第08講勾股定理

1【學習目標】

1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條

邊長.

2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題.

3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題.

W【基礎(chǔ)知識】

一.直角三角形的性質(zhì)

（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形.

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）.

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余.

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一

個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.

二.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么次+房=02.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+62=02的變形有：0="2-爐,b=-a2及U+12.

（4）由于/+信=。2>/，所以c>a,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

三.勾股定理的證明

（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法，然后再利用面

積相等證明勾股定理.

（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小

圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

四.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所

有性質(zhì).即：兩個銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊

上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°,高又垂直

于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑廠=1,則外接圓的半徑尺=\僅+1,所以r：R=l：V2+1.

【考點剖析】

一.直角三角形的性質(zhì)（共6小題）

1.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，是一個銳角，點C、。分別為邊。4、上的點，0c=10,OD

=8,圖中可能互相垂直的兩條線是（)

B.CD與OB

C.CZ)與。4D.沒有可能垂直的兩條線

2.（2021春?畢節(jié)市期末）若△ABC中,ZA=90°,且NB-/C=30°,那么NB的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（2022春?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個銳角度數(shù)之比為1：5,則較小的銳角度數(shù)為.

4.（2022春?大豐區(qū)校級月考）在△ABC中，已知NA=90°,/B=NC,則.

5.（2022春?濱?？h期中）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,于點Q,BE平分/48C,AD,BE

相交于點F.

(1)若/CA￡)=36°,求NAEF的度數(shù);

(2)試說明：ZAEF=ZAFE.

6.（2020秋?儀征市期末）下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）

A.2,4,5B.3,4,5C.4,4,5D.5,4,5

二.勾股定理（共5小題）

7.（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在中，ZC=90°,AC=5,BC=12,貝!]A8=（）

A.12B.13C.14D.15

8.（2021秋?宜興市期末）在一個直角三角形中，若斜邊的長是13,一條直角邊的長為5,那么這個直角

三角形的面積是（）

A.30B.40C.50D.60

9.（2022春?岳麓區(qū)校級期中）如圖，在RtZsABC中，ZACB=90°,以RtA4BC的三邊為邊向外作正方

形，其面積分別為Si,S2,S3,且51=5,&=16,則52=（）

A.6B.25/2C.11D.24

10.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足/1=/2,則稱點尸

為這個三角形的“理想點”.

（1）如圖①，若點。是△ABC的邊A8的中點，AC=2y/2,A8=4,試判斷點。是不是△ABC的“理

想點”，并說明理由；

(2)如圖②，在RtZkABC中，ZC=90°AB=5,AC=4,若點。是△ABC的“理想點”，求C￡＞的

長.

11.（2021秋?陽山縣期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=2.以48為一條邊向三角形外

部作正方形，則正方形的面積是（）

A.5B.6C.12D.13

三.勾股定理的證明（共4小題）

12.（2020秋?崇川區(qū)期末）如圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形.若小正方形

邊長為3,大正方形邊長為15,則一個直角三角形的面積等于（）

13.（2022春?江都區(qū)期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個完全一樣的直角三角形所圍成，在RtZ\ABC中，

AC=b,BC=a,ZACB=90°,若圖中大正方形的面積為60,小正方形的面積為10,貝|（。+6）2的值

為

14.（2022春?陽高縣月考）4個全等的直角三角形的直角邊分別為a、b,斜邊為c.現(xiàn)把它們適當拼合,

可以得到如圖的圖形，利用這個圖形可以驗證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請試一試.

15.（2021秋?六合區(qū)期中）如圖是由4個全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的兩條直角邊分

別為a、b（b>a）,斜邊為c,中間是正方形，請你利用這個圖來驗證勾股定理.

四.等腰直角三角形（共6小題）

16.（2021秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在△ABC中，A2=AC=1,若/B=45°,則線段的長為

AC

17.（2022春?泗洪縣期中）如圖，將一個含有45。角的直角三角尺放在兩條平行線機、〃上，已知/1=

C.45°D.75°

18.（2020秋?邢江區(qū)月考）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。在底邊

8c上，AE=AD,連結(jié)OE.

（1）當NA4￡）=60°時，求NC￡）E的度數(shù);

（2）當點。在（點8、C除外）上運動時，試猜想并探究與/。E的數(shù)量關(guān)系.

19.（2021秋?濱湖區(qū)期末）如圖，△ABC為等邊三角形，CDLAC,CD=AC,則/8Z）C=

D

BC

20.（2021秋?句容市期末）如圖，將一副三角板擺放在直線AB上，NECD=NFDG=90°,NEDC=45°,

設(shè)則用x的代數(shù)式表示NGZ52的度數(shù)為.

21.（2020秋?鹽城期末）如圖，點O為直線A8上一點，過點。作射線OC,使N8OC=135°,將一個

含45°角的直角三角板的一個頂點放在點。處，斜邊與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線

的下方.

圖1圖2圖3

（1）將圖1中的三角板繞著點0逆時針旋轉(zhuǎn)90°,如圖2所示，此時；在圖2中，

0M是否平分/CON?請說明理由；

（2）接著將圖2中的三角板繞點O逆時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得ON在/AOC的內(nèi)部，請

探究：NAOM與NCON之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）將圖1中的三角板繞點。按每秒4.5。的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當旋轉(zhuǎn)到

第秒時，/COM與NCON互補.

0【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共10小題）

1.（2021秋?山亭區(qū)期末）如圖，RtAABC+，ZACB=90°,若A2=15cw,則正方形ADEC和正方形

8CFG的面積和為（）

A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.無法計算

2.（2022春?泗洪縣期中）兩個邊長分別為“，b,。的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形

用兩種不同的計算方法計算這個圖形的面積，則可得等式為（）

A.(a+Z?)2=c2B.(a-/?)2=c2C.a2+b2=c2D.d-。2=02

3.（2021秋?欒城區(qū)校級期末）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案,

已知大正方形面積為81,小正方形面積為16,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（%>y）,請觀察

圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（)

B.x+y=13C.2孫+16=81D.x-y=4

4.（2022春?江陰市期中）如圖，點。是線段A5上的一點，分別以AC、5c為邊向兩側(cè)作正方形.設(shè)A5

=6,兩個正方形的面積和SI+S2=20,則圖中△58的面積為（）

A.4B.6C.8D.10

5.（2021秋?東臺市期末）如圖，正方形A3CQ的面積為15,的斜邊CE的長為8,則8E的長

為（）

A.17B.10

6.（2021秋?泗陽縣期末）已知直角三角形的兩條邊長分別是3和4,那么這個三角形的第三條邊的長為

（）

B.25D.5或H

7.（2021秋?泗陽縣期末）如圖是一正方體的平面展開圖，若AB=6,則該正方體48兩點間的距離為

A.2B.3C.4D.6

8.（2021秋?江陰市期末）如圖，在四邊形ABCD中，連接AC,BD,已知/A￡>B=NACB=90°,

4AB=45’，CD=V2,BC=M，則四邊形ABC。的面積為（）

c

A.2a

9.（2022春?新田縣期中）如圖，在四邊形4BCZ）中，ZB=ZD=90°,分別以四邊向外作正方形甲、乙、

丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（）

T

A.S甲=S丁B.S乙=S丙

C.S甲+S乙=S丙+S丁D.S甲一S乙=5丙一5丁

10.（2021秋?宜興市期末）如圖，在△ABC中，ZABC=90°,5C=4,A3=8,尸為AC邊上的一個動點,

。為尸8上的一個動點，連接AD當NCBP=N840時，線段CD的最小值是（）

A.V2B.2c.2S/2-1D.4后一4

—.填空題（共5小題）

11.（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，△ABC中，ZC=90°,平分NB4C,AB=10,AC=6,則8。的長

是_______

12.（2022春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，四邊形A8CD中，AD//BC,ZB=60°,ZC=30°,AD=2,BC

=7,則42=

13.（2022春?丹陽市期中）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AC=9,BC=15,點D、E分另LlAB、BC

的中點，點F在C4的延長線上，且/則四邊形AEDE的周長為

14.（2022春?海安市期中）如圖△ABC中，ZACB=90°,AC^12,BC=5.若動點尸從點C開始以每

秒1個單位的速度，按C-A-B的路徑運動，設(shè)運動的時間為f秒，當f為時，△BCP為等腰

三角形.

AN

P

A

I

15.（2022春?如皋市校級月考）如圖，線段A8的長為8,C為上一動點，分別以AC、BC為斜邊在

AB的同側(cè)作兩個直角三角形△ACD和△8CE,其中/A=30°,ZB=60°,那么DE長的最小值

是.

16.（2021秋?如皋市期末）如圖，在△ABC中，AC=5,E為邊上一點，且CE=1,AE=遂,BE=

4,點尸為AB邊上的動點，連接EF.

（1）求AB的長；

（2）當△2EF為等腰三角形時，求AF的長.

17.（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=1,AC=2,A3的中垂線。E交A3

于點。，交AC于點E.延長QE交8c的延長線于點尸，連接AF.

(1)求的長;

(2)求A歹的長.

18.（2021秋?連云港期末）如圖，在△ABC中，BC=6,AC=8,DELAB,DE=1,△ABE的面積為35.

(1)求AB的長；

(2)求△ACB的面積.

19.(2021秋?宜興市期末)已知△ABC中，AB^AC,CDLABD.

⑴若NA=42°,求/OCB的度數(shù)；

(2)若BD=1,CD=3,/為AC的中點，求。M的長.

20.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期末)如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^15,AC^20,AD1BC,垂足為

D.

(1)△ABC的面積是

（2）求BC、AD的長.

21.（2021秋?石獅市期末）如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,動點尸從點8出

發(fā)，以2a”/秒的速度沿移動至點C,設(shè)運動時間為f秒.

（1）求3c的長；

（2）在點P的運動過程中，是否存在某個時刻f,使得點P到邊AB的距離與點P到點C的距離相等？

若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

14/50

15/50

第08講勾股定理

力【學習目標】

1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條

邊長.

2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題.

3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題.

【基礎(chǔ)知識】

直角三角形的性質(zhì)

（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形.

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）.

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余.

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一

個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.

勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么。2+d=02.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+廬=,2的變形有：a="2-爐,b=也2—a2及ChQa2+爐.

（4）由于『+廬=。2>/，所以c>q,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

三.勾股定理的證明

（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法，然后再利用面

積相等證明勾股定理.

（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小

16/50

圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

四.等腰直角三角形

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所

有性質(zhì).即：兩個銳角都是45。，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊

上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45。，高又垂直

于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；

（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑R=0+1,所以r：R=l：0“1.

【考點剖析】

一.直角三角形的性質(zhì)（共6小題）

1.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，/A08是一個銳角，點C、。分別為邊。4、上的點，OC=10,OD

=8,圖中可能互相垂直的兩條線是（）

C.C。與。4D.沒有可能垂直的兩條線

【分析】根據(jù)題干及三角形三邊關(guān)系、勾股定理即可判斷.

【解答】解：A、是一個銳角，

：.OA與OB不可能垂直，

該選項不符合題意；

B、若CD與垂直，則NOOC=90°,

根據(jù)勾股定理可得：CD="02-82=6,

故有可能存在，

該選項符合題意；

C、若CD與。4垂直，則/OCQ=90°,

在RtzXOC。中，斜邊。。=8〈直角邊OC=10,與三角形三邊關(guān)系矛盾，

該選項不符合題意；

D、因為與08可能垂直，故該選項不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查直角三角形的概念，能聯(lián)想到三角形三邊關(guān)系、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

17/50

2.（2021春?畢節(jié)市期末）若△ABC中，NA=90°,且/B-/C=30°,那么的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得N8+NC=90°,再結(jié)合NB-NC=30°計算出的度數(shù)即可.

【解答】解：???/A=90°,

.\ZB+ZC=90°,

VZB-ZC=30°,

.\ZB=60°,

故選：D.

【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形兩銳角互余.

3.（2022春?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個銳角度數(shù)之比為1：5,則較小的銳角度數(shù)為15。.

【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：設(shè)較小的一個銳角為x,則另一個銳角為5x,

則x+5尤=90。，

解得：x=15°,

則較小的一個銳角為15°,

故答案為：15°.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

4.（2022春?大豐區(qū)校級月考）在△ABC中，己知NA=90°,/B=/C,則45°.

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到NB+NC=90°,根據(jù)題意計算，得到答案.

【解答】解：；NA=90°,

.".ZB+ZC=90°,

；NB=NC,

.\ZB=45°,

故答案為：45°.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?濱海縣期中）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AO_L8C于點。，8E平分N48C,AD,

3E相交于點?

（1）若NC4Z）=36°,求NAEB的度數(shù)；

（2）試說明：/AEF=/AFE.

【分析】（1）根據(jù)條件的余角相等得到NA2Z）=NC4r>=36°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出根據(jù)

18/50

直角三角形的性質(zhì)計算即可；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【解答】（1）-：AD±BCf

：.ZABD^ZBAD=90°,

〈NA4c=90°,

：.ZBAD+ZCAD=90°,

AZABD=ZCAD=36°,

〈BE平分NA3C,

1

AZABE=^ZABC=1S°,

2

???ZAEF=90°-NABE=72°；

（2）證明：:BE1平分NABC,

/.NABE=NCBE,

VZABE+ZAEF=90°,NCBE+NBFD=90°,

???NAEF=NBFD,

9：NAFE=/BFD,

：.ZAEF=ZAFE.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵.

6.（2020秋?儀征市期末）下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）

A.2,4,5B.3,4,5C.4,4,5D.5,4,5

【分析】如果三角形的三邊長〃，。，C滿足〃2+必=02,那么這個三角形就是直角三角形.根據(jù)勾股定理

的逆定理即可判斷.

【解答】解：A、22+42^52,根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意；

B、32+42=52,根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合題意；

0、42+42^52,根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意；

D、42+5V52,根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合題意；

故選：B.

【點評】此題考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)，如果三角形的三邊長a,b,c滿足J+必

=。2,那么這個三角形就是直角三角形.

二.勾股定理（共5小題）

7.（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在中，ZC=90°,AC=5,BC=12,則A3=（）

19/50

cB

A.12B.13C.14D.15

【分析】根據(jù)勾股定理直接求即可.

【解答】解：在Rt/XABC中，ZC=90°,

由勾股定理得：AB=^AC2+BC2=Vs2+122=13.

故選：B.

【點評】本題主要考查了勾股定理求線段的長度，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?宜興市期末）在一個直角三角形中，若斜邊的長是13,一條直角邊的長為5,那么這個直角

三角形的面積是（）

A.30B.40C.50D.60

【分析】由勾股定理得，另一條直角邊長為：4132-52=12,即可計算面積.

【解答】解：由勾股定理得，另一條直角邊長為：J。_52=12,

這個直角三角形的面積為5X12+2=30,

故選：A.

【點評】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)

鍵.

9.（2022春?岳麓區(qū)校級期中）如圖，在中，ZACB=90°,以Rt^ABC的三邊為邊向外作正方

形，其面積分別為Si,Si,S3,且51=5,%=16,則S2=（)

A.6B.20C.11D.24

【分析】根據(jù)題意，可以得到BC2=5,AB2=16,然后根據(jù)勾股定理即可得到AC?的值，從而可以求得

S2的值.

【解答】解：：以Rt/VIBC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為Si,S2,S3,且Si=5,53=16,

：.BC2^5,A八的

由勾股定理得：AB2=BC2+AC2,

：.AC2=16-5=11,

即S2=ll,

20/50

故選：c.

【點評】本題考查勾股定理、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）定義：如圖，若點尸在三角形的一條邊上，且滿足/1=/2,則稱點P

為這個三角形的“理想點”.

（1）如圖①，若點D是△ABC的邊4B的中點，AC=20AB=4,試判斷點D是不是△ABC的“理

想點”，并說明理由；

（2）如圖②，在中,ZC=90°,AB=5,AC=4,若點。是△ABC的“理想點”，求CQ的

長.

圖①圖②

ACAH

【分析】（1）由已知可得一=—,從而△ACDs/ABC,ZACD=ZB,可證點D是AABC的"理想

ADACk

點”；

（2）由。是△ABC的“理想點”，分三種情況:當￡）在A3上時，CD是A2邊上的高，根據(jù)面積法可

求CD長度；當。在AC上時，ABDCSAABC,對應(yīng)邊成比例即可求CZ）長度；。不可能在BC上.

【解答】解：（1）點Q是△ABC的“理想點”，理由如下:

是A8中點，AB=4,

：.AD=BD=2,AD'AB=8,

?.?AC=2g,

；.AC2=8,

:.AC2^AD-AB,

.ACAB

??=,

ADAC

?.*ZA=ZA,

???AACD^AABC,

???/ACD=/B,

???點。是△A3C的“理想點'

(2)①。在AB上時，如圖:

21/50

:。是△ABC的“理想點”,

：.ZACD^ZB或ZA,

當/AC￡)=NB時，

VZACD+ZBCD^9Q°,

：.ZBCD+ZB=90°,

：.ZCDB=9Q°,即CD是AB邊上的高，

當/BC￡)=/A時，同理可證NCnB=90°,即CO是AB邊上的高,

在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,

：.BC=>J,AB2-AC2=3,

,：SMBC=^\B'CD=^AC-BC,

：.CD=^,

□

@'：AC=4,BC=3,

：.AC>BC^ZB>ZA,

“理想點”。不可能在BC邊上,

③。在AC邊上時，如圖:

???。是△A3C的“理想點”，

AZDBC=NA,

又NC=NC,

:.ABDCSAABC,

CDBCCD3

—=—,a即一=

BCAC34

g

:.CD=了

綜上所述，點。是△ABC的“理想點”，CO的長為"或？.

54

22/50

【點評】本題考查相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點”的定義.

11.（2021秋?陽山縣期末）如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=3,BC=2.以A8為一條邊向三角形外

部作正方形，則正方形的面積是（）

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB2,根據(jù)正方形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：在△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=2,

則AB1=AC2+BC2=32+22=13,

正方形的面積=4屏=13,

故選：D.

【點評】本題考查的是勾股定理、正方形的面積計算，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜

邊長為c,那么a2+b2=c2.

三.勾股定理的證明（共4小題）

12.（2020秋?崇川區(qū)期末）如圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形.若小正方形

邊長為3,大正方形邊長為15,則一個直角三角形的面積等于（）

A.36B.48C.54D.108

【分析】根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：???小正方形邊長為3,大正方形邊長為15,

...一個直角三角形的面積X（152-32）=54,

4

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的識別圖形.

13.（2022春?江都區(qū)期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個完全一樣的直角三角形所圍成，在RtZXABC中，

AC^b,BC=a,ZACB=90°,若圖中大正方形的面積為60,小正方形的面積為10,貝U（a+b）2的值

為110.

23/50

【分析】根據(jù)圖形表示出小正方形的邊長為，再根據(jù)四個直角三角形的面積等于大正方形的面

積減去小正方形的面積求出2ab,然后利用完全平方公式整理即可得解.

【解答】解：由圖可知，（b-a）2=10,4x&b=60-10=50,

2而=50,

（a+6）2=（6-。）2+4"=10+2X50=110.

故答案為：110.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的應(yīng)用，仔細觀察圖形利用小正方形的面積和直角

三角形的面積得到兩個等式是解題的關(guān)鍵.

14.（2022春?陽高縣月考）4個全等的直角三角形的直角邊分別為八b,斜邊為c.現(xiàn)把它們適當拼合，

可以得到如圖的圖形，利用這個圖形可以驗證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請試一試.

【分析】根據(jù)圖形的總面積等于一個大正方形的面積加上兩個直角三角形的面積，也等于兩個小正方形

的面積加上兩個直角三角形的面積，然后整理即可得證.

【解答】解：圖形的總面積可以表示為：c1+2x^ab=c2+ab,

也可以表示為：/+6'+2x$6=。2+店+。6,

所以，02+46=“2+廬+46,

所以，a2+b2=c1.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，觀察圖形，利用兩種方法表示出圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

15.（2021秋?六合區(qū)期中）如圖是由4個全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的兩條直角邊分

別為a、b（b>a）,斜邊為c,中間是正方形，請你利用這個圖來驗證勾股定理.

24/50

【分析】利用大正方形的面積等于4個三角形的面積加上中間小正方形的面積，進而證明問題.

【解答】解：「S大正方形=4x$6+（b-a）2，

—c^+b2,

c___2

J大正方形—C，

.".cr+b2=c2.

【點評】此題主要考查了勾股定理的證明，利用圖形面積得出是解題關(guān)鍵.

四.等腰直角三角形（共6小題）

16.（2021秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在aABC中，AB=AC=1,若NB=45°,則線段2C的長為_J5_.

【分析】由A2=AC得/2=NC=45°,從而NA=180°-ZB-ZC=90°,由勾股定理即得答案.

【解答】解：

：.ZB=ZC=45Q,

ZA=180°-ZB-ZC=90°,

:.BC=\/AC2+AB2=Vl2+12=V2-

故答案為：V2.

【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明NA=90°及熟練應(yīng)用勾股定理.

17.（2022春?泗洪縣期中）如圖，將一個含有45°角的直角三角尺放在兩條平行線相、“上，已知Nl=

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N4,進而利用三角形外角性質(zhì)解答即可.

25/50

【解答】解：過點C作CE〃相〃心

???NACE=N3,NECB=N4,

VZ1=Z3,ZACB=90°,

???NAC3=N3+N4=N1+N4=7O°+Z4=90°,

AZ4=20°,

???N5=20°,

???N2=N5+N3=20°+45°=65°,

故選：A.

【點評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答.

18.（2020秋吁R江區(qū)月考）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,A3=AC,點。在底邊

上，AE=AD,連結(jié)。

（1）當NA4D=60°時，求NCDE的度數(shù);

（2）當點。在5C（點5、。除外）上運動時，試猜想并探究NA4O與NCDE的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可求NB=NC=45°,ZAED=75°,即可求解;

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可求NB=NC=45°,NAE0=45°+；x,即可求解.

【解答】解：(1),.,A5=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZC=45°,

VZBAZ)=60°,

：.ZDAE=30°,

*：AD=AE,

：.ZAED=15°,

AZCDE=ZAED=ZC=30°；

26/50

(2)猜想NCO￡=NNB4。，理由如下:

2

設(shè)N84O=羽

AZCAZ)=90o-x,

VAE=A￡>,

AZAED=45°+1x,

11

???ZCDE=3=^ZBAD.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)

鍵.

19.(2021秋?濱湖區(qū)期末)如圖，△A3C為等邊三角形，CD_LAC,CD=AC,則N8DC=15°.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及垂線的性質(zhì)可求得NBCD=150°,AC=5C=C。，由等要三角形的性

質(zhì)可得NC3D=N3DC,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可求解.

【解答】解：???△A5C為等邊三角形，

AZACB=60°,AC=BC,

VCDXAC,

ZACD=90°,

ZBCZ)=60°+90°=150°,

?：CD=AC,

:?BC=CD,

：.ZCBD=ZBDC,

,/ZCBD+NBDC+ZBCD=180°,

1

AZBDC=^(180°-150°)=15°,

2

故答案為：15.

【點評】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形的內(nèi)角和定理，求得NCBD=NBDC

是解題的關(guān)鍵.

20.(2021秋?句容市期末)如圖，將一副三角板擺放在直線A8上，ZECD=ZFDG=90°,ZEDC=45°,

設(shè)/口甲=羽則用x的代數(shù)式表示NGQ3的度數(shù)為45°-X.

27/50

E

【分析】利用平角180°減去/尸DG,/EDC與NED尸的和即可.

【解答］解：ZFDG=90°,NEDC=45：ZEDF=x,

.\ZGDB=1800-(ZFDG+ZEDC+ZEDF)

=180°-(90°+45°+無)

=45°-x,

；?用尤的代數(shù)式表示NGOB的度數(shù)為：45°-尤，

故答案為：45°-X.

【點評】本題考查了等腰直角三角形，熟練掌握平角定義是解題的關(guān)鍵.

21.(2020秋?鹽城期末)如圖，點。為直線A8上一點，過點。作射線OC,使N3OC=135°,將一個

含45°角的直角三角板的一個頂點放在點。處，斜邊OM與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線

AB的下方.

圖1圖2圖3

(1)將圖1中的三角板繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,如圖2所示，此時90°；在圖2中，

0M是否平分/CON?請說明理由；

(2)接著將圖2中的三角板繞點。逆時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得ON在NAOC的內(nèi)部，請

探究：NA0M與NCON之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)將圖1中的三角板繞點。按每秒4.5。的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當旋轉(zhuǎn)到

第15或55秒時,ZCOM與ZCON互補.

【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/80M的度數(shù)，然后計算/MOC的度數(shù)判斷是否平分NCON；

(2)利用/AOM=45°-NAON和NNOC=45°-/AON可判斷NA0M與/CON之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，NCOM與NCON互補，則ON旋轉(zhuǎn)67.5°或247.5°,即可得出結(jié)果.

【解答】解：(1)如圖2,ZBOM=90°,

OM平分NCON.理由如下：

VZBOC=135°,

28/50

：.ZMOC=135°-90°=45°,

而NMON=45°,

ZMOC=ZMON；

故答案為900；

(2)/AOM=/CON.

理由如下：如圖3,

?：NMON=45°,

ZAOM=45°-/AON,

VZAOC=45°,

:,NNOC=45°-/AON,

：.ZAOM=/CON；

(3)如圖2,OM.ON都在。。右側(cè)，ZCOM+ZCON=2ZCOM+45°=180°,

：.ZCOM=67.5°,

???NCON=67.5+45=112.5°,

A45°+N8ON=180°-112.5=67.5°,

如圖3,OM.ON都在OC左側(cè)，ZCOM+ZCON=2ZCONU5°=180°,

???NCON=67.5°,

ZBOM=67.5+45=112.5°,

ZBOC+ZCOM=135+112.5=247.5°,

J在旋轉(zhuǎn)的過程中，NCOM與NCON互補，則ON旋轉(zhuǎn)67.5°或247.5°,

67.5°0247，。

--=15或-----=55,

4.54.S

故答案為：15或55.

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線定義、補角的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌

握角平分線以及補角定義是解題的關(guān)鍵.

.【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共10小題）

1.（2021秋?山亭區(qū)期末）如圖，RtzMBC中，ZACB=90°,若48=15刖，則正方形AZJEC和正方形

8CFG的面積和為（）

29/50

A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.無法計算

【分析】小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為8c的平方.兩正方形面積的和為AC2+BC2,

對于RtzXABC,由勾股定理得AB2=AC2+BC2.AB長度已知，故可以求出兩正方形面積的和.

【解答】解:正方形ADEC的面積為：AC2,

正方形BCFG的面積為：8c2；

在RtZXABC中，AB2^AC2+BC2,AB=15,

則AC2+BC2=225cm2.

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理.勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

2.（2022春?泗洪縣期中）兩個邊長分別為a,b,c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形

【分析】用兩種方法求圖形面積，一是直接利用梯形面積公式來求；一是利用三個三角形面積之和來求.

【解答】解：根據(jù)題意得：S=|（a+6）（a+b）,S=夕/?+夕/?+#,

1II19

（〃+。）（〃+。）=54。+3〃匕+5。，DBP（〃+Z?）（a+b）=ab+ab+c9,

2NNZ

整理得：a1+b1=c1.

故選：C.

【點評】此題考查了勾股定理的證明，整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?欒城區(qū)校級期末）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，

已知大正方形面積為81,小正方形面積為16,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（尤＞y）,請觀察

圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）

30/50

y

A./+/=81B.