上海實驗學校高三數(shù)學2024.03一?填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.向量在向量方向上的投影向量是______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的運算公式直接計算.【詳解】由題意得，，所以在方向上的投影向量是.故答案為：2.已知首項為2的等比數(shù)列的公比為，則_____．【答案】【解析】【分析】利用無窮等比數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】因為數(shù)列是以首項為2，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：.3.已知非零向量，滿足，且，則向量與的夾角為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量垂直關系可得，然后利用向量的數(shù)量積即可得出結果.【詳解】因為，所以，所以．又因為，所以，設與夾角為，則，則，所以．故答案為：4.已知，若函數(shù)的最大值為2，則__________.【答案】【解析】【分析】由輔助角公式得函數(shù)最大值，進而列方程即可求解.【詳解】由題意，其中，所以，又因為，所以.故答案為：.5.從2，3，4，5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)，事件為“取到的兩個數(shù)的和為偶數(shù)”，事件為“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則______．【答案】【解析】【分析】利用條件概率計算公式可求【詳解】表示“取到的兩個數(shù)為偶數(shù)且和為偶數(shù)”，，而，故，故答案為：.6.某一批花生種子，如果每1粒種子發(fā)芽的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是【答案】【解析】【分析】直接利用獨立重復實驗概率公式求解即可.【詳解】因為每1粒發(fā)芽的概率為,所以根據(jù)獨立重復實驗概率公式可得，播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是,

故答案為.【點睛】本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率,屬于基礎題.根據(jù)n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率公式為.7.已知函數(shù)在上恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】結合正弦型函數(shù)的圖象與性質計算即可得.【詳解】令，則，當時，，由題意可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.8.已知函數(shù)，則的解集是______．【答案】【解析】【分析】代入，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域與單調性計算即可.【詳解】則，由可得，解得.又，即，故，化簡可得，解得.綜上可得.故答案為：9.已知函數(shù)若對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況，參變分離，結合函數(shù)單調性求出答案.【詳解】當時，，故，令，由對勾函數(shù)的性質可得在上單調遞減，故，所以，解得，當時，，故，其中，所以，綜上，.故答案為：10.已知是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，為坐標原點.當時，，則________.【答案】【解析】【分析】過作準線的垂線，過作的垂線，垂足分別為，結合條件及拋物線的定義可求得，在中，利用余弦定理即可求出結果.【詳解】由拋物線的對稱性，不妨設在第一象限，過作準線的垂線，過作的垂線，垂足分別為．如圖所示，由題意知，，因為，易知，又點到準線的距離為：，解得，在中，，，由余弦定理得，所以，故答案為：.11.半徑為的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高，球缺的體積公式為.已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，在圓錐內部放置一個小球，使其與圓錐側面和底面都相切，過小球與圓錐側面的切點所在的平面將小球分成兩部分，則較小部分的球缺的體積與球的體積之比為_______.【答案】【解析】【分析】依題意作圓錐軸截面圖，按球缺的定義結合幾何條件即可求解.【詳解】如圖所示為圓錐軸截面，,為小球與圓錐側面的切線上兩點，圓錐母線，設內切球的半徑為.由題意是等邊三角形，則，，所以小球的半徑.又，所以，則，解得，則是中點，同理可得是中點，所以，故到的距離為，則上部分球缺的高，上部分即較小部分球缺的體積為，則較小部分球缺的體積與球的體積之比為.故答案為：.12.設函數(shù)的定義域為，若函數(shù)滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，即滿足存在，使在上的值域是由復合函數(shù)單調性可知函數(shù)在上是增函數(shù)所以，則，即所以方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0則，解得所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查由函數(shù)的新定義求參數(shù)取值范圍問題，屬于難題.二?選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.“”是“復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限的等價條件，利用集合的包含關系及充分條件、必要條件求解.【詳解】因為復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限，而成立推不出成立，，所以是復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限的必要不充分條件，故選：B14.為調查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調查了50人，得到如下結果（單位：人）

不患肺癌患肺癌合計不吸煙24630吸煙61420合計302050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，以下敘述正確的是：（）A.可以通過計算，結合統(tǒng)計決斷，判斷：有的把握認為吸煙與患肺癌有關B.可以通過計算，結合統(tǒng)計決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無關C.可以通過計算，結合統(tǒng)計決斷，判斷：有的把握認為吸煙與患肺癌有關D.可以通過計算，結合統(tǒng)計決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無關【答案】C【解析】【分析】利用卡方計算公式求得，再利用獨立性檢驗中的意義即可得解.【詳解】由題意，得，則，所以有的把握認為“吸煙與患肺癌有關有關”.故選：C.15.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如下散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)散點圖的分布判斷相關系數(shù)的符號和絕對值大小，即可得結果.【詳解】由圖中散點的分布趨勢知：，，由圖散點的分布狀態(tài)知：，，所以.故選：B16.若非空實數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素m，記．下列命題中正確的是（）A已知，，且，則B.已知，，則存在實數(shù)a，使得C.已知，若，則對任意，都有D.已知，，則對任意的實數(shù)a，總存在實數(shù)b，使得【答案】D【解析】【分析】A直接計算即可判斷；B分類討論判斷；C舉反例判斷；D對任意的實數(shù)，求出滿足條件即可．【詳解】對于A，∵，，∴，于是或，∴A錯；對于B，假設存在實數(shù)，使，若，，矛盾，若，，矛盾，若，，矛盾，若，，矛盾，若，，矛盾，∴B錯；對于C，取，，則，但對任意，，不成立，∴C錯；對于D，對任意的實數(shù)，只須滿足，，，就有，從而，∴D對．故選：D．三?解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.如圖,在直三棱柱中,,異面直線與所成的角為60°.（1）求該三棱柱的體積;（2）設D是的中點,求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)以A點為原點,為軸正方向,建立空間直角坐標系，設，利用異面直線與所成的角為60°求得h，即得該三棱柱的體積；(2)利用向量法求與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】如圖,以A點為原點,為軸正方向,建立空間直角坐標系.設,則B(1,0,0),C(0,1,0),,則,.因為直線與所成的角為60°,所以|cos<,解得h=1.于是該三棱柱的體積為.小問2詳解】由(1)知,,.設平面的法向量,則可取.又因為，設與平面所成角為，于是,所以與平面所成角的正弦值為.18.如圖所示，扇形中，圓心角，半徑為，在半徑上有一動點，過點作平行于的直線交弧與點.（1）若是半徑的中點，求線段的長；（2）若，求面積的最大值及此時的值.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理即可求得PC的長度．（2）根據(jù)正弦定理用表示出OC的長度，根據(jù)三角面積公式，結合三角函數(shù)關系恒等變形，化成正弦函數(shù)的表達形式，進而求得最值．【詳解】（1）（舍負）；（2），則，得，此時．【點睛】本題考查了三角形中正弦定理與余弦定理的綜合應用，三角形面積的求法，屬于中檔題．19.乒乓球被稱為我國的“國球”，是一種深受人們喜愛的球類體育項目．在某高校運動會的女子乒乓球單打半決賽階段，規(guī)定：每場比賽采用七局四勝制，率先取得四局比賽勝利的選手獲勝，且該場比賽結束．已知甲、乙兩名運動員進行了一場比賽，且均充分發(fā)揮出了水平，其中甲運動員每局比賽獲勝的概率為，每局比賽無平局，且每局比賽結果互不影響．（1）若前三局比賽中，甲至少贏得一局比賽的概率為，求乙每局比賽獲勝的概率；（2）若前三局比賽中甲只贏了一局，設這場比賽結束還需要比賽的局數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望，并求當為何值時，最大．【答案】（1）（2）分布列見解析，，當時，最大【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出甲每局比賽獲勝的概率，即可求得乙每局比賽獲勝的概率；（2）由題意知，的所有可能取值分別為，分別求出每種取值的概率得到分布列和期望，然后求導得單調性即可求最大值.【小問1詳解】設事件A為“前三局比賽中，甲至少嬴得一局比賽”，則，化簡得，即，所以或（舍去），所以乙每局比賽獲勝的概率為．【小問2詳解】由題意知，的所有可能取值分別為，且，，．則的分布列為234所以，，令，得，當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以當且僅當時，最大．20.已知橢圓：的離心率為，且過點，點與點關于原點對稱，過點作直線l與E交于，兩點（異于點），設直線與的斜率分別為，．（1）若直線l的斜率為，求的面積；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件列方程求可得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結合弦長公式求出，再求點到邊的距離，由此可求面積；（2）方法一：先在條件直線的斜率不存在時，求出，再求，再利用設而不求法求出當直線的斜率存在時的值即可；方法二：設的方程為，設直線的斜率為，聯(lián)立方程組，利用設而不求法確定的關系，由此可得結論；方法三：設直線：，即，設直線的斜率為，聯(lián)立方程組結合設而不求法法確定的關系，由此可得結論.【小問1詳解】因為，所以，因為點在橢圓上，所以，所以，，所以橢圓的方程為．直線：，即，代入得，設，，則，，所以，又點到直線：的距離，所以的面積．【小問2詳解】當直線斜率不存在，即：時，，不妨取，，因，，則，，所以．當直線斜率存在時，設：，代入：得：，由已知方程的判別式，設，，則，，則．綜上可知，．法二：設：，代入：得，由已知方程的判別式，設，，則，，設直線的斜率為，則，又，即，所以，則，所以．法三：設直線：，即，所以．橢圓：，即，所以，即，則，整理得，設直線的斜率為，則又，即，所以，則，所以．【點睛】關鍵點點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21.設函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，曲線與有兩條公切線，求實數(shù)的取值范圍；（3）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調遞增區(qū)為，單調遞減區(qū)間為（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用導數(shù)，求函數(shù)單調區(qū)間；（2）設兩個曲線上的切點坐標，利用導數(shù)求切線斜率，由公切線的性質，列方程，通過構造函數(shù)研究單調性和最值，求實數(shù)的取值范圍；（3）構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性，由不等式恒成立的條件求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，當時，，當時，，的單調遞增區(qū)為，單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】設公切線切于點，切于，則有，即，得，代入得.解法一：構造函數(shù)，.當遞減，當遞增，，又當時，，當時，，根據(jù)題意有兩根，即，得；解法二（同構）：令時，，當時，，當時，，故，且當時，當時，，根據(jù)題意有兩根，，得.所以實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】對恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則在上為增函數(shù)，當時，，即，在上為增函數(shù)，若，有，不合題意.當時，由得（舍去），時，，則在上單調遞減，時，，則在上單調遞增，的最小值為，