圓中的相似專題課前熱身1．如圖，AB是半圓O的直徑，OD⊥AC，OD=8，則弦BC的長為

．162.如圖．AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點，BC交⊙O于D點,則CA·CE____CB·CD=若CD=BD，則CA·CE____CB·ED

=3.如圖，△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于D．E為弧AD上一點，連結(jié)AE，BE，BE交AC于點F，且AE2=EF?EB，若AE=6，則DE=____64.如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上的一點O為圓心．OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．若BO=8，AC=6，則⊙O半徑為____4

典型例題

1．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D、E分別在AC、BC上，且CD·CB＝CA·CE，以E為圓心，DE長為半徑作圓，⊙E經(jīng)過點B，與AB、BC分別交于點F、G．（1）求證：AC是⊙E的切線；（2）若AF＝4，CG＝5，求⊙E的半徑；證明：（1）∵CD?BC=AC?CE，

∴，

∵∠DCE=∠ACB，

∴△CDE∽△CAB，

∴∠EDC=∠A=90°，

∴ED⊥AC，

∵點D在⊙E上，

∴AC是⊙E的切線；（2）如圖，過E作EH⊥AB于H，∴BH=FH，∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，∴四邊形AHED是矩形，∴ED=AH，ED∥AB，∴∠B=∠DEC，設(shè)⊙E的半徑為r，則EB=ED=EG=r，∴BH=FH=AH﹣AF=DE﹣AF=r﹣4，EC=EG+CG=r+5，在△BHE和△EDC中，∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，∴△BHE∽△EDC，∴，即，∴r=20，∴⊙E的半徑為20；2.如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，點D在⊙O上，OD∥BC，過點D作DE⊥AB，垂足為E，連接CD交OE邊于點F．（1）求證：∠ODF=∠BDE；（2）求證：△DOE∽△ABC；（3）連接OC，設(shè)△DOE的面積為S1，四邊形BCOD的面積為S2，若，求的值．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，∴∠DEO=∠ACB，∵OD∥BC，∴∠DOE=∠ABC，∴△DOE～△ABC；∴∠ODE=∠A，∵∠A和∠BDC是所對的圓周角，∴∠A=∠BDC，∴∠ODE=∠BDC，∴∠ODF=∠BDE；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，∴∠DEO=∠ACB，∵OD∥BC，∴∠DOE=∠ABC，∴△DOE～△ABC；（3）解：∵，∴設(shè)OE=2a，OD=3a，∴OB=OC=OD=3a，AB=2OD=6a，∵△DOE～△ABC，∴=（）2=即S△ABC=4S△DOE=4S1，∵OA=OB，∴S△BOC=S△ABC，即S△BOC=2S1，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∵BE=OB﹣OE=3a﹣2a=a，∴S△DBE=BE×DE=a×DE=××2a×DE=××DE=S1，∵S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S1=S1，∴==

3.如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．（1）證明：∠E=∠C；（2）設(shè)DE交AB于點G，若DF=4，cosB=，E是的中點，求EG?ED的值．（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（3）解：連接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中點，AB是⊙O的直徑，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中點，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG?ED=AE2=18．小試牛刀1．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經(jīng)過A、B、D三點，過點B作BE∥AD，交⊙O于點E，連接ED．（1）求證：ED∥AC；（2）連接AE，試證明：AB?CD=AE?AC．（3）若BD=2CD，設(shè)△EBD的面積為，△ADC的面積為，且，求△ABC的面積．

2.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是的弧AB中點，點D是⊙外一點，AD=AB,AD交⊙O于F,BD交⊙O于E，連接CE交AB于G.(1)證明:;(2)若，求的度數(shù);(3)若，求的值.3．如圖，A是以BC為直徑的⊙O

上一點，AD⊥BC于點D，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連