第28講二次函數(shù)（上海考點練）（九大題型）

01日出品

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握?？伎键c；

2、熟悉二次函數(shù)有關(guān)的一些專業(yè)術(shù)語。

02思維導(dǎo)圖

03知識清單

i.掌握上海常考考點或題型；

2.學(xué)會上海描述二次函數(shù)的一些專業(yè)術(shù)語（如沿著x軸的正方向看，如果某拋物線在y軸左側(cè)的部分是上

升的；教材頂點式的深刻理解等）

【即學(xué)即練1］（23-24九年級上?上海松江?期末）如果一個二次函數(shù)圖像的頂點在x軸上，且在y軸的右側(cè)

部分是上升的.請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式：.

【答案】y=4x2,答案不唯一

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù).

由于二次函數(shù)的頂點在x軸上，且在＞軸的右側(cè)部分是上升的，由此可以確定二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，

由此可以確定函數(shù)解析式不唯一.

【解析】解：???二次函數(shù)的頂點在X軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的，

這個二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，

???符合條件的函數(shù)有y=4Y,答案不唯一.

答案為：y=4x2,答案不唯一.

【即學(xué)即練2】（23-24九年級上?上海寶山?期末）如果二次函數(shù)y=a（x-2）2（a＜0）的圖像上有兩點那么

2，yJ和弓那么"（填或

【答案】＞

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)值的比較方法.

【解析】解：二次函數(shù)y=。（尤-2）2的對稱軸為直線x=2,a＜0,

.?.距離對稱軸越遠(yuǎn)的點，函數(shù)值越小，

97

-2＜--2,

43

故答案為：＞.

【即學(xué)即練3］（23-24九年級上?上海靜安?期末）如果二次函數(shù)＞=內(nèi)2+fov+c圖像對稱軸的右側(cè)部分上升，

它的開口方向是.（填“向上”或“向下”）

【答案】向上

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像，熟練掌握二次函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵.根據(jù)對稱軸的右側(cè)部分

上升即可得到答案.

【解析】解：,??對稱軸的右側(cè)部分上升，

故函數(shù)圖像在對稱軸的右側(cè)單調(diào)遞增，

，它的開口方向是向上.

故答案為：向上.

【即學(xué)即練4】（2023?上海虹口?一模）已知拋物線y=-無2+bx+c如圖所示，那么點P0,c）在第一象限.

【答案】二

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸位置確定6的符號，拋物線與、

軸的交點確定。的符號，即可確定點尸（瓦。）所在的象限.

【解析】解：由拋物線的圖象得，c>0,

2a2

：.b<0,

???PS?在第二象限.

故答案為：二.

【即學(xué)即練5】（2024九年級上?上海?專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的解析式為y=-f+2x,下列關(guān)于函數(shù)圖

象的說法正確的是（）

A.對稱軸是直線x=-lB.圖象經(jīng)過原點

C.開口向上D.圖象有最低點

【答案】B

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)題意，將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解.

【解析】解：：y=-*2+2x=-（x-l）2+1,。=-1<0

，拋物線開口向下，對稱軸為直線x=l,頂點坐標(biāo)為（1』），函數(shù)圖象有最高點（LD,當(dāng)x=0時，y=0,即

圖象過原點.

故選：B.

【即學(xué)即練6］（23-24九年級上.上海奉賢.期末）已知拋物線y=（a-2）/一天開口向上，那么。的取值范圍

是.

【答案】a>2/2<a

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用二次函數(shù)y=a/+"+c的性質(zhì)：〃〉0時，拋物線開口向上，列出不等式解答即可.

【解析】解：???拋物線,=（〃-2）/一%開口向上，

??a—2>0,

6Z>2.

??.〃的取值范圍是：a>2.

故答案為：a>2.

題型精講

題型1：概念綜合

【典例1].（23-24九年級上?上海閔行?階段練習(xí)）二次函數(shù)y=/+3x-2°的截距是.

【答案】-1

【分析】題目主要考查二次函數(shù)的截距，理解截距的定義是解題關(guān)鍵.

【解析】解：y=x2+3x-2°=X2+3X-1,

當(dāng)x=0時，y=—1,

截距為-1,

故答案為：-1.

【典例2].（23-24九年級上?上海徐匯?期末）下列拋物線中，對稱軸為直線x=l的拋物線的表達(dá)式是（）

A.y=x2+lB.y=x2-lC.^=尤?+2XD.y=x2-2x

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，熟練掌握求二次函數(shù)對稱軸的方法和技巧是解答本題的關(guān)鍵.

分別求出各選項中拋物線的對稱軸，由此進行判斷，得到答案.

【解析】解：根據(jù)題意得：

A選項中，拋物線y=f+l的對稱軸為V軸，故本選項不符合題意；

B選項中，拋物線的對稱軸為y軸，故本選項不符合題意；

C選項中，拋物線＞=/+2*=（*+1）2-1,該拋物線的對稱軸為直線x=-l,故本選項不符合題意；

D選項中，拋物線y=x2-2x=（x-l）2-l,該拋物線的對稱軸為直線x=l,故本選項符合題意；

故選：D.

【典例3].（2024?上海楊浦?一模）寫出一個經(jīng)過坐標(biāo)原點，且在對稱軸左側(cè)部分是下降的拋物線的表達(dá)式，

這個拋物線的表達(dá)式可以是—.

【答案】y=2Y+x（答案不唯一）

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)題意寫出開口向上，且經(jīng)過點（。,0）拋物線的表達(dá)式即可，

掌握二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【解析】依題意得，開口向下，經(jīng)過點（0,0）,

/.拋物線的表達(dá)式可以是y=2爐+x,

故答案為：y=2尤2+無.（答案不唯一）

【典例4].（23-24九年級上?上海青浦?期末）如果拋物線丁=/+灰+2的對稱軸是直線x=2,那么b的值

等于.

【答案】-4

A

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)y=/+bx+c（aW0）的對稱軸為直線x=-/即

可解答.

【解析】解：???拋物線y=f+bx+2的對稱軸是直線x=2,

:」=2,

2

解得：b=Y,

故答案為：—4.

【典例5].（2024.上海青浦.二模）如果將拋物線y=Y+l向右平移3個單位，那么所得新拋物線的表達(dá)式

是.

【答案】y=（x-3）2+l

【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，正確理解二次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)函數(shù)圖像平移的

方法：左加右減，上加下減，即可得到答案.

【解析】將拋物線y=1+1向右平移3個單位，所得新拋物線的表達(dá)式是y=（x-3）2+l.

故答案為：y=（x-3）2+l.

【典例6].（23-24九年級上?上海松江?期末）如果一個二次函數(shù)圖像的頂點在x軸上，且在〉軸的右側(cè)部分

是上升的.請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式：.

【答案】y=4x2,答案不唯一

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù).

由于二次函數(shù)的頂點在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的，由此可以確定二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，

由此可以確定函數(shù)解析式不唯一.

【解析】解：???二次函數(shù)的頂點在x軸上，且在y軸的右側(cè)部分是上升的，

/.這個二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，

,符合條件的函數(shù)有y=4Y,答案不唯一.

答案為：y=4x2,答案不唯一.

題型2：二次函數(shù)的平移

【典例7].（2024?上海楊浦.三模）如果函數(shù)y=（x-l『+〃z的圖像向左平移2個單位后經(jīng)過原點，那么

【答案】-1

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象平移規(guī)律，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解決本題的關(guān)鍵是要熟練

掌握二次函數(shù)平移規(guī)律；根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，進行求解即可；

【解析】把函數(shù)y=（x-l）2+加的圖像向左平移2個單位后得y=（無一1+2）2+機=（》+1）2+7〃，

；平移后的圖像經(jīng)過原點，

0=（0+1）"+m,

解得：m=-l,

故答案為：-1;

【典例8].(23-24九年級上?上海松江?階段練習(xí))將拋物線y=2(x+l)2+3平移后與拋物線＞=2/重合，

那么平移的方法可以是()

A.向左平移1個單位，再向上平移3個單位

B.向左平移1個單位，再向下平移3個單位

C.向右平移1個單位，再向上平移3個單位

D.向右平移1個單位，再向下平移3個單位

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的平移變換，根據(jù)平移前后的拋物線的頂點坐標(biāo)確定平移方法即可

解答.將圖像的平移轉(zhuǎn)化成頂點的平移是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：???拋物線y=2(x+iy+3的頂點坐標(biāo)為(-1,3),拋物線y=2/的頂點坐標(biāo)為(0,0),

頂點由(T，3)到(0,0)需要向右平移1個單位再向下平移3個單位.

故選：D.

【典例9].(23-24九年級上.上海松江期末)在直角坐標(biāo)平面中，將拋物線y=-(x+l)2+2,先向左平移1

個單位，再向下平移2個單位，那么平移后的拋物線表達(dá)式是.

【答案】，=-(尤+2)2

【分析】此題考查的是二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律：括號內(nèi)左加右減，括號外上加下

減求解即可.

【解析】解：將拋物線y=-(x+iy+2,先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那么平移后的拋物線

表達(dá)式是y=-(x+1+1)"+2-2=-(x+2)~,

故答案為：y=-(x+2)2.

【典例10】.(2024?上海?模擬預(yù)測)將拋物線＞=春_2了+3沿直線y=-x+l方向平移2五個單位后的解析

式為.

【答案】y=-(x+3y+6或y=-(x-l『+2

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握“左加右減，上加下減”的平移

規(guī)律是解題的關(guān)鍵.沿直線＞=-》+1方向平移2應(yīng)個單位，相當(dāng)于向上平移2個單位，再向左平移2個單

位，或向下平移2個單位，再向右平移2個單位，然后根據(jù)平移規(guī)律得出答案.

【解析】解：對于y=-x+i,當(dāng)尤=0時，y=i,當(dāng)尤=2時，y=-1,

即：直線y=-x+l經(jīng)過4(0,1),3(2,-1),

貝|JAB=J(2一0)2+(-1-1)2=272，

由此可知拋物線y=*-2x+3沿直線y=-x+l方向平移20個單位，

相當(dāng)于拋物線y=-X2-2X+3=-(X+1)2+4向上平移2個單位，再向左平移2個單位,

此時平移后的解析式為y=-(x+l+2)+4+2=-(x+3)+6；

或拋物線V=-X2-2X+3=-(X+1)2+4向下平移2個單位，再向右平移2個單位，

止匕時平移后的解析式為y=-(x+l-2)2+4-2=y=-(x-if+2；

綜上：y=-(X+3)2+6或y=_(x-l)2+2.

題型3：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

【典例111(23-24九年級上?上海靜安?期末)如果二次函數(shù)丁=存2+公+。圖像對稱軸的右側(cè)部分上升，

它的開口方向是.(填“向上”或“向下”)

【答案】向上

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像，熟練掌握二次函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵.根據(jù)對稱軸的右側(cè)部分

上升即可得到答案.

【解析】解：,??對稱軸的右側(cè)部分上升，

故函數(shù)圖像在對稱軸的右側(cè)單調(diào)遞增，

，它的開口方向是向上.

故答案為：向上.

【典例12].(23-24九年級上?上海?階段練習(xí))已知點A。,%)和5(2,%)在二次函數(shù)丁=加+2辦+。(。<0)

圖像上，則,一%0.(填“才、或“=”)

【答案】>

【分析】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練

地運用二次函數(shù)的性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵.根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向下，對稱軸是

直線x=-l，根據(jù)x>T時，V隨工的增大而減小，即可得出答案.

【解析】解：1.,y^ax1+2ax+c(<a<0),

,圖象的開口向下，對稱軸是直線x=-羊=-1,

2a

x>—i時，y隨x的增大而減小，

；?%<%，

%-%>0，

故答案為〉.

【典例13].(23-24九年級上?上海長寧?期末)下列關(guān)于拋物線y=2尤2+無一3的描述正確的是()

A.該拋物線是上升的B.該拋物線是下降的

C.在對稱軸的左側(cè)該拋物線是上升的D.在對稱軸的右側(cè)該拋物線是上升的

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)拋物線的解析式和二次函數(shù)的性

質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確.

【解析】解:???拋物線，=2爐+尤-3,

...。=2>0,在對稱軸左側(cè)，該拋物線下降，在對稱軸右側(cè)上升，故選項A、B、C均錯誤，不符合題意，

選項D正確，符合題意；

故選：D.

【典例14】.(2024?上海楊浦?三模)關(guān)于拋物線丫=依2一2"下列說法錯誤的是()

A.該拋物線的對稱軸是直線x=l

B.該拋物線的頂點坐標(biāo)是(LT)

C.該拋物線與x軸有兩個交點

D.該拋物線在對稱軸的左側(cè)部分，V隨尤的增大而增大

【答案】C

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項判斷即可求解.

【解析】解：y=ax2-2ax+a-4

—a(x?-2x+1)-4

=tz(x-l)2-4,

該拋物線的對稱軸是直線x=l,頂點坐標(biāo)是(1,T),故A,B選項正確，不符合題意；

a<0,

：.A=(-2a)2-4a(a-4)=16a<0,該拋物線在對稱軸的左側(cè)部分，V隨工的增大而增大，

該拋物線與x軸沒有交點，，故C選項錯誤，符合題意；D選項正確，不符合題意；

故選：C

題型4：求參數(shù)范圍

【典例15】.(2024?上海閔行三模)如果二次函數(shù)y=Y-4x+l的圖象的一部分是下降的，那么了的取值范

圍是

【答案】x<2

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)函數(shù)解析式可得拋物線

開口向上，則當(dāng)x在對稱軸左側(cè)時，函數(shù)圖象下降，所以求出函數(shù)的對稱軸即可求解.

【解析】解：：y=/-4x+l=(x-2)2-3,又拋物線開口向上，

.?.當(dāng)x<2時，'隨x的增大而減小，圖像下降；當(dāng)xN2時，'隨x的增大而增大，圖像上升；

二次函數(shù)y=x2-4x+l的圖像的一部分是下降的，

x<2,

故答案為：x<2.

【典例161（2024.上海.模擬預(yù)測）已知A（T,6）,3（4,-1）,若拋物線y="-回一+機與線段A3沒有交點，

則加取值范圍為.

【答案】機〈土叵或心罌

2240

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，由y=（x-my+機可

得拋物線隨機值的變化，拋物線頂點在直線y=x上移動，分拋物線對稱軸在點A左側(cè)，在點A右側(cè)，兩種

情況討論即可.

【解析】解：由y=（x-m）2+m可得拋物線的對稱軸直線為工=機，頂點坐標(biāo)為（7〃，m），圖象開口向上，

如圖，隨機值的變化，拋物線頂點在直線y=x上移動，

當(dāng)對稱軸在點A左側(cè)時，m<-l,

把A（—l,6）代入y=（%—機）2+加得6=（-1_加）2+機,

解得加=一3-叵或相=-3+叵（舍去），

22

m<-3-產(chǎn)時，拋物線y=（x-mf+機與線段AB沒有交點,

當(dāng)對稱軸在點A右側(cè)時，-IVm,

設(shè)線段AB所在直線的解析式為y=kx+b（k豐0）,

16=—上+Z?

將A（—1,可,3（4,-1）代入y=fcc+b（k*0）,得：一3,，

k」

5

解得：

b7=——23

5

二?線段AB所在直線的解析式為y=-37+三23,

723

y=——x-\---

X+/+*生=。，

聯(lián)立55，得:工2—

5

y=(x-m)2+m

拋物線y=（x-機區(qū)+m與線段AB沒有交點,

2

2」一m2+機一])<(),

二.A

5

509

---<in,

240

綜上，當(dāng)一<—3個場或1,拋物線y=（尤-機）2+機與線段AB沒有交點,

故答案為：加〈弋竺或心器

【典例17】.（2024?上海徐匯?二模）如果二次函數(shù)y=2f-4x+l的圖像的一部分是上升的，那么x的取值

范圍是.

【答案】x>l

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)函數(shù)解析式可得拋物線

開口向上，則當(dāng)X在對稱軸右側(cè)時，函數(shù)圖像上升，所以求出函數(shù)的對稱軸即可求解.

【解析】解：y=2f-4X+1=2（X-1）2-1,又拋物線開口向上，

，當(dāng)x<l時，丫隨天的增大而減小，圖像下降；當(dāng)龍21時，、隨彳的增大而增大，圖像上升；

二次函數(shù)y=2--4x+l的圖像的一部分是上升的，

?二X>1,

故答案為：X>1.

【典例18】.（2024.上海楊浦.一模）已知拋物線y=（祖-2）尤2一3萬-1的開口向上，那么機的取值范圍

是.

【答案】m>2

【分析】本題考查了拋物線的性質(zhì)；根據(jù)拋物線y=（〃L2）尤2一3*-1的開口向上，得到〃,—2>0,計算即可.

【解析】：拋物線J=（m-2）x2一3彳一1的開口向上，

m—2>0,

解得m>2,

故答案為：m>2.

題型5：坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)

【典例19].（23-24九年級上.上海浦東新.階段練習(xí)）二次函數(shù)y=2/_8的圖象與x軸的交點坐標(biāo)

是.

【答案】（2,0）,（-2,0）

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，令y=o,代入函數(shù)解析式求出尤的值即可.

【解析】解：y=2f-8

當(dāng)y=0時，2/-8=0,

解得：%=2,毛=-2,

二次函數(shù)y=2X2-8的圖象與尤軸的交點坐標(biāo)是（2,0）,（-2,0）,

故答案為：（2,0）,（-2,0）.

【典例20].（23-24九年級上?上海松江?階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點（5,-2）,其對稱軸為直線x=3,則拋

物線一定經(jīng)過另一點的坐標(biāo)是—.

【答案】。,-2）

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解即可，解題的關(guān)鍵是正確

理解二次函數(shù)的圖象及性質(zhì).

【解析】???點（5,-2）關(guān)于對稱軸直線x=3的對稱點為（1,-2）,

???拋物線一定經(jīng)過另一點的坐標(biāo)是（1,-2）,

故答案為：（1,-2）.

題型6：實際應(yīng)用

【典例21].（23-24九年級上?上海青浦?期中）某商店一月份銷售額為50萬元，月平均增長率x（x>0）,

一季度的銷售額為'萬元，那么'關(guān)于月平均增長率x的函數(shù)解析式是—.

【答案】y=50x2+150x+150

【分析】本題考查了求函數(shù)解析式，根據(jù)題意分別把二月份、三月份的銷售額表示出來，由一季度的銷售

額為y萬元即可求出函數(shù)解析式，理解題意，找到變量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：根據(jù)題意可得，y=50+50（l+x）+50（l+x）2=50X2+150X+150,

故答案為：y=50x2+150%+150.

【典例22].（2024?上海楊浦?一模）有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，水面AB寬20米，拱橋的最高

點。到水面A3的距離是4米，如圖建立直角坐標(biāo)平面xOy,如果水面上升了1米，那么此時水面的寬度是一

米.（結(jié)果保留根號）

y

【答案】10^3

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，設(shè)該拋物線的解析式是y=由題意結(jié)合圖象可知，點(10,Y)在

函數(shù)圖象上，求出解析式然后把>=-3代入即可求解，準(zhǔn)確理解題意，并能夠用待定系數(shù)法求

二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【解析】設(shè)該拋物線的解析式是、=辦2,

由題意結(jié)合圖象可知，點(10,T)在函數(shù)圖象上，

代入得：100°=—4,解得：。=—石，

該拋物線的解析式是y=,

則水面上升了1米，此時y=-3,

3=一石X?,解得：x=±5^3,

則此時水面的寬度是米，

故答案為：10括.

題型7：二次函數(shù)的圖像與參數(shù)符號的判斷

【典例23].(23-24九年級上?上海崇明?期末)在二次函數(shù)yuax'+bx+c中，如果。<0,b>0,c<0,那

么它的圖像一定不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)丁=依2+公+~a<0,b>0,c<0和二次函數(shù)的性質(zhì)，

可知該函數(shù)圖象的對稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，開口向下，然后即可判斷該函數(shù)圖象一定不經(jīng)過

第二象限.

【解析】解：?.?二次函數(shù)y=+bx+c,a<0,b>0,c<0,

.?.該函數(shù)圖象的對稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，開口向下，

...該函數(shù)圖象存在三種情況，如圖所示，

.??它的圖象一定不經(jīng)過第二象限，

故選：B.

【典例24】.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)>=依2+"的圖像如圖所示，則一次函數(shù)>=依+6的圖

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題.

根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向下，可以判斷a<0,再根據(jù)對稱軸判斷出b的符號，再由一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

【解析】解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，a<0,-->0

2a

b>0,

...一次函數(shù)、=依+6的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.

故選：c.

【典例25].（23-24九年級上?上海金山?期末）拋物線、=依2+法+。圖像如圖所示，下列判斷中不正確的

是（）

C.c>0D.a+b+c<0

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，理解并掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.由該拋

b

物線開口向下，可知〃<0,即可判斷選項A；由該拋物線對稱軸為1=-丁<0,結(jié)合a<0,可得bvO,

2a

即可判斷選項B；由圖像可知，當(dāng)x=0時，可有y=c>0,即可判斷選項C；由圖像可知，當(dāng)x=l時，可有

y=a+b+c>0,即可判斷選項D.

【解析】解：A.該拋物線開口向下，所以。<0,故該選項正確，不符合題意;

b

B.該拋物線對稱軸為x=-丁<0,又因為所以hvO,故該選項正確，不符合題意;

2a

C.由圖像可知，當(dāng)x=0時，可有y=c>0,故該選項正確，不符合題意;

D.由圖像可知，當(dāng)x=l時，可有y=a+6+c>0,故該選項不正確，符合題意.

故選：D.

【典例26].（23-24九年級上?上海?階段練習(xí)）二次函數(shù)y=*+bx+c（ax0）的圖像如圖所示，現(xiàn)有以下

結(jié)論:

①。>0；

②abc>0；

(3)a-6+c<0；

?b2-4ac>0;其中正確的結(jié)論有（）

C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)；根據(jù)拋物線開口方向向上可知。>0即可判定①、拋物線對

稱軸在y軸右側(cè)，且交y軸正半軸，可判定b<0,c>0則可判定②；令x=T,由拋物線可知當(dāng)x=-l時,

函數(shù)值大于0,即可判定③；根據(jù)拋物線與X軸有兩個交點可對④進行判斷；靈活運用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)

成為解題的關(guān)鍵.

【解析】解：???拋物線開口向上，

/.<7>0,故①正確.

?..拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，且交y軸正半軸，

b

---->0,c>0,

2a

：.b<0,

abc<0,故②錯誤,

當(dāng)x=-1時，y>0,

即a-》+c>0,故③錯誤，

拋物線與無軸有兩個交點，

b1-4<7O0,故④正確，

綜上①④正確，

故選：B.

題型8：新定義題

【典例27].（2024?上海?中考真題）對于一個二次函數(shù)y=a（無-加產(chǎn)+左（。力0）中存在一點尸（兄V）,使

^x'-m=y'-k^0,則稱2|?-討為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線y=-g尤?+；龍+3"開口大小,，

為.

【答案】4

【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理

1_1

解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到一5=力，按照定義求

X—

3

解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵.

【解析】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知y-左=〃（工-MP中存在一點網(wǎng)兄,，），使得

y-ki

x!—m=y'—,則。=

(x'-m)2xr-m

-3

23

1x2j+3

2

1211

——Xd--------+3

2399

11___11

?.?\=_：/+：彳+3中存在一點P（x',y）,有2一，1，解得/一：=一2,則2x-w=4,

23x__33

拋物線y=f+；尤+3”開口大小，，為4,

故答案為：4.

【典例28].（23-24九年級下.上海崇明?期中）新定義：我們把拋物線y=af+bx+c,（其中必片0）與拋

物線>=a2+內(nèi)+。稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”.例如：拋物線丫=/+2;（:+3的“關(guān)聯(lián)拋物線”為>=2》2+》+3.已知

2

拋物線Ci-.y=6ax+ax+9a-4（a>0）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為C2,拋物線C2的頂點為P,且拋物C?與x軸相交于

M、N兩點，點尸關(guān)于x軸的對稱點為Q,若四邊形尸MQN是正方形，那么拋物線G的表達(dá)式為.

317

【答案】y=-x2+4

【分析】本題考查了拋物線新定義問題，正確理解定義，熟練掌握平行坐標(biāo)軸直線上兩點間距離計算方式

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)定義，得到拋物線G的表達(dá)式，然后利用公式求出頂點尸坐標(biāo)和對稱點。坐標(biāo)，根據(jù)

四邊形PM0N是正方形求出距離，然后利用兩點間距離公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出。的

值，即可求解.

【解析】解：G:y=6以2+at+9a-4（a>0）,

，“關(guān)聯(lián)拋物線"C?為：y=依,+6以+9。一4（。>0）,

設(shè)拋物線a的頂點尸（無,y）,則

b6a4ac—4a（9?！?）—（6a）~.

x=-----=---=—J,y=-----------=------------------------=—4,

2a2a'4a4a

拋物線a的頂點尸（-3,-4）,

.??點P關(guān)于X軸的對稱點。（-3,4）,

連接P。交x軸于打，如圖所示，

???四邊形加QN是正方形,

??.MN=8,

C2

設(shè)拋物線2：y=ax+6ax+9a-4(?>0)與x軸交點”(再,0),N(x2,0),巧，x2即為方程依z+6av+9(2-4=0

的根,

6a,9〃一44

則菁+%=-一=-6,=9—,

MN(-6)2-4(9--)=J36-36+—=8,

aVa

解得

111Qi7

，拋物線G的表達(dá)式為尸%一+產(chǎn)9丁4,即安/+廣“

317

故答案為.=h+廣“

題型9：解答綜合題

【典例29].(24-25九年級上?上海?階段練習(xí))已知拋物線y=*+6x+c經(jīng)過人(-2,0)、磯4,0)、C(2,8)三

點.

(1)求拋物線的解析式，并寫出拋物線的頂點M的坐標(biāo)；

(2)該拋物線經(jīng)過平移后得到新拋物線y=-/+41+1,求原拋物線平移的方向和距離.

【答案】⑴拋物線的解析式為y=r?+2x+8,拋物線的頂點"的坐標(biāo)為(1,9)；

(2)原拋物線向下平移4個單位，再向右平移1個單位得到新拋物線.

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析，二次函數(shù)的平移.

(1)根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),將C(2,8)代入求解即可，再配成頂點式，即可寫出

頂點的坐標(biāo)；

(2)先求得新拋物線頂點的坐標(biāo)為(2,5),利用平移的性質(zhì)即可求解.

【解析】⑴解：???拋物線經(jīng)過4(-2,0)、5(4,0),

設(shè)拋物線的解析式為y=o(x+2)(x-4),

將C(2,8)代入得8=a(2+2)(2—4),

解得67=-1,

，拋物線的解析式為y=-(x+2)(尤一4)=一%2+2尤+8=—(％—1)一+9,

拋物線的頂點Af的坐標(biāo)為(1,9)；

(2)解：Vy=-x2+4^+l=-(x-2)2+5,

...新拋物線頂點的坐標(biāo)為(2,5),

,/拋物線y=-Y+2x+8的頂點M的坐標(biāo)為(1,9),

原拋物線向下平移4個單位，再向右平移1個單位得到新拋物線.

【典例30】.(2024?上海徐匯三模)如圖，拋物線y=af+bx+c頂點為坐標(biāo)原點。、且經(jīng)過點A(3,3),直

線經(jīng)過點A和點8(0,6).

(1)求拋物線與直線的表達(dá)式；

(2)如果將此拋物線平移，平移后新拋物線的頂點C在原拋物線上，新拋物線的對稱軸與直線在原拋物線

的內(nèi)部相交于點且NCOD=45。，求新拋物線的表達(dá)式.

【答案】(1)拋物線表達(dá)式為y=g尤,，直線的表達(dá)式為y=-x+6

3-3百丫

+』或y=；x-9-3y/5

(2)新拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=H-----------

432

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)設(shè)直線y=-％+6與X軸交于點￡,求出石(6,0),設(shè)點。的坐標(biāo)為(加，-機+6),則點。的坐標(biāo)為

分①當(dāng)點。在線段AB上時，②當(dāng)點。在AB延長線上時兩種情況討論即可；

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【解析】(1)???拋物線、=依2+法+,頂點為坐標(biāo)原點0,

b=0,c=0,

?.?點4(3,3)在二次函數(shù)圖象上，

/.3=9a,

???c」!--,

3

.??拋物線表達(dá)式為

設(shè)直線的表達(dá)式為y=kx+bt,

???直線經(jīng)過點A和點3(0,6),

.f3=3k+bi

.卜二T

,,bl=6,

直線的表達(dá)式為y=-x+6.

(2)設(shè)直線y=-x+6與無軸交于點E,

.?.當(dāng)y=0時，x=6,

：.￡(6,0),

OE=OB=6,

：.NEBO=45°,

設(shè)點O的坐標(biāo)為(私-優(yōu)+6),

點C的坐標(biāo)為［m,；/，

軸，

/.NBOD=NODC,

當(dāng)點D在線段A3上時，如圖,

ZCOD=ZDBO=45°,

JACDO^ADOB,

.CDDO

^~DO~~6B'

:.DO2=CDOB,

OD1=m2+(m—6)2=2m2—12m+36,CD=-m+6-m2,

2m2-12機+36=61一機+6-g機之),

4m2-6m=0，

m0,

...m=—3,

2

點c的坐標(biāo)為(I，：；

新拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=1^-|J+|,

當(dāng)點。在AB延長線上時，延長。C交x軸于點"，在?！钡难娱L線上截取HF=HO,連接R9,

如圖，

則ZHFO=ZHOF=ZCOD=45°,DF=6-m-m=6-2m,

NODF=NCDO,

：.ACDO^AODF,

CDDO

DF

???DO2=CDDF,

2m2-12m+36=(6—2m)［一m+6-m2,

m3-3m2-9m=0?

*.*根w0,

;>m=3±3^(正值不符合題意，舍去)，

2

一(3-3君9-3后

???點。的坐標(biāo)為一-一,一-一.

I22)

?立>/-?->■p.13—3^/59—3^/5

??新拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=-x-------—H--------—?

05強化訓(xùn)練

L

一、單選題

1.（23-24九年級上?上海松江?期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

_2

A.y=x—2B.y—C.y=x2—（x+1）2D.y="豆

x

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般地，形如,=辦:+bx+c(a>b、。是常

數(shù)，。。。）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

根據(jù)二次函數(shù)的定義選擇正確的選項即可.

【解析】A、y=%-2是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

B、＞=九2符合二次函數(shù)的定義，是二次函數(shù)，故此選項符合題意；

C、y=——（%+1）2=一2x-1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

2

D、y==不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意.

x

故選：B.

2.（23-24九年級下?上海寶山?期中）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是()

A.y—2x2+1B.y=-2d+1

C.y=x+lD.y=-x+l

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，逐項分析判斷即可求解.

【解析】解：A.y=2x2+l,當(dāng)x<0時，y的值隨x值的增大而減?。划?dāng)尤>0時，y的值隨x值的增大而

增大，故該選項不符合題意；

B.y=-2x2+l,當(dāng)尤<0時，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)x>0時，y的值隨x值的增大而減小，故該選

項不符合題意；

C.y=x+l,y的值隨x值的增大而增大，故該選項不符合題意；

D.j=-x+l,y的值隨x值的增大而減小，故該選項符合題意；

故選：D.

3.(23-24九年級上上海靜安?期末)如果將拋物線y=(x+2『-l平移后得到拋物線>=(》-咪+2,那么它

的平移過程可以是()

A.向右平移3個單位，再向上平移3個單位B.向右平移3個單位，再向下平移3個單位

C.向左平移3個單位，再向上平移3個單位D.向左平移3個單位，再向下平移3個單位

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移問題，先求出平移前后拋物線的頂點坐標(biāo)，再根據(jù)點的坐標(biāo)

判斷出平移方式即可.

【解析】解：???平移前拋物線的頂點坐標(biāo)為(-2,-1),平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,2),

將拋物線y=(x+2)2-1向右平移3個單位，再向上平移3個單位可得到拋物線y=(x-爐+2,

故選A.

4.(23-24九年級上?上海松江?期末)關(guān)于二次函數(shù)y=-2(x-l>的圖像，下列說法正確的是()

A.開口向上B.經(jīng)過原點

C.對稱軸右側(cè)的部分是下降的D.頂點坐標(biāo)是(-1,0)

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；

由拋物線解析式可得拋物線開口方向及頂點坐標(biāo)，進而求解.

【解析】y=-2(x-l)2,

???拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)為(1,0),

時，y隨％增大而減小，對稱軸右側(cè)的部分是下降的，

把x=0代入y=-2(x-l)2得y=-2,

拋物線經(jīng)過(0,-2),

故選：C.

5.（2024上海虹口二模）已知二次函數(shù)y=-（x-4）2,如果函數(shù)值V隨自變量x的增大而減小，那么x的取

值范圍是（）

A.x>4B.x<4C.x>-AD.x<-4

【答案】A

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.根據(jù)二次函數(shù)>=-"-4）2,

可得y=-（x-4）2函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為x=4,函數(shù)值y隨自變量X的增大而減小，則X24,得以解

答.

【解析】解:二次函數(shù)y=-（尤-4『,

-.--1<0,

，y=-（x-4）2函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為x=4,

x>40t-函數(shù)值丫隨自變量x的增大而減小，

故選：A.

6.（23-24九年級上?上海青浦?期末）如圖，二次函數(shù)、=依2+近+°（。*0）的圖像的頂點在第一象限，且過

點（0,1）和（—1,0）,下列結(jié)論：①c=l；②ab<0；③a-b+c=0；④當(dāng)x>-l時，y>0.其中正確結(jié)論的

個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】將（0,1）代入解析式，可得c=i,即可判斷①，根據(jù)拋物線開口方向得a<0,利用對稱軸在y軸的

右側(cè)得6>0,可得而<0,即可判斷②；將點（-1,0）代入解析式可得a-8+c=0,即可判斷③，觀察函數(shù)

圖象得到x>-l時，拋物線有部分在x軸上方，有部分在％軸下方，即可判斷④.

【解析】解：二次函數(shù)>=依2+法+以。*0）的圖像的頂點在第一象限，且過點（0,1）和（-1,0）,

/.c=1,a—b+c=0,故①③正確；

,/根據(jù)拋物線開口方向得a<0,利用對稱軸在y軸的右側(cè)得6>0,

ab<0,故②正確；

觀察函數(shù)圖象得到時，拋物線有部分在無軸上方，有部分在X軸下方，則y>0或y=0或y<0,故④

不正確，

故選：C.

二、填空題

7.(23-24九年級上?上海嘉定?期末)將拋物線y=3+x-2/向下平移2個單位，那么平移后拋物線的表達(dá)

式是.

［答案］y=—lx"+x+1

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)“上下移動，縱坐標(biāo)相加減，左右移動橫坐標(biāo)相加減”

進行求解即可.

【解析】解：將拋物線＞=3+尤-2/向下平移2個單位，那么平移后拋物線的表達(dá)式是

y=3+x—2x——2=—2廠+x+1,

故答案為：，=-2尤2+x+i.

8.(23-24九年級上.上海嘉定.期末)如果拋物線y=f+c經(jīng)過兩點4(2,1)和3(1,6),那么6的值是.

【答案】-2

【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.將點A的坐標(biāo)代入解析式求出。的值，再把點B的坐標(biāo)代入,

求出6的值即可.

【解析】解：把4(2,1),代入y=/+c,得：。=一3,

y=x2—3,

把3(1/),代入產(chǎn)元2-3,得：b=-2；

故答案為：-2.

9.(23-24九年級上.上海嘉定?期末)二次函數(shù)＞一2x+根圖像的最高點的橫坐標(biāo)是.

【答案】-1

【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，將二次函數(shù)解析式化為頂點式，由此即可得出答案，熟練掌握二次

函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

【解析】解：；y=-/一2尤+m=-(x?+2x)+加=-(尤+1)~+根+1,

.,?二次函數(shù)y=-x2-2x+m圖像的最高點的橫坐標(biāo)是-1,

故答案為：T.

10.(23-24九年級上?上海奉賢?期末)已知拋物線y=(a-2)--x開口向上，那么。的取值范圍

是.

【答案】a＞2/2＜a

【分析】本題主