答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2026屆黑龍江省“優(yōu)才計劃”中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測試高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，以下判斷正確的是（

）A．是的充分條件 B．是的既不充分也不必要條件C．是的必要條件 D．是的充要條件2．已知的展開式中沒有常數(shù)項，則n的最大值是（）A．6 B．7 C．8 D．93．已知，，，則（

）A． B． C． D．4．隨機事件A，B，C滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．在銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，任取，定義集合：，點，滿足.設(shè)分別表示集合中元素的最大值和最小值，記.則函數(shù)的最小值是（

）A． B．1 C． D．27．在三棱錐中，是正三角形，，記二面角，的平面角分別為，，，，則（

）A． B． C． D．8．中國剩余定理又稱“孫子剩余定理”，它是中國古代史上最有創(chuàng)造性的成就之一，其中“韓信點兵”“物不知數(shù)”等問題的解法在數(shù)論中有相應(yīng)的推廣，數(shù)論中的形式表示和除以的余數(shù)相同．已知集合滿足，，．對于集合中的任意一個元素，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．比利時數(shù)學(xué)家丹德林用一個雙球模型證明用平面截圓錐面，可以截出橢圓、雙曲線、拋物線.如圖，兩個對頂圓錐的軸線與母線成角為，在兩個圓錐中，各有一個球，兩球球心分別為，，兩球半徑分別為，且與圓錐側(cè)面相切，兩個對頂圓錐的軸與平面所成角為且平面與兩球相切于，兩點，則平面與圓錐側(cè)面的交線為雙曲線一部分，則下列說法中正確的是（

）A．，兩點為雙曲線的兩個焦點B．C．若，則該雙曲線為等軸雙曲線D．雙曲線的實軸長為10．函數(shù)在上有兩個零點，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在上有2個極值點且11．已知數(shù)列為正項數(shù)列，前項和為，，滿足（），則下列說法正確的是（

）A．長度為，，1的三條線段可以圍成一個內(nèi)角為的三角形B．C．D．三、填空題12．如圖，已知正四棱錐中，在平面內(nèi)，正四棱錐可繞著任意旋轉(zhuǎn)，平面．若，則正四棱錐頂點在平面內(nèi)的投影到的距離的取值范圍是．13．已知單位向量，兩個不同的向量滿足，且；其中，當(dāng)取到最小值時，的值為.14．如圖所示，已知雙曲線的左右焦點分別為和，過和分別作兩條互相平行的直線和，與雙曲線的左支交于A、B兩點（A在x軸上方），與雙曲線的右支交于C、D兩點（C在x軸上方），若，，則（e是雙曲線的離心率）等于．四、解答題15．如圖，平面平面，菱形平面，，為平面內(nèi)一動點.(1)若平面，間的距離為，設(shè)直線，與平面所成的角分別為，，，求動點在平面內(nèi)的射影的一個軌跡方程；(2)若點在平面內(nèi)的射影為，證明：直線與平面所成的角與的大小無關(guān).16．設(shè)是公比大于0的等比數(shù)列，是等差數(shù)列.其中：，，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.(3)表示不超過的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項和，集合共有4個元素，求范圍.17．已知曲線，點在曲線W上．(1)求曲線W在點Q處的切線方程；(2)如圖1，過曲線W外一點A（不在y軸上）作W的兩條切線AB，AC，切點為B，C，過曲線W上一點M的切線交AB，AC于點，且，把這樣的叫做“外切三角形”．①連接AM交BC于點E，求證：A，M，E三點的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；②如圖2，從點A出發(fā)做出的第一個外切三角形是再過點分別做出2個“外切三角形”，即和；繼續(xù)過點分別做出4個“外切三角形”以此類推，依次做出1，2，4，8，…，個外切三角形．設(shè)的面積為S，求這些“外切三角形”的面積之和T，并證明．18．在統(tǒng)計中似然函數(shù)是指設(shè)總體的分布律或概率密度是未知參數(shù)，是總體的樣本，稱的聯(lián)合分布律或概率密度函數(shù)為樣本的似然函數(shù)，簡記為.如果樣本似然函數(shù)在處達到最大值，則稱為參數(shù)的最大似然估計值.例如三亞某學(xué)校一次調(diào)研考試中數(shù)學(xué)科目及格率為，現(xiàn)任選20名同學(xué)的成績作為樣本進行分析，發(fā)現(xiàn)有2人不及格，此時可估計該學(xué)校本次模考中數(shù)學(xué)科目及格率為0.9.同時也可設(shè)及格率為，令樣本似然函數(shù)為，，令解得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則當(dāng)時，取得最大值，即的最大似然估計值為0.9，與及格率的估計值相等；(1)設(shè)一次試驗中隨機變量的概率分布如下：（i）現(xiàn)做4次獨立重復(fù)試驗，出現(xiàn)了1次，出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)了1次，求的最大似然估計值；（ii）現(xiàn)做次獨立重復(fù)試驗，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)了次，求的最大似然估計值；(2)泊松分布是一種重要的離散分布，其概率分布為，設(shè)一次試驗中隨機變量的取值服從泊松分布，進行次試驗后得到的值分別為，已知的最大似然估計值為2，求數(shù)列的前項和.（公式：）19．?dāng)M合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的離散數(shù)據(jù)點來構(gòu)造一個能夠反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)，并以此預(yù)測或估計未知數(shù)據(jù)的方法.擬合方法在整體上尋求最好地逼近數(shù)據(jù)，適用于給定數(shù)據(jù)可能包含誤差的情況，比如線性回歸就是一種擬合方法；而插值方法要求近似函數(shù)經(jīng)過所有的已知數(shù)據(jù)點.適用于需要高精度模型的場景，實際應(yīng)用中常用多項式函數(shù)來逼近原函數(shù)，我們稱之為移項式插值.例如，為了得到的近似值，我們對函數(shù)進行多項式插值.設(shè)一次函數(shù)滿足，可得在上的一次插值多項式，由此可計算出的“近似值”，顯然這個“近似值”與真實值的誤差較大.為了減小插值估計的誤差，除了要求插值函數(shù)與原函數(shù)在給定節(jié)點處的函數(shù)值相等，還可要求在部分節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等.滿足這種要求的插值多項式稱為埃爾米特（Hermite）插值多項式.已知函數(shù)在上的二次埃爾米特插值多項式滿足(1)求，并證明當(dāng)時，；(2)若當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍；(3)利用計算的近似值，并證明其誤差不超過.（參考數(shù)據(jù)：；結(jié)果精確到0.001）參考答案題號12345678910答案DBCDDBBCABDACD題號11答案BCD1．D【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，以及集合的交集與并集的意義可判斷每個選項的正誤.【詳解】對于A，當(dāng)時，成立，不成立，所以不是的充分條件，故A錯誤；對于B，因為，所以，因為，所以，所以，所以是的充分條件，故B錯誤；對于C，因為，所以，當(dāng)時，成立，但不成立，所以不是的必要條件，故C錯誤；對于D，因為，，所以，所以，所以是的充分條件，由，可得，所以，所以是的必要條件，所以是的充要條件，故D正確.故選：D.2．B【分析】利用二項式通項公式分類討論：當(dāng)（x+1）中取x時，式子展開式中無,所以中x的指數(shù)冪取不到-1,即；當(dāng)（x+1）中取1時,式子展開式中無常數(shù)項,所以中x的指數(shù)冪取不到0即,n要同時滿足以上兩個不等式,再結(jié)合選項驗證即可.【詳解】因為的展開式中沒有常數(shù)項；由二項式展開式的通項公式可知(1)當(dāng)（x+1）中取x時，式子展開式中無,所以中x的冪指數(shù)取不到-1,即；（2）當(dāng)（x+1）中取1時,式子展開式中無常數(shù)項,所以中x的冪指數(shù)取不到0,即，選項中的n要同時滿足上面兩個不等式，故選B.【點睛】本題考查了二項式定理地應(yīng)用，難度較高，解題中首先要根據(jù)題意進行分類討論，確定后面式子中x的指數(shù)冪，再根據(jù)無常數(shù)項的條件確定冪指數(shù)滿足的不等式組，有一定的難度，解題關(guān)鍵是對二項式定理的深度理解.3．C【分析】利用二倍角和和差角公式化簡已知，得，再由角的范圍和誘導(dǎo)公式得，從而得解.【詳解】由，得，又，所以，所以，所以，即，因為，，所以，且在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：化簡得后，利用誘導(dǎo)公式得，是解題關(guān)鍵.4．D【分析】根據(jù)概率性質(zhì)結(jié)合條件概率以及互斥事件的定義分析判斷.【詳解】由題意可知：，，因為,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時顯然不合題意，所以，又，所以，又，即的取值范圍包含，結(jié)合選項可知D正確.故選：D.5．D【分析】利用正弦定理以及三角恒等變換可得，結(jié)合三角形形狀可得，將所求表達式化簡并利用對勾函數(shù)性質(zhì)計算可得結(jié)果.【詳解】依題意，由正弦定理可得，即；所以，又因為為銳角三角形，所以，即，又，且，可得，；易知；顯然，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以可得.故選：D6．B【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)的位于不同的位置，即可分情況求解.【詳解】如圖所示，的圖象，此時，函數(shù)的最小正周期為，點,當(dāng)點在點時，點在曲線上，，當(dāng)點在曲線上從接近時，減小，所以逐漸增大；當(dāng)點在點時，當(dāng)點在曲線上從接近時，減小，逐漸減小，當(dāng)點在點時，當(dāng)點在曲線上從接近時，增大,逐漸增大，當(dāng)點在點時，當(dāng)點在曲線上從接近時，增大,逐漸見減小，當(dāng)點在點時，,綜上可得的最小值是1故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)點的位置變化，分別求解的值.7．B【分析】設(shè)的邊長為3，得到，借助余弦定理，求出，，再通過作輔助線，找出二面角，的平面角，再結(jié)合已知條件以及，利用三角函數(shù)的相關(guān)知識求解.【詳解】設(shè)的邊長為3，則，在中，由余弦定理得，則，，則，，如圖，作面，于，于，側(cè)，，，，又，所以，，，所以，結(jié)合，得，根據(jù)三角函數(shù)的兩角差公式可得，所以，已知，則，將上式移項可得，解得，所以，，三點共線，由得，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點作出輔助線，找出二面角，的平面角，由，得到，進而得到.再結(jié)合差角公式，齊次化處理求出.最后將轉(zhuǎn)化為.綜合性較強，屬于難題.8．C【分析】根據(jù)同余的定義式，分別求出集合中元素滿足的式子，進而得到集合，再利用同余的定義式檢驗ABD選項，最后取特殊值，檢驗C選項.【詳解】因，則，因，則，又，，則又，則，故A正確；，則，故B正確；，則，故D正確；不妨取，不滿足，故C錯誤.故選：C.9．ABD【分析】A.在雙曲線上任選一點，過點做球的切線，切點分別為與，過點做球的切線，切點分別為與，利用切線長和雙曲線的定義判斷；B.過，分別往，作垂線，作垂直于于，易得，判斷；D.設(shè)圓錐的一條母線與兩球相切與點，，由A選項得到，連接，，設(shè)圓錐頂點為，則在四邊形中，，判斷；C.由，判斷.【詳解】在雙曲線上任選一點，過點做球的切線，切點分別為與，且在球與圓錐的交線上，且過圓錐的頂點，同理，過點做球的切線，切點分別為與，且在球與圓錐的交線上，且過圓錐的頂點所以，，以及圓錐的頂點共線，所以為定值，故A正確；過，分別往，作垂線，作垂直于于，易得，，所以，故B正確；對于D，設(shè)圓錐的一條母線與兩球相切與點，，由A選項可知，，連接，，則，，設(shè)圓錐頂點為，則在四邊形中，，，所以，故D正確由上述可得，雙曲線，，所以雙曲線離心率為，與，是否相等無關(guān)，故C不正確，故選：ABD10．ACD【分析】根據(jù)零點存在定理來判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義推出，結(jié)合零點即方程的根來判斷B；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義推出，結(jié)合兩角和的正切公式判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值點的關(guān)系判斷D.【詳解】由于函數(shù)在上有兩個零點，故函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點，作出函數(shù)的圖象如圖：

要滿足題意，需滿足與在間的圖象相切，由圖象可知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由于，則設(shè)與在間的圖象相切時的切點為，此時，則，于是，C正確；對于A，當(dāng)時，，此時，，由于，即，令，，即為減函數(shù)，，，故在內(nèi)有唯一零點，即，A正確；對于B，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，，即；故，B錯誤；對于D，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即為函數(shù)在內(nèi)的一個極小值點；當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即為函數(shù)在內(nèi)的一個極小值點；即在上有2個極值點，設(shè)為，則，故，D正確；故選：ACD【點睛】難點點睛：本題綜合性強，難度較大，解答時要能綜合利用函數(shù)零點知識以及導(dǎo)數(shù)知識，靈活求解，要注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用.11．BCD【分析】利用余弦定理判斷A，對式子變形，換元求解數(shù)列前n項和及通項公式，從而判斷BC，再利用數(shù)列求和判斷D.【詳解】設(shè)邊長為對應(yīng)的角為，因為，所以，又，所以，即邊長為對應(yīng)的角為，故A錯誤；因為，所以，令，則，令，為銳角，則，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，所以，故選項C正確；所以，當(dāng)時，，又也適合，所以，又，所以，故選項B正確；構(gòu)造，則，記，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，又時，，所以，所以，所以，所以，故選項D正確.故選：BCD【點睛】與數(shù)列相關(guān)的不等式問題證明方法點睛：（1）可以利用數(shù)學(xué)歸納法來進行證明；（2）可以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行證明，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合不等式進行放縮得到結(jié)果.12．【分析】取AB中點為E，取CD中點為F，連接VE，EH，EF，F(xiàn)H，由題可證，從而為所求距離，然后分H在E點右側(cè)，H與E重合，H在E點左側(cè)，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】如圖，因H為頂點在平面內(nèi)的投影，則.因幾何體為正四棱錐，則三角形為等腰三角形，取AB中點為E，連接VE，則，又平面，，則平面.連接EH，因平面，則.取CD中點為F，連接EF，F(xiàn)H，由題有，又，則.因平面，，則平面.又平面，則，從而為所求距離.因E為AB中點，則，又，，可得，同理可得，結(jié)合，可得為等邊三角形，則.因為平面，且平面，所以四點共面.當(dāng)H在E點右側(cè)時，設(shè)，有，則.注意到.因，則，，則；當(dāng)H與E重合時，；當(dāng)H在E點左側(cè)時，設(shè)，則.則.注意到.因，則，，則.綜上可得.故答案為：13．【分析】先利用和數(shù)量積知識，得到和的關(guān)系，再利用的消元思想得到與相關(guān)的兩個結(jié)構(gòu)對稱的式子，將兩個式子結(jié)合，去絕對值再利用基本不等式即可求最值.【詳解】因，則，即，又因且，則，即，則，同理可得，則，兩式相加得，即因，故同正，上式即為，因，故，當(dāng)時等號成立，故，當(dāng)時等號成立，此時，則，得.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題屬于不等式和向量的綜合，屬于難題.本題有兩個關(guān)鍵點，其一，向量的線性表示可通過同時乘以向量而將結(jié)構(gòu)變?yōu)閿?shù)量積，即實數(shù)構(gòu)成的等式關(guān)系；其二，利用結(jié)構(gòu)的對稱性將式子的結(jié)構(gòu)形式統(tǒng)一化.14．【分析】根據(jù)題意可設(shè)，則，由，可得，作的角平分線，在和中，利用正弦定理建立方程可求，再在中，利用余弦定理即可求.【詳解】設(shè)的角平分線交與，，，設(shè)，則，又，，所以，，又為的角平分線，所以，，，在中，，在中，，所以，整理得，，解得（舍去），所以，在中，，又，所以，所以.故答案為：.15．(1)或(2)證明見解析【分析】（1）因為，轉(zhuǎn)化為，符合橢圓的定義，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)定義寫出方程.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法求出直線與平面所成的角的正弦，發(fā)現(xiàn)只與長度有關(guān)，而的余弦值只與長度有關(guān)，所以直線與平面所成的角與的大小無關(guān).【詳解】（1）解：如圖①，連接，，，，設(shè)，的交點為，點在平面內(nèi)的射影為，連接，，，圖因為點在平面內(nèi)的射影為點，所以平面，所以，在平面的射影分別為，，所以，，所以，所以，所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓.以，的交點為坐標(biāo)原點，若以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點的軌跡方程是.若以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點的軌跡方程是.（2）取的中點，連接，則，因為平面，所以平面，所以，，因為平面為菱形，所以，所以，，兩兩互相垂直，故以為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系.圖設(shè)，，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則即兩式相減得，即，則，令，得，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以只與有關(guān).又，所以只與有關(guān)，所以直線與平面所成的角與的大小無關(guān).16．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識來求得正確答案.（2）利用分組求和法、裂項求和法、錯位相減求和法來求得.（3）先求得，然后令，由的值，可得數(shù)列的單調(diào)性，計算出前五項，即可得的取值范圍；【詳解】（1）設(shè)的公比為，的公差為，則，，，兩式相加得，解得，負根舍去，，所以.（2）依題意，設(shè)，，兩式相減得，所以.設(shè)，所以.（3）依題意，，，則，集合，設(shè)，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.計算可得，，，，，因為集合有4個元素，.【點睛】方法點睛：數(shù)列的通項公式推導(dǎo)：通過使用等比數(shù)列和等差數(shù)列的基本性質(zhì)，以及給定的初始條件和方程，可以直接推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式.求和公式的應(yīng)用：利用分組求和法和裂項求和法等常見技巧，能夠有效地求解數(shù)列的前項和，避免了直接的求和過程.17．(1)(2)①證明見解析；②，證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)知識可得切線在點Q處切線斜率，即可得答案；（2）①由（1）結(jié)合A在AB上，同時A在AC上可得BC方程，再由，可得直線AM方程，據(jù)此可找到A，M，E三點的縱坐標(biāo)的關(guān)系，可完成證明；②由（1）結(jié)合幾何知識可得每一次所做“外切三角形”面積之和都是上一次“外切三角形”面積之和的，然后可由等比數(shù)列求和公式完成證明.【詳解】（1）由題可得，則，，，故點Q處的切線方程為即．（2）①則由（1）可知直線AB為直線AC為，由A在AB上，同時A在AC，可知直線BC的方程為，即，，又由（1）可知直線的斜率為，又，，即，則直線AM為，E點橫坐標(biāo)為，又在BC上，，，即A、M、E三點的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列．②由①可知A、M、E三點的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列，則，又，則，可得，且相似比為，故，同理可得如圖連接BM，CM，因，又，則與在底邊BC與底邊對應(yīng)的高相同，又，則，則，則，即第二次所做的“外切三角形”的面積之和是第一次所做“外切三角形”的面積的，同理可知每一次所做“外切三角形”面積之和都是上一次“外切三角形”面積之和的，可得【點睛】結(jié)論點睛：對于拋物線，若點在拋物線上，方程表示在點處的切線方程；若點在拋物線外，且可由做拋物線的兩條切線，則表示切點弦方程.18．(1)（i）；（ii）(2)【分析】(1)根據(jù)獨立重復(fù)試驗和給定的概率分布求出樣本似然函數(shù)，再對其求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為求出可能的極值點，通過判斷導(dǎo)數(shù)的正