2.2函數(shù)的單調(diào)性和最值

考點函數(shù)的單調(diào)性

1.(2023新課標(biāo)Ⅰ,4,5分,易)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則a的取值范圍

是()

A.(-∞,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+∞)

x(x-a)

答案Df(x)=2=2,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)y=-在(0,1)上單調(diào)遞

?2?22

(??2)?4??

2

減,所以≥1,解得a≥2,即2a的取值范圍是[2,+∞),故選D.??4

?

2

2.(2024新課標(biāo)Ⅰ,6,5分,中)已知函數(shù)f(x)=在R上單調(diào)遞增,則a的取

2

-xx-2ax-a,x<0,

值范圍是()?+??(x+1),x≥0

A.(-∞,0]B.[-1,0]

C.[-1,1]D.[0,+∞)

B

6

當(dāng)x≥0時,函數(shù)f(x)顯然是增函數(shù);當(dāng)x<0時,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R上單調(diào)

遞增,所以則-1≤a≤0,即a的取值范圍是[-1,0].故選B.

-a≥00,

-a≤?+??(0+1),

易錯警示

該題容易只考慮當(dāng)x≥0時,函數(shù)f(x)是增函數(shù),及當(dāng)x<0時,函數(shù)f(x)是增函數(shù),從而得到a≤0,而忽視了函數(shù)分界點

處的函數(shù)值大小.

3.(2023全國甲文,11,5分,中)已知函數(shù)f(x)=.記a=f,b=f,c=f,

2

?(??1)236

則e22(2)

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

答案A∵f(x)=是由y=eu和u=-(x-1)2兩個函數(shù)復(fù)合而成的,

2

?(??1)

∴f(x)在(-∞,1)上單e調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

又知f(2-x)====f(x),

222

?(2???1)?(1??)?(??1)

eee

∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,∴f=f,

66

22?2

又∵<2-<<1,∴f<f<f,

263263

即a<2c<b,故2選2A.22?22

4.(2023北京,4,4分,易)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()

A.f(x)=-lnxB.f(x)=

1

?

2

C.f(x)=-D.f(x)=3|x-1|

1

答案C?對于A,f(x)=-lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意;

對于B,f(x)=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意;

1

?

2

對于C,f(x)=-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,符合題意;

1

?

對于,()|x-1|在(,)上不單調(diào)故選

Dfx=3=??10+∞.C.

31,?≥1,

??1

3,?<1,

5.(2021全國甲文,4,5分)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.f(x)=-xB.f(x)=

2?

3

C.f(x)=x2D.f(x)=

3

答案D解題指導(dǎo):排除法,?利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個選項.

解析對于f(x)=-x,由正比例函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)是減函數(shù),故A不符合題意;

對于f(x)=,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)是減函數(shù),故B不符合題意;

2?

3

對于f(x)=x2,由二次函數(shù)的圖象可知,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故C不符合題意;

對于(),由冪函數(shù)的性質(zhì)可知,()在(,)上單調(diào)遞增,故選

fx=1fx-∞+∞D(zhuǎn).

3

3

方法總結(jié):一?次=函?數(shù)y=kx+b(k≠0)單調(diào)性的判斷:若k>0,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增;若k<0,則函數(shù)在R上單調(diào)

遞減.

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)單調(diào)性的判斷:若a>1,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增;若0<a<1,則函數(shù)在R上單調(diào)遞減.

冪函數(shù)y=xα單調(diào)性的判斷:若α>0,則函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;若α<0,則函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

6.(2021全國乙文,8,5分)下列函數(shù)中最小值為4的是()

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+

4

|sin?

C.y=2x+22-xD.y=lnx+

4

ln?

答案C解題指導(dǎo):對于A,利用配方法或二次函數(shù)的單調(diào)性求最值,對于B,C,D,利用換元法轉(zhuǎn)化為對勾

函數(shù)進行判斷.

解析對于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值為3,所以A不符合題意;對于B,設(shè)|sinx|=t,則

0<t≤1,y=|sinx|+,t∈(0,1],易知y=t+在(0,1]上單調(diào)遞減,故t=1時,ymin=1+=5,所以B不符合題

4444

|sin?=?+??1

意;對于C,令2x=t(t>0),則y=2x+22-x=t+,t>0,易知y=t+在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)

44

??

t=2時,y取最小值,ymin=2+=4,故C符合題意;對于D,令lnx=t,t∈R且t≠0,則y=lnx+,顯然t<0

444

2ln??

時,函數(shù)值小于0,不符合題意.故選C.=?+

7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取

值范圍是()

A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]

答案D∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱,又∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞

減,∴f(x-1)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上也單調(diào)遞減,且過(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致圖象如圖:

當(dāng)-1≤x≤0時,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;當(dāng)1≤x≤3時,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.

綜上,滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3].故選D.

8.(2019北京文,3,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()

A.y=B.y=2-x

1

2

?

C.y=loxD.y=

1

g1

答案A2本題主要考查指?數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)形結(jié)合的思想.考查的核心素養(yǎng)是直

觀想象.

A選項,>0,所以冪函數(shù)y=在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

1

12

?

2-x

B選項,指數(shù)函數(shù)y=2=在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

?

1

2

C選項,因為0<<1,所以對數(shù)函數(shù)y=lox在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

1

g1

22

D選項,反比例函數(shù)y=在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

1

解題關(guān)鍵熟練掌握基?本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

9.(2016北京文,4,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是()

A.y=B.y=cosx

1

C.y=l1n?(?x+1)D.y=2-x

答案D選項A中,y==的圖象是將y=-的圖象向右平移1個單位得到的,故y=在(-1,1)上

1111

為增函數(shù),不符合題意;1選?項??B(中??,y1=)cosx在(-1,0)?上為增函數(shù),在(0,1)上為減函數(shù),不符合1題??意;選項C

中,y=ln(x+1)的圖象是將y=lnx的圖象向左平移1個單位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上為增函數(shù),不符

合題意;選項D符合題意.

評析本題考查了基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象的變換,屬中檔題.

10.(2015課標(biāo)Ⅱ文,12,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-,則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是

1

2

()1+?

A.B.∞∪(1,+∞)

11

,1?,

33

C.D.∞∪∞

1111

?,?,?,+

3333

答案A當(dāng)x>0時,f(x)=ln(1+x)-,∴f'(x)=+>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∵

112?

222

f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),由f(x)1>+f?(2x-1)得f(|1x+|?)>(f1(+|2?x-)1|),

∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得<x<1,故選A.

1

11.(2016浙江,7,5分)已知函數(shù)f3(x)滿足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()

A.若f(a)≤|b|,則a≤bB.若f(a)≤2b,則a≤b

C.若f(a)≥|b|,則a≥bD.若f(a)≥2b,則a≥b

答案B依題意得f(a)≥2a,

若f(a)≤2b,則2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,

又y=2x是R上的增函數(shù),∴a≤b.故選B.

12.(2023北京,15,5分,難)設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=給出下列四個結(jié)

?+2,?<??,

22

???,??≤?≤?,

論:???1,?>?.

①f(x)在區(qū)間(a-1,+∞)上單調(diào)遞減;

②當(dāng)a≥1時,f(x)存在最大值;

③設(shè)M(x1,f(x1))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a),則|MN|>1;

④設(shè)P(x3,f(x3))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a).若|PQ|存在最小值,則a的取值范圍是

.

1

其0中,2所有正確結(jié)論的序號是.

答案②③

解析f(x)的大致圖象如圖所示,

易知f(x)在(-∞,-a)上單調(diào)遞增,在[-a,0)上單調(diào)遞增,在[0,a]上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上

單調(diào)遞減.

對于①,當(dāng)<a<1時,f(x)在(a-1,0)上單調(diào)遞增,故①錯誤.

1

對于②,當(dāng)2x<-a時,f(x)<-a+2≤1,當(dāng)-a≤x≤a時,0≤f(x)≤a,當(dāng)x>a時,f(x)<--1≤-2.

綜上,x=0時,f(x)取得最大值a,故②正確.?

對于③,令M'(a,0),N'(a,--1),

顯然|MN|>|M'N'|=+1>1,故?③正確.

對于④,若|PQ|存在?最小值,則點(0,0)到直線x+2=y的距離大于a,且直線y=-x與y=x+2

的交點(-1,1)在射線y=x+2(x<-a)上,則>a,且-1<-a,又a>0,所以0<a<1,故④錯誤.

2

綜上,所有正確結(jié)論的序號是②③.1+1

13.(2016北京文,10,5分)函數(shù)f(x)=(x≥2)的最大值為.

?

答案2??1

解析解法一:∵f'(x)=,∴x≥2時,f'(x)<0恒成立,

?1

2

∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞(減??,1)

∴f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.

解法二:∵f(x)===1+,

???1+11

??1??1??1

∴f(x)的圖象是將y=的圖象向右平移1個單位,再向上平移1個單位得到的.∵y=在[2,+∞)上單調(diào)遞減,

11

∴f(x)在[2,+∞)上單?調(diào)遞減,故f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.?

解法三:由題意可得f(x)=1+.

1

??1

∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<≤1,

1

??1

∴1<1+≤2,即1<≤2.

1?

故f(x?)?在1[2,+∞)上的??最1大值為2.

評析本題考查函數(shù)的最值,有多種解法,屬中檔題.

14.(2015浙