第03講角平分線知識點(diǎn)1：尺規(guī)作圖作角平分線知識點(diǎn)2：角平分線的性質(zhì)定理知識點(diǎn)3：角平分線的判定定理角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE?！绢}型1：角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【典例1】（2425七年級下·湖南衡陽·期中）如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點(diǎn)C，點(diǎn)D在OB上．若OD=6，△POD的面積為9，則PC的長為（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，根據(jù)三角形面積公式求出PE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出得到答案．熟知角平分線的性質(zhì)定理是關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PC，∵OD=6，S△POD∴S∴PE=3，∴PE=PC=3．故選：A．【變式1】（2425八年級下·河南·期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，若AB=6，CD=2，則△DBE的面積為（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)可得DF=CD=2，由線段中點(diǎn)可得BE=1【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DF=CD=2，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=6，∴BE=1∴△DBE的面積=1故選：A．【變式2】（2425八年級下·遼寧丹東·期中）如圖，點(diǎn)D是△ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若△ABC面積為27cm2，點(diǎn)D到邊AC的距離是3cmA．18cm B．9cm C．36cm【答案】A【分析】本題考查的知識點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．作DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF=DG，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，即可得解．【詳解】解：作DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，∵點(diǎn)D是△ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴DE=DF=DG，∵點(diǎn)D到邊AC的距離是3cm∴DF=3∵△ABC面積為27cm即12∴1AB+AC+BC=27×2即△ABC的周長為18cm故選：A．【變式3】（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC上的高，在BA，BC上分別截取線段BE，BF，使BE=BF；分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，在∠ABC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N．若MN=3，AD=4MD【答案】9【分析】本題考查了尺規(guī)作圖作已知角的平分線，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)作圖步驟可判斷BM平分∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出MD=MN=3，結(jié)合已知即可求解．【詳解】解∶由作圖知∶BM平分∠ABC，∵M(jìn)N⊥AB，MD⊥BC，MN=3，∴MD=MN=3，又AD=4MD，∴AD=12，∴AM=AD?MD=9，故答案為∶9．【題型2：角平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用】【典例2】（2425七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】D【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握其概念，作圖分析是關(guān)鍵．根據(jù)角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等，作圖分析即可求解．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理“角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等”得到點(diǎn)P1∴可供選擇的地址有4個(gè)，故選：D．【變式1】（2425八年級上·重慶大足·期中）如圖，是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息．若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應(yīng)建在三角形草坪（

）A．三條角平分線的交點(diǎn)處 B．三條中線的交點(diǎn)處C．三條高線的交點(diǎn)處 D．以上都不對【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以涼亭的位置應(yīng)為三角形的三條角平分線的交點(diǎn)．故選：A．【變式2】（2324八年級上·遼寧盤錦·期末）縱橫交錯(cuò)的公路和鐵路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖所示的三角形區(qū)域.若建一個(gè)到三條道路的距離相等的物流倉儲基地，則這個(gè)基地應(yīng)該建在（

）A．△ABC的三條高線的交點(diǎn) B．△ABC的三條中線的交點(diǎn)C．△ABC的三條角平分線的交點(diǎn) D．△ABC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即可得到答案．【詳解】解：∵到三條道路的距離相等的物流倉儲基地，∴這個(gè)基地應(yīng)該建在△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，故選：C．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上。重要拓展：1、三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線的交點(diǎn)。2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點(diǎn)，這條角平分線把三角形分成兩個(gè)小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長度的比。∵AD是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC【題型3：角平分線的性質(zhì)的判定】【典例3】（2223八年級上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，∠【答案】見解析【分析】根據(jù)D是BC的中點(diǎn)得BD=CD，根據(jù)DE⊥AB，DF⊥AC得根據(jù)DE⊥AB，DF⊥【詳解】解：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=∵DE⊥AB，∴∠BED在△BDE和△∠∴△BDE∴DE=∵DE⊥AB，DF∴AD是△ABC【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意掌握角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)．【變式1】（2324八年級上·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AM，DF⊥AN，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)若∠A=60°，∠ABC=50°，求∠BCD及∠BDC的度數(shù)；(2)連接AD，判斷AD是否平分∠BAC？并說明理由．【答案】(1)∠BCD=55°，∠BDC=60°(2)AD平分∠BAC，理由見解析【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的判定和性質(zhì)，掌握角平分線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的外角可以得到∠BCN和∠CBM的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義得到∠BCD=12∠BCN（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DH=DF，再根據(jù)角平分線的判定即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵∠A=60°，∠ABC=50°，∴∠BCN=∠A+∠ABC=110°，∠CBM=180°?∠ABC=130°.∵CD平分∠BCN，BD平分∠CBM，∴∠BCD=12∠BCN=55°∴∠BDC=180°?(∠BCD+∠CBD)=60°；（2）AD平分∠BAC；理由：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∵BD平分∠CBM，DE⊥AM，DH⊥BC，∴DE=DH.∵CD平分∠BCN，DF⊥AN，DH⊥BC，∴DF=DH，∴DE=DF，∴AD平分∠BAC.【變式2】（2425八年級上·廣東惠州·期中）如圖，在△ABC中，AP,CP分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P．(1)求證：BP為∠MBN的平分線．(2)求證：∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作PD⊥BM，PE⊥AC，PF⊥BN，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出PD=PF，即可證明結(jié)論；（2）由三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義，得到∠PAC=∠MAP=∠ABP+∠APB，∠PCA=∠NCP=∠CBP+∠BPC，進(jìn)而得到∠PAC+∠PCA=∠ABP+∠CBP+∠APC，再結(jié)合∠ABP=∠CBP=1【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥BM，PE⊥AC，PF⊥BN，∵AP,CP分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，∴PD=PE，PE=PF，∴PD=PF，∵PD⊥BM，PF⊥BN，∴BP為∠MBN的平分線；（2）解：∵∠MAP是△ABP的外角，∠NCP是△BCP的外角，∴∠MAP=∠ABP+∠APB，∠NCP=∠CBP+∠BPC，∵AP,CP分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，∴∠PAC=∠MAP=∠ABP+∠APB，∠PCA=∠NCP=∠CBP+∠BPC，∴∠PAC+∠PCA=∠ABP+∠APB+∠CBP+∠BPC=∠ABP+∠CBP+∠APC，∵BP為∠MBN的平分線，∴∠ABP=∠CBP=1∴∠PAC+∠PCA=∠ABC+∠APC．【變式3】（八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求證：AD平分∠CAB．【答案】見解析【分析】利用HL證明Rt△BDE≌Rt△FDC，得到DE=DC，即可得到AD平分∠CAB．【詳解】證明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠C＝90°，在Rt△BDE和Rt△FDC中{BD=DF∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴DE=DC，∵DE⊥AB，DC⊥AC，∴AD平分∠CAB．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理．【題型4：角平分線的性質(zhì)的判定和性質(zhì)綜合】【典例4】（2425八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，已知OA、OC分別是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分線，連接OB，(1)求證：BO平分∠ABC；(2)若AC=6，且△AOC與△ABC的面積分別是12和18，求△ABC的周長．【答案】(1)證明見解析(2)21【分析】（1）如圖，過點(diǎn)O分別作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分線的性質(zhì)可得OF=OG，OH=OG，進(jìn)而得OF=OH，再根據(jù)角平分線的判定即可求證；（2）由△AOC的面積為12可得OG=OF=OH=4，再根據(jù)S△ABO+S本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)O分別作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分別為點(diǎn)F、G、H，∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE，∴OF=OG，OH=OG，∴OF=OH，∵OF⊥BD，OH⊥BE，∴點(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，即BO平分∠ABC；（2）解：∵△AOC的面積為12，∴12∵AC=6，∴12∴OG=4，∴OF=OH=OG=4，∵S△ABO∴12即12∴AB+BC=15，∴△ABC的周長=AB+BC+AC=15+6=21．【變式1】（2324八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB、∠CBA的角平分線相交于點(diǎn)E．

(1)求證：點(diǎn)E在∠A的平分線上；(2)過點(diǎn)E作ED⊥BC于點(diǎn)D，ED=4，△ABC的面積為36，則△ABC的周長為__________．【答案】(1)見解析(2)18【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和判定，對于（1），先作輔助線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得ED=EF=EG，再根據(jù)角平分線的判定定理得出答案；對于（2），結(jié)合（1）圖，根據(jù)大三角形的面積等于3個(gè)小三角形的面積列出算式，可得答案．【詳解】（1）證明：過E作ED⊥BC于D，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，

∵∠ACB、∠CBA的角平分線相交于點(diǎn)E，∴ED=EF=EG，∴點(diǎn)E在∠A的平分線上；（2）解：∵∠ACB、∠CBA的角平分線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在∠A的平分線上，ED⊥BC于D，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，∴ED=EF=EG.∵ED=4，△ABC的面積為36，∴=1∴AB+BC+AC=18.故答案為：18．【變式2】（2324八年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，

(1)求證：AD平分∠BAC；(2)已知AC=16，DE=4，BE=2，求四邊形AFDB的面積．【答案】(1)見解析(2)52【分析】（1）先根據(jù)HL證明Rt△DEB≌Rt△DFC，則可得DE=DF，再根據(jù)角平分線的判定方法即可證明AD（2）先根據(jù)HL證明Rt△ADE≌Rt△ADF，則可得S△ADE=【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△DEB和RtBD=CDBE=CF∴Rt∴DE=DF，∴AD平分∠BAC．（2）∵在Rt△ADE和RtAD=AD,DE=DF，∴Rt∴S∴S∵Rt∴DF=DE=4,CF=BE=2，∴AF=AC?CF=16?2=14，∴SS△BDE∴S【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定，HL定理及用割補(bǔ)法求四邊形的面積．熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求?！绢}型5：尺規(guī)作圖角平分線】【典例5】（2425七年級下·河南周口·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°．(1)請用無刻度直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線，與邊AC交于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）的作圖下，若△ABC的面積是24，AB+BC=16，求CD的長．【答案】(1)圖見解析(2)CD=3【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作角平分線，角平分線的性質(zhì)，等積法求出線段的長，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法，作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到D到AB的距離等于CD的長，分割法求三角形的面積，進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）解：由題意，作圖如下：（2）∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴點(diǎn)D到BC,AB的距離相等，均為CD的長，∵S△ABC=S∴CD=3.【變式1】（2425七年級下·河南駐馬店·期末）如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD⊥BC，(1)求作：△ABC的角平分線AE；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)求∠BAC與∠EAD的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)60°；10°【分析】本題考查作圖—作角平分線、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握作角平分線的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；（2）由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC的度數(shù)，由角平分線可得∠BAE，進(jìn)而可求得∠EAD的度數(shù)．【詳解】（1）解：AE為即為所求：（2）∵∠B=50°，∠C=70°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?50°?70°=60°，∵AE是角平分線，∴∠BAE=1∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°∴∠BAD=90°?∠B=90°?50°=40°，∴∠EAD=∠BAD?∠BAE=40°?30°=10°．【變式2】（2425九年級下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中.(1)尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D.（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若AB=8，AC=6，△ABD的面積為12，求△ABC的面積【答案】(1)見解析(2)21【分析】本題考查了作圖——角平分線，角平分線的性質(zhì)，三角形面積，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的作法作圖即可；（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB、DE⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到DF=DE，再根據(jù)三角形面積公式，求得DE=DF=3，再由S△ABC【詳解】（1）解：如圖，射線AD即為所求：（2）解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB交AB與點(diǎn)F，作DE⊥AC交AC與點(diǎn)E，∵AD平分∠BAC，∴DF=DE，∵△ABD的面積為12，∴12∴DF=3=DE，∵AB=8，AC=6，∴S【變式3】（2324八年級上·廣東潮州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB>CD．(1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若CE=BE，求證：AE平分∠DAB．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)與判定．（1）根據(jù)題意作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AD交AD于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EC=EH，結(jié)合已知可得EH=EB，即可證明AE平分∠DAB．即可得證．【詳解】（1）（2）證明：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AD交AD于點(diǎn)H，∵DE是∠ADC的平分線，∠C=90°∴EC=EH，∵CE=BE∴EH=EB又∵∠B=90°，即EB⊥AB∴AE平分∠DAB一、單選題1．（2025·云南·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD=4，AD=2CD，BD平分∠ABC，則點(diǎn)D到AB的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．1．5【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得CD=DE，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴CD=DE，∵AD=4，AD=2CD，∴CD=2，∴DE=2，即點(diǎn)D到AB的距離為2．故選：A2．（2425八年級上·廣東中山·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，則點(diǎn)D到邊BC的距離是（

A．2 B．3 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等求出DE的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，∴DE=AD=3，∴點(diǎn)D到邊BC的距離是3，故選：B．3．（2425八年級上·江蘇徐州·期中）用兩把完全相同的長方形直尺作出∠AOB的角平分線的方法：如圖所示，直尺①邊緣壓住射線OB，直尺②邊緣壓住射線OA并且與直尺①交于點(diǎn)P，射線OP就是∠AOB的角平分線．其理論依據(jù)是（

）A．等腰三角形兩底角相等B．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上C．角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等D．三線合一【答案】B【分析】此題考查了角平分線的判定定理．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，據(jù)此解答即可．【詳解】解：由題意可知，點(diǎn)P到射線OB的距離是直尺的寬度，點(diǎn)P到射線OA的距離也是直尺的寬度，∴點(diǎn)P到射線OB，OA的距離相等，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上（在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）．故選：B．4．（2223八年級上·遼寧大連·期中）到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是（

）A．兩條中線的交點(diǎn) B．兩條高的交點(diǎn)C．兩條角平線的交點(diǎn) D．兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，解答即可．【詳解】解：∵角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，∴到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是兩條角平分線的交點(diǎn)．故選：C5．（2223八年級上·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=2，BC=4，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】過D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=AD=2，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．【詳解】解：過D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，對角線BD平分∠ABC，∴AD=DE，∵AD=2，∴DE=2，∵BC=4，∴SΔ故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．6．（2223八年級上·福建福州·開學(xué)考試）三條公路圍成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處B．三角形的三條中線的交點(diǎn)處C．三角形的三條高的交點(diǎn)處D．以上位置都不對【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：集貿(mào)市場應(yīng)建在三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)處．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握將平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等是解答本題的關(guān)鍵．7．（2122七年級下·山東濟(jì)南·期末）如圖，按以下方法作一個(gè)角的平分線：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N．（2）分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C．（3）畫射線OC，射線OC即為所求．這種作圖方法的依據(jù)是（

A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA【答案】C【分析】利用基本作圖得到OM=ON，CM=CN，又因?yàn)镺C為公共邊，根據(jù)全等三角形的判定方法可證明ΔOMC≌【詳解】解：由作法得OM=ON，CM=CN，而OC又為公共邊，所以根據(jù)“SSS”可判定ΔOMC≌所以∠MOC=∠NOC，即OC平分∠MON．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖?復(fù)雜作圖，全等三角形的判定，角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．8．（2122八年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD＝2，BC＝7，則△BDC的面積是（

）A．2 B．7 C．9 D．14【答案】B【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=AD，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分線，∴DE=AD=2，∴△BDC的面積=12BC?DE=1故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積，熟知角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2425九年級下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠A=50°，以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB,BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，連接BG并延長，交AC于點(diǎn)D，則∠ADB的度數(shù)是（A．105° B．110° C．115° D．120°【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖角平分線，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，三角形的外角定理，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得到∠ABC=40°，再根據(jù)角平分線以及三角形的外角性質(zhì)得到∠ADB=∠C+∠DBC，即可求解．【詳解】解：∵∠C=90°,∠A=50°，∴∠ABC=90°?∠A=40°，由作圖可得BD平分∠ABC，∴∠DBC=1∴∠ADB=∠C+∠DBC=90°+20°=110°，故選：B．10．（2425八年級下·廣東揭陽·期中）如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA，若OD=4，AB=20，則△AOB的面積是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OE，最后用三角形的面積公式即可解答．【詳解】解：過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，∴OE=OD=4，∴△AOB的面積=1故選：C．11．（2024八年級上·北京·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE平分∠ACB，與BD交于點(diǎn)E，若BC=5，△BCE的面積為5，則ED的長為（）

A．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，作EF⊥BC，根據(jù)三角形的面積公式求出EF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，

∵△BCE的面積為5，∴12×BC×EF=5，即解得，EF=2，∵CE平分∠ACB，ED⊥AC，EF⊥BC，∴ED=EF=2，故選：C．12．（2015·廣東廣州·一模）如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB上AB于點(diǎn)E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，則AC的長是（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，再由S△ABD【詳解】解：作DF⊥AC于F，如圖：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD∴12∴AC=4．故選：A．二、填空題13．（2425七年級下·山東煙臺·期中）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線與內(nèi)角∠ABC的平分線交于點(diǎn)E，若∠CAE=54°，則∠BEC的度數(shù)是．【答案】36°【分析】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，延長BA，過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，作EG⊥AC于點(diǎn)G，作EH⊥BA于點(diǎn)H，然后證明AE是∠CAH的平分線，進(jìn)而可得∠CAH的度數(shù)，再求出∠BAC的度數(shù)，從而可得答案，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．【詳解】解：延長BA，過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，作EG⊥AC于點(diǎn)G，作EH⊥BA于點(diǎn)H，，∵△ABC的外角∠ACD的平分線CE與內(nèi)角∠ABC平分線BE交于點(diǎn)E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分線，∵∠CAE=54°，∴∠CAH=2∠CAE=108°，∴∠BAC=180°?∠CAH=72°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD，∠ABC=2∠EBC，∵∠ECD=∠BEC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=2∠BEC=72°，∴∠BEC=36°；故答案為：36°．14．（2122八年級上·甘肅武威·階段練習(xí)）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD＝8，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離等于．【答案】8【分析】利用角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可知點(diǎn)D到斜邊AB的距離等于8．【詳解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CD＝8，∴點(diǎn)D到斜邊AB的距離等于CD∴D到斜邊AB的距離為8．故答案為∶8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線上的一點(diǎn)到兩邊的距離相等的性質(zhì)．本題直接運(yùn)用角平分線的性質(zhì)即可，比較簡單，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025·河南商丘·二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，CD=2，AB=6，則△ABD的面積是【答案】6【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵AD是△ABC的角平分線，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴S△ABD故答案為：6．16．（2425七年級下·上海長寧·期末）在小學(xué)，我們學(xué)習(xí)過“三角形的內(nèi)角和為180°”．如圖，在△ABC中，∠A=60°，根據(jù)作圖痕跡推斷∠BOC的度數(shù)為．【答案】120°【分析】本題考查的是作角平分線，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證明∠OBC=12∠ABC，∠OCB=【詳解】解：由作法得BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∵∠OB