已知正數(shù)滿足13x+25y=13xy,求10x+19y的最小值主要內(nèi)容：通過替換、代入、柯西不等式、k值換元法、二次方程判別式、導(dǎo)數(shù)法及多元函數(shù)最值法等，介紹10x+19y在13x+25y=13xy，且x，y為正數(shù)條件下最小值的計算步驟。主要公式：1.均值不等式：正實數(shù)a,b滿足a+b≥2eq\r(ab)。2.柯西不等式：對于四個正實數(shù)x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(eq\r(xb)+eq\r(yc))2，等號條件為：cx=by。3.導(dǎo)數(shù)公式：eq\f(d(ax),dx)=a,eq\f(d(\f(1,x)),dx)=-eq\f(1,x2).方法“1”的代換10x+19y=eq\f(1,13)*(10x+19y)*13=eq\f(1,13)*(10x+19y)(eq\f(25,x)+eq\f(13,y))=eq\f(1,13)*(250+247+130*eq\f(x,y)+475*eq\f(y,x))利用均值不等式，則有：10x+19y≥eq\f(1,13)*(250+247+2eq\r(25*13*10*19))即：10x+19y≥eq\f(1,13)*(250+247+10eq\r(2470))則：10x+19y≥eq\f(497+10eq\r(2470),13)。所以：10x+19y的最小值=eq\f(497+10eq\r(2470),13)。方法柯西不等式法對已知條件變形為:eq\f(25,x)+eq\f(13,y)=13，再運用不等式公式：∵(eq\f(25,x)+eq\f(13,y))(10x+19y)≥(eq\r(10*25)+eq\r(13*19))2∴13(10x+19y)≥(5eq\r(10)+eq\r(247))2,即：10x+19y≥eq\f(1,13)*(5eq\r(10)+eq\r(247))2，所以：10x+19y的最小值=eq\f(497+10eq\r(2470),13)。方法二次方程判別式法設(shè)10x+19y=t,則y=eq\f(1,19)*(t-10x),代入已知條件得：eq\f(25,x)+eq\f(247,t-10x)=13,方程進行通分有：25(t-10x)+247x=13x(t-10x)13*10x2+(247-13t-250)x+25t=0,方程有解，則判別式為非負數(shù)，即：△=(247-13t-250)2-4*13*10*25t≥0，化簡得：(13t-497)2≥4*25*13*10*19。要求t的最小值，則對不等式兩邊開方有：13t-497≥10eq\r(2470),13t≥497+10eq\r(2470)，即tmin=eq\f(497+10eq\r(2470),13)。方法代入法：由已知條件13x+25y=13xy可知：y=eq\f(13x,13x-25)＞0,代入所求表達式有：10x+19y=10x+19*eq\f(13x,13x-25)=eq\f(1,13)*[10(13x-25)+eq\f(25*13*19,13x-25)+497]≥eq\f(1,13)*[497+2eq\r(25*13*10*19))]=eq\f(1,13)*(497+10eq\r(2470))=eq\f(497+10eq\r(2470),13).方法k值換元法設(shè)y=kx,k＞0，代入已知條件有：13x+25kx=13xkx，即：x=eq\f(13+25k,13k),則y=eq\f(13+25k,13),代入所求表達式10x+19y有：10*eq\f(13+25k,13k)+19*eq\f(13+25k,13)=eq\f(1,13)[10*eq\f(13+25k,k)+19(13+25k)]=eq\f(1,13)(eq\f(10*13,k)+10*25+19*13+19*25k)=eq\f(1,13)(eq\f(10*13,k)+19*25k+497)≥eq\f(1,13)[2eq\r(25*13*10*19)+497]=eq\f(1,13)*(497+10eq\r(2470))=eq\f(497+10eq\r(2470),13).方法導(dǎo)數(shù)法：設(shè)所求代數(shù)式的最小值為t，則10x+19y=t,求導(dǎo)有：eq\f(dy,dx)=-eq\f(10,19);對已知條件變形為eq\f(25,x)+eq\f(13,y)=13，求導(dǎo)有:-eq\f(25,x2)-eq\f(13,y2)*eq\f(dy,dx)=0,即：eq\f(dy,dx)=-eq\f(25,13)*(eq\f(y,x))2,所以：-eq\f(10,19)=-eq\f(25,13)*(eq\f(y,x))2，求出：y=eq\r(\f(26,95))x,代入有：13x+25*eq\r(\f(26,95))x=13x*eq\r(\f(26,95))x,即：x=eq\f(50+1\r(2470),26),進一步求出:y=eq\r(\f(26,95))*eq\f(50+1\r(2470),26)=eq\f(247+5\r(2470),247),所以:10x+19y的最小值=10*eq\f(50+1\r(2470),26)+19*eq\f(247+5\r(2470),247)=eq\f(497+10eq\r(2470),13)。方法多元函數(shù)極值法設(shè)F(x,y)=10x+19y+λ(eq\f(25,x)+eq\f(13,y)-13),分別對參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得：Fx=10-eq\f(25λ,x2),Fy=19-eq\f(13λ,y2),Fλ=eq\f(25,x)+eq\f(13,y)-13。令Fx=Fy=Fλ=0,則：10x2=25λ,19y2=13λ,x=eq\r(\f(25λ,10)),y=eq\r(\f(13λ,19))。代入得方程：eq\f(\r(10*25),eq\r(λ))+eq\f(\r(13*19),eq\r(λ))=13,eq\r(λ)=eq\f(1,13)*(eq\r(10*25)+eq\r(13*19)),則：10x+19y的最小值=(eq