專題16極值與最值【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：極值與最值1．函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào).②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn).2．函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.【方法技巧與總結(jié)】（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)?，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；（9）對(duì)于任意的，使得；（10）對(duì)于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)題型三：求函數(shù)的最值（不含參）題型四：求函數(shù)的最值（含參）題型五：根據(jù)最值求參數(shù)題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用題型七：不等式恒成立與存在性問(wèn)題【典例例題】題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)例1．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；例2．（2022·湖北·襄陽(yáng)四中模擬預(yù)測(cè)）設(shè).(1)求在上的極值；(2)若對(duì)，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例3．（2022·天津市咸水沽第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)……自然對(duì)數(shù)底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，（i）證明：存在唯一的極值點(diǎn)：（ii）證明：例4．（2022·江西師大附中三模（理））已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在極值，若存在，請(qǐng)判斷是極大值還是極小值；若不存在，說(shuō)明理由；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上只有兩個(gè)零點(diǎn)．

例5．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的極值；(2)證明：有兩個(gè)零點(diǎn)．【方法技巧與總結(jié)】1．因此，在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2．原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零．這個(gè)零點(diǎn)必須穿越軸，否則不是極值點(diǎn)．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn)）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)例6．（2022·四川·綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））若函數(shù)在處有極值10，則（

）A．6 B． C．或15 D．6或例7．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取極小值，且的極大值為4，則（

）A．-1 B．2 C．-3 D．4例8．（2022·四川綿陽(yáng)·二模（文））若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)的極值為，則（

）A．e B． C． D．例10．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)在上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．例11．（2022·四川省南充高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在處取得極值0，則（

）A．2 B．7 C．2或7 D．3或9例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例13．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若是的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上無(wú)極值，則m＝______．例16．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)做函數(shù)的切線，求切線方程；(2)若函數(shù)存在極值，求極值的取值范圍．例17．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.例18．（2022·天津·耀華中學(xué)二模）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在兩個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例19．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；(2)若，函數(shù)在區(qū)間上存在極大值，求a的取值范圍．題型三：求函數(shù)的最值（不含參）例20．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小值為_(kāi)____________．例21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為_(kāi)_____．例22．（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（文））對(duì)任意，存在，使得，則的最小值為_(kāi)________．例23．（2022·河南鄭州·三模（文））在區(qū)間上的最小值是（

）A． B．1 C． D．例24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．例25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在的最小值.例26．（2022·山東·臨沭縣教育和體育局高二期中）已知函數(shù)是的一個(gè)極值點(diǎn)．(1)求b的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值．題型四：求函數(shù)的最值（含參）例27．（2022·北京通州·高二期中）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．例28．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=x-mlnx-m.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有最小值g(m)，證明：g(m)在上恒成立.例29．（2021·江蘇·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值．題型五：根據(jù)最值求參數(shù)例30．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)在上的最小值為1，則__________．例31．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.例32．（2022·浙江湖州·高三期末）若函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.例33．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用例34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)f（x）＝ex＋ax·sinx．(1)求y＝f（x）在x＝0處的切線方程；(2)當(dāng)a＝－2時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）＝，若x0是g（x）在（0，π）上的一個(gè)極值點(diǎn)，求證：x0是函數(shù)g（x）在（0，π）上的唯一極小值點(diǎn)，且e－2<g（x0）<e－．例35．（2022·四川瀘州·三模（文））已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．例36．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).例37．（2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.例38．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：存在唯一極大值點(diǎn)，且．例39．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)．(1)證明：存在唯一的極值點(diǎn)；(2)m為整數(shù)，，求m的最大值．題型七：不等式恒成立與存在性問(wèn)題例40．（2022·遼寧·二模）若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________.例41．（2022·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例42．（2022·新疆克拉瑪依·三模（文））已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.例43．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)、，使恒成立，求a的取值范圍.例44.（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模（文））已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問(wèn)題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·全國(guó)·哈師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的值是（

）A．1 B． C． D．2．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)三模（理））下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（文））已知，函數(shù)的極小值為，則（

）A． B．1 C． D．4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·一模（理））設(shè)，若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則（

）A． B．1 C． D．26．（2022·四川涼山·三模（理））函數(shù)，若在上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2016·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)，，則在上的最大值是（

）A． B．1 C． D．8．（2022·寧夏·高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·重慶·三模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．有2個(gè)零點(diǎn) B．有2個(gè)極值點(diǎn) C．在單調(diào)遞增 D．最小值為110．（2022·湖北·宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知．則下列說(shuō)法正確的有（

）A．函數(shù)有唯一零點(diǎn)B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C．函數(shù)有極大值D．若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的根．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是11．（2022·福建省德化第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（

）A．， B．是的極大值點(diǎn)C．是的極小值點(diǎn) D．是的極小值點(diǎn)12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．為的極小值點(diǎn) D．僅有兩個(gè)零點(diǎn)三、填空題13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上無(wú)極值，則m＝______．14．（2022·天津河西·二模）若函數(shù)在處取得極值，則____________．15．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的極值點(diǎn)為_(kāi)__________.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則下列命題正確的有：___________.①若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則或②若有極小值點(diǎn)，則③若有極大值點(diǎn)，則④使連續(xù)的a有3個(gè)取值四、解答題17．（2021·四川省敘永第一中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)在與時(shí)，都取得極值．(1)求，的值；(2)若，求的單調(diào)增區(qū)間和極值．18．（2022·河南鄭州·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間及其最大值與最小值．