—1—(―2))=(4,1)=(5—尤，6—y),

4=5—x,%=1,

即《解得即。(1,5).

J=6—y,3=5,

4.14AABC中，點M,N^^AM=2MC,前=流.若疝=x贏+薪,則%=

XF11

口木5一4

解析如圖，2W=MC+C7V=|AC+^CB=1AC+^(G4+AB)=|AB—^AC,

■考占聚焦突破

考點一平面向量基本定理的應(yīng)用

例1（1）（2024.安陽段測）在平行四邊形A3CD中，點E,R分別在邊CD,3c上，

DE=EC,CF=2BF,^AE=m,AF=n,則加=（）

3443

C.~^m+~^nD.產(chǎn)+5〃

答案D

解析由題意，AE=AD+DE=^+AD,AF=AB+RF=AB+yj）,

而危=等+用=仔+y謁+口+^5=檢+加

fx,_1r_4

1+y—1,尤一亍

由對應(yīng)系數(shù)相等得,：.\

口+畀1,〔產(chǎn)予

一43

.\AC=~^m+~^n.

（2）如圖，在平行四邊形A3CD中，點E在線段3。上，且旗=機力耳機GR）,若病

=7魂+〃45（九〃?R）,且4+2〃=0,則機=.

DC

H

AB

答案3

解析在平行四邊形ABCD中，

因為旗=”2方為，

所以油一靠=機（靠一4b）,

所以屢=7^-獲4b.

1-rm1-rm

又弱=慶=屐:一而

所以靛=v4—（危一量））+=?—屐＞,

1+m1+m

所以危=（1+附屈+（i—m）Ab.

又危=入魂+〃4h,

所以4=1+加，〃=1—m,

又丸+2〃=0,

所以1+機+2（1—m）=0,

解得m=3.

感悟提升1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三

角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.

2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底

將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不

同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.

訓練1（1）（多選）下列命題中正確的是（）

人.若。=叩+》方，則p與a,力共面

B.若p與a,8共面，則存在實數(shù)x,y使得

C.若加而，則P,M,A,3共面

D.若P,M,A,3共面，則存在實數(shù)x,y使得加=而十y而

答案AC

解析對于B,若a,8共線，p與a,8不共線，則不存在實數(shù)x,y使得p=xa

+yb,故B錯誤；

對于D,若M,A,3共線，P在直線A3外，則不存在實數(shù)x,y使得^=M+

yMB,故D錯誤；

由平面向量基本定理知A,C正確.

（2）（2024.江西重點中學協(xié)作體聯(lián)考）如圖，在平行四邊形ABCD中，”為3C的中

點，AC與相交于點P.若存=用+淡，則尤+y=.

答案3

解析因為在平行四邊形ABCD中，”為3c的中點，AC與必)相交于點P,

訴唧也=絲=。

所以CAf一尸?！?，

「2f2ff

所以存=￡d=1(協(xié)+4b).

又辦=田+所，

24

所以x=y=],x+y=y

考點二平面向量的坐標運算

例2⑴在平行四邊形A3CD中，量)=(3,7),崩=(—2,3),對角線AC與3。

交于點。，則混)的坐標為()

A(一5)B.g5)

c1-今-5)D.g-5)

答案C

解析因為在平行四邊形ABCD中，量)=(3,7),AB=(-2,3),對角線AC與

BD交于點0,所以次＞=_才＞=_3(量)+檢)=(一'1,T；

(2)如圖，在直角梯形A3CD中，AB//DC,AD±DC,AD=DC=2AB,E為AD

的中點，^CA=ACE+//DB(A,〃GR),則2+〃的值為.

答案|

解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則。(0,0).

不妨設(shè)A3=l,則CD=AD=2,

.*.C(2,0),A(0,2),B(l,2),E(0,1),

ACA=(-2,2),CE=(-2,1),Z)B=(1,2),

???(—2,2)=2(—2,1)+〃(1,2),

—2丸+〃=-2,

*<1解得j

/+2/1=2,?

Q

故丸+〃=亍

感悟提升平面向量坐標運算的技巧

(D向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已

知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標.

(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求

解.

訓練2(1)已知”(一2,7),N(10,—2),點P是線段MN上的點，且的=—2成f,

則尸點的坐標為()

A.(2,4)B.(-14,16)

C.(6,1)D.(22,-11)

答案A

解析設(shè)P(x,y),

則的=(10—x,-2-y),PM=(-2-x,7—y),

由麗=—2成f,

10—x——2(—2—x),x=2,

得V解得J,：.P(2,4).

1—2—y=—2(7-y),3=4,

(2)已知向量a,4c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,用基底｛a,6｝表示小則()

A.c=2a_3Z>B.c=12a—3b

C.c=-3a+2bD.c=3a—2b

答案D

解析如圖建立平面直角坐標系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1,

則A(l,0),BQ,1),C(0,4),D(7,1),

所以a=(l,1),b=(—2,3),c=(7,-3),

設(shè)向量c=ma+〃方，

則c="za+”方=(加-2〃，m+3?)=(7,-3),

m一2n=7,{m=3,

則「c解得c

m-\-3n=-3,[n=~2,

所以c=3a—24故選D.

考點三平面向量共線的坐標表示

角度1利用向量共線求參數(shù)

例3(多選)已知向量a=(3,1),b=(2,3),c=(—l,2),若("za+c)〃(a+〃3(m,

nGR),則(機，〃)可能是()

A.(2,1)B.(0,-1)

C.(3,2)D.1-1,-3)

答案ABD

解析由題意得加a+c=(3加-1,m+2),

a+帥=(3+2〃，l+3n).

由(加a+c)〃可得

(3+2n)(m+2)-(l+3n)(3m-l)=0,

整理得mn=n-\~\.

A中，2X1=1+1,滿足;

B中，0X(-l)=-l+l,滿足;

C中，3X2W2+1,不滿足；

D中，(-I)*1—T)=—3+1，滿足.

角度2利用向量共線求向量或點的坐標

例4在△ABC中，已知點。(0,0),A(0,5),3(4,3),OC=^A,OD=^OB,

AD與3c交于點則點"的坐標為.

答案岸，2)

解析因為點。(0,0),A(0,5),8(4,3),

所以點m，m，同理點。(2,|；

設(shè)M的坐標為(x,y),

則西=(x,廠5),而助=(2,一習.

因為A,M,。三點共線，

所以而與量)共線,

7

所以一2x—2（y—5）=0,即7x+4y=20.

而由=（%,廠I），

宓=（4-0,3-1]=（4,￡）,

因為C,M,3三點共線,

所以由與麗共線，

所以5—41一卷)=0,即7x—16y=—20.

,,f12

7%+4y=20,x=虧,

由得7

[7x-16y=-20,

J—z，

所以點Af的坐標為厚，2).

感悟提升1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：

(1)若a=(xi,yi),b=(x2,竺)，則a〃方的充要條件是制"一x2〉i=0；

(2)若a〃伙》W0),則4=肪.

2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當兩向量的

坐標均非零時，也可以利用坐標對應(yīng)成比例來求解.

訓練3(1)設(shè)點A(2,0),3(4,2),若點尸在直線A3上，且依3|=2履尸|,則點P

的坐標為()

A.(3,1)B.(b-1)

C.(3,1)或(1,-1)D.(3,1)或(1,1)

答案C

解析VA(2,0),3(4,2),：.AB=(2,2).

?.?點P在直線A3上，^|A5|=2|AP|,

.?.屈=2亦或蓊=—2成,

故崩=(1,1)或屈=(—1,-1),

故P點坐標為(3,1)或(1,-1).

(2)(多選)(2024.德州模擬)已知向量為=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+l,m

~2),若連接A3,BC,AC能構(gòu)成三角形，則實數(shù)機可以是()

A.-2B.|C.lD.-1

答案ABD

解析由題知協(xié)=/一以=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(m+l,

m-2)—(1,-3)=(m,m+l).

假設(shè)A,B,C三點共線,

則1?(加+1)—2m=0,即加=1.

所以若連接A3,BC,AC能構(gòu)成三角形,

則機WL故選ABD.

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.已知向量a=(5,2),]=(—4,-3),c=(x9y),若3a—2〃+c=0,則c=()

A.(—23,-12)B.(23,12)

C.(7,0)D.(-7,0)

答案A

解析由題意可得3a—2b+c=3(5,2)—2(—4,—3)+(%,y)=(23+x,12+y)=

(0,0),

‘23+尤=0,x=-23,

所以，解得＜

12+y=0,y=-12,

所以c=(—23,—12).

2.(2024?嘉興調(diào)研)已知向量a=(—l,2),b=(m,1).若a+2》與2a—8平行，則

實數(shù)加=()

5137

A.-2B.—2C，2D，2

答案B

解析已知向量。=(一1,2),b=(m,1),

得a+25=(—1,2)+2(m，1)=(2加一1,4),

2a—辦=2(—1,2)—(m,1)=(—m—2,3).

由°+2。與2a—b平行，

有3(2加一1)—4(一加-2)=0,解得加=一去

3.(2024?西安質(zhì)檢)設(shè)左?R,下列向量中可與向量q=(l,—1)構(gòu)成一個基底的是

()

A.A=(匕k)B.c=(~k,~k)

C.d=(F+l,F+l)D.e=(3—1,R—l)

答案c

解析對于選項A,B,若左=0,則b=(0,0),c=(0,0),均不滿足構(gòu)成基底的

條件，所以A,B不符合題意；

對于選項C,因為VZ：dR,F+1W0,且(R+1)X(—1)—(修+1)X1=—2(F+l)W0

恒成立，

所以d與g不共線，滿足構(gòu)成基底的條件，

所以C符合題意；

對于選項D,若左=±1,則e=(0,0),不滿足構(gòu)成基底的條件，所以D不符合題

意.故選C.

4.如圖，已知檢=a,AC=b,BC=4BD,CA=3CE,則方為=()

A

E

BDC

A.%-3a

c53,

B五”一心

-5,3

D它一不

答案D

31

解析nE=DC+CE=^J+^CA

=^(AC—AB)—|-AC=^AC—

5,3

=nb~4a-

5.(2024?湘潭部分校聯(lián)考)向量a,b,C在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若C=M

+yb,則x+y=()

A.—|

B2D.4

答案A

解析設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,在網(wǎng)格線上取互相垂直的單位向量i,j,

如圖所示,

則有a=—i+j,b=6i-\-2j,

由c=xa+y〃，得

—i—》=x(—i+j)+y(6i+3),

x——2,

—1=—x+6y,解得

則＜11

、-3=%+2y,

?\x~\~y=一2?

6.（2024?石家莊質(zhì)檢）在△A5C中，點M是BC的中點，點N為AB上一點，AM與

CN交于點。，且量）=|^而，俞=九通，貝1」丸=（）

2345

A.TB.TC.TD.T

343o

答案A

解析如圖，因為點”是3C的中點,

所以量）=1A而='x/協(xié)+公）值+慶）.

因為N,D,C三點共線,

所以屐）=〃位:+（1—〃）前,

又蘇^=2部,

9

所以弓（協(xié)+公）=〃應(yīng)：+（1—〃）!誦,

由平面向量基本定理可知

r22

〃=亍

2解得,

5=(1一〃)A,A=|.

7.（多選）已知等邊三角形ABC內(nèi)接于。0,0為線段04的中點，石為BC的中點,

則防=()

A.|BA+^BCB.^BA—^BC

一，一

C.BA+^1AED^BA+^AE

答案AC

解析如圖所示，則

A

BD=BA+AD=BA+^

=BA+^(AB+BE)=BA-^BA+^X^BC

2—1—

=可前+7冊.故選AC.

5o

8.若Pi(l,3),尸2(4,0),且尸是線段P1P2的一個三等分點(靠近點Pi),則點尸

的坐標為.

答案(2,2)

解析由題意得且R＞2=(3,—3),

設(shè)尸(x,y),則(x—1,y—3)=1(3,—3),

所以x=2,y=2,則點P(2,2).

9.(2024?河北部分學校聯(lián)考)已知向量盛=(加,2),AC=(1,3),應(yīng))=(—4,~2).

若3,C,。三點共線，則根=.

答案T

解析因為向量屈=(機，2),AC=(1,3),

則比=公一協(xié)=(1—m，1),

而就＞=(—4,-2),

又3,C,。三點共線，則有比〃前，

因此一2(1—加)+4=0,解得用=-1.

10.若在△ABC中，AB=y[2,ZABC=^,BC=3,AD為3C邊上的高，。為AD

上靠近點A的三等分點，且后＞=城+〃公，其中九〃GR,則丸一2〃=.

答案0

解析由題意可知,

A

在Rt/XABD中，AB=y[2,ZABC=^,

所以5。=1,所以

所以助=/廢）=上值+應(yīng)））

又因為助=7檢+〃才W,

21

所以丸=§,〃=§,

22

所以丸—2〃=g—g=0.

11.已知A(—2,4),5(3,-1),C(-3,-4).設(shè)筋=a,BC=b9CA=c,且雨=

3c,CN——lb.

⑴求3a~\~b—3c；

(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n；

(3)求N的坐標及向量起V的坐標.

解由已知得。=(5,-5),8=(—6,-3),c=(l,8).

(l)3a+8-3c=3(5,-5)+(—6,-3)—3(1,8)=(15—6—3,—15—3—24)=(6,

—42).

(2)法一VmZ>+nc=(—6m+n,—3m+8n),

—6m+n=5,[m——1,

?解得彳

、一3m+8n=—5,[n=-1.

法二?「a+辦+c=0,

：?a=1b—c9

又a=mb~\-nc,力和c不共線，

:.mb+nc=—b~c,

m——1,

?<

[n=-l.

(3)設(shè)。為坐標原點，'：CM=0M-0C=3c,

：.OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)

=(0,20).

：.M(0,20).

又：CN=ON-OC=-2b,

：.ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)

=(9,2),

：.N(9,2),.?.加=(9,-18).

31

12.如圖，在△ABC中，AM=^AB+^AC.

(1)求與△ABC的面積之比；

(2)若N為A3中點，癡與函交于點P,且存=x協(xié)+薪(x,y?R),求x+y的

值.

解(1)在△ABC中，

由弱/=^協(xié)+^

得4AM-3AB-AC=0,

即3(AM-AB)=AC-AM,

即3BM=MC,

即點M是線段3C上的靠近3的四等分點，

?,.AABM與AABC的面積之比為京

(2)VAM=|AB+|AC,

AP=xAB~\-yAC(x9y￡R),

AP//AM,AiV=|AB,

7

,:N,P,。三點共線，Ay+^l,

解得7=,,x=^=|,y=%=3，

故x+y=^j.

【B級能力提升】

13.（多選）設(shè)a是已知的平面向量且aWO,關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題（向

量"c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線），則真命題是（）

A.給定向量"總存在向量c,使a=Z?+c

B.給定向量方和c,總存在實數(shù)4和〃，使a=奶+〃c

C.給定單位向量〃和正數(shù)〃，總存在單位向量c和實數(shù)九使a=M+〃c

D.給定正數(shù)2和〃，總存在單位向量力和單位向量c,使a=奶+〃c

答案AB

解析：向量兒c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，，方WO,cWO,

給定向量a和6只需求得其向量差a-&,

即為所求的向量c,

故總存在向量c,使a=Z>+c,故A正確；

當向量仇c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時，向量dc可作基底，

由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；

取a=（4,4）,〃=2,b—（\,0）,

無論7取何值，向量勸都平行于x軸，而向量〃c的模恒等于2,

要使a=2&+〃c成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量〃c的縱坐標一定為4,

故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯誤；

因為7和〃為正數(shù)，所以勸和〃c代表與原向量同向的且有固定長度的向量，

這就使得向量a不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，故不一定能使a=Xb

+〃c成立，故D錯誤.故選AB.

14.（多選）在△ABC中，。為AC上一點且滿足屐>=",若P為3。上一點，且

滿足崩=丸屈+〃公（九〃為正實數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.A//的最小值為16

B.A//的最大值為日

C?:十」的最大值為16

的最小值為4

答案BD

解析因為。為AC上一點且滿足量）=