平面幾何向量公式歸納總結(jié)向量是平面幾何中連接代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的橋梁，其線性運(yùn)算、數(shù)量積等工具能將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡潔的代數(shù)推理。本文系統(tǒng)歸納平面幾何中向量的核心公式與應(yīng)用，涵蓋基本概念、運(yùn)算規(guī)則、位置關(guān)系及典型結(jié)論，力求專業(yè)嚴(yán)謹(jǐn)且具有實(shí)用價(jià)值。一、向量的基本概念1.向量的定義既有大?。＃┯钟蟹较虻牧糠Q為向量，記作$\overrightarrow{a}$或$\boldsymbol{a}$。模：向量的大小，記作$|\overrightarrow{a}|$或$|\boldsymbol{a}|$，非負(fù)實(shí)數(shù)。單位向量：模為1的向量，$\overrightarrow{a}$的單位向量為$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$（$\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$）。零向量：模為0的向量，記作$\overrightarrow{0}$，方向任意。相等向量：模相等且方向相同的向量，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow$當(dāng)且僅當(dāng)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$且方向一致。相反向量：模相等且方向相反的向量，$\overrightarrow{a}$的相反向量為$-\overrightarrow{a}$，滿足$\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$。二、向量的線性運(yùn)算1.加法（三角形法則/平行四邊形法則）定義：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$（三角形法則，首尾相連）；以$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$為鄰邊作平行四邊形$OACB$，則$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（平行四邊形法則，起點(diǎn)相同）。幾何意義：合向量的大小與方向由分向量圍成的多邊形決定。坐標(biāo)運(yùn)算：若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。性質(zhì)：交換律$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}$；結(jié)合律$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})$。2.減法（三角形法則）定義：$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$（起點(diǎn)相同，指向被減向量）；等價(jià)于$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow)$。幾何意義：表示兩向量終點(diǎn)的相對(duì)位置。坐標(biāo)運(yùn)算：$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。3.數(shù)乘（縮放運(yùn)算）定義：實(shí)數(shù)$\lambda$與向量$\overrightarrow{a}$的乘積$\lambda\overrightarrow{a}$是向量，滿足：模：$|\lambda\overrightarrow{a}|=|\lambda|\cdot|\overrightarrow{a}|$；方向：$\lambda>0$時(shí)與$\overrightarrow{a}$同向，$\lambda<0$時(shí)與$\overrightarrow{a}$反向，$\lambda=0$時(shí)為$\overrightarrow{0}$。幾何意義：將向量$\overrightarrow{a}$伸長（$|\lambda|>1$）或縮短（$0<|\lambda|<1$），并決定方向。坐標(biāo)運(yùn)算：$\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)$。性質(zhì)：$\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}$；$(\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}$；$\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow$。4.線性組合與共線定理線性組合：形如$\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow$（$\lambda,\mu\in\mathbb{R}$）的向量稱為$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的線性組合。共線定理：向量$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$）與$\overrightarrow$共線（平行）當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù)$\lambda$，使得$\overrightarrow=\lambda\overrightarrow{a}$。坐標(biāo)條件：若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\iffx_1y_2-x_2y_1=0$（避免分母為0的嚴(yán)謹(jǐn)形式）。三、向量的坐標(biāo)表示1.基底與坐標(biāo)基底：平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$稱為一組基底，平面內(nèi)任意向量$\overrightarrow{a}$均可唯一表示為$\overrightarrow{a}=\lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2}$，其中$(\lambda_1,\lambda_2)$為$\overrightarrow{a}$在該基底下的坐標(biāo)。直角坐標(biāo)：取x軸、y軸方向的單位向量$\boldsymbol{i}=(1,0)$、$\boldsymbol{j}=(0,1)$作為基底，向量$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)為$(x,y)$，即$\overrightarrow{a}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}$。2.點(diǎn)與向量的坐標(biāo)關(guān)系設(shè)平面內(nèi)點(diǎn)$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，則向量$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$（終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)）。四、向量的數(shù)量積（點(diǎn)積）1.定義與幾何意義定義：向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的數(shù)量積為$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow|\cos\theta$，其中$\theta$為$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角（$0\leq\theta\leq\pi$）。幾何意義：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$等于$\overrightarrow{a}$的模與$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影長度的乘積（或反之）。2.坐標(biāo)運(yùn)算若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2$（代數(shù)化核心公式）。3.性質(zhì)交換律：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\overrightarrow\cdot\overrightarrow{a}$；數(shù)乘結(jié)合律：$(\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow=\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow)=\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow)$；分配律：$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$；模長平方：$|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=x_1^2+y_1^2$（常用展開式）；非負(fù)性：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}\geq0$，當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$時(shí)取等號(hào)。4.常用展開式$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|^2=|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow+|\overrightarrow|^2$；$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|^2=|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow+|\overrightarrow|^2$；$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow|^2$（平方差公式，用于證明線段相等）。五、向量的模與夾角1.模長公式幾何形式：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}$；坐標(biāo)形式：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$（兩點(diǎn)間距離公式的向量形式，若$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，則$|AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$）。2.夾角公式設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\theta$（$0\leq\theta\leq\pi$），則：余弦值：$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow|}$（核心公式，連接數(shù)量積與幾何夾角）；坐標(biāo)形式：$\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$。3.特殊角條件垂直：$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\iff\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0$（數(shù)量積為0，最常用的垂直判定）；坐標(biāo)條件：$x_1x_2+y_1y_2=0$；同向：$\theta=0\iff\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow|$；反向：$\theta=\pi\iff\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=-|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow|$。六、向量與平面幾何位置關(guān)系1.直線的向量方程點(diǎn)向式：過點(diǎn)$A$且方向向量為$\overrightarrow{v}$的直線，其向量方程為$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{v}$（$t\in\mathbb{R}$，$P$為直線上任意點(diǎn)）；兩點(diǎn)式：過點(diǎn)$A$、$B$的直線，向量方程為$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$（$t\in\mathbb{R}$）。2.點(diǎn)與直線的位置關(guān)系設(shè)直線$l$的方程為$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{v}$，點(diǎn)$Q$不在$l$上，則：點(diǎn)到直線的距離：$d=\frac{|\overrightarrow{QA}\times\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|}$（叉乘絕對(duì)值表示面積，除以方向向量模得高，見下文“面積公式”）；坐標(biāo)推導(dǎo)：若直線$l$：$Ax+By+C=0$，點(diǎn)$Q(x_0,y_0)$，則$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$（用向量數(shù)量積推導(dǎo)：取直線上點(diǎn)$A(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{QA}=(x_0-x_1,y_0-y_1)$，法向量$\boldsymbol{n}=(A,B)$，則$d=\frac{|\overrightarrow{QA}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$，代入$Ax_1+By_1=-C$得結(jié)果）。3.平行與垂直的向量判定兩直線平行：方向向量共線；兩直線垂直：方向向量數(shù)量積為0；線段中點(diǎn)：若$M$為$AB$中點(diǎn)，則$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$（坐標(biāo)形式：$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$）。七、向量與面積、距離計(jì)算1.三角形面積（叉乘的幾何意義）向量形式：設(shè)$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol$，則$\triangleOAB$的面積為$S=\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol|$（叉乘絕對(duì)值表示平行四邊形面積，取半得三角形面積）；坐標(biāo)形式：若$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$O(0,0)$，則$S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$（叉乘坐標(biāo)公式：$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol=x_1y_2-x_2y_1$）；任意三角形：若$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$，則$S=\frac{1}{2}|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$（用$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$計(jì)算）。2.平行四邊形面積向量形式：以$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol$為鄰邊的平行四邊形面積為$S=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol|$；坐標(biāo)形式：$S=|x_1y_2-x_2y_1|$（同三角形面積的2倍）。3.點(diǎn)到點(diǎn)的距離向量形式：$|AB|=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|$；坐標(biāo)形式：$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$（向量模長的直接應(yīng)用）。八、向量的投影1.投影長度與投影向量投影長度：向量$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol$方向上的投影長度為$|\boldsymbol{a}|\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol}{|\boldsymbol|}$（$\theta$為$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol$夾角）；投影向量：投影長度乘以$\boldsymbol$的單位向量，即$\left(\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol}{|\boldsymbol|^2}\right)\boldsymbol$（方向與$\boldsymbol$一致或相反，取決于投影長度符號(hào)）；坐標(biāo)形式：若$\boldsymbol=(x_2,y_2)$，則投影向量為$\left(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\cdotx_2,\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\cdoty_2\right)$。九、向量與軌跡方程1.圓的向量方程標(biāo)準(zhǔn)形式：以$O$為圓心、$r$為半徑的圓，向量方程為$|\overrightarrow{OP}|=r$（坐標(biāo)形式：$x^2+y^2=r^2$）；一般形式：以$A$為圓心、$r$為半徑的圓，向量方程為$|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}|=r$（坐標(biāo)形式：$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$）。2.橢圓的向量形式（以原點(diǎn)為中心）設(shè)橢圓焦點(diǎn)為$F_1$、$F_2$，長軸長$2a$，則軌跡條件為$|\overrightarrow{PF_1}|+|\overrightarrow{PF_2}|=2a$（$2a>|F_1F_2|$）。3.直線的參數(shù)方程（向量形式）過點(diǎn)$A$且方向向量為$\boldsymbol{v}$的直線，參數(shù)方程為$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\boldsymbol{v}$（$t$為參數(shù)，$t$的絕對(duì)值表示$P$到$A$的距離）。十、常用結(jié)論與應(yīng)用舉例1.重心的向量性質(zhì)三角形重心：設(shè)$G$為$\triangleABC$的重心，則$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$（坐標(biāo)形式：$G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$）；性質(zhì)：重心分中線為$2:1$（$CG:GD=2:1$，$D$為$AB$中點(diǎn)）。2.垂心的向量性質(zhì)三角形垂心：設(shè)$H$為$\triangleABC$的垂心，則$\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HA}$（兩兩向量數(shù)量積相等）。3.外心的向量性質(zhì)三角形外心：設(shè)$O$為$\triangleABC$的外心，則$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{