初二數(shù)學(xué)三角形專(zhuān)題講義合集一、引言：三角形——幾何世界的基石三角形是平面幾何中最基本的圖形之一，也是后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形、圓、相似三角形等內(nèi)容的基礎(chǔ)。其“穩(wěn)定性”使其在建筑、工程等實(shí)際領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，而其“邊角關(guān)系”則是幾何推理的核心工具。本講義將從基礎(chǔ)概念出發(fā)，逐步深入特殊三角形、全等三角形及綜合應(yīng)用，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的三角形知識(shí)體系。二、三角形的基本概念與分類(lèi)（一）定義與元素>三角形定義：由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次連接所組成的封閉圖形。>基本元素：>-頂點(diǎn)：三條線(xiàn)段的端點(diǎn)（如\(\triangleABC\)的頂點(diǎn)為\(A、B、C\)）；>-邊：連接頂點(diǎn)的線(xiàn)段（如\(AB、BC、AC\)）；>-角：頂點(diǎn)處兩條邊的夾角（如\(\angleA、\angleB、\angleC\)）。（二）分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)1.按邊分類(lèi)：不等邊三角形：三邊都不相等；等腰三角形：有兩邊相等（相等的邊稱(chēng)為“腰”，第三邊稱(chēng)為“底”）；等邊三角形：三邊都相等（特殊的等腰三角形）。2.按角分類(lèi)：銳角三角形：三個(gè)角都是銳角（小于\(90^\circ\)）；直角三角形：有一個(gè)角是直角（等于\(90^\circ\)）；鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角（大于\(90^\circ\)小于\(180^\circ\)）。（三）三角形的穩(wěn)定性三角形的三邊確定后，其形狀和大小固定不變，這一性質(zhì)稱(chēng)為三角形的穩(wěn)定性。例如，自行車(chē)車(chē)架、建筑腳手架均利用此性質(zhì)。三、三角形的三邊關(guān)系定理（一）定理內(nèi)容與推論>三角形三邊關(guān)系定理：>1.任意兩邊之和大于第三邊（\(AB+BC>AC\)，\(BC+AC>AB\)，\(AC+AB>BC\)）；>2.任意兩邊之差小于第三邊（\(|AB-BC|<AC\)，\(|BC-AC|<AB\)，\(|AC-AB|<BC\)）。>推論：>-最長(zhǎng)邊小于周長(zhǎng)的一半（若最長(zhǎng)邊≥周長(zhǎng)的一半，則兩邊之和≤第三邊，無(wú)法構(gòu)成三角形）；>-最短邊大于周長(zhǎng)減去兩倍最長(zhǎng)邊（由兩邊之差小于第三邊推導(dǎo)）。（二）應(yīng)用場(chǎng)景1.判斷能否構(gòu)成三角形例：線(xiàn)段長(zhǎng)度3、5、7能否構(gòu)成三角形？解：\(3+5>7\)（8>7），\(3+7>5\)（10>5），\(5+7>3\)（12>3），滿(mǎn)足任意兩邊之和大于第三邊，故能構(gòu)成三角形。2.求第三邊的取值范圍例：已知三角形兩邊長(zhǎng)為4和6，求第三邊\(x\)的取值范圍。解：\(6-4<x<6+4\)，即\(2<x<10\)。3.整數(shù)邊長(zhǎng)問(wèn)題例：等腰三角形周長(zhǎng)為12，求整數(shù)邊長(zhǎng)的可能組合。解：設(shè)腰長(zhǎng)為\(a\)，底邊長(zhǎng)為\(b\)，則\(2a+b=12\)，且\(2a>b\)（兩邊之和大于第三邊）。\(a=4\)時(shí)，\(b=4\)（等邊三角形）；\(a=5\)時(shí)，\(b=2\)（滿(mǎn)足\(5+5>2\)）；\(a=3\)時(shí)，\(b=6\)（\(2a=6=b\)，不滿(mǎn)足，舍去）。故可能的組合為4、4、4或5、5、2。四、三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)（一）內(nèi)角和定理及證明>三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于\(180^\circ\)（\(\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ\)）。證明方法（平行線(xiàn)法）：過(guò)點(diǎn)\(A\)作直線(xiàn)\(EF\parallelBC\)，則\(\angleEAB=\angleB\)（內(nèi)錯(cuò)角相等），\(\angleFAC=\angleC\)（內(nèi)錯(cuò)角相等）。因?yàn)閈(\angleEAB+\angleBAC+\angleFAC=180^\circ\)（平角定義），所以\(\angleB+\angleBAC+\angleC=180^\circ\)。（二）外角的定義與性質(zhì)>外角定義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角（如\(\triangleABC\)中，\(\angleACD\)是\(\angleACB\)的外角）。>外角性質(zhì)：>1.三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和（\(\angleACD=\angleA+\angleB\)）；>2.三角形的外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角（\(\angleACD>\angleA\)，\(\angleACD>\angleB\)）。證明（性質(zhì)1）：\(\angleACD+\angleACB=180^\circ\)（平角），\(\angleA+\angleB+\angleACB=180^\circ\)（內(nèi)角和），故\(\angleACD=\angleA+\angleB\)。（三）應(yīng)用：角度計(jì)算例：在\(\triangleABC\)中，\(\angleA=50^\circ\)，\(\angleB=60^\circ\)，求\(\angleACB\)的外角。解：\(\angleACB=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\)，故外角為\(180^\circ-70^\circ=110^\circ\)（或直接用外角性質(zhì)：\(50^\circ+60^\circ=110^\circ\)）。五、三角形的重要線(xiàn)段（一）中線(xiàn)：連接頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段>性質(zhì)：中線(xiàn)平分三角形的面積（如\(AD\)是\(\triangleABC\)的中線(xiàn)，則\(S_{\triangleABD}=S_{\triangleADC}\)，因等底同高）。（二）高線(xiàn)：從頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€(xiàn)，垂足在對(duì)邊（或延長(zhǎng)線(xiàn)）上>位置特點(diǎn)：>-銳角三角形：三條高均在內(nèi)部；>-直角三角形：兩條高與直角邊重合，一條在內(nèi)部；>-鈍角三角形：兩條高在外部，一條在內(nèi)部。（三）角平分線(xiàn)：平分內(nèi)角且交對(duì)邊于一點(diǎn)的線(xiàn)段>性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊的距離相等（如\(AD\)平分\(\angleBAC\)，點(diǎn)\(D\)到\(AB、AC\)的距離相等）。（四）中位線(xiàn)：連接兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段>中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半（如\(D、E\)分別是\(AB、AC\)的中點(diǎn)，則\(DE\parallelBC\)，\(DE=\frac{1}{2}BC\)）。證明（全等法）：延長(zhǎng)\(DE\)到\(F\)，使\(EF=DE\)，連接\(CF\)。\(\triangleADE\cong\triangleCFE\)（SAS，\(AE=CE\)，\(\angleAED=\angleCEF\)，\(DE=FE\)），故\(AD=CF\)，\(\angleA=\angleECF\)。因此\(AD\parallelCF\)（內(nèi)錯(cuò)角相等），即\(AB\parallelCF\)，四邊形\(BDFC\)是平行四邊形，故\(DF\parallelBC\)，\(DF=BC\)，從而\(DE\parallelBC\)，\(DE=\frac{1}{2}BC\)。六、特殊三角形（一）：等腰三角形與等邊三角形（一）等腰三角形>定義：有兩邊相等的三角形（相等的邊為腰，第三邊為底）。>性質(zhì)：>1.等邊對(duì)等角（腰對(duì)應(yīng)的角相等，如\(AB=AC\)，則\(\angleB=\angleC\)）；>2.三線(xiàn)合一（底邊上的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)重合，如\(AD\)是\(BC\)邊上的中線(xiàn)，則\(AD\perpBC\)，\(AD\)平分\(\angleBAC\)）。>判定：等角對(duì)等邊（角相等的邊相等，如\(\angleB=\angleC\)，則\(AB=AC\)）。（二）等邊三角形>定義：三邊都相等的三角形（特殊的等腰三角形）。>性質(zhì)：>1.三角都相等（均為\(60^\circ\)）；>2.三線(xiàn)合一（每條邊上的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)重合）。>判定：>1.三邊相等；>2.三角相等；>3.有一個(gè)角是\(60^\circ\)的等腰三角形。（三）易錯(cuò)點(diǎn)：分類(lèi)討論例：等腰三角形的一個(gè)角是\(70^\circ\)，求另外兩個(gè)角的度數(shù)。解：若\(70^\circ\)是頂角，則底角為\((180^\circ-70^\circ)/2=55^\circ\)（另外兩角為\(55^\circ、55^\circ\)）；若\(70^\circ\)是底角，則頂角為\(180^\circ-70^\circ\times2=40^\circ\)（另外兩角為\(70^\circ、40^\circ\)）。七、特殊三角形（二）：直角三角形（一）定義與性質(zhì)>定義：有一個(gè)角是直角（\(90^\circ\)）的三角形。>性質(zhì)：>1.兩銳角互余（\(\angleA+\angleB=90^\circ\)）；>2.斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半（如\(CD\)是斜邊\(AB\)的中線(xiàn)，則\(CD=\frac{1}{2}AB\)）；>3.\(30^\circ\)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半（如\(\angleA=30^\circ\)，則\(BC=\frac{1}{2}AB\)）。（二）勾股定理>內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（\(a^2+b^2=c^2\)，\(c\)為斜邊）。>證明（趙爽弦圖）：>四個(gè)全等的直角三角形拼成大正方形，面積為\(c^2\)；>大正方形面積也等于四個(gè)直角三角形面積加小正方形面積：\(4\times\frac{1}{2}ab+(a-b)^2=a^2+b^2\)；>故\(a^2+b^2=c^2\)。>應(yīng)用：>-求邊長(zhǎng)（如直角邊3、4，斜邊為5）；>-判斷直角三角形（如三邊5、12、13，\(5^2+12^2=13^2\)，故為直角三角形）。（三）判定1.有一個(gè)角是\(90^\circ\)；2.勾股定理的逆定理（三邊滿(mǎn)足\(a^2+b^2=c^2\)）。八、三角形的全等：幾何證明的核心工具（一）全等的定義與性質(zhì)>定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形（記作\(\triangleABC\cong\triangleDEF\)）。>性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等（\(AB=DE\)，\(BC=EF\)，\(AC=DF\)），對(duì)應(yīng)角相等（\(\angleA=\angleD\)，\(\angleB=\angleE\)，\(\angleC=\angleF\)）。（二）判定定理定理名稱(chēng)條件說(shuō)明SSS（邊邊邊）三邊對(duì)應(yīng)相等適用于所有三角形SAS（邊角邊）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等夾角是兩邊的公共角ASA（角邊角）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等夾邊是兩角的公共邊AAS（角角邊）兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等由ASA推導(dǎo)而來(lái)HL（斜邊直角邊）直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等僅適用于直角三角形（三）易錯(cuò)點(diǎn)：SSA不能判定全等例：\(\triangleABC\)和\(\triangleABD\)中，\(AB=AB\)，\(AC=AD\)，\(\angleB=\angleB\)，但\(\triangleABC\)和\(\triangleABD\)不一定全等（一個(gè)是銳角三角形，一個(gè)是鈍角三角形）。（四）應(yīng)用：證明線(xiàn)段/角相等例：已知\(AB=CD\)，\(AC=BD\)，證明\(\angleA=\angleD\)。證明：連接\(BC\)，在\(\triangleABC\)和\(\triangleDCB\)中，\(AB=CD\)，\(AC=BD\)，\(BC=CB\)，故\(\triangleABC\cong\triangleDCB\)（SSS），因此\(\angleA=\angleD\)。九、三角形綜合應(yīng)用：從基礎(chǔ)到壓軸（一）折疊問(wèn)題：全等與對(duì)稱(chēng)例：將\(\triangleABC\)沿\(DE\)折疊，點(diǎn)\(A\)落在\(A'\)處，若\(\angleA=50^\circ\)，求\(\angle1+\angle2\)的度數(shù)。解：折疊后\(\triangleADE\cong\triangleA'DE\)，故\(\angleAED=\angleA'ED\)，\(\angleADE=\angleA'DE\)。\(\angle1=180^\circ-2\angleAED\)，\(\angle2=180^\circ-2\angleADE\)，故\(\angle1+\angle2=360^\circ-2(\angleAED+\angleADE)=360^\circ-2(180^\circ-\angleA)=2\angleA=100^\circ\)。（二）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：變量范圍與極值例：在\(\triangleABC\)中，\(AB=6\)，\(BC=8\)，點(diǎn)\(P\)從\(A\)出發(fā)沿\(AB\)向\(B\)運(yùn)動(dòng)（速度1單位/秒），點(diǎn)\(Q\)從\(B\)出發(fā)沿\(BC\)向\(C\)運(yùn)動(dòng)（速度2單位/秒），當(dāng)\(t\)為何值時(shí)，\(\triangleBPQ\)是等腰三角形？解：\(BP=6-t\)，\(BQ=2t\)（\(0\leqt\leq4\)，因\(Q\)不能超過(guò)\(C\)）。若\(BP=BQ\)，則\(6-t=2t\)，解得\(t=2\)；若\(BP=PQ\)或\(BQ=PQ\)，需用勾股定理（如作高），此處略。（三）幾何最值：將軍飲馬問(wèn)題例：在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC=5\)，\(BC=6\)，點(diǎn)\(D\)在\(BC\)上，求\(AD+BD\)的最小值。解：作點(diǎn)\(B\)關(guān)于\(AC\)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)\(B'\)，連接\(B'D\)，則\(AD+BD=AD+B'D\geqAB'\)（當(dāng)且僅當(dāng)\(A、D、B'\)共線(xiàn)時(shí)取最小值）。計(jì)算\(AB'\)：由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，\(AC\perpBB'\)，\(BM=B'M\)（\(M\)為垂足），\(AM=AB\cos\angleBAC=5\times\frac{5^2+5^2-6^2}{2\times5\times5}=5\times\frac{7}{25}=\frac{7}{5}\)，故\(BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{25-\frac{49}{25}}=\frac{24}{5}\)，\(BB'=\frac{48}{5}\)，\(AB'=\sqrt{AM^2+(BB'+BM)^2}\)？不，直接用坐標(biāo)法：設(shè)\(A(0,h)\)，\(B(-3,0)\)，\(C(3,0)\)，則\(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\)，\(A(0,4)\)，\(B(-3,0)\)，\(C(3,0)\)。點(diǎn)\(B\)關(guān)于\(AC\)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)\(B'(x,y)\)，\(AC\)的方程為\(4x+3y=12\)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)公式得\(B'(\frac{21}{25},\frac{96}{25})\)，故\(AB'=\sqrt{(0-\frac{21}{25})^2+(4-\frac{96}{25})^2}=\sqrt{(\frac{21}{25})^2+(\frac{4}{25})^2}=\frac{\sqrt{441+16}}{25}=\