數(shù)學(xué)

考生注意：

1.試卷分值：150分，考試時間：120分鐘.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)

題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)域

內(nèi)作答，超．出．答．題．區(qū)．域．書．寫．的．答．案．無．效．，．在．試．題．卷．、．草．稿．紙．上．作．答．無．效．.

3.所有答案均要答在答題卡上，否則無效.考試結(jié)束后只交答題卡.

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z2zi（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

11

A.B.C.1D.2

32

【答案】C

【解析】

【詳解】設(shè)zxyix,yR，

則zxyi

則xyi2xyii，整理得3xyii，故x0,y1，得z的虛部為1．

故選：C．

2.已知平面向量a，b，b1,1，ab1，則a在b方向上的投影向量為（）

11111111

A.,B.,C.,D.,

22222222

【答案】C

【解析】

【分析】可以結(jié)合投影向量的定義將其分為投影與單位向量來更好理解與求解.

22

【詳解】由于b112，，

abbab111

由a在b方向上的投影向量2b1,1,.

bb|b|222

故選:C.

12

3.已知x0，y0，2xy2，則的最小值為（）

xy

1

A.4B.2C.D.

22

【答案】A

【解析】

【分析】由乘“1”法即可求解；

y

【詳解】由條件可知x1，

2

12121y2xy2x

所以xy11224，

xyxy22xy2xy

1

當(dāng)且僅當(dāng)x，y1時取等號．

2

故選：A．

4.已知等比數(shù)列an，滿足4a4，3a5，2a6成等差數(shù)列，且2a3a1a2，則數(shù)列an的公比為（）

13

A.B.C.2D.3

22

【答案】C

【解析】

【分析】由等差中項列出等式，再結(jié)合2a3a1a2即可求解；

【詳解】設(shè)公比為q，由，，成等差數(shù)列，可得：534，

4a43a52a62a1q4a1q6a1q

2

即q3q20，解得：q1或q=2，當(dāng)q1時，2a3a1a2，不符合，

當(dāng)時，滿足，

131112

所以?=q2,?2．>02?=8?>3?=?+?

故選：C．

π

3sinsin3

已知，則的值為（）

5.22cos2

tan

2sin

1514

A.B.C.D.

51335

【答案】B

【解析】

2

【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式和二倍角正余弦公式得tan213tan，再由二倍角正切公式可得tan，

223

再應(yīng)用齊次式法求cos2.

π

3sinsin3

【詳解】由，

22

tan

2sin

2sincos6sin2

3cossin3

得tan222213tan，

2sin2sincos2

22

2tan

22cos2sin21tan25

則tan，而cos2．

222

1tan23cossin1tan13

2

故選：B

123

6.已知隨機(jī)事件A，B，PA，PBA，PAB，則PB等于（）

434

1211

A.B.C.D.

6332

【答案】B

【解析】

13

【分析】利用條件概率公式及已知可得PAB、PABPB，再由全概率公式及對立事件概率

24

關(guān)系求PB.

PAB231

【詳解】由PBA且PA1PA，故PAB，

PA342

PAB33

由PAB，故PABPB，

PB44

1331

由于PABPABPAPB，則PB，

2443

2

故PB1PB．

3

故選：B

πx2

7.已知函數(shù)fxsinx1，定義域為1,3，則滿足不等式f2a11的a的取值范圍為

2

（）

11111

A.,1B.,1C.1,D.1,,1

22222

【答案】D

【解析】

πx

【分析】設(shè)gxfx1，得gxcosx2,x2,2且為偶函數(shù)，將題設(shè)不等式化為

2

g2ag1，結(jié)合gx的區(qū)間單調(diào)性列不等式，求參數(shù)范圍.

πx1πx

【詳解】設(shè)gxfx1，則gxsinx2cosx2,x2,2，顯然gx為偶函數(shù)，

22

由題設(shè)，易知f2a1f2，即為g2ag1，故g2ag1，

22a211

由于函數(shù)ga在0,2上為減函數(shù)，故，解得a1，或1a．

2a122

故選：D

8.棱長為2的正四面體ABCD的表面上有動點(diǎn)P，滿足BPCP0，則點(diǎn)P的軌跡總長度為（）

643π323π623π33π

A.B.C.D.

9999

【答案】A

【解析】

【分析】H,I,G,F依次為棱AB,AC,CD,BD的中點(diǎn)，根據(jù)已知分析P的軌跡，進(jìn)而求其長度.

【詳解】如圖，H,I,G,F依次為棱AB,AC,CD,BD的中點(diǎn)，

因為BPCP0，故P的軌跡是以BC中點(diǎn)E為球心的球與正四面體各面的交線構(gòu)成，

則點(diǎn)P的軌跡由面BCD內(nèi)的弧FG，面ABC內(nèi)的弧IH，面ACD內(nèi)的弧GI，面ABD內(nèi)的弧HF構(gòu)成；

π

弧FG與弧IH的長度相等，易得弧FG的長等于，

3

弧GI與弧HF的長度相等，B,E在面ACD內(nèi)的射影點(diǎn)O,O1，易知弧GI的圓心為O1，

2π

且為高的三等分點(diǎn)，故3，且，弧長等于23π；

O1CJOOIO1GGI

1339

π23π643π

故點(diǎn)P的軌跡的長為．

2

399

故選：A

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）

π

9.已知函數(shù)fxAsinxA0,0,的圖象如圖所示，fx的導(dǎo)函數(shù)為，令

2′

??

，則下列說法正確的是（）

′

??=??

π

A.g1

3

π

B.函數(shù)gx圖象的對稱軸方程為xkπkZ

3

C.函數(shù)hxfxgx在區(qū)間0,2025π上有2024個零點(diǎn)

5π

D.函數(shù)fx與gx的圖象關(guān)于點(diǎn)kπ,0kZ對稱

12

【答案】AD

【解析】

ππ

【分析】首先根據(jù)圖象求得fx2sinx，即可得gxfx2cosx，再結(jié)合正余弦

33

函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項的正誤.

1π2ππ

【詳解】由圖象知A2，設(shè)fx的最小正周期為T，則T，解得1，

4236

πππππ

由圖得f2sin2，又，所以，故fx2sinx，

66233

π

從而gxfx2cosx；

3

π2π

A，g2cos1，正確；

33

ππ

B，由xkπkZ，得xkπkZ，

33

π

所以函數(shù)gx圖象的對稱軸方程為xkπkZ，錯誤；

3

ππππ

C，由hxfxgx0，得tanx1，故xkπ,kZ，即xkπ，kZ，

33412

故在區(qū)間0,2025π上有零點(diǎn)2025個，錯誤；

??

D，若函數(shù)fx與gx的圖象關(guān)于點(diǎn)x0,y0對稱，則fx2y0g2x0x恒成立，

πππππ

即，又，

2sinx2y02cos2x0xxx0x0x

334123

πππ

x0xx02x0x，

1246

ππππ

則sinxy0sin2x0x，應(yīng)用和差化積公式可得2sinxx0cosx0y00，

36412

ππ5π

故xkπ,kZ,y0，得xkπ,kZ,y0，

120200120

5π

所以函數(shù)fx與gx的圖象關(guān)于kπ,0kZ成中心對稱，正確．

12

故選：AD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于D，假設(shè)存在fx2y0g2x0x，整理得

ππ

2sinxx0cosx0y00，進(jìn)而找到滿足要求的點(diǎn)為關(guān)鍵.

412

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）

2

10.集合Axy1x,xZ，Bxx2x30，則AB______.

【答案】1,0,1

【解析】

【分析】求函數(shù)定義域、解一元二次不等式求集合，再應(yīng)用交運(yùn)算求集合.

【詳解】由已知，Axx1,xZ,Bx1x3AB1,0,1．

故答案為：1,0,1

的n

11.已知數(shù)列an，bn通項公式分別為an3n2，bn2，n2025，nN，從數(shù)列an中

任取一項，則該項也是數(shù)列bn中的項的概率為______.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

1

【答案】

405

【解析】

m

【分析】設(shè)ckanbmk,m,nN，則3n22，分類討論得到ck1a4n2bm2，進(jìn)而知cn為

等比數(shù)列，通項為n2n1，結(jié)合已知有，即可求概率

cn242,nN1n5.

【詳解】設(shè)兩數(shù)列中相同數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則，

cnc18

m

設(shè)ckanbmk,m,nN，則3n22，

m12

bm1223n232n2，不在an中，故ck1bm1；

3

m2

bm2243n234n22，在an中，故ck1a4n2bm2，

cb

故k1m2，所以等比數(shù)列，通項為n2n1，

4cn為cn242,nN

ckbm

2n11213

由于cna2025，即26077，因為260772，解得1n5，

51

故從數(shù)列a中選取項，使得該項也為b中的項的概率為．

nn2025405

1

故答案為：

405

m

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)ckanbmk,m,nN，則3n22，根據(jù)已知得到cn為等比數(shù)列為關(guān)

鍵.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）

12.已知四棱柱ABCDA1B1C1D1，各面均為菱形，AA1BD.

（1）證明：A1ABA1AD；

π

（2）若BAD，AB2，AB2，求二面角ABBD的余弦值.

311

【答案】（1）證明見解析；

27

（2）.

7

【解析】

【分析】（）由題設(shè)有，結(jié)合已知即可證結(jié)論；

1AA1BDAA1ADAA1AB0

（）連接，由題設(shè)易知，，若，連接，易知

2A1DA1DA1B2BDAA1AB2BEAA1DEEBD

是二面角ABB1D的平面角，再求其余弦值即可.

【小問1詳解】

由題設(shè)，即，

AA1BDAA1(ADAB)AA1ADAA1AB0AA1ADAA1AB

又各面均為菱形且，即，

|AA1||AD|cosA1AB|AA1||AB|cosA1ADcosA1ABcosA1AD

又A1AB,A1AD(0,π)，故A1ABA1AD，得證.

【小問2詳解】

連接，由題設(shè)易知，，

A1DA1DA1B2BDAA1AB2

若BEAA1，連接DE，由（1）結(jié)論及題設(shè)有BAA1DAA1，則BEDE，

且DEAA1，DEBEE都在面BDE內(nèi)，所以AA1面BDE，

又，故面，則是二面角的平面角，

AA1//BB1BB1BDEEBDABB1D

AB2AB2AA24242

△ABA中11，則14，

1cosABA1sinABA1

2ABA1B22244

11

所以，可得7，

22sinABA12BEBE

222

77

2224

BDBEDE4427

△EBD中，cosEBD，

2BDBE77

22

2

27

所以銳二面角ABB1D的余弦值為.

7

ex

13.已知函數(shù)fxalnxax，aR.

x

（1）若ae，求fx的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)ae時，函數(shù)fx有三個極值點(diǎn)x1，x2，x3x1x2x3，證明：x1x32x2.

【答案】（1）fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,；

（2）證明見解析.

【解析】

x1exax

【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)得fx,x0,,aR，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究

x2

gxexax,x0,的區(qū)間符號，進(jìn)而確定符號，即可得單調(diào)區(qū)間；

′

??

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究fx極值點(diǎn)的分布情況，得到x10,1,x21,x31,，再證x1x32，即

?1+

，應(yīng)用換元法及導(dǎo)數(shù)證不等式，即可證結(jié)論.

?3??1

e+1?3??1

?3??1

3e?1

【?小=問1詳解】>2

x1exax

由題設(shè)fx,x0,,aR，

x2

設(shè)gxexax,x0,，則gxexa，

當(dāng)a1時，gx0，故gx在上單調(diào)遞增，從而gxg010，

故時，0時,+∞，

′′

故?f∈x0,的1單調(diào)?遞?減<區(qū)0間為?∈1,+，∞單調(diào)遞?增?區(qū)>間0為；

當(dāng)1ae時，則0,11,+∞，

′′

?∈0,ln????<0,?∈ln?,+∞???>0

故gx在0,lna上單調(diào)遞減，在lna,上單調(diào)遞增，[gx]mina1lna0，

故時，時，

′′

故?f∈x0,的1單調(diào)?遞?減<區(qū)0間為?∈1,+，∞單調(diào)遞?增?區(qū)>間0為；

0,11,+∞

綜上，fx的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

【小問2詳解】0,11,+∞

由（1）及ae知，，

′′

?∈0,ln????<0,?∈ln?,+∞???>0

gx在0,lna上單調(diào)遞減，在lna,上單調(diào)遞增，g(x)minglnaa1lna，

又lna1，即glna0，又，

?0=1>0

故gx在上有且僅有一個零點(diǎn)，即在上有一個零點(diǎn)．

′

0,1??0,1

令，令k(x)ex2x，

?2′?

??=e??(?>e)???=e?2?

所以，故x在e,上單調(diào)遞增，故，

′?′′e

??=e?2>0??>?e=e?2e>0

故在e,上單調(diào)遞增，又，

e2

又???>，e???>?e=e?e>0

?2

故?g?x=在el?na?,=?上?有?唯?一?零點(diǎn)>，0在lna,上有一個零點(diǎn)．

′

??

又f10，1是的一個零點(diǎn)，

′

??

又x1x2x3x10,1,x21,x31,．

則x0,x1,fx0，，x1,x3,fx0，，

′′

?∈?1,1,??>0?∈?3,+∞,??>0

所以fx在0,x1上單調(diào)遞減，在x1,1上單調(diào)遞增，在1,x3上單調(diào)遞減，在x3,上單調(diào)遞增．

下證：x1x32，

由于，即x1x3，

gx1gx30eax1eax30

ex3ex1xxex3x11xx

從而3131，

x1x3

ex3ex1ex3x11

下證：，

?3??1

e+1?3??1

?3??1

e?1>2

令tx3x10，即證且t0，

?

??2e+?+2>0

令htt2ett2，則htt1et1，令k(t)h(t)，則k(t)tet0，

故ht在上單調(diào)遞增，hth00，

0,+∞

故ht在上單調(diào)遞增，hth00，

0,+∞

綜上，x1x32，即x1x32x2，得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，首先研究函數(shù)極值點(diǎn)的分布情況，再將問題化為證

?3??1

e+1?3??1

?3??1

13e?1

為關(guān)鍵.?+?=>

2≤≤≤

14.若項數(shù)有限的數(shù)列an0nk,nN,k3，滿足0a1a2ak，且對任意的1ijk，aiaj

aj

或是數(shù)列an中的項，則稱數(shù)列an具有性質(zhì)D.

ai

1

（1）判斷數(shù)列，1，2是否具有性質(zhì)；

2D

（2）若a11，數(shù)列an具有性質(zhì)D，aiiN,ik是an中的任意一項，

ak

①證明：是an中的項；

ai

②證明：當(dāng)k5時，數(shù)列an為等比數(shù)列.

1

【答案】（1）數(shù)列,1,2具有性質(zhì)D

2

（2）①證明見解析；②證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用數(shù)列新定義，檢驗題設(shè)數(shù)列即可得解；

ak

（2）①分類討論ijk與1ik兩種情況，分析得akak不是數(shù)列an中的項，從而得到是數(shù)列

ai

aa