階段滾動(dòng)卷（二）（范圍：第一?六單元）

（分值：150分）

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

“2025?合肥模擬］已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2i,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.［2025?濰坊模擬］已知集合A={x|log3（2x+1）=2},集合5={2,a},其中a@R.

若AU3=3,則a=（）

A.lB.2

C.3D.4

3.［2025?東北師大附中模擬］已知函數(shù)#x）是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí)，危）

=爐+*若火3）=—8,則。=（）

A.—3B.3

1

c.gD..

4.［2024?南京六校聯(lián)考］若非零向量a,4滿足⑷=步|,（a+2&）±a,則向量a與b

的夾角為（）

一2兀一5兀

C丁D.~7~

3o

5.［2025?湖北七市聯(lián)考］已知公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列{a〃}的前n項(xiàng)和為的，若as,

。4,。7是等比數(shù)列，則當(dāng)S取最大值時(shí)，n=（）

A.2或3B.2

C.3D.4

,,,K,—,,3兀,7i?,1+sin20

6.[2024?九省聯(lián)考]已知0e（—,兀），tan26=-4tan（e+R，則2cosz—n20=（）

A、3

BR4

C.lD.|

7.[2025?北京順義區(qū)模擬]設(shè)x,y^l,a>l,b>l,若〃=?=3,a+b=2y[3,則2+

士的最大值為()

3

A.2B，2

C.lD.|

8.[2025?鎮(zhèn)江模擬]“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指

圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓

和方形圖案的工具.敦煌壁畫就有伏羲女蝸手執(zhí)規(guī)矩的記載(如圖(1)).今有一塊圓

形木板，以“矩”量之，如圖(2).若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板,

且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角a滿足cos?=|,則這塊四邊形木板周長的最大值

為()

圖(1)圖(2)

A.20cmB.2(h/2cm

C.2O\/3cmD.30cm

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

JT

9.[2025?煙臺模擬]已知函數(shù)段)=Asin(0x+G(A>O,0>0,|夕|<1)的部分圖象如

圖所示，則下列說法正確的是()

A4c/兀

A.A=2,a)=2,9=]

IT

B.函數(shù)人x—4）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

兀

C.函數(shù)人助的圖象關(guān)于直線x=—我17對稱

D.函數(shù)兀0在（一金，系上的值域?yàn)椋?,2]

10/2025?哈爾濱模擬]已知等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)ai=l,公差d=6,在｛斯｝中每相

鄰兩項(xiàng)之間都插入左個(gè)數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列｛瓦｝,

下列說法正確的有（）

A.Q〃=6〃一5

B.當(dāng)左=2時(shí)，bn=2n~l

C.當(dāng)左=2時(shí),不是數(shù)列｛匾｝中的項(xiàng)

D.若。8是數(shù)列｛板｝中的項(xiàng)，則上的值可能為6

”.[2025?武漢模擬]已知函數(shù)五x）=—冷，則下列說法正確的是（）

A.y（x）的極值點(diǎn)為（1,—|）

B<x）的極值點(diǎn)為1

14-

C.直線丁=浮一二是曲線y=/（x）的一條切線

D<x）有兩個(gè)零點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.[2024?北京東城區(qū)一模]已知角a,4的終邊關(guān)于直線y=x對稱，且sin（a—份

=g,則a,4的一組取值可以是a=,B=.

13.[2024?廣東六校聯(lián)考]如圖放置的邊長為2的正方形ABCD,頂點(diǎn)A,D分別在

x軸，y軸正半軸（不含原點(diǎn)）上滑動(dòng)，則油?沆的最大值是.

e'—a%?%0

14J2024.宜昌模擬］函數(shù)八x)="：二'「八若關(guān)于x的不等式

、JiI\ci2)xI2a,x0,

五x)NO的解集為[―2,+8),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.(13分)[2025?溫州模擬]已知函數(shù)於)=x(x—3>,xG[l,a].

(1)若;(x)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若人力的最小值為火0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.(15分)[2025?開封模擬]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

bcosA=@asinB.

⑴求sinA.

(2)若。=小，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)條件作為已知，使其能夠

確定唯一的三角形，并求△ABC的面積.

條件①：b=\[6c；

條件②：b=乖;

條件③：sinC=1.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件

分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.(15分)[2025?三明模擬]定義Gn=

0+2”+3;+…"為數(shù)列｛礪｝的“勻稱值”，若數(shù)列｛劣｝的“勻稱值”為2.

(1)求數(shù)列｛麗｝的通項(xiàng)公式；

r^an,〃為奇數(shù)，

(2)設(shè)?！?|an4/由此｛瓦｝的前〃項(xiàng)和為的，求S20.

“+2,〃為偶數(shù)，

18.(17分)[2025?西安質(zhì)檢]已知函數(shù)八x)=lnx+af+(a+2)x.

(1)討論人x)的單調(diào)性；

2

(2)當(dāng)。＜0時(shí)，證明：

19.(17分)[2024.杭州模擬]平面內(nèi)的“向量列”｛以｝,如果對于任意的正整數(shù)n,

均有an+x-an=d,則稱此“向量列”為“等差向量列”，d稱為“公差向量”.

平面內(nèi)的“向量列”｛瓦｝,如果從W0且對于任意的正整數(shù)n,均有瓦+1=

切瓦(qWO),則稱此“向量列”為“等比向量列”，常數(shù)q稱為“公比”.

(1)如果“向量列”｛““｝是”等差向量列”，用m和“公差向量”d表示ai+公+…

+飆；

(2)已知{詼}是“等差向量列“，“公差向量"d=(3,0),《1=(1,1),an=(xn,

詞；{瓦}是“等比向量列”，“公比”夕=2,&i=(L3),bn=(mn,公).求m如+

2H---\~anbn.

階段滾動(dòng)卷(二)(范圍：第一?六單元)

l.A［z=^=二=l+i,即復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),在第一象

1+1(1+1)(1—I1)

限.故選A.］

2.D［法一(直接法)由"+1=32,得x=4,所以A={4}.由AUBMB,得AGB,

所以。=4,故選D.

法二(排除法)由2x+l=32,得x=4,所以A={4},。=1時(shí)，AU3={1,2,

4}WB,排除A；a=2時(shí)不滿足集合元素的互異性，排除B；a=3時(shí)，AUB={2,

3,4}#B,排除C.故選D」

3.B［因?yàn)楹瘮?shù)人x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以五3)=一八一3),又八3)=—8,

所以八一3)=8,又當(dāng)x<0,於)=_?+3,所以人一3)=(—3戶+券=8,解得。=

3.故選B.］

4.C［因?yàn)?a+28)_La,所以3+28)以=層+24仍=|a|2+2⑷步Qos(a,b)=0,

又|a|=|四,所以|aF(l+2cos(a,b))=0.

因?yàn)閍,8均為非零向量，

所以cos(a,b〉=-T，

則向量a與方的夾角為2竽兀故選C」

5.B［設(shè)等差數(shù)列的公差為d(d<0),則由。3,。4,07是等比數(shù)列，得(m+3t/)2=(ai

+2t/)(m+6①，整理得d(2〃i+3①=0,所以2QI+3d=0,即a\——^d,所以

H(幾—1)ddr

=nai+—f——4=]/—2力?=]("-2>—2d.因?yàn)閐<0,所以當(dāng)〃=2時(shí)，S”取得

最大值一2d.故選B.]

6.A[因?yàn)?G(手，7i),所以tan6?(—1,0).由tan26=—4tan(8+多得1_丁2A=

H-4,11an(7

-4：+叫,化簡整理得2tan28+5tan6+2=0,

1—tan”

解得tanQ=-2(舍去)或tanQ=1；,

訴/l+sin26_______(sine+cos。)?sin0+cos+tan)+11,,、弁

2cos20+sin202cos0(sin0+cos0)2cos024'JA.]

7.C[Vx,y21,a>l,b>l,出=勿=3,/.x=log?3,y=logb3,

???：+L=log3〃+log36=log3abWlog3(^^)2=k)g3(^^)2=1,

y乙乙

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=小，x=y=2時(shí)取等號，.,.(：+，111；0<=1.故選?.]

8.D[由題圖(2)得，

圓形木板的直徑為

■,\/102+52=5鄧(cm).

設(shè)截得的四邊形木板為ABCD,ZA=a,AB=c,BD=a,AD=b,BC=n,CD

=m,如圖所示.

3

由cosa=5且0<a<兀

l--------4

可得sina=yjl-cos-a=-^,

在△AH。中，由正弦定理得噓力=5小，

解得a=4y/~^.

在中，由余弦定理,

得a2=b2-\-c2—2bccosa,

所以80=廿十°2—|A=3+C)2—學(xué)歷>g+c)2—與

即(0+C)2W400,可得0<Z?+cW20,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=10時(shí)等號成立.

在△BCD中，ZBCD=n-a,

由余弦定理可得

80=a2=m2+n2—2mncos(n—a)

=m2-\-n2-\-^mn

4.4(m+n)24(zn+〃)2

=(m+ri9)一5mn三(m+n)9一§X

5

即(加+”)2忘100,即0V/n+〃W10,

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=5時(shí)等號成立，

因此，這塊四邊形木板周長的最大值為30cm.故選D.]

9.ABC[A選項(xiàng)：設(shè)火用的最小正周期為T,

由圖象知A=2,y^-(-1)=y=|r,

所以7=了=心得①二？.

/TT/7T7T

當(dāng)冗=五時(shí)，函數(shù)八九)取得最小值，則2X五+e=2E—

即cp=2kn—|TI(^Z),

ITIT

又則當(dāng)左=1時(shí)，9=]符合題意.

7?

所以A=2,a)=2,(p=y所以A正確；

B選項(xiàng):於一奇=2sin[2(x—6+爭=2sin2x為奇函數(shù),所以B正確;

JT7T一

C選項(xiàng)：令2x+g=E+](Z￡Z),解得

x=埠+森kUZ),所以函數(shù)"x)圖象的對稱軸方程為x=呼+卡(kUZ),

乙i乙乙J.乙

當(dāng)左=—3時(shí)，》=一正，所以C正確；

D選項(xiàng)：因?yàn)閤?（一言，?，

2龍金（一號2],

2龍+卜本/

兀1

所以sinQx+g）e[],1],

所以五x）d[l,2],所以D不正確.

故選ABC.]

10.ABD[對A,an—1+6（n—l）=6n—5,故A正確；

對B,當(dāng)k=2時(shí)，｛及｝公差d=|=2,此時(shí)瓦=1+2（〃一1）=2〃一1,故B正確；

對C,當(dāng)左=2時(shí)瓦=2〃-1,此時(shí)619=2X19—1=37,G=6X7—5=37,即619

是數(shù)列｛z｝中的項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；

對D,當(dāng)％=6時(shí)，bi=ai,又。2=。1+6+1=。8,故D正確.故選ABD.]

xx—]

H.BC[對A：因?yàn)槿斯?一羨，所以/（%）=丁，令/（x）<0,得x<l;令/（x）>0,

得X>1,

所以?X）在（一8,1）上單調(diào)遞減；在（1,+8）上單調(diào)遞增.

可知人X）在X=1處取得唯一極小值，也是犬X）的最小值，所以“X）的極值點(diǎn)為x=

1,故A錯(cuò)誤，B正確；

2121

對C：因?yàn)槠?）=一三，/（2）=三，所以"x）在x=2處的切線方程為丁十二=空。一

14

2）,即:y=『x—/，故c正確.

對D：因?yàn)槿?）=0,汽1）=—；<0,結(jié)合人乃在（一8,1）上的單調(diào)性，可知尤=0

_Y

是汽X）在（一8,I）上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)X>1時(shí)，ex>0恒成立，故人》）=—短<0恒成

立.

所以火x）在（1,+8）上沒有零點(diǎn)；綜上：Hx）只有一個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選BC]

12.5答案不唯一)看(答案不唯一)［因?yàn)榻莂,4的終邊關(guān)于直線y=x對稱，則

TTJT

a+P=/+2E,則a=2—￡+2左兀，

),JTTT］

因?yàn)閟in(a-.)=5，所以sin(1一6+2hi—.)=sin(5—2￡+2bi)=cos2￡=1,

j?j?j?j?

則2￡=§+2左兀或2￡=—§+2左兀，kRZ,解得夕=4+%兀或￡=一4+%兀，k^Z,

7T7T

取左=0,4的一個(gè)值可以為亨a的一個(gè)值可以為］(答案不唯一).］

13.8［法一設(shè)A(x,0),D(0,y),x>0,y>0,則x2+y2=4,B(x+y,x),C(y,

x+y),

于是OBOC=(無+y,x)-(y,x+y)=x2+2xy+y2^2(x2+y2)=8,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=，i時(shí)等號成立.

jr

法二令

7T

則NA4x=］一夕

由于AD=2,

故OA=2cos0,OD=2sin0.

由于AB=2,

兀71

則XB=2COS0+2COS(2—d)=2cos0+2sina”=2sin(］—e)=2cos0,

故OB=(2cos8+2sin仇2cosff).

同理可求得C(2sin0,2cos9+2sin6),

即歷=(2sin。，2cos0+2sin0,

所以協(xié)?歷=(2cos8+2sine,2cos8)?(2sin42cos6+2sin6)=4+4sin20

當(dāng)e=彳時(shí)，。耳沆取得最大值8.］

-2-

14.［。，"［由題意知，當(dāng)xG(—8,—2)時(shí)，危)V0；

當(dāng)龍口一2,0］時(shí),?^0；

當(dāng)%￡(0,+8)時(shí),於)20.

當(dāng)xWO時(shí)，?=-(x+2)(x-?)^0,

則(x+2)(x—a)W0,因解集為[—2,+℃),

故無+2三0,貝Ux——aW0,a^x,此時(shí)xWO,

故.心0；

當(dāng)x>0時(shí)，fix)0<=>e￥—ox2is'0,

當(dāng)a=0時(shí)，顯然成立；

當(dāng)<2>0時(shí)，e”一加三00(巳]

%22x—

令g(x)=晟。>0),則g(x)=e、,

所以gQ)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減,

4

所以g(%)max=g(2)=/,

14e2

所以￡三.=0<?；虿?/p>

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為0,弓.]

15.解(1)\&)=/一6砂+9羽

.,./W=3X2-12%+9=3(X-1)(X-3),

當(dāng)1<%<3時(shí)，/(x)<0,當(dāng)x>3時(shí)，/(x)>0,

二於)在(1,3)上單調(diào)遞減,在(3,+8)上單調(diào)遞增,

又火工)不單調(diào)，%￡[1,4<>-a>3.

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(3,+8).

(2)：段)的最小值為/a),???由(1)中/x)的單調(diào)性可知,1<〃W3.故實(shí)數(shù)〃的取值范

圍為(1,3].

16.解(1)由bcosA=pasinB,結(jié)合正弦定理，

得sinBcosA=^/2sinAsinB,

因?yàn)閟in3W0,所以tanA=^>0,所以sinA=坐且A為銳角.

(2)若選條件①：

由sinA=坐得cosA=坐,

將已知代入a2=b2+c2—2Z?ccosA,得3=6c2+c2—4c2,解得c=l,則b=y[6,

△A5C唯一確定，

、1啦

所以S4A5c=/bcsinA=2?

若選條件②：將已知代入告=4,得sinB=^>g

sinAsmB33

因?yàn)?=加>小=a>加in4=陋，所以三角形有兩個(gè)，不符合題目要求.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分.

若選條件③：

,.._吏4m._逅4.X

由sinA—3行cosA—，乂sinA—>sinC—

得A>C,

所以cosC=平，

所以sinB=sin(A+Q=sinAcosC+cosAsinC=^,ZXABC唯一確定，

將已知代入一匕=一￡萬，得c=i,

sinAsmC

.?S^ABC=2acsm2.

...ai+lai+3as+***+na

17.解(1)因?yàn)?------------------n=2,

所以<7i+2t?2+3<23+,??+nan=2n.

當(dāng)n=l時(shí)，tzi=2.

當(dāng)n》2時(shí)，由ai+2a2+3幻+…+4a”=2九得ai+2a2+3磁+…+(〃—1)。―1=2(〃

—1)，

上述兩個(gè)等式作差得加〃=2,

2

即an=~(n^2),

又因?yàn)?lt;21=2滿足an=~,

2

所以數(shù)列｛?！ǎ耐?xiàng)公式為??=-(?EN*).

,2

(2)因?yàn)閍n=~,

2n,"為奇數(shù),

所以劣=<2

〃為偶數(shù).

n(n+2)

所以S2o=(2+6+…+38)+

(222](2+38)X10

(2X4十4X6^20X22)=24

工11111

-+-+

2-44-6-?+-

、2022

2205

=200+2~2211-

18.(1)解V^x)=lnx+ax2+(a+2)x,定義域?yàn)?0,+?=),

+2ax+a+2

2a/+(o+2)x+1(2)+l)(ox+1)

XX

(x>0),

①當(dāng)。三0時(shí)，/(x)>0,40在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)。<0時(shí)，當(dāng)xG(O,一%時(shí)，/(x)>0,

“x)在(0,一%上單調(diào)遞增,

當(dāng)xG(—5，+8)時(shí)，/(無)<0,

氏0在(一：，+8)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，五X)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時(shí)，汽x)在(0,一%上單調(diào)遞增，

在(_5，+8)上單調(diào)遞減.

(2)證明由(1)可得，當(dāng)。<0時(shí)，

y(X)max=y(——)

11〃+2

=皿—7+1丁

（

=lnx—aa1.

22

要證Hx）W—,—2,只需證y（X）maxW—￡—2,

即證In（—十）+[+IWO恒成立.

令/=—[,g?）=ln/一%+1?>0）,

e.11一t

則g'(t)=--l=-,

當(dāng)P(0,1)時(shí),g")>0,g⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)?e(i,+8)時(shí),g")vo,g⑺單調(diào)遞減，

故g⑺的最大值為g(D