2024?2025學(xué)年高一(下)期中質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定

位置，在其他位置作答一律無效.

3.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1sin75°cos15°-sin15°cos75°=

A.1B.--C.BD.—立

2222

【答案】C

【解析】

【分析】利用兩角和差正弦公式化簡求得結(jié)果.

［詳解］sin75。cos15。一sin15。cos75°=sin(75°—15。)=sin60。=岑.

故選：C.

【點睛】本題考查利用兩角和差正弦公式求值的問題，屬于基礎(chǔ)題.

2.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=石，3=45°，C=75°-則6=()

A.交B.1C.72D.瓜一?

22

【答案】C

【解析】

【分析】在VA3C中，由三角形內(nèi)角和定理求出角A,再利用正弦定理即可求解.

【詳解】在VABC中，：3=45°，C=75°>

，由三角形內(nèi)角和定理可知：A=180°-B-C=180°-45°-75°=60°.

。J3x—

,,，——ab,,asin3asin450'9r-

在VABC中，由正弦定理——=——可知：b=-=—―-=j2.

sinAsin3sinAsin60弋3

T

故選：c.

3.已知三點A(—l,0),5(L2),C(2,l),若AS和CD是相反向量，則。點坐標(biāo)為()

A.(0,-1)B.(4,3)C.(1,-1)D.(-1,3)

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)。(x,y),由已知條件求出招和co的坐標(biāo)，根據(jù)AB和CD是相反向量即可求解.

【詳解】設(shè)D(x,y),4-1,0),B(l,2),C(2,1),

.-.AB=(2,2),CD=(x-2,y-l).

AB和CD是相反向量,

UUU1UL1U%=—乙x=0

CD=-AB-即1解得《?

[y-l=-2[y=一i

故選：A.

4.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=2,A=30。，若滿足條件的VABC有兩

個，則b的取值范圍是()

A.(0,4)B.(2,4)D.(2,+00)

【答案】B

【解析】

【分析】由正弦定理可得匕=4sin5,再由三角形有兩解可得角8的范圍，從而得到結(jié)果.

八

Z7h,h.--a----s-i-n--B----2--s-i-n--B---Z”LQ.inK

【詳解】由正弦定理可得一匕=」^,則sinA1，

sinAsin85

因為A=30°,且滿足條件的VABC有兩個，

所以30。<3<150。，且5*90°(當(dāng)3=90°時，三角形只有一解),

此時!<sin3<l,則2</?<4.

2

故選：B

5.已知向量a=(1,G),|Z?|=3,且向量。在向量b上的投影向量為:8,則|a-匕|=(

A.1B.2C.不D.719

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義可得。力=3,再由向量的模長公式代入計算，即可得到結(jié)果.

a-ba-b1

【詳解】因為向量。在向量。上的投影向量為百丁心，即右心=.力

W＞123

a,b1

所以鏟=§,又|切=3,貝iJ〃Z=3,

b

又a=(1,6)，則卜|=2,

所以Ia—b|="a—ba廣—2a?+W=74-2x3+9=^.

故選：C

貝sin。

6.已知sin。=20cos[e+]),u)

cos6-3sine

2322

A.----B.——C.D.——

773

【答案】D

【解析】

2sin，tan。

【分析】由已知等式得tan。=—，化簡得到，代入即可求解.

3cos6-3sine1-3tan6^

xf—cos^-—sin^=2cos^-2sin^,

【詳解】因為sin9=2^2cos=20

227

2

即3sin8=2cos6,所以tan6=—

3

2

sin。tanS

所以3=2

cos。一3sine1-3tan0l-3x-§

3

故選：D.

JI

7.已知0＜。＜5＜〃＜兀，向量a=(cosc,sinc),方二(cos，,sin，)，則下列可能成立的是()

A.\a-b\=2B.a!lbC.a_LbD.\a+b^=\a\+\b\

【答案】c

【解析】

【分析】利用坐標(biāo)進(jìn)行向量線性運算，并結(jié)合兩角差的正弦、余弦公式計算，從而判斷出答案.

【詳解】對于A,卜-'=(cosa-cospY+(sina-sinJ3)2

=2-2(cos?cos/7+sincrsin/?)=2-2cos(cr-/7),

JI

因為o<。<5</?<兀，所以一萬一夕<o,

-l<cos(6Z-yff)<l,則0<2-2cos(a-6)<4,則0<|〃一》|<2,

故A錯誤；

對于B,因為cososin/-sinacos分=sin(/-a),

因為0<。<5</?<兀，所以。</?一

則sin(/—a)w0,所以〃//不成立，故B錯誤；

對于C,因為cosacos/+sinasin/?=cos(a-"),

JT

因為o<。<5</?<兀，所以一乃<。一夕<。，

所以一l<cos(a—6)vl,則有可能cos(a—/?)=0,

所以〃」b可能成立，故C正確；

對于D,卜+可二(cosa+cos/J)?+(sina+sin/7)2

=2+2(cosacos/?+sinasin/)=2+2cos(a一尸)，

JT

因為0<a<5</?<兀，所以一萬一夕<0,

所以一l<cos(a-4)vl,則0<2+2cos(a-6)<4,

所以Ia+石|w2,

\a\=Vcos26z+sin26z=1,卜卜加尤0+sin?0=1,

則|利+仍|=2,所以|a+6用a|+g|,故D錯誤.

故選：C.

8.密鋪，即平面圖形的鑲嵌，用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空

隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌.皇冠圖形(圖1)是一個密鋪

圖形，它由四個完全相同的平面凹四邊形組成.在平面凹四邊形A6CD（圖2）中，測得

AD=1,AB=CD=2,BC=3,凹四邊形A6CD的面積為班，則NADC—/ABC的余弦值為（）

圖2

B.旦C.無D.無

432

【答案】A

【分析】在圖2中連接AC,在ACD和NABC中，分別利用余弦定理可得3cosZABC-cosZADC=2,

利用三角形面積公式可得S四邊形至“==3sinNABC-sinNADC=G,兩式平方相加,

由兩角差的余弦公式，即可求出NADC-NA5C的余弦值.

因為AD=1,AB=CD=2,BC=3,

在VA3C中，由余弦定理得人。2=+BC2_2AB?5C.cosZABC>

則3=4+9-2x2x3cosNABC=13-12cosNABC，

在，ACD中，由余弦定理得人。2=")2+002—2AD.DC.cos/ADC，

則3=i+4-2xlx2cosNADC=5-4cosNADC，

所以13—12cosZABC=5-4cosZADC,

即3cosZABC-cosZADC=2,①

因為S=-ADDCsinZADC=-x1x2sinZADC=sinZADC,

ADnCr22

SA“MLABBCsinZABCuLxZxBsinZABCuBsinZABC,

ABC22

所以S四邊形MCD=SAABC-SAADC=3sinNABC—sinXADC=A/3,②

則①式和②式分別平方并相加得：

10-6(cosZABCcosZADC+sinZABCsinZADC)=7,

則6cos(ZADC-ZABC)=3,所以cos(ZADC-ZABC)=1,

即ZADC-ZABC的余弦值為1.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知非零向量a,b,c,則下列說法正確的是()

A.若。力>0,則向量a/夾角為銳角

,,_ab

B?右a=4Z?，則,一--

\a\\b\

C.若|a|=|6|=|a+Z?|,則a與a—b的夾角是30°

D.若。//0，則(Z??c)?a=(a?c)?Z?

【答案】BCD

【解析】

ab

【分析】對于A,因為cosa,6〉0時，向量夾角為銳角或零度角，即可判斷；對于B,由「與——表

l?l\b\

示同向的單位向量，即可判斷；對于C,利用向量的線性運算知識結(jié)合圖形，即可判斷；對于D,由

設(shè)a=2匕，代入等式兩邊利用運算法則運算，即可判斷.

【詳解】向量a,b,c是非零向量，

對于A,因為=|aH?cosa,Z?>0,即cosa力〉0,

所以向量。力夾角為銳角或零度角，故A錯誤；

對于B,因為a=4b，所以。與6方向相同，

ab

又「表示與，同向的單位向量，一表示與匕同向的單位向量，

\a\\b\

ah

所以；■—,故B正確;

⑷\b\

對于C,設(shè)AB=a，AD=b^由向量線性運算知:

DB=a-b，AC=a+b，如下圖所示:

因為|a|=|切=|a+切,

所以△ADC與VA3C均為等邊三角形，.?.NR4￡>=120，

又四邊形ABC。為菱形，所以NDR4=30,

即。與a—匕的夾角為30°，故C正確;

對于D,因為。//0，設(shè)。=,

則(Z??c)?a=(Z??c)-幾匕=2(Z?-c)-Z?,(a?c)?〃=(2Z?-c)-b=2(Z?-c)-b，

所以(Z?式)/=(a-c)2,故D正確.

故選：BCD.

10.已知0<o<7i,sino+cosa=L,貝1j()

3

B.sine—cost/=—巫

Asin2a=--

93

cos2a

_724

C.~7~~；D.tana+—

cosl?+—I43

I4

【答案】AC

【解析】

【分析】將原式平方即可判斷A,由(sina—cosa)2=l—2sinacosa即可判斷B,結(jié)合二倍角公式以及

余弦的和差角公式化簡即可判斷C,由sina+cosa與sine—cos1的值代入計算，即可判斷D.

[18

【詳解】由sina+cosa=—可得l+2sinacoso=—,則2sinacosa=——<0,故A正確;

399

且0<&<兀，則sina>0,cosa<0,

所以(sin。一cost/)2=1-2sincucostz=1+—=——

99

Jlj

且sine-cose>0,則sina-cost/=-----故B錯誤;

3

cosla(cosa+sina)(cosa-sinar)cosa+sinaV2xlA/2

3，故C正確;

因為tan(+—tana+1

tan。一1

1_

1Jpysina+cosatan6Z+13_^7

由sina+cosq=—,sina—cosa=^—可得^----------

33sin。-cos。tana-l近=77,故D錯誤;

丁

故選：AC

11.在斜三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若sinA=cos5,貝U()

A.VA3C為銳角三角形B.若。=1,則A=tanB

C.2tan5+tanC的最小值為若D.1<cosA+cosB+cosC<|^

【答案】BCD

【解析】

【分析】由誘導(dǎo)公式即可判斷A,由正弦定理即可判斷B,由條件可得2tanB+tanC=2tan3+^^,

tan23

結(jié)合基本不等式代入計算，即可判斷C,由條件可得cosA+cosjB+cosC=-sin5+cos5+sin25,然后

換元，結(jié)合二次函數(shù)的值域，即可判斷D.

【詳解】對于A,由sinA=cos5可得sin74=5［口］］一6),

7TTTTTTT

則A=2—3或A+上—3=兀，即A=X—3或A=2+3,

2222

jrJrjr

因為三角形ABC為斜三角形，若人=——B,則A+3=—,C=-,

222

71

不符合斜三角形，所以A=—+3,即A為鈍角，VA3C為鈍角三角形，故A錯誤；

2

nh1h

對于B,由正弦定理可得——=——，則-----=——，

sinAsin3cosBsinB

所以人=i"n一B=tanB,故B正確；

cosB

兀7T

對于C,由A+3+C=7T,A=-+3可得C=--2B,

22

且Ce(O,7i),則Be［。,：］,

則2tanB+tanC=2tanB+tan—-25=2tanBH---------

I2)tan28

cnl-tan2B31…B~~

=2tanBH-------------=—tanBnH---------->2.1—tanB----------=出,

2tanB22tanBy22tanB

31即tan5=3時，等號成立，故C正確;

當(dāng)且僅當(dāng)一tan5=--------時,

22tanB3

jr

對于D,由C可知A=—FB,C2瓦

2

則cosA+cosB+cosC=—sinB+cosB+sin2B,

71

令％=sinB—cosB=A/2sin|B-—

4

由Be［。,：］可得B—則—乎,0

所以0sin,-；)e(-1,0),故1,0),

且sin2B=2sinBcosB=l-(sinB-cosB)2=l-t2,

所以cosA+cosB+cosC——t+1—/=—IZH|H—,

I24

當(dāng)/=—工時，取得最大值

24

當(dāng)7=0或—1時，最小值為1,

所以l<cosA+cos3+cosC〈*,故D正確；

4

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在VABC中，三邊長分別為4,6,8,則VABC為______________三角形.(選填“銳角”、“直

角”、“鈍角”)

【答案】鈍角

【解析】

【分析】設(shè)邊長為8的邊對應(yīng)的角為凡利用余弦定理可判斷.

【詳解】設(shè)邊長為8的邊對應(yīng)的角為凡

由余弦定理可得cos。=16+36-64=一!<0,

2x4x64

所以夕為鈍角，因此，三角形為鈍角三角形，

故答案為：鈍角.

13.使得(sinll°-cosl「)tane=sinl「+cosll"成立的。的一個值為°.

【答案】—56°(答案不唯一，滿足。=—56°+H180°次eZ即可)

【解析】

【分析】根據(jù)題中條件將式子變形為tan，=‘in+cos11。，分子、分母同時除以ssU。將弦化切，然后

sin11-cos11

利用tan45°=1及兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式即可求解.

詳解】(sin11°-cosll°)tan^=sinll°+cosll°,

..sin11+cos11°tan11+11+tan11°

??tan9二-----s----------7二-----3——二---------r

sin11-cos11tan11-11-tan11

tan450+tan11°.。，，。、一。(廠小

=---------；------j=—tan(45+11)=—tan56=tan(-56)，

1-tan45-tan11v'

0--56°+-180°,左eZ.

故答案為：_56。(答案不唯一，滿足。=-56°+H180°,左eZ即可).

14.蜜蜂將窩造成正六邊形是一種基于數(shù)學(xué)、物理學(xué)和生物學(xué)的綜合選擇，旨在最大化資源的利用，同時

確保蜂巢的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和功能性，小明作出它的部分平面圖(三個全等的正六邊形)，若

AL=xAB+yAF,貝|x+y=；若|A3|=2,則AL./D=.

L

【答案】?.7②.-2

【解析】

【分析】結(jié)合正六邊形的性質(zhì)以及平面向量的線性運算即可得到結(jié)果；再將AL,/。分別用表示出

來，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】觀察圖形可知，三點共線，且E￡=2FE，

因為AL=AF+EL，

且也=3巫=3(所+45+5石)=3(—Ab+AB+2Ab)=3AB+3Ab,

則AL=Ab+3AB+3AF=3AB+4AF，

所以x=3,y=4,即為+y=7；

由正六邊形的性質(zhì)可得ID=IH+HG+GF+FE+ED

^EF+FA+AB+FE+AB^2AB-AF>

所以AL./D=（3AB+4AH.（2AB—AF）

2，2

=6AB+5ABAF-4AF

=6|A5|2+5|AB|-|AF|-cosl20o-4|AF|2

=6X22+5X2X2X-4X22=-2.

故答案為：7；-2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程成演算步驟.

15.已知向量a=(m,l),b=(―1,2),c=(3,—1).

(1)若a，求(。一2Z?)?。的值；

(2)若(4a+c)〃/?,求實數(shù)根的值.

【答案】（1）15

⑵-2

8

【解析】

【分析】（1）由向量垂直的坐標(biāo)運算可得，"的值，然后代入計算，即可得到結(jié)果；

（2）先表示出4a+c的坐標(biāo)，再由向量平行的坐標(biāo)運算代入計算，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

由。工匕可得“出二。,即一加+2=0,解得m=2,所以&=（2,1）,

貝!）之一力=（2,1）—（一2,4）三（4,一3）,

所以（&—2Z＞）-c=4x3+（—1）x（—3）=15.

【小問2詳解】

因為4a+c=（4狐4）+（3,-1）=（47〃+3,3）,

4〃i+339

由（4a+c）〃〃可得------=-,解得m=——

—128

16.已知銳角％尸滿足sina=邊。,cos2/?=3.

105

（1）求sin（（z—/7）的值；

（2）求a+萬的值.

【答案】（1）*

10

⑵-

4

【解析】

【分析】（1）由題意求出cos。,sin民cos/7,利用兩角差的正弦公式即可求得sin（a—尸）；

（2）由（1）解出sin（a+〃）=5-，由。，尸均為銳角以及sino、sin/7的取值情況，解出e+尸的取值

范圍，即可求得夕+分的值.

【小問1詳解】

|23710

因為sina='歷，。<。<三,所以cosa=Jl—sin?a=1-

102

3Jr3

因為cos2Q=m，0</?<—,所以COS2/?=2COS2〃-1=W，

則cos2/=：，又0(/<］，所以cos/3=~~，則sin￡=^/1-cos2/3=，

所以疝（"尸）=近強(qiáng)3月9.尸=巫＞＜包1-亞'好=-逑=-也

'）1051055010

【小問2詳解】

由(1)得sin(e+〃)=sinacos〃+cosesin,=?x2+^^><也=^,

')1051052

因為0<。<火，0<^<—,sina—邊。＜-,所以0＜a〈二,

221026

由（1）知sin〃=@＜工，所以0〈月〈工,

526

則0<a+￡<§,所以

17.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知26=c+2acosC.

(1)求A；

（2）若4=3,5m。=25也3,/4的平分線交6。于點。，求AO.

7T

【答案】（1）A=—

3

(2)AD=2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化代入計算，即可得到結(jié)果;

（2）先由余弦定理可得6,c的值，再由等面積法結(jié)合三角形的面積公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

由正弦定理可得2sinB=sinC+2sinAcosC,

即2sin(A+C)=sinC+2sinAcosC,

2sinAcosC+2cosAsinC=sinC+2sinAcosC,

即2cosAsinC=sinC,且sinCwO,

Ijr

則cosA=—,Ae（0,7i）,則A=].

【小問2詳解】

由$111。=251115可得。=2/?，

由正弦定理可得"=Z?2+c2-2Z?ccosA，

即9=〃+4〃—242萬xg,解得則c=2百，

且AD為角A的角平分線，

11A1A

=7

SABCSABD+SACD即一besinA=-c,AD,sin-l—b?AD,sin—f

化簡可得6x1^=AD,解得A。=2.

18.已知函數(shù)/(x)=J^sinxcosx—cos2x+g.

⑴若a為銳角，/臣=乎，求cosa的值.

(2)在VABC中，若/(4)=1,5。=履,￡＞是5c的中點，且AD=3,求VABC的面積；

(JrA(TtTt

(3)若關(guān)于尤的不等式/2x-§+〃礦(x)+220在丑$上恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)三5

6

⑵2

8

(3)^—2^2,+ooj

【解析】

【分析】(1)由恒等變換公式化簡函數(shù)解析式，即可得到sin［a-,再由cosa=cos［。一個］+搟代

入計算，即可得到結(jié)果；

(2)由中線可得AD=g(A3+AC),從而可得°2+匕。=36,結(jié)合余弦定理與三角形的面積公式代

入計算，即可得到結(jié)果；

(3)將不等式化簡，然后換元可得2產(chǎn)+mf+120在(。川上恒成立，分離參數(shù)結(jié)合基本不等式代入計算,

即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

2.81+cos2x1

/(x)=5/3sinxcosx-cos%+gsin2x---------------F—

22

由=g可得sin（。-0_A/6

一

且a為銳角，則0＜?！窗?，即二＜&」＜二，則cos”二〉0,

2663I6）

百百版13-V6

=x-----x—=-----

32326

【小問2詳解】

71117T

因為/(A)=sin2A—￡—1,且Ae（0,兀），則24-不6

~6'~6~

則2A—殳=四，解得A=2,

623

由A。為三角形的中線，則AD=；(A3+AC),

Bp|AD|2=^AB^+2AB-AC+\AC^,

即9=/+2bc-cos—+b2j,化簡可得尸+°2+Z?c=36①,

由余弦定理可得"=b2+c2-2bccos-,

3

化簡可得Zj2+c2—bc=13②，

23

①一②可得2bc=23,即慶=一，

2

則S/LcsinA,Cx走=2.

c22228

【小問3詳解】

7171『小71J貝！

由工￡7—5—可得2x—0,-71J/(%)=sin[2%-2]￡(0,1],

〈1220\0

由不等式/f2x--1+mf(x)+220在[五,5上恒成立,

可得加一巳)+在

sin]4x—q7i)+sin12%220上恒成立,

=2sin2f2%--^-j-1,

j2x——,則/￡(0,1],

令/=sin

則不等式2?+祝+1>0在（0,1］上恒成立，

即—根V2%+1在（0』］上恒成立，

t

又2，+122.6^=2后，當(dāng)且僅當(dāng)力=1時，即才=Y1時等號成立，

tVtt2

所以—m<2A/2，即加2—2A/2，

則實數(shù)m的取值范圍是［-2日,+8）.

19.某數(shù)學(xué)興趣小組探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形的三條邊所對的外接

圓的三條圓?。踊。?，沿者三角形的邊進(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三

角形的垂心（即三角形三條高線的交點），如圖，已知銳角VA3C中，BC=4,其外接圓。的半徑為

-V7,且三條圓弧沿VA3C三邊翻折后交于點H.

7

（2）若點T為劣弧B//C上一動點，求TB-TC的最小值;

(3)若30-AC=—10,求“4+HB+HC的值.

3

【答案】(1)—

2377

7

【解析】

【分析】(1)在銳角VA3C中，由正弦定理求出sin/BAC,利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出

7T

cosNB4c.利用三角形垂心性質(zhì)可得N"C4=-—ZBAC,結(jié)合三角形誘導(dǎo)公式即可求解；

2

(2)設(shè)點M為VABC的邊6C所對的外接圓的劣弧，點。為邊6C的中點.

由題意及對稱性可知yg.TC==A/D?.4?故要使取得最小值，只需最小.分析可

知當(dāng)三點共線卜4最小，即可求解.

(3)由向量減法運算可知03?AC=03?(OC—04),由圓的性質(zhì)可知N3OC=2Nfi4C,

6464

ABOA=2ABCA,從而ORAC=—COS2/3AC--cos2/BC4.由(1)可求cos2/B4C,可求解

77

COS2N3C4.在銳角VA3C中，由二倍角公式、三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式及正弦定理可解VA3C.由

點X是VABC的垂心可得Z4HC=7i—/ABC,ZBHC=TI-ZBAC,ZAHB^n-ZACB.

在，AHC中，由正弦定理可求得HA,同理可求HB,HC,本題即可求解.

【小問1詳解】

在銳角VA3C中，???5C=4,其外接圓。的半徑為§、萬，

7

由正弦定理可得:

sinNBACsinNBAC

cosABAC=Jl-(sinNA4cf=11-—3

4

【小問2詳解】

設(shè)點M為VA3C的邊BC所對的外接圓的劣弧，點。為邊3C的中點.

由題思及對稱性可知75?7。="0?加。=(又0+。3>(又?—。3)="0-DB=MD-4.

故要使TB-TC取得最小值，只需|血4最小.

在圓。上，由三角形三邊關(guān)系可知MD+OD20M=號近，當(dāng)且僅當(dāng)〃,三點共線時取等號，此

7

o___________o___________ozrQ

時MD=OM—0D=—S—NOD?—BD?-yjoc2-BD2=-A/7——A/7=-77.

77777

ATB-TC=MD2-4-4=-y,

.24

即TB?TC的最小值為——.

7

【小問3詳解】

3

由(1)可知：sinZBAC=—>cosZBAC

44

BOAC=-OBAC=-10>..OBAC=10-

又OBAC=OB(OC-OA)=O