已知正數(shù)滿足11x+30y=25xy,求25x+12y的最小值主要內(nèi)容：通過替換、代入、柯西不等式、k值換元法、二次方程判別式、導數(shù)法及多元函數(shù)最值法等，介紹25x+12y在11x+30y=25xy，且x，y為正數(shù)條件下最小值的計算步驟。主要公式：1.均值不等式：正實數(shù)a,b滿足a+b≥2eq\r(ab)。2.柯西不等式：對于四個正實數(shù)x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(eq\r(xb)+eq\r(yc))2，等號條件為：cx=by。3.導數(shù)公式：eq\f(d(ax),dx)=a,eq\f(d(\f(1,x)),dx)=-eq\f(1,x2).方法“1”的代換25x+12y=eq\f(1,25)*(25x+12y)*25=eq\f(1,25)*(25x+12y)(eq\f(30,x)+eq\f(11,y))=eq\f(1,25)*(750+132+275*eq\f(x,y)+360*eq\f(y,x))利用均值不等式，則有：25x+12y≥eq\f(1,25)*(750+132+2eq\r(30*11*25*12))即：25x+12y≥eq\f(1,25)*(750+132+60eq\r(110))則：25x+12y≥eq\f(882+60eq\r(110),25)。所以：25x+12y的最小值=eq\f(882+60eq\r(110),25)。方法柯西不等式法對已知條件變形為:eq\f(30,x)+eq\f(11,y)=25，再運用不等式公式：∵(eq\f(30,x)+eq\f(11,y))(25x+12y)≥(eq\r(25*30)+eq\r(11*12))2∴25(25x+12y)≥(5eq\r(30)+2eq\r(33))2,即：25x+12y≥eq\f(1,25)*(5eq\r(30)+2eq\r(33))2，所以：25x+12y的最小值=eq\f(882+60eq\r(110),25)。方法二次方程判別式法設(shè)25x+12y=t,則y=eq\f(1,12)*(t-25x),代入已知條件得：eq\f(30,x)+eq\f(132,t-25x)=25,方程進行通分有：30(t-25x)+132x=25x(t-25x)25*25x2+(132-25t-750)x+30t=0,方程有解，則判別式為非負數(shù)，即：△=(132-25t-750)2-4*25*25*30t≥0，化簡得：(25t-882)2≥4*30*11*25*12。要求t的最小值，則對不等式兩邊開方有：25t-882≥60eq\r(110),25t≥882+60eq\r(110)，即tmin=eq\f(882+60eq\r(110),25)。方法代入法：由已知條件11x+30y=25xy可知：y=eq\f(11x,25x-30)＞0,代入所求表達式有：25x+12y=25x+12*eq\f(11x,25x-30)=eq\f(1,25)*[25(25x-30)+eq\f(30*11*12,25x-30)+882]≥eq\f(1,25)*[882+2eq\r(30*11*25*12))]=eq\f(1,25)*(882+60eq\r(110))=eq\f(882+60eq\r(110),25).方法k值換元法設(shè)y=kx,k＞0，代入已知條件有：11x+30kx=25xkx，即：x=eq\f(11+30k,25k),則y=eq\f(11+30k,25),代入所求表達式25x+12y有：25*eq\f(11+30k,25k)+12*eq\f(11+30k,25)=eq\f(1,25)[25*eq\f(11+30k,k)+12(11+30k)]=eq\f(1,25)(eq\f(25*11,k)+25*30+12*11+12*30k)=eq\f(1,25)(eq\f(25*11,k)+12*30k+882)≥eq\f(1,25)[2eq\r(30*11*25*12)+882]=eq\f(1,25)*(882+60eq\r(110))=eq\f(882+60eq\r(110),25).方法導數(shù)法：設(shè)所求代數(shù)式的最小值為t，則25x+12y=t,求導有：eq\f(dy,dx)=-eq\f(25,12);對已知條件變形為eq\f(30,x)+eq\f(11,y)=25，求導有:-eq\f(30,x2)-eq\f(11,y2)*eq\f(dy,dx)=0,即：eq\f(dy,dx)=-eq\f(30,11)*(eq\f(y,x))2,所以：-eq\f(25,12)=-eq\f(30,11)*(eq\f(y,x))2，求出：y=eq\r(\f(55,72))x,代入有：11x+30*eq\r(\f(55,72))x=25x*eq\r(\f(55,72))x,即：x=eq\f(150+6\r(110),125),進一步求出:y=eq\r(\f(55,72))*eq\f(150+6\r(110),125)=eq\f(22+5\r(110),50),所以:25x+12y的最小值=25*eq\f(150+6\r(110),125)+12*eq\f(22+5\r(110),50)=eq\f(882+60eq\r(110),25)。方法多元函數(shù)極值法設(shè)F(x,y)=25x+12y+λ(eq\f(30,x)+eq\f(11,y)-25),分別對參數(shù)求偏導數(shù)得：Fx=25-eq\f(30λ,x2),Fy=12-eq\f(11λ,y2),Fλ=eq\f(30,x)+eq\f(11,y)-25。令Fx=Fy=Fλ=0,則：25x2=30λ,12y2=11λ,x=eq\r(\f(30λ,25)),y=eq\r(\f(11λ,12))。代入得方程：eq\f(\r(25*30),eq\r(λ))+eq\f(\r(11*12),eq\r(λ))=25,eq\r(λ)=eq\f(1,25)*(eq\r(25*30)+eq\r(11*12)),則：25x+12y的最小值=(eq