第四章曲線運(yùn)動

第21課時專題強(qiáng)化：圓周運(yùn)動的臨界問題

【考情分析?探規(guī)律】

2024?廣東卷?T5、2024?甘肅卷?T8、2024?黑吉遼卷?T2、

圓周運(yùn)動的臨界問2023?江蘇卷?T13、2023?全國甲卷?T17、2023?北京卷?T10、

題2022全國甲卷T14、2022河北卷T10、2022遼寧卷T13、

2022北京卷T8

試生活中的拋體運(yùn)動，自行車、汽車、火車轉(zhuǎn)彎等動力學(xué)及臨界

生活實踐類

問題，水流星，體育運(yùn)動中的圓周運(yùn)動問題

題

情小船渡河模型，繩、桿速度分解模型，與斜面或圓弧面有關(guān)的

學(xué)習(xí)探究類平拋運(yùn)動，圓周運(yùn)動的傳動問題，圓錐擺模型，水平面內(nèi)、豎

境

直面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題，圓周運(yùn)動中的輕繩、輕桿模型

【知識梳理】

考點一水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題

1.與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題

物體間恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。

2

⑴如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力居m="，靜摩擦力的方向一定指向圓

r

心。

(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動，其中一個物體存在

一個恰不向內(nèi)滑動的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最

大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。

2.與彈力有關(guān)的臨界極值問題

⑴兩個接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。

⑵繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。

【小試牛刀】

【典例】1.（2024?江蘇卷?8）生產(chǎn)陶瓷的工作臺勻速轉(zhuǎn)動，臺面上掉有陶屑，陶屑與臺

面間的動摩擦因數(shù)處處相同（臺面足夠大），貝1）（

A.越靠近臺面邊緣的陶屑質(zhì)量越大

B.越靠近臺面邊緣的陶屑質(zhì)量越小

C.陶屑只能分布在圓臺邊緣

D.陶屑只能分布在某一半徑的圓內(nèi)

【典例】2.（多選）如圖所示，兩個質(zhì)量均為根的小木塊a和b（可視為質(zhì)點）放在水平

圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸0。的距離為1,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2/。木塊與圓盤間的最大靜摩

擦力為木塊所受重力的左倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地

加速轉(zhuǎn)動，用。表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說

法正確的是（）

口口

A.b一定比a先開始滑動

B.a、b所受的摩擦力始終相等

C.co—詈是b開始滑動的臨界角速度

D.當(dāng)。=J鬻時，a所受摩擦力的大小為初zg

【典例】3.（多選）（2024.山東臨沂市質(zhì)檢）質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點）由輕繩。和6分

別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點和3點，如圖所示，當(dāng)輕桿繞軸以角速度。勻速轉(zhuǎn)動時,

。繩與水平方向成8角，6繩在水平方向上且長為重力加速度為g,下列說法正確

的是（）

#1

tnbB

A.a繩的彈力隨角速度的增大而增大

B.當(dāng)角速度①,g時，6繩中產(chǎn)生彈力

ftan0

c.當(dāng)繩中產(chǎn)生彈力后，角速度再增大時a繩的彈力不變

D.當(dāng)b繩突然被剪斷時，a繩的彈力一定發(fā)生變化

考點二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題

1.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動一般為變速圓周運(yùn)動，故除最高點和最低點（或等效最高點和等效最

低點）合外力指向圓心，其他位置合外力不指向圓心。

2.在變速圓周運(yùn)動中，只需要把合外力沿圓心方向和速度方向正交分解，指向圓心的分

力提供向心力，只改變速度的方向，沿切線方向的合力改變速度的大小。

3.只有重力做功的豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動機(jī)械能守恒，有其他力參與做功的可用動能

定理或能量守恒解題。

4.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的兩類模型

輕繩模型輕桿模型

常見類型

小球最高點沒有支撐小球最高點有支撐

除重力外，物體受到的彈力方除重力外，物體受到的彈力方向：

最高點受力特征

向：向下或等于零向下、等于零或向上

卜

%、

mgmg

I

%00

最高點受力示意圖mgmg

F彈

OO

mg

O

V2V2

動力學(xué)方程"Zg+尸彈=m一mg±F彈=7n一

RR

尸彈=0

V.2①恰好過最高點，0=0,F彈=mg

臨界特征mg一m…“min

R

②恰好無彈力，F(xiàn)彈=0,v=y[gR

即Omin一個gR

在最高點的速度

過最高點的條件

【小試牛刀】

【典例】1.（多選）（2025?山東德州市?？迹┤鐖D所示，一質(zhì)量為"=0.5kg的小球（可視

為質(zhì)點）,用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，重力加速度g取10m/s2,

下列說法正確的是（）

A.小球要做完整的圓周運(yùn)動，在最高點的速度至少為2m/s

B.當(dāng)小球在最高點的速度為4m/s時，輕繩拉力大小為15N

C.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4V2m/s

D.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4m/s

【典例】2.（多選）（2025?山東煙臺市?？迹┤鐖D所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道

內(nèi)做圓周運(yùn)動，小球直徑略小于管道的尺寸，內(nèi)側(cè)壁半徑為R,小球半徑為廣，重力

加速度為g,則下列說法正確的是（）

A.小球通過最高點時的最小速度Omin=Jg（R+r）

B.小球通過最高點時的最小速度0min=O

C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力

D.小球在水平線就以上的管道中運(yùn)動時，外側(cè)管壁對小球一定有作用力

考點三斜面上圓周運(yùn)動的臨界問題

物體在斜面上做圓周運(yùn)動時，設(shè)斜面的傾角為仇重力垂直斜面的分力與物體受到

的支持力大小相等。

物體在轉(zhuǎn)動過程中，最容易滑動的位置是最低點，恰好滑動時：〃機(jī)gcosd—mgsinO

mco^Ro

【小試牛刀】

【典例】1.（2024?山東青島市期中）如圖所示，一傾斜圓盤可繞通過圓心、垂直于盤面

的固定軸以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動，盤面上距離轉(zhuǎn)軸1=5cm處有一可視為質(zhì)點的物

塊在圓盤上且始終與圓盤保持相對靜止。已知物塊與盤面間的動摩擦因數(shù)為與，盤

面與水平面間的夾角0=30。，重力加速度大小g取10m/s2,設(shè)最大靜摩擦力等于滑

動摩擦力，下列說法正確的是（）

▲魚__________

A.若圓盤角速度逐漸增大，物塊會在最高點發(fā)生相對滑動

B.圓盤轉(zhuǎn)動時角速度可能為5grad/s

C.物塊運(yùn)動到最高點時所受摩擦力方向一定背離圓心

D.物塊運(yùn)動到與圓盤圓心等高點時，摩擦力的方向垂直于物體和圓盤圓心的連線

【限時訓(xùn)練】（限時：60分鐘）

【基礎(chǔ)必刷題】1~7題每小題5分，共35分

1.（2024?山東臨沂市質(zhì)檢）如圖甲，滾筒洗衣機(jī)脫水時，滾筒上有很多漏水孔，滾筒轉(zhuǎn)動

時，附著在潮濕衣服上的水從漏水孔中被甩出，達(dá)到脫水的目的，衣服緊貼著滾筒壁在

豎直平面內(nèi)做順時針的勻速圓周運(yùn)動。如圖乙，一件可視為質(zhì)點的小衣服，。、6分別為

小衣服經(jīng)過的最高位置和最低位置。下列說法正確的是（）

三口

甲

A.衣服緊貼著滾筒做勻變速曲線運(yùn)動

B.衣服轉(zhuǎn)到b位置時衣服上水珠的脫水效果比a位置好

C.不論滾筒轉(zhuǎn)速多大，衣服都不會離開滾筒壁

D.衣服在。位置受到滾筒壁的支持力比在b位置的大

2.港珠澳大橋總長約55km,是世界上總體跨度最長、鋼結(jié)構(gòu)橋體最長、海底沉管隧道

最長的路海大橋，設(shè)計時速100km/h。如圖所示，該路段是港珠澳大橋的一段半徑r=

150nl的圓弧形彎道，總質(zhì)量根=1800kg的汽車通過該圓弧形彎道時以速度。大小為

90km/h做勻速圓周運(yùn)動（汽車可視為質(zhì)點，路面視為水平且不考慮車道的寬度）。已知路

面與汽車輪胎間的徑向最大靜摩擦力為汽車所受重力的:，重力加速度g取lOm/s?,則

（）

A.汽車過該彎道時受到重力、支持力、摩擦力、牽引力和向心力

B.汽車過該彎道時所受徑向靜摩擦力大小為4000N

C.汽車過該彎道時的向心加速度大小為4m/s2

D.汽車能安全通過該彎道的最大速度為15V5m/s

3.如圖所示，當(dāng)汽車通過拱橋頂點的速度為10mzs時，汽車對橋頂?shù)膲毫檐囍亓Φ闹?/p>

如果要使汽車在粗糙的橋面經(jīng)過橋頂時，恰好不受摩擦力作用，則汽車通過橋頂?shù)乃俣?/p>

應(yīng)為（）

FN

上J

mg

A.15m/sB.20m/sC.25m/sD.30m/s

4.（來自教材改編）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺豎直轉(zhuǎn)

軸與過陶罐球心。的對稱軸00,重合。當(dāng)轉(zhuǎn)臺勻速轉(zhuǎn)動時，觀察到陶罐內(nèi)壁上質(zhì)量為〃z

的小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，它和。點的連線與0。的夾角6=60。。重

力加速度大小為g。下列判斷正確的是（）

□匚

A.轉(zhuǎn)臺的角速度一定等于J詈

B.物塊的線速度大小可能等于J等

C.物塊所受合力的大小一定等于遍mg

D.陶罐壁對物塊彈力的大小一定等于2mg

5.（2025?山東青島市校考）如圖所示，輕桿長33在桿兩端分別固定質(zhì)量均為根的球A

和B（均可視為質(zhì)點），光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的。點，外界給系統(tǒng)一定能

量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運(yùn)動到最高點時，桿對球B恰好無作用力。忽

略空氣阻力，重力加速度為g,則球B在最高點時（）

A.球B的速度為零

B.球A的速度大小為痛Z

C.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為

D.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為25mg

6.如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺上的物體A、B及物體C能隨轉(zhuǎn)臺一起以角速度。勻速轉(zhuǎn)

動，A、B、C的質(zhì)量分別為3〃八2m,m,A與B、B和C與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)都為

〃，A和B、C離轉(zhuǎn)臺中心的距離分別為r和1.5八最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物體

A、B、C均可視為質(zhì)點，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.B對A的摩擦力一定為3〃切g(shù)

B.B對A的摩擦力一定為3"702r

c?轉(zhuǎn)臺的角速度需要滿足。0強(qiáng)

D.若轉(zhuǎn)臺的角速度逐漸增大，最先滑動的是A物體

7.（多選）如圖甲所示，一長為/的輕繩，一端穿在過。點的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一

質(zhì)量未知的小球，整個裝置繞。點在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動。小球通過最高點時，繩對小球的拉

力戶與其速度平方。2的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度為g,下列判斷正確的是（）

?2

A.圖像函數(shù)表達(dá)式為F=m—+mg

B.重力加速度g=。

C.繩長不變，用質(zhì)量較小的球做實驗，得到的圖線斜率更大

D.繩長不變，用質(zhì)量較小的球做實驗，6值不變

【鞏固必刷題】8~10題每小題6分，共18分

8.（2025?山東濰坊市模擬）如圖所示，一傾斜的圓筒繞固定軸05以恒定的角速度⑷轉(zhuǎn)動,

圓筒的半徑r=1.5m。筒壁內(nèi)有一小物體（可視為質(zhì)點）與圓筒始終保持相對靜止，小物

體與圓筒間的動摩擦因數(shù)為手（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），轉(zhuǎn)動軸與水平面間的

夾角為60。，重力加速度g取lOm/s?,則。的最小值是（）

V30

BD.——rad/s

A.lrad/s3

C.V10rad/sD.5rad/s

9.如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B,/”A=4kg,