章數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例2021/10/101數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容隨堂練習(xí)課堂總結(jié)課后作業(yè)2021/10/102教學(xué)目標(biāo)（1）掌握數(shù)學(xué)歸納法的思想（2）數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列知識(shí)的深入與拓展，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法可以使學(xué)生學(xué)會(huì)一種研究數(shù)學(xué)的科學(xué)方法2021/10/103重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解2021/10/104演繹推理推理方法歸納推理(一般到特殊)(特殊到一般)完全歸納不完全歸納三段論教學(xué)內(nèi)容2021/10/105(1)不完全歸納法引例

明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字．這則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過(guò)，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的．有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰(shuí)更聰明一些．他給每人筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l(shuí)先給出答案．大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒(méi)熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過(guò)一把花生．顯然，二徒弟比大徒弟聰明．

(2)完全歸納法對(duì)比引例

教學(xué)內(nèi)容例題引入2021/10/106問(wèn)題情境一:問(wèn)題

1:大球中有5個(gè)小球，如何證明它們都是綠色的？

問(wèn)題

2:

如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，怎樣得到an=a1+(n-1)d?完全歸納法

不完全歸納法

模擬演示在等差數(shù)列{an}中，已知首項(xiàng)為a1，公差為d，那么a1=a1=a1+0

d,

a2=a1+d

=a1+1d,

a3=a2+d

=a1+2d,

a4=a3+d

=a1+3d,……an=?歸納an=a1+(n

1)

d2021/10/107數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例：

費(fèi)馬(1601--1665)法國(guó)偉大的業(yè)余數(shù)學(xué)家。歐拉(1707～1783)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。

問(wèn)題情境二:不完全歸納法

2021/10/108歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法.歸納法:（1）完全歸納法：考察全體對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法（2）不完全歸納法:考察部分對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法優(yōu)點(diǎn)：考查全面，結(jié)論正確;缺點(diǎn)：工作量大，有些對(duì)象無(wú)法全面考查.優(yōu)點(diǎn)：考查對(duì)象少，得出結(jié)論快;缺點(diǎn)：觀察片面化，結(jié)論不一定正確.2021/10/109如何解決不完全歸納法存在的問(wèn)題呢？

多米諾骨牌課件演示

如何保證骨牌一一倒下？需要幾個(gè)步驟才能做到？（1）處理第一個(gè)問(wèn)題；（2）驗(yàn)證前一問(wèn)題與后一問(wèn)題有遞推關(guān)系.（相當(dāng)于能推倒第一塊骨牌）（相當(dāng)于第K塊骨牌能推倒第K+1塊骨牌）問(wèn)題情境三:2021/10/1010數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。其格式主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論:

（1）驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0（如n0=1或2等）時(shí)結(jié)論正確；

驗(yàn)證初始條件（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論正確，在假設(shè)之下，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確；

假設(shè)推理（3）由（1）、（2）得出結(jié)論.

點(diǎn)題找準(zhǔn)起點(diǎn)奠基要穩(wěn)用上假設(shè)遞推才真寫明結(jié)論才算完整一、數(shù)學(xué)歸納法定義：2021/10/1011例1、是否存在常數(shù)a、b,使得等式:

對(duì)一切正整數(shù)n都成立,并證明你的結(jié)論.解:令n=1,2,并整理得以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面解法知結(jié)論正確.(1)數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題：二、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例：2021/10/1012(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確,即:則當(dāng)n=k+1時(shí),故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也正確.根據(jù)(1)、(2)知,對(duì)一切正整數(shù)n,結(jié)論正確.2021/10/1013例2、已知正數(shù)數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為sn,且用數(shù)學(xué)歸納法證明:證:(1)當(dāng)n=1時(shí),=1,結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即則當(dāng)n=k+1時(shí),故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.根據(jù)(1)、(2)知,對(duì)一切正整數(shù)n,結(jié)論都成立.2021/10/1014(2)數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題：例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),xn-yn能被x+y整除.證:(1)當(dāng)n=2時(shí),x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=2k時(shí),命題成立,即x2k-y2k能被x+y整除.則當(dāng)n=2k+2時(shí),有都能被x+y整除.故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即當(dāng)n=2k+2時(shí)命題成立.由(1)、(2)知原命題對(duì)一切正偶數(shù)均成立.2021/10/1015例、平面內(nèi)有n(n

2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，問(wèn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為多少?并證明.當(dāng)n=k+1時(shí)：第k+1條直線分別與前k條直線各交于一點(diǎn)，共增加k個(gè)點(diǎn)，由1）、2）可知，對(duì)一切n∈N

原命題均成立。證明：1）n=2時(shí)：兩條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,而f(2)=×2×(2-1)=1,∴命題成立。

∴k+1條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),

即當(dāng)n=k+1時(shí)命題仍成立。2）假設(shè)n=k(k∈N

,k≥2)時(shí)，k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

f(k)=k(k-1),(3)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題：2021/10/1016例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d對(duì)于一切n∈N*都成立。

例題講解證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=a1,右邊=a1+（1-1)·d=a1,∴當(dāng)n=1時(shí)，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即

ak=a1+(k-1)d

則當(dāng)n=k+1時(shí)ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。由(1)和(2)知,等式對(duì)于任何n∈N*都成立。湊假設(shè)結(jié)論從n=k到n=k+1有什么變化2021/10/1017證明:(1)當(dāng)n=1時(shí)左＝1，右＝12＝1∴n=1時(shí)，等式成立

(2)假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即1+3+5+…+(2k

1)=k2

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)左＝1+3+5+…+(2k

1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時(shí)等式成立由(1)、(2)可知等式對(duì)任何nN*都成立遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+…+(2n

1)=n2

2021/10/1018練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1（3）首項(xiàng)是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1qn-12021/10/1019感悟與收獲

(1)本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法;(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分為完全歸納法和不完全歸納法二種;(3)由于不完全歸納法中推測(cè)所得結(jié)論可能不正確,因而必須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)