2025～2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)講義教材：人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊章節(jié)：拓展：基本不等式與對勾函數(shù)part1知識清單1、基本不等式常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)）、代（1的代入）、解（整體解）.2、對勾函數(shù)函數(shù)常考對勾函數(shù)定義域定義域值域值域奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性單調(diào)性Part2重點例題與習(xí)題題型1直接法【答案】B故選：B.題型2湊配法A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【答案】B故選：B.【答案】4故答案為：4題型3分離法A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D故答案為D.5.解答下列問題：【答案】(1)10；(2)9.題型04換元法【答案】C故選：C題型5常數(shù)代換“1”的代換【答案】故答案為：.題型6消元法8.若正實數(shù)x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【詳解】因為x＋2y＋xy＝7，所以x＋y的最小值為3．故選：D題型07對勾函數(shù)【答案】C故選：CPart3綜合練習(xí)一、單選題：在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若實數(shù)a,b滿足a2b2+a2A.[2,3] B.[2,+∞) C.[4,+∞) D.22.若s，t均為正數(shù)，且s+t=1，則st(st+1)(st+4)的最大值是(

)A.485 B.772 C.193.下列不等式中，不正確的是(

)A.x+1x≥2C.x2+5x2+44.已知a>0，b>0，若不等式2a+A.10 B.9 C.8 D.75.已知x>0，y>0，且3x+2yxy=1，則2x+3y的最小值為(

)A.256 B.25 C.196.已知a>0，b>0，4a+b=2，則1a+1bA.4 B.92 C.5 D.7.若m∈R，函數(shù)f(x)=12x2?x+mlnx有兩個極值點

x1A.227 B.427 C.627二、多選題：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。8.已知a，b∈0,+∞，且a+b=1，那么下列不等式恒成立的有(

)A.ab≤14 B.ab+1ab≥179.已知a，b∈R+且a+b=1，那么下列不等式中，恒成立的有(

)A. B. C. D.a+10.以下結(jié)論正確的是(

)A.xB.x2C.若a2+2D.若a,b∈R且滿足a+b=1，則111.設(shè)正實數(shù)a，b滿足a+b=1，則(

)A.ab≥14 C.a2+b12.已知a>0，b>0，且a+b=1，則(

)A.ab的最大值為14 B.a2C.1a+4b的最小值為9 三、填空題13.若a>0，b>0，a+b=4，則ab+2ab+1的最小值為________．14.已知正實數(shù)a，b滿足a+2b=1，則a4b+15.若關(guān)于x的方程x2+ax+1x216.若函數(shù)fx=x2+2x+ax+1x≥0的值域為a,+∞17.函數(shù)y=x+1x(x>0)18.已知x>0，y>0，則6xyx2+9y219.函數(shù)f(x)=x+4x+1(x>?1)的最小值為

四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。20.(1)已知x<?2，求函數(shù)y=2x+1(2)求y=x221.已知x>0，y>0，且2x+8y?xy=0，求：(1)xy的最小值；(2)x+y的最小值．22.(1)已知x<2，求y=9(2)已知x，y是正實數(shù)，且x+y=9，求1x+23.已知x>0，y>0，且2x+8y?xy=0，求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值．24.已知正數(shù)a，b滿足a+b=2．(1)求a2+(2)求1a+2+25.(1)已知x,y,z均為正實數(shù)，求證：x+yy+z(2)已知a>b>c，且a+b+c=0，①求證：ca?c>cb?c，②Part4綜合練習(xí)答案及解析1.【答案】A

【解答】解：由a2b2+a所以a≥24?2=2(當(dāng)且僅當(dāng)又1≤b另一方面，考慮函數(shù)f(x)=x+4x?2,x∈1,4，函數(shù)在且f1所以a2綜上所述，a2+b2故選A．2.【答案】A

【解析】解：因為s，t均為正數(shù)，且s+t=1，則st≤(s+t2)令x=st∈(0,1則st=x因為函數(shù)y=x+4x在(0,2)單調(diào)遞減，且所以，當(dāng)x=14時，x+4所以，st(st+1)(st+4)的最小值為：1故選：A．3.【答案】A

【解答】解：A.當(dāng)x>0時，x+1x?2，當(dāng)x<0時x+B.x2+x+1=(x+12C.x2+5x2+4=1?x2+4+x2+4D.若x>3，則x+1x?3=x?3+1x?3+2?5當(dāng)x?3=1x?3故選A.4.【答案】B

【解答】解：∵a>0，b>0，∴2由a>0，b>0得，2ba+2ab≥22b∴5+2b∴m≤9，則m的最大值為9，故選：B．5.【答案】B

【解答】解：由3x+2yxy=1，得所以(2x+3y)(3當(dāng)且僅當(dāng)x=y=5時取等號．故選：B．6.【答案】B

【解答】解：∵a>0，b>0，4a+b=2，∴=≥1當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab，即故選：B．7.【答案】B

【解答】解：易知

f(x)的定義域為0,+∞，且f′x對于方程x2當(dāng)Δ=?12?4m=1?4m?0，即m?故f(x)在0,+∞上單調(diào)遞增，不滿足f(x)有兩個極值點．故m<14，且x1又x所以m(x由

x1<x2，所以mx令t=1?4m,t∈所以m=?=1當(dāng)且僅當(dāng)1+t=2?2t，即t=1所以mx2的最大值為427，即m8.【答案】ABD

【解答】解：因為a，b∈R+且a+b=1，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時，取等號，故令m=ab，則0<m≤1則函數(shù)y=m+1m在則ymin=11≥3當(dāng)且僅當(dāng)ba即a=2?2，b=令t=則t2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時取等號，則t≤故選ABD．9.【答案】ABD

【解答】解：因為a，b∈R+且a+b=1，所以ab≤a+b22令m=ab，則0<m≤1則函數(shù)y=m+1m在則yminab+1ab?故B正確；1a當(dāng)且僅當(dāng)ba=a2b，即a=2?令t=a+當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時取等號，則t≤故選：ABD．10.【答案】AC

【解答】解：A.由基本不等式，x2當(dāng)且僅當(dāng)x2=1x2B.令t=x2易知函數(shù)y=t+1t在區(qū)間故ymin=C.1a當(dāng)且僅當(dāng)2b2a2=D.使用特殊值法，令a=?3，b=4，則原不等式顯然不成立，故選項D錯誤．故選AC．11.【答案】BCD

解：因為正實數(shù)a，b滿足a+b=1，所以ab≤(a+b2)2=(a+所以a+由a2所以a2+b2≥1a+1+1b+1=故選：BCD．12.【答案】ACD

解：對于A，1=a+b≥2ab，得ab≤14，當(dāng)且a=1對于B，a2+b2=(a+b)2對于C，1a當(dāng)且僅當(dāng)a=13,b=對于D，2a+2b≥22故選：ACD．13.【答案】2解：由a+b=4得ab?當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時，取等號，又a>0，b>0，所以1<ab+1?5，令t=ab+1，則t∈(1,5],所以ab+2又y=t+2t?1在1,所以ymin所以ab+2ab+1的最小值為故答案為214.【答案】12解：令x=a，y=2b，則a4因為正實數(shù)a，b滿足a+2b=1，所以x>0，y>0，且x+y=1，因此1?2xy，即0<xy?1又因為x=====5xy+1而0<xy?14，且由1所以由對勾函數(shù)的圖象知：當(dāng)xy=14時，5xy+即x4y+因此a4b+15.【答案】45解：x2+1x2+ax+1x+b=0可看成關(guān)于a，b的直線：設(shè)x2+1根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)t=2時d2所以a2+b16.【答案】?∞,2

解：f(x)=x?①當(dāng)a?1≤0，即a≤1時，f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(0)=a滿足?②當(dāng)a?1>0，即a>1時，∵x≥0，則x+1≥1，∴由平均值不等式f(x)=x+1+a?1當(dāng)且僅當(dāng)x+1=a?1此時x=∴f(x)在(又f(0)=a，若f(x)值域為[a,+∞)，則需a?1?1≤0，即此時1<a≤?2，∴綜上，a∈(?∞,2]．故答案為(?∞,2]．17.【答案】2,+∞

解：由題意函數(shù)y=x+1即函數(shù)的值域為[2,+∞).故答案為：[2,+∞).18.【答案】3解：x>0，y>0，則6xy=8(可令t=xy+3yx則6xyx由y=t+4t在t+4可得8t+當(dāng)且僅當(dāng)x=則6xyx2+9故答案為：319.【答案】3

解：∵x>?1，∴x+1>0，∴f(x)=x+4x+1=(x+1)+4x+1?1≥2×2?1=3(當(dāng)且僅當(dāng)∴f(x)=x+4x+1(x>?1)故答案為：3．20.【答案】解：(1)∵x<?2，∴x+2<0，?(x+2)>0，∴y=2(x+2)+??2當(dāng)且僅當(dāng)?2(x+2)=?1x+2(x<?2)故所求最大值為?2(2)令t=x2+4，y=f(t)，則∵f(t)=t+1t在∴當(dāng)t=2，即x2+4=2，x=0時，故所求最小值為5221.【答案】解：(1)∵

x>0

，

y>0

，

2x+8y?xy=0

，∴

xy=2x+8y≥216xy=8xy

∴

∴

xy≥64

，當(dāng)且僅當(dāng)

x=4y=16

時取等號，故

xy

的最小值為64．(2)∵

2x+8y=xy

，則

2y+又∵

x>0

，

y>0

，∴

x+y=(x+y)(2y當(dāng)且僅當(dāng)

x=2y=12

時取等號，故

x+y

的最小值為18．22.【答案】解：(1)因為x<2，則y==2?(≤2?2當(dāng)且僅當(dāng)2?x=92?x即x=?1時取等號，此時y取得最大值(2)∵x，y是正實數(shù)，且x+y=9，則1x當(dāng)且僅當(dāng)yx=3xy且x+y=9即此時1x+3y23.【答案】解：(1)∵x>0，y>0，xy=2x+8y≥216xy=8∴xy≥8，xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)2x=8y代入xy=64得4y?y=64，∴y=4，x=16時等號成立即(xy)(2)由2x+8y?xy=0，得2y∴x+y=(x+y)(8當(dāng)且僅當(dāng)xy=4y代入2y+8x=1，得x=12，24.【答案】解：(1)因為ab≤(a+b2)所以a2故a2+b(2)由a+b=2得，(a+2)+(b+1)=5，1a+2當(dāng)且僅當(dāng)b+1a+2=a+2b+1，即故1a+2+1b+125.【答案】(1)證明：∵x，y