2025年中職指數(shù)函數(shù)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）的圖像恒過點（）A.\((0,0)\)B.\((0,1)\)C.\((1,0)\)D.\((1,1)\)2.函數(shù)\(y=2^x\)與\(y=(\frac{1}{2})^x\)的圖像關于（）對稱A.\(x\)軸B.\(y\)軸C.直線\(y=x\)D.原點3.若\(a=3^{0.2}\)，\(b=0.2^3\)，\(c=\log_3{0.2}\)，則（）A.\(a＞b＞c\)B.\(b＞a＞c\)C.\(c＞a＞b\)D.\(a＞c＞b\)4.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）在\(R\)上是減函數(shù)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((0,1)\)B.\((1,+∞)\)C.\((0,+∞)\)D.\((-∞,1)\)5.函數(shù)\(y=3^{x+1}\)的圖像可以由\(y=3^x\)的圖像（）得到A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位C.向上平移1個單位D.向下平移1個單位6.若\(3^x=\frac{1}{27}\)，則\(x\)的值為（）A.3B.-3C.9D.-97.已知\(f(x)=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)），\(f(2)=4\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.2C.\(\frac{1}{4}\)D.48.函數(shù)\(y=\sqrt{1-2^x}\)的定義域是（）A.\((-∞,0]\)B.\([0,+∞)\)C.\((-∞,1]\)D.\([1,+∞)\)9.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)），當\(x=3\)時，\(y=8\)，則\(a\)的值為（）A.2B.3C.4D.810.函數(shù)\(y=5^x\)與\(y=5^{-x}\)的圖像關于（）對稱A.\(x\)軸B.\(y\)軸C.直線\(y=x\)D.原點二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=(-2)^x\)D.\(y=3\cdot2^x\)E.\(y=(\frac{1}{3})^x\)2.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）的性質(zhì)有（）A.當\(a＞1\)時，函數(shù)在\(R\)上單調(diào)遞增B.當\(0＜a＜1\)時，函數(shù)在\(R\)上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖像恒過點\((0,1)\)D.函數(shù)的值域是\((0,+∞)\)E.函數(shù)是奇函數(shù)3.若\(a＞1\)，則（）A.\(a^2＞a\)B.\(a^{\frac{1}{2}}＞a^0\)C.\(a^{-1}＞a^{-2}\)D.\(a^3＞a^2\)E.\(a^{\frac{3}{2}}＞a\)4.函數(shù)\(y=4^x\)的圖像可以由（）得到A.\(y=2^x\)的圖像橫坐標縮短為原來的\(\frac{1}{2}\)B.\(y=2^x\)的圖像縱坐標伸長為原來的2倍C.\(y=2^x\)的圖像橫坐標伸長為原來的2倍D.\(y=2^{2x}\)的圖像E.\(y=(\frac{1}{4})^{-x}\)的圖像5.下列大小比較正確的是（）A.\(2^{0.3}＞2^{0.2}\)B.\((\frac{1}{2})^{0.3}＞(\frac{1}{2})^{0.2}\)C.\(3^0＞0.3^0\)D.\(0.9^{-0.1}＞0.9^{-0.2}\)E.\(1.1^{0.5}＞1\)6.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）滿足\(f(-1)=\frac{1}{3}\)，則（）A.\(a=3\)B.\(f(0)=1\)C.\(f(1)=3\)D.函數(shù)在\(R\)上單調(diào)遞增E.函數(shù)圖像過點\((1,3)\)7.函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）與\(y=(\frac{1}{a})^x\)的關系是（）A.圖像關于\(y\)軸對稱B.當\(a＞1\)時，\(y=a^x\)的增長速度比\(y=(\frac{1}{a})^x\)快C.值域相同D.定義域相同E.單調(diào)性相反8.若指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）在區(qū)間\([-1,1]\)上的最大值與最小值之差為\(\frac{3}{2}\)，則\(a\)的值可能為（）A.2B.\(\frac{1}{2}\)C.3D.\(\frac{1}{3}\)E.49.對于指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)），下列說法正確的是（）A.當\(a＞1\)時，若\(x_1＜x_2\)，則\(a^{x_1}＜a^{x_2}\)B.當\(0＜a＜1\)時，函數(shù)圖像在\(x\)軸上方C.函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第四象限D(zhuǎn).若\(a=\frac{1}{4}\)，則\(y=(\frac{1}{4})^x\)在\(R\)上單調(diào)遞增E.函數(shù)\(y=a^x\)與\(y=\log_a{x}\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）的圖像關于直線\(y=x\)對稱10.函數(shù)\(y=2^{x^2-2x}\)的性質(zhì)有（）A.定義域為\(R\)B.令\(t=x^2-2x\)，則\(y=2^t\)，\(t=(x-1)^2-1\)C.當\(x=1\)時，函數(shù)\(y\)取得最小值\(\frac{1}{2}\)D.函數(shù)在\((-∞,1)\)上單調(diào)遞減E.函數(shù)在\((1,+∞)\)上單調(diào)遞增三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=3\cdot2^x\)是指數(shù)函數(shù)。（）2.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)），當\(a＞1\)時，\(x\)越大，\(y\)增長越快。（）3.函數(shù)\(y=(\frac{1}{3})^x\)在\(R\)上是增函數(shù)。（）4.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）的值域是\(R\)。（）5.若\(a^x=a^y\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)），則\(x=y\)。（）6.函數(shù)\(y=2^{x+1}\)與\(y=2^x+1\)是同一個函數(shù)。（）7.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）的圖像一定在\(x\)軸上方。（）8.當\(0＜a＜1\)時，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)在\(R\)上單調(diào)遞減，所以\(a^{-2}＜a^{-3}\)。（）9.函數(shù)\(y=10^x\)與\(y=\lgx\)的圖像關于直線\(y=x\)對稱。（）10.函數(shù)\(y=2^{|x|}\)是偶函數(shù)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）的單調(diào)性與\(a\)的關系。答案：當\(a＞1\)時，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)在\(R\)上單調(diào)遞增；當\(0＜a＜1\)時，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)在\(R\)上單調(diào)遞減。2.求函數(shù)\(y=(\frac{1}{2})^{x^2-4x}\)的單調(diào)區(qū)間。答案：令\(t=x^2-4x=(x-2)^2-4\)，\(y=(\frac{1}{2})^t\)。\(t=x^2-4x\)在\((-∞,2)\)上遞減，在\((2,+∞)\)上遞增。\(y=(\frac{1}{2})^t\)在\(R\)上遞減。所以\(y=(\frac{1}{2})^{x^2-4x}\)的增區(qū)間是\((-∞,2)\)，減區(qū)間是\((2,+∞)\)。3.已知指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）的圖像經(jīng)過點\((2,9)\)，求\(a\)的值及\(f(-1)\)的值。答案：將點\((2,9)\)代入\(y=a^x\)，得\(a^2=9\)，因為\(a＞0\)，所以\(a=3\)。則\(f(x)=3^x\)，\(f(-1)=3^{-1}=\frac{1}{3}\)。4.比較\(0.7^{0.8}\)與\(0.8^{0.7}\)的大小。答案：設\(y_1=0.7^{x}\)，\(y_2=x^{0.7}\)。\(y_1=0.7^{x}\)在\(R\)上遞減，\(0.7^{0.8}＜0.7^{0.7}\)；\(y_2=x^{0.7}\)在\((0,+∞)\)上遞增，\(0.7^{0.7}＜0.8^{0.7}\)，所以\(0.7^{0.8}＜0.8^{0.7}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.在實際生活中，指數(shù)函數(shù)有哪些應用？請舉例說明。答案：在人口增長、細菌繁殖、放射性物質(zhì)衰變等方面有應用。如人口增長模型，若初始人口為\(P_0\)，年增長率為\(r\)，經(jīng)過\(t\)年人口數(shù)\(P=P_0(1+r)^t\)；細菌繁殖，一定條件下細菌數(shù)量隨時間按指數(shù)增長。2.指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a＞0\)且\(a≠1\)）與冪函數(shù)\(y=x^a\)有什么區(qū)別？答案：指數(shù)函數(shù)底數(shù)\(a\)是常數(shù)，指數(shù)是自變量\(x\)；冪函數(shù)底數(shù)是自變量\(x\)，指數(shù)\(a\)是常數(shù)。指數(shù)函數(shù)恒過\((0,1)\)點，冪函數(shù)情況多樣。指數(shù)函數(shù)單調(diào)性取決于\(a\)與\(1\)的大小，冪函數(shù)單調(diào)性較復雜，與指數(shù)\(a\)取值有關。3.當\(a\)取不同值時，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)的圖像有怎樣的變化趨勢？答案：當\(a＞1\)時，圖像從左到右上升，越向右越陡峭，且恒過\((0,1)\)點，\(x\)趨于負無窮時，\(y\)趨于\(0\)；當\(0＜a＜1\)時，圖像從左到右下降，越向右越平緩，同樣恒過\((0,1)\)點，\(x\)趨于正無窮時，\(y\)趨于\(0\)。4.如何利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來解決不等式問題？答案：利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性。若\(y=a^x\)（\(a＞1\)），\(a^{f(x)}＞a^{g(x)}\)則\(f(x)＞g(x)\)；若\(0＜a＜1\)，\(a^{f(x)}＞a^{g(x)}\)則\(f(x)＜g(x)\)。先將不等式化為