第五章平面向量、復(fù)數(shù)

第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

考試要求1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的

含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.

5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性

運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

■知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方

向就是向量的方向.向量檢的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作曲.

(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量,記作0.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a,萬平行，記作a〃4

規(guī)定：0與任一向量平行.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

C

a+y\b

(1)交換律：

A/a

a+b=

求兩個(gè)向量和

加法三角形法則

的運(yùn)算BaQ

聲(2)結(jié)合律：

OA(a+A)+c=a+(A+c)

平行四邊形法則

求兩個(gè)向量差

減法aa~b=a+(—b)

的運(yùn)算

三角形法則

規(guī)定實(shí)數(shù)A與（ma\=W\a\；

A(juci)=；

向量a的積是（2）當(dāng)7>0時(shí)，加的方向

Q+〃)a=

一個(gè)向量，這與a的方向11回；當(dāng)丸

數(shù)乘

種運(yùn)算叫做向<0時(shí)，癡的方向與a

%(a+辦)=

量的數(shù)乘，記的方向相反；當(dāng)7=0時(shí),

作ka/la=0

3.共線向量定理

向量a（aWO）與8共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使歸四.

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段A3的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則舁而

+OB).

2.dA=AOB+//OC（A,〃為實(shí)數(shù)），若點(diǎn)A,B,C共線（。不在直線3c上），則丸+

〃=1.

3.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更要考慮向量

的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析（在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”）

⑴⑷與向是否相等和m辦的方向無關(guān).()

(2)若a〃。，bile,貝！Ja〃c.()

(3)向量檢與向量詼?zhǔn)枪簿€向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線上.()

(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a,方共線時(shí)，一定有反之成立.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V

解析(2)若8=0,則a與c不一定平行.

(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A,B,C,。四點(diǎn)不一定在一

條直線上.

2.(多選)下列命題中，正確的是()

A.若a與〃都是單位向量，貝I]a=8

B.直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量

C.若用有向線段表示的向量加與前不相等，則點(diǎn)M與N不重合

D.海拔、溫度、角度都不是向量

答案CD

解析A錯(cuò)誤，單位向量長(zhǎng)度相等，但是方向不確定；

B錯(cuò)誤，由于只有方向，沒有大小，故x軸、y軸不是向量；

C正確，由于向量起點(diǎn)相同，但長(zhǎng)度不相等或方向不同，所以終點(diǎn)不同；

D正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量.

一13

3.(必修二P16例8改編)已知a,8是兩個(gè)不共線向量，向量b—ta與乎一共線，

則實(shí)數(shù)t=.

答案3

解析由題意知，存在實(shí)數(shù)人使得

4.(必修二P14例6改編)在平行四邊形ABCD中，3C的中點(diǎn)為且協(xié)=a,AD

=b,用a,表示筋f=.

答案a+^b

解析AM=AB+BM=AB+^2

=AB+^AD=a-\-^b.

■考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一平面向量的概念

例1（1）（多選）下列命題正確的有（）

A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線

B.零向量是唯一沒有方向的向量

C.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

口.''若4,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，且檢=反"Q"四邊形ABCD是平行四

邊形”

答案AD

解析方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共

線，故A正確；

零向量是有方向的，其方向是任意的，故B錯(cuò)誤；

兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相

同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

A,B,C,。是不共線的點(diǎn)，AB=DC,即模相等且方向相同，即平行四邊形A3CD

對(duì)邊平行且相等，反之也成立，故D正確.

（2）設(shè)a,8都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使合=省成立的充分條件是（）

A.a=~bB.a//b

C.a=2bD.a〃辦且|a|=|A|

答案c

解析因?yàn)橄蛄垦缘姆较蚺c向量a方向相同，向量g的方向與向量萬方向相同，

eab

且而二而

所以向量a與向量8方向相同，故可排除選項(xiàng)A,B,D.

a

W2bb

與a=2b時(shí)，而=而二而，

故a=2b是六=焉成立的充分條件.

感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

⑵共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)

圖象的平移混淆.

(4)非零向量。與合的關(guān)系：言是與a同方向的單位向量.

訓(xùn)練1(1)下列命題中正確的是()

A.向量協(xié)的長(zhǎng)度與向量威的長(zhǎng)度相等

B.向量a與8平行，則a與8的方向相同或相反

C.a與8同向，且|a|〉|〃|,貝

D.兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量

答案A

解析對(duì)于A,向量協(xié)與向量威的長(zhǎng)度相等，方向相反，故A正確；

對(duì)于B,向量a與萬平行，且a或萬為零向量時(shí)，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧浚?/p>

所以任意兩個(gè)向量都不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，不一定是共線向量，故D錯(cuò)誤.

(2)如圖所示，。是正六邊形A3CDER的中心，則與病相等的向量為()

A.BAB.CD

C.ADD.OD

答案D

解析A,B選項(xiàng)均與病方向不同，C選項(xiàng)與病長(zhǎng)度不相等，D選項(xiàng)與比方向相

同，長(zhǎng)度相等.

考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算

例2(1)(2024.太原模擬)在矩形A3CD中，E為A3邊的中點(diǎn)，線段AC和DE交于

2」,lr-

D.1

答案D

解析如圖，取CD的中點(diǎn)G,連接3G,交AC于點(diǎn)H.

,JBE//DG,BE=DG,

四邊形3EDG為平行四邊形，：.BG//DE.

又E為A3的中點(diǎn)，

AF=FH,同理可得CH=FH,

**.AF=|AC=1(AB+Ab).

：.BF=RA+AF=-AB+^AB+MJ)

(2)(2024.安慶調(diào)研)如圖，等腰梯形A3CD中，點(diǎn)E為線段

CD上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)歹為線段5c的中點(diǎn)，則在=()

A.-+A-AC

1olo

c.—D.-^AB+^AC

答案A

解析由題圖得

FE=FC+CE=|BC+|cb

=-H協(xié)+/?

感悟提升平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略

(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.

(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.

訓(xùn)練2(1)(2024?南充診斷)如圖，在△ABC中，BD=^DC,則量)=()

答案A

解析因?yàn)榘l(fā))=4比,

所以45—油=4(慶一疝)，

所以5與)=屈+4戢:，即助=|■協(xié)+會(huì).

⑵(2024.河南部分學(xué)校聯(lián)考)已知不共線向量近=a,/=4點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)

稱點(diǎn)為S,點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)3的對(duì)稱點(diǎn)為N,則說V=()

A.2a~2bB.2a+2。

C.i2a—2bD.12a~\~2b

答案D

解析如圖，由為=a,仇點(diǎn)般關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S,點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)3的

對(duì)稱點(diǎn)為N,可知AB是△SMN的中位線，

所以說V=2協(xié)=2(油一為)

=2b—2a=-2a+2b.

考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用

例3(1)(2024.長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知向量a,力不共線，且C=M+》,d=a+(2x—1)加若C

與d共線，則實(shí)數(shù)x的值為()

A.1B.12

C.1或一2D.-1或一2

答案C

解析因?yàn)閏與d共線，

所以存在左?R,使得d=Z:c,

即a~\-(2x—l)b=kxa~\-kb.

1

因?yàn)橄蛄縜,8不共線，所以，,

[k=2x-l,

整理可得x(2x—1)=1,即Zr2—x—1=0,

解得x=—g或x=l.

⑵(2024?濰坊調(diào)研)已知點(diǎn)M為AABC中BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足瓶=1■翁f,

過點(diǎn)N的直線與AB,AC分別交于P,Q兩點(diǎn)，且設(shè)修=用，AQ=yAC,則：+

(的值為()

A.5B.6C.9D.10

答案D

解析根據(jù)題意，得

A2V=|AAf=|x|(AB+AC)

d(屈+德=黑3那)

=插+古@

VP,N,。三點(diǎn)共線，

.*.77r+77T=l,即1+』=10.

10x10jxy

感悟提升利用共線向量定理解題的策略

(l)a〃方=a=^SW0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思

想的運(yùn)用.

(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A,B,C三點(diǎn)共線0后,

公共線.

(3)若a與不共線且為=〃4則4=〃=0.

(4)dA=^OB+/zOC(A,〃為實(shí)數(shù))，若A,B,。三點(diǎn)共線(。不在直線3c上)，則

4十〃=1.

2

訓(xùn)練3(1)如圖，△ABC中，點(diǎn)”是3c的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足俞=/，AM與CN

交于點(diǎn)。，AD=AAM,則2等于()

23D-l

A-3B-4

答案C

解析在△ABC中，因?yàn)辄c(diǎn)〃是3c的中點(diǎn),

所以屐/=；協(xié)+3/，

則入5=九俞=彳通+彳0,

一-2一

又AN=gAB,

于是得45=冬加十/立，

因?yàn)辄c(diǎn)C,D,N共線，則有了十］=1,

4

解得7=亍

（2）（2024.棗莊質(zhì)檢）已知。為線段A3上的任意一點(diǎn)，。為直線A3外一點(diǎn)，A關(guān)

于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C若歷=xB+y沆，則x—y的值為（）

A.-lB.OC.lD.2

答案C

解析因?yàn)锳關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C,

所以反=一內(nèi),

又歷=尤+'元

所以沆>=xB—y為，

又因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，

所以x-y=l.

■課時(shí)分層精練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

L化簡(jiǎn)2（a—3力一3（a+力的結(jié)果為（）

A.a+4Z>B.Ia—9b

C.2a+Z>D.a~3b

答案B

解析2（a—3b）一3（a~\~b）=2a-6b_3a_3b=一a一9b.

2.（多選）下列命題中正確的是（）

A.\a\+\b\=\a-b\^>a與〃方向相反

B.在△ABC中，AB+BC+CA=0

C.若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反

D.如果非零向量a,的方向相同或相反，那么a+b的方向與a,8之一的方向一

定相同

答案BC

解析對(duì)于A,當(dāng)a,萬之一為零向量時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,首尾順次相接，B正確；

對(duì)于C,兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反（大小相等，方向相

反），故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)a+8=0時(shí)，零向量的方向是任意的，故D錯(cuò)誤.

3.（多選）下列能化簡(jiǎn)為區(qū)的是（）

K.QC-QP+CQ

B腦+（戌+砌

C.（AB+PC）+（BA-eC）

r>.PA^AB-BQ

答案ABC

解析對(duì)于A,QC-^+CQ=PC+CQ=PQ,符合題意；

對(duì)于B,協(xié)+（戌+旗）=（或+屈）+旗=兩+旗=跖，符合題意；

對(duì)于C,（檢+反：）+（就一因=（蕊+威）+（曲一次）=0+跖=應(yīng)，符合題意；

對(duì)于D,PA+AB-BQ=PB-BQ^PQ,不符合題意.

4.（2024.武漢質(zhì)檢）已知a,〃是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，AB=a+Xb,AC=^a+

b,九〃6R,則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是（）

A.2—〃—1B.2+〃=2

C./l/z=lD."=l

答案C

解析若A,B,C三點(diǎn)共線，則存在不為。的實(shí)數(shù)相，使得筋=相丞:，即。+勸

=m（/za+6）,

1=加〃，

可得.所以加=1.故選C.

z=m,

5.在邊長(zhǎng)為1的正方形A3CD中，^AB=a,M）=b,M：=c,則|a—8+c|等于（）

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，

AB=a,AD=b,AC=c,

所以a-b+c=AB-AD-i-AC=AB-Ab+（AB+Ab）=2AB,

又|成|=1,所以|a—b+c|=|2檢|=2.

6.（2024.渭南調(diào)研）如圖，在四邊形A3CD中，E,R分別為A3,CD的中點(diǎn)，若廢）

=a,BC=b,則辭=(

A.呼+予

「

C^a+^bD.^1a—^3b,

答案A

解析由題意知

EF=EB+BC+&=EA+AD+DF,

因?yàn)镋,P分別為A3,CD的中點(diǎn),

所以就=一高，DF=~&,

所以2律=45+比，即赤=%）+坡,

因?yàn)锳b=a,BC=b,

所以前=1?+*.

7.（2024.昆明診斷）在△ABC中，若AD為3c邊上的中線，點(diǎn)E在AD上，且AE

=2ED,則應(yīng)=（）

C涎]

答案A

解析如圖所示.

BDC

在△ABC中，因?yàn)锳D為邊上的中線,

所以。為的中點(diǎn).

由平行四邊形法則，得病=：(協(xié)+丞)

又點(diǎn)E在AD上，且AE=2ED,

9

所以a=一/)，

所以旗=就+屈=~^AD+AB

=一X~\~AC)-\~AB

=——~^AC^\~AB

8.已知向量a,8不共線，且c=2a+24d=a+(2"3)人若c與d反向共線，則

實(shí)數(shù)丸的值為.

答案T

解析由于C與d反向共線，

則存在實(shí)數(shù)左使c=〃(左＜0),

于是Aa-\-2b=k[a+(2A-3)b],

整理得Aa+2b=ka+(2Ak~3k)b.

丸k

由于a,8不共線，所以有c

[2Ak~3k=2,

整理得2萬一34—2=0,

解得7=2或7=—2.

又因?yàn)樽骎O,所以丸VO,故丸=一；.

9.若點(diǎn)0是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|畫一加7|=|麗+沆一2/1|,則

AABC的形狀為.

答案直角三角形

解析OB+OC-2dA=(OB-dA)+(OC-dA)=AB+AC,OB-OC=CB=AB-

AC,

.\|A5+AC|=|A5-AC|.

故A,B,C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形.

10.在△ABC中,P是3c上一點(diǎn)，若訪=2近,屈=丸協(xié)+〃應(yīng):，則24+〃=.

答案3

解析在△ABC中，麗=2反:，

則亦=蕊+麗=協(xié)+/：

=AB+1(AC—AB)=1-AB+|AC,

又崩=丸協(xié)+〃流，且屈，病不共線，

則2=1,//=|,

4

所以24+〃=1.

11.已知a,〃不共線，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)PR,如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)/使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上？若

存在，求出實(shí)數(shù)/的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

解由題設(shè)知，CD=d—c=2b—3a,

CE—e—c—(t—3)a+協(xié)，

C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)左，使得度=左①，

即(/—3)。+叢=—3ka~\~2kb,

整理得?—3+3左)a=(2左一

因?yàn)閍,力不共線,

t—3+3左=0,解得?=|.

所以有＜

2k一t=0,

故存在實(shí)數(shù)f=5使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上.

12.如圖，在△ABC中，。為的四等分點(diǎn)，且靠近3點(diǎn)，E,R分別為AC,AD

的三等分點(diǎn)，且分別靠近A,。兩點(diǎn)，設(shè)通=a,AC=b.

⑴試用a,b表示能，AD,BE；

(2)證明：B,E,R三點(diǎn)共線.

(1)解在△ABC中，因?yàn)榍?a,A<J=b,

所以比=病一屈=8—a,

Ab=AB+BD=AB+^2

131

=a+丁)—a)=平+a，

B￡,=BA+AE=—AB+1AC=—a+^Z>.

(2)證明因?yàn)榉?-a+g。，

2

BF=BA+AF=-AB+7AD

11

十-

6

2a

所以泳=抽，即泳與防共線，且有公共點(diǎn)3,所以5,E,R三點(diǎn)共線.

【B級(jí)能力提升】

13.（多選）下列命題正確的是（）

A.若A,B,C,。四點(diǎn)在同一條直線上，且AB=CD,則的=詼

B.在△ABC中，若