第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省秦皇島市安豐高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若(z?1)?i5=2+i，則A.2?2i B.2+2i C.?2?2i D.?2+2i2.如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖的周長是(

)A.8

cm

B.6

cm

C.2(1+2)

cm

D.3.已知單位向量a，b滿足|a?2b|=7，則aA.12a B.?12a 4.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosA=2c?a,sinAsinC=cosCc+A.1 B.2 C.3 D.45.如圖，圓柱的軸截面為正方形，A是上底面的一個(gè)動點(diǎn)，O為上底面圓的圓心，CD是圓柱下底面圓的直徑，且三棱錐A?OCD的體積最大值為23，則該圓柱的側(cè)面積為(

)A.9π

B.10π

C.12π

D.14π6.若函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx在[0,α]上單調(diào)遞增，則當(dāng)α取得最大值時(shí)，cosα=(

)A.?31313 B.?27.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P為截面A1CA.22B.2

C.18.已知函數(shù)f(x)=cos4(x+π3)?sin4(x+π3)在區(qū)間[t?A.1 B.1+22 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.終邊在y軸上的角的集合為{θ|θ=π2+2kπ,k∈Z}

B.(?π18,0)是函數(shù)f(x)=tan(3x?π310.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(cosα,sinα)，Q(cosβ,sinβ)，A(1,1)，則下列說法正確的是(

)A.OP?OQ=cos(α?β)

B.若OP=QA，則|PQ|=|OA|

C.11.如圖，在棱長為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)M，N分別為棱BC，AD的中點(diǎn)，則(

)A.AB⊥CD

B.MN=12

C.側(cè)棱與底面所成角的余弦值為33

D.直線AM與三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，測量河對岸的塔高AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得∠BCD=30°，∠BDC=105°，CD=32m，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度為______米.13.已知sinα是方程2x2?x?1=0的根，α是第三象限角，則sin14.如圖，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1：2的三棱臺中，過上底面一邊作一個(gè)平行于棱CC1的平面A1B1EF.這個(gè)平面分三棱臺成兩部分，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，E是AA1的中點(diǎn)．

(1)求證：AD⊥BC116.(本小題15分)

已知長方體ABCD?A1B1C1D1中AB=3，AA1>BC，其外接球的表面積為29π，平面A1C1B截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD?A1C1D1，其體積為17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)的一段圖象過點(diǎn)(0,1)，如圖所示．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移π4個(gè)單位，得函數(shù)y=g(x)的圖象，求y=g(x)在區(qū)間[0,π2]上的值域；

18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2bcosA+b=c．

(1)若B=π4，求C的值；

(2)若2CD=DB，AD平分∠BAC，求cosC的值；

(3)若△ABC為銳角三角形，且b=119.(本小題17分)

已知正四棱錐P?ABCD，AB=2．

(1)證明：AB//平面PCD；

(2)當(dāng)PA=AB時(shí)，求該正四棱錐外接球的體積；

(3)當(dāng)該正四棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比最小時(shí)，求四棱錐的高．

參考答案1.A

2.A

3.D

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.ABD

11.AC

12.48+1613.?114.3：4

15.證明：(1)∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形

∵D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，

∵ABC?A1B1C1為直棱柱，∴面ABC⊥面BC1，

∵面ABC∩面BC1=BC，AD?面ABC，

∴AD⊥面BC1，

∴AD⊥BC1．

(2)取CC1中點(diǎn)F，連結(jié)DF，EF，

∵D，E，F(xiàn)分別為BC，CC1，AA1的中點(diǎn)

∴EF//A1C1，16.(1)證明：根據(jù)長方體的性質(zhì)可知AA1//CC1且AA1=CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，

所以A1C1//AC，又A1C1?平面A1C1B，AC?平面A1C1B，

所以AC//平面A1C1B，

又A1D1//AD且A1D1=AD，BC//AD且BC=AD，

所以A1D1//BC且A1D1=BC，

所以四邊形A1D1CB為平行四邊形，所以A1B//CD1，

又A1B?平面A1C1B，CD1?平面A1C1B，

所以CD1//平面A1C1B，

又CD1∩AC=C，

所以平面A1C1B//平面ACD1；

(2)解：設(shè)AB=a=3，BC=b，AA1=c(c>b)，

又a2+b2+c2=4R2(R為長方體外接球半徑)，

又外接球的表面積為29π，即4πR2=29π，所以4R2=29，

所以b2+c2=20①；

又VABCD?A1C1D1=VABCD?A1B1C1D1?VB?A1D1C1=abc?13×12abc=56abc=20，

可得bc=8②；

由①②解得b=2c=4或b=4c=2(舍去)18.解：(1)由2bcosA+b=c得b=c?2bcosA，

由正弦定理得sinB=sinC?2sinBcosA=sin(A+B)?2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB?2sinBcosA，

得sinB=sinAcosB?cosAsinB=sin(A?B)，

因?yàn)锳，B為三角形內(nèi)角，所以B=A?B或B+A?B=π(舍去)，

所以A=2B，

因B=π4，則C=π4．

(2)由(1)得A=2B，AD平分∠BAC，則∠BAD=∠DAC=∠B，

設(shè)CD=x，因2CD=DB，則BD=DA=2x，

因?yàn)锳D平分∠BAC，則由角平分線定理得ABAC=BDDC=2，

則AB=2AC=2b，

在等腰△ABD中，cosB=b2x，

在△ABC中由余弦定理得，cosB=4b2+9x2?b212bx=b2x，

得b2=3x2，cosB=32，

又因?yàn)锽∈(0,π)，則B=π6，C=π?3B=π2，所以cosC=0．

(3)在△ABC中由正弦定理得a19.(1)證明：因?yàn)锳B//CD，CD?平面PCD，AB?平面PCD，所以AB//平面PCD；

(2)如圖，

記底面正