第八章平面解析幾何第8節(jié)圓錐曲線常見結論的應用INNOVATIVEDESIGN目

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1.橢圓、雙曲線焦點三角形中的一些結論橢圓+=1(a>b>0)雙曲線-=1(a>0,b>0)①周長2a+2c;②面積=|PF1||PF2|sin

θ=b2tan

=c|y0|=(a+c)r(r為內切圓半徑);③|PF1||PF2|=;④P在短軸頂點時,θ最大

①面積=|PF1||PF2|sin

θ==c|y0|;②|PF1||PF2|=橢圓+=1(a>b>0)雙曲線-=1(a>0,b>0)

周長=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a(圖①)P在短軸頂點時,θ最大(圖②)

|AF2|+|BF2|-|AB|=4a2.橢圓、雙曲線的焦半徑與焦點弦橢圓:已知P(x0,y0)是橢圓上的一點,θ為直線AB傾斜角,F1,F2為左、右焦點雙曲線:已知P(x0,y0)是雙曲線上的一點,θ為直線AB傾斜角,F1,F2為左、右焦點①|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0;②焦半徑最小為a-c,最大為a+c(長軸兩端點處)①P在左支,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a,P在右支,|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a(左加右減);②同側焦半徑最小c-a,異側最大c+a(實軸兩端點處)①通徑=,為最短焦點弦;②焦點弦長;③若AB是過焦點F的弦,則+=①通徑=,為最短焦點弦;②焦點弦長;③若AB是過焦點F的弦,AB交在同支時,+=,AB交在兩支時,-=(AF<BF);④焦點到漸近線的距離總是b;⑤頂點到漸近線的距離為3.與離心率有關的結論

橢圓+=1(a>b>0)雙曲線-=1(a>0,b>0)公式一e=e=公式二e=e=(知漸近線求離心率)公式三e=e==

橢圓+=1(a>b>0)雙曲線-=1(a>0,b>0)公式四

則有e==.注:λ=或者λ=

則有e==.注:λ=或者λ=橢圓、雙曲線共焦點+=1

題型一

與焦點三角形有關的問題

C

A思維建模1.與焦點三角形有關的問題,如面積、周長、焦半徑、焦點弦的求解問題,公式的準確記憶與靈活選擇是關鍵,特別是面積公式.2.常用結論的使用在選擇、填空中應用廣泛,可以避免繁雜的計算,快速求解.

D

題型二

離心率問題A

B

思維建模

D

題型三

拋物線中結論的應用

B

(2)(2025·長沙調研)過拋物線y2=8x焦點的直線與拋物線交于M,N兩點,設拋物線的準線與x軸的交點為A,當MA⊥NA時,|MN|=

.

8

思維建模

D

2

拓展視野圓錐曲線的第二、第三定義一、圓錐曲線的第二定義

圓錐曲線的第二定義,也稱圓錐曲線的統(tǒng)一定義:在平面內到定點的距離與到定直線(定點不在直線上)的距離之比是常數e的點的軌跡為圓錐曲線.當0<e<1時,軌跡為橢圓;當e>1時,軌跡為雙曲線;當e=1時,軌跡為拋物線.其中定點是曲線的焦點,定直線是焦點對應的準線,e是離心率.例1

希臘數學家帕普斯在他的著作《數學匯篇》中,完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統(tǒng)一定義,并對這一定義進行了證明.他指出,到定點的距離與到定直線的距離的比是常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線:當0<e<1時,軌跡為橢圓;當e=1時,軌跡為拋物線;當e>1時,軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2表示的曲線是雙曲線,則m的取值范圍為(

) A.(0,8) B.(8,+∞) C.(0,5) D.(5,+∞)C

B

訓練

(1)已知定點A(1,1)和直線l:x+y-2=0,那么到定點A和到定直線l的距離相等的點的軌跡為(

) A.橢圓

B.雙曲線 C.拋物線

D.直線

解析

顯然比值為1,但由于A(1,1)在直線l上,動點的軌跡為過A且與x+y-2=0垂直的直線.D

A

課時對點精練KESHIDUIDIANJINGLIAN

D

B

A

C

C

B

B要滿足橢圓C上存在點P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=30°,則(∠PF1F2)max≥30°,

C

ABD

10.已知拋物線C:x2=4y,焦點為F,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點,該拋物線的準線與y軸交于點M,過點A,B作準線的垂線,垂足分別為H,G,如圖所示,則下列說法正確的是(

)BCDA.線段AB長度的最小值為2B.以AB