第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................1

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅............................................................3

知能解碼....................................................................3

知識點1函數(shù)的極值.....................................................3

知識點2函數(shù)的最大（小）值............................................4

知識點3函數(shù)的最值與極值的關(guān)系........................................4

題型破譯....................................................................5

題型1函數(shù)圖象與極值（點），最值的關(guān)系.................................5

重

題型2求已知函數(shù)的極值（點）6

重

題型3根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)6

【方法技巧】根據(jù)極值點求參數(shù)要回代檢驗

重

題型4求函數(shù)的最值（不含參）7

【方法技巧】求區(qū)間上函數(shù)最值步驟

題型5求函數(shù)的最值（含參）難.................................................................................................9

題型6根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)難..............................................................................................10

題型7函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用...............................12

叱真題溯源?考向感知...........................................................13

05課本典例?高考素材...........................................................14

01

考情解碼-命題預(yù)警

PU

考點要求考察形式2025年2024年2023年

全國二卷T18（1）全國乙卷（理）T21（3）

（4分）（6分）

全國二卷T13（5全國II卷T22（2）（9分）

全國甲卷（理）T21（1）

分）全國II卷T5（5分）

回單選題（5分）

（1）函數(shù)的極值上海卷T19（2）北京卷T20（3）（7分）

口多選題

全國II卷T16（2）（9

（2）函數(shù)的最值口填空題（8分）

回解答題分）

北京卷T20（1）

（4分）

全國一卷T19（1）

（4分）

考情分析：

高考對最值、極值的考查相對穩(wěn)定，屬于重點考查的內(nèi)容.高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試題怎樣變化，我們只要把

握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點，將函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等本質(zhì)問題利用圖像直觀明了地展示出來，

其余的就是具體問題的轉(zhuǎn)化了.最終的落腳點一定是函數(shù)的單調(diào)性與最值，因為它們是導(dǎo)數(shù)永恒的主題.

復(fù)習(xí)目標(biāo):

（i）借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.

（2）會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值（點）、極小值（點）.

（3）會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.

02

體系構(gòu)建-思維可視

03

核心突破?靶向攻堅

知識點1函數(shù)的極值

一般地，對于函數(shù)y=/(x),

(1)若在點x=a處有((a)=0,且在點x=a附近的左側(cè)有尸(無)<0,右側(cè)有廣(%)>0,則稱x=a

為f(x)的極小值點，于(a)叫做函數(shù)/(x)的極小值.

(2)若在點x=6處有/'(3=0,且在點x=b附近的左側(cè)有f'(x)>0,右側(cè)有f\x)<0,則稱尤=6

為了。)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)/(x)的極大值.

(3)極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.

注：極大(小)值點，不是一個點，是一個數(shù).

自主檢測|(2025?四川?三模)函數(shù)/(%)=%3-2x2+x-6的極小值是.

知識點2函數(shù)的最大(小)值

一般地，如果在區(qū)間［a,切上函數(shù)y=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.

設(shè)函數(shù)/(%)在［a,切上連續(xù)，在(。力)內(nèi)可導(dǎo)，求/(%)在&切上的最大值與最小值的步驟為：

(1)求/(%)在(。/)內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù)/(尤)的各極值與端點處的函數(shù)值/(a),/3)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一

個是最小值.

自主檢測已知函數(shù)/(%)=x3-x2-ax+2在x=1時取得極值.

⑴求a的值；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求函數(shù)/(%)在區(qū)間［-2,刀上的最小值.

知識點3函數(shù)的最值與極值的關(guān)系

(1)極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間［區(qū)切的整體而言；

(2)在函數(shù)的定義區(qū)間3,切內(nèi)，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值只有一個(或

者沒有)；

(3)函數(shù)/(尤)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；

(4)對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.

自主檢測已知函數(shù)/(%)=-x3+3x2-4.

⑴求函數(shù)/Q)的極值；

⑵求函數(shù)在［-2,3］上的最大值和最小值.

題型1函數(shù)圖象與極值(點)，最值的關(guān)系

忸叵已知定義域為[-3,5]的函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(%)且尸(X)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的()

A./(久)在(3,5)上單調(diào)遞增B./(久)有極大值f(4)

C.f0)有3個極值點D.f(久)在％=1處取得最大值

例1-2(多選)已知函數(shù)fO)，xe[-a,a]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)其導(dǎo)數(shù)為尸(久)，函數(shù)g(x)=

(/—%)/(%)的圖象如下，則下列說法正確的是()

C.“X)沒有極小值點D.x=1可能不是導(dǎo)函數(shù)尸(x)的極大值點

【變式訓(xùn)練1-1](多選)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/'(x)在(瓦c)上單調(diào)遞增B.函數(shù)/"(%)至少有2個極值點

C.函數(shù)/"(%)在(a,e)上單調(diào)遞減D.函數(shù)/(x)在x=c處取得極大值

【變式訓(xùn)練1-2](多選)函數(shù)f(x)的定義域為(a,b),導(dǎo)函數(shù)r(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則下列命題

正確的是()

A.函數(shù)/(%)在(a,b)內(nèi)一定不存在最小值B.函數(shù)/(%)在(a,b)內(nèi)只有一個極小值點

C.函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有兩個極大值點D.函數(shù)f(%)在(a,b)內(nèi)可能沒有零點

【變式訓(xùn)練1-3](多選)已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)尸(%)的圖象如圖所示，下列說法正確的

是()

B.函數(shù)/'(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/(%)在x=1處取得極大值D.函數(shù)/(%)有最大值

題型2求已知函數(shù)的極值(點)

忸」2-1(2025?廣東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=尤丁+Q-x)e2T，則/(%)的極小值為.

2

例2-2|函數(shù)/(%)=|%-2lnx+%的極值是.

【變式訓(xùn)練2-1】已知函數(shù)/(%)=等，則/(%)的極大值為.

【變式訓(xùn)練2-2】已知函數(shù)/'(%)=/一2久一41nx+3,則f(久)的極小值為

【變式訓(xùn)練2-3]若函數(shù)/(%)=(x2-ax-2)「在％=-2處取得極大值，則/"(x)的極小值為

題型3根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)

例3水湖南省天壹T8聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)f(x)=^ax3-x2+a2x+l,

當(dāng)x=l時，/(x)有極大值，則。=()

A.-2B.-1C.0D.一2或1

|例3-2|已知函數(shù)/3=1+加111》7,工(0,+00)有兩個極值點,則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(-<?,0]B.(-oo,l]C.[-1,+<?)D.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------V

方法技巧根據(jù)極值點求參數(shù)要回代檢驗

在函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程((無)=。根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與

已知有矛盾.

【變式訓(xùn)練3-1】(2025?黑龍江哈爾濱?三模)若函數(shù)〃x)=xlnx--l)ln(2x)存在唯一極值點，則實數(shù)優(yōu)

的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.［l,+oo)

C.-D.l—

【變式訓(xùn)練3-2】已知函數(shù)/(x)=x3+3m￥2+nx+m2在x=-l時有極值0,則m+n^

【變式訓(xùn)練3-3】已知函數(shù)〃x)=(ax)2-3ox+ln%在％=1處取得極大值，則。=.

題型4求函數(shù)的最值(不含參)

例4-1已知函數(shù)f(%)=%3+mx2+mx.

⑴若f(%)在R上單調(diào)遞增.求實數(shù)機的取值范圍;

(2)若m=-1,求/(%)在［-2,2］上的值域.

例4-2已知函數(shù)f(%)=%3+ax2+b在X=—2時取得極大值4.

(1)求實數(shù)〃，6的值；

(2)求函數(shù)/(%)在區(qū)間［一4,1］上的最值.

方法技巧求區(qū)間上函數(shù)最值步驟

設(shè)函數(shù)/(%)在［凡切上連續(xù)，在(。力)內(nèi)可導(dǎo)，求/(%)在&句上的最大值與最小值的步驟為：

(1)求/(九)在(。/)內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù)/(尤)的各極值與端點處的函數(shù)值/(a),/出)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一

個是最小值.

【變式訓(xùn)練4-1］已知函數(shù)/(x)=ax3+bx+2在％=-1處取得極值一2.

(1)求a,b的值；

(2)求曲線y=/(%)在點(0/(0))處的切線方程；

⑶求函數(shù)/0)在［0,2］上的最值.

【變式訓(xùn)練4-2】已知函數(shù)/(%)=3/-9久+5.

(1)求函數(shù)f0)在x=。處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求函數(shù)/(%)在［-3,3］上的最大值和最小值.

【變式訓(xùn)練4-3］設(shè)函數(shù)/(x)=-x3-x2+x+2.

(1)求/(%)在x=-2處的切線方程與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積;

(2)求/(%)在區(qū)間［-5,刀上的最大值與最小值.

題型5求函數(shù)的最值(含參)

x

例5-1|(2025?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=e+ax+a(aeR).

(1)當(dāng)a=1時，求/'(X)在(0J(0))處的切線方程；

(2)討論人久)的單調(diào)性，并求最值.

x

例5-2已知函數(shù)f(久)=2e(x+1).

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間+l］(t>—3)上的最小值g(t).

【變式訓(xùn)練55.已知函數(shù)f(%)=r+a久+/?.

(1)已知f(%)在點P(1J(1))處的切線方程為y=6%+2,求實數(shù)a,b的值;

(2)求函數(shù)了(無)在［0,2］上的最大值.

【變式訓(xùn)練5-2］已知函數(shù)/(%)=?+lnx(aeR).

⑴討論f(x)的極值;

(2)求/(X)在［1迫］上的最小值g(a).

【變式訓(xùn)練5-3】已知函數(shù)/■(久)=aln久-x.

(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)人光)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a>0時，求函數(shù)/(x)的最大值.

題型6根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)

|例6-11已知函數(shù)〃x)=lnx+g,aeR.

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)“X)在(l,e)上的最小值是；,求a的值.

例6-2|（2025?河北?三模）已知函數(shù)/（x）=ox2_im；（awR）.

（1）當(dāng)。=2時，求曲線＞=/（尤）在x=l處的切線方程；

⑵若函數(shù)于8在區(qū)間（0,e］上的最小值為0,求實數(shù)。的值.

4

【變式訓(xùn)練6-1】已知函數(shù)/（%）=%+—+31皿在（0,2-3。）內(nèi)有最小值，則實數(shù)。的取值可以是（）

x

A.-B.-C.—D.—

e234

【變式訓(xùn)練6-2】已知函數(shù)〃x）=lnx+加+桁（其中。涉為常數(shù)）在x=l處取得極值.

⑴當(dāng)a=l時，求”無）的極值；

（2）若“X）在［l,e］上的最大值為2,求。的值.

【變式訓(xùn)練6-3］已知函數(shù)/（x）=lnx-ox+a（aeR）.

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

⑵若“X）在（。,1）上的最大值是0-3,求”的值.

題型7函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用

x

例7』(2025?北京?二模)已知函數(shù)fO)=a(x-l)e-lnx,其中a>0.

(1)若曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線經(jīng)過點(2,2),求a的值；

(2)證明：函數(shù)門久)存在極小值；

(3)記函數(shù)/'(久)的最小值為g(a),求g(a)的最大值.

例7-2|(2025?四川瀘州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/Xx)=(X—l)e，—1a/.

(1)當(dāng)a=2時,求f(x)的極大值;

⑵若/'(x)在(0,+8)有最小值，且最小值大于-a,求a的取值范圍.

【變式訓(xùn)練7-1］已知函數(shù)/'(%)=2%3—ax2+b

(1)當(dāng)a=3時，求/(%)的極值；

(2)若a>0,求/(%)在區(qū)間［0,1］的最小值.

【變式訓(xùn)練7-2】設(shè)/(久)=1-X(2x2+4ax+4a).

3c

(1)當(dāng)a=2時，求/(%)的極小值；

(2)若/(%)的極大值為4,求a的值.

【變式訓(xùn)練7-3］設(shè)函數(shù)/(%)=(%-a)(In%-a)

(1)當(dāng)a=0時，求/(%)的極值;

(2)已知aez，若/(%)單調(diào)遞增，求a的最大值；

(3)已知a>0,設(shè)%o為/(x)的極值點，求/(%o)的最大值?

04

真題溯源-考向感知

1.(多選)(2024?新課標(biāo)I?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=Q—1)2(%—4),貝IJ()

A.久=3是/(光)的極小值點B.當(dāng)0<x<l時，/(%)</(%2)

C.當(dāng)1<久<2時，一4<f(2無一1)<0D.當(dāng)一l<x<0時，/(2-x)>f(%)

2.(多選)(2023?新課標(biāo)I卷?高考真題)已知函數(shù)/(%)的定義域為R,/(盯)=y2/(%)+//(y),則().

A./(0)=0B./(I)=0

C./(%)是偶函數(shù)D.%=0為/(%)的極小值點

3.(2024.全國甲卷.高考真題)已知函數(shù)/(%)=(1-a%)]'1+-

(1)當(dāng)。=一2時，求/(%)的極值；

4.(2023?新課標(biāo)H卷?高考真題)(1)證明：當(dāng)0V%V1時，x—x2<sin%<%；

(2)已知函數(shù)/(%)=COSQ%-ln(l-12),若％=0是/(%)的極大值