6.3等比數(shù)列

【考點梳理】

i.等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一賞數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，

這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示(qWO).

2.等比中項

如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項,

且G?=ab或G=i\[ab.

3.等比數(shù)列的通項公式

n

若｛?！ǎ堑缺葦?shù)列，貝!1通項或an=amq"~'.

4.等比數(shù)列的前〃項和公式

等比數(shù)列｛?,｝中，S,=|一'"L-1(硼1、?V、里產(chǎn))求和公式的推導(dǎo)方法

是：乘公比，錯位相減.

5.等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)在等比數(shù)列中，若夕+夕=根+〃，貝!1他?利=麗?斯；若2?n=p+q,則成=他?他⑦，q,m,及￡N*).

(2)若｛斯｝,｛b“｝均為等比數(shù)列，且公比分別為qi，⑴，則數(shù)列｛"，｛p5〃｝⑦W0)，｛詼仍為等比

數(shù)列且公比分別為十，qi，qiq2，差.

qi伙

(3)在等比數(shù)列中，按序等距離取出若干項，也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即斯，a?+m,以+2小…仍為等比數(shù)列，

公比為型.

(4)公比不為一1的等比數(shù)列前〃項和為S"(S"WO),則s”S2n—Sn，S3?—52?,…構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為Q.

(5)等比數(shù)列的單調(diào)性：

①當(dāng)6>0,>1或G<0,0Vq<l時,等比數(shù)列｛④｝是遞增數(shù)列；

②當(dāng)ai>0,0<qVl或s<0,q>l時,等比數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)歹！J;

③當(dāng)4=1時,它是一個常數(shù)列;

④當(dāng)。<0時,它是一個擺動數(shù)列.

考點一等比數(shù)列及其通項公式

【例題(1)對于無窮常數(shù)列7,7,7...,下列說法正確的是(

A.該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列B.該數(shù)列是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

C.該數(shù)列是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列D.該數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

【答案】D

【解析】由題意可知，對于無窮常數(shù)列7,7,7…是以7為首項，0為公差的等差數(shù)列；同時也是以7

為首項，1為公比的等比數(shù)列，故選：D.

(2)等比數(shù)列｛%｝中，已知：出=2,%=16,則公比4=()

A.72B.2C.73D.3

【答案】B

【解析】因為｛%｝是等比數(shù)列，所以生=。243nq3=8,故q=2,故選：B.

(3)已知2、x、8成等比數(shù)列，則x的值為()

A.4B.TC.±4D.5

【答案】C

【解析】因為2、X、8成等比數(shù)列，所以Y=2x8,解得尤=±4,故選：C.

(4)已知數(shù)列｛6｝的通項公式為4=3"。那么9是它的()

A.第10項B.第4項C.第3項D.第2項

【答案】C

【解析】因為數(shù)列｛七｝的通項公式為%=3”T,令3"T=9,解得〃=3,所以9是數(shù)列｛凡｝的第3項，故選：

(5)等比數(shù)列｛4｝的前力項和為S“，已知H，2s2，3s3成等差數(shù)列，則｛%｝的公比為()

A.-B.—C.3D.—

243

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為4,因為加，2s2，3s3成等差數(shù)列，所以4+3S3=2X2SZ，所以

44+3g+3%=4q+4a2,化為：3%=%,解得q=；,故選：D.

(6)在數(shù)列｛"/中，4=2,0“+i-2a“=0,則&=.

【答案】64

【解析】在數(shù)列｛4｝中，an+l-2a?=0,即〃用=2%,又因為q=2*0,所以為H。，所以-=2,

an

所以數(shù)列｛%｝是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以為=2x25=64,故答案為：64.

【變式】(1)在等比數(shù)列｛%｝中，%=3，%=81,則4=()

A.-B."C.3D.V3

33

【答案】C

aa.81cr

【解析】由題意q=上=丁=27,<7=3,故選：C.

a23

(2)已知T,x,-16成等比數(shù)列，則尤的值為()

A.8B.-8C.±8D.±4

【答案】C

【解析】由題意知，X2=(M)X(-16),解得元=±8,故選：C.

(3)已知正項等比數(shù)列｛%｝中，公比q=(,a3a5=16,則G=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】因為4=：,%%=16,所以①2［烏］］=16,所以％2=4x16x16,因為?！?gt;0,所以4=32,

所以=32x-^=1,故選：A.

(4)若將是7"與7"的等比中項，則〃?+〃的值為()

A.-1B.0C.1D.1

【答案】C

【解析】由等比中項定義，知(小『=7<"X7",所以7""=7,所以機(jī)+〃=1,故選：C.

(5)已知數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，8%,3%,電成等差數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的公比4=.

【答案】2或4

【解析】因為8q,3a2,的成等差數(shù)列，所以8q+2=62，即8%+4/=6%4，所以/_64+8=0,解得

q=2或4,故答案為：2或4.

(6)在等比數(shù)列｛七｝中，若4=1,凡=256,疔2,則項數(shù)〃為.

【答案】9

【解析】在等比數(shù)列｛%｝中，4=1,4=2,則a“=a"i=2"T,而見=256,即有2"T=28,解得〃=9,

所以項數(shù)〃為9,故答案為：9.

考點二等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項和

【例題】(1)設(shè)｛%｝是公比為-2的等比數(shù)列，且&+24=72.則$5=()

A.-8B.-11C.8D.11

【答案】B

35

【解析】｛4｝是公比為一2的等比數(shù)列，且4+2。6=72,貝ij(-2)a1+2x(-2)a,=72,解之得4=-1,則

凡=一卜句］…,故選：B.

1-(-2)

(2)若等比數(shù)列｛%｝滿足。4=1°，貝()

A.1B.2C.3D.l+lg2

【答案】B

【解析】由題意知，a2a6=a；=100,貝ijlga24=2,故選：B.

(3)已知正項等比數(shù)列｛%,｝首項為1,且4%,生，2%成等差數(shù)列，則｛%｝前6項和為()

3163

A.31B.—C.—D.63

3232

【答案】C

【解析】4%,%，2a4成等差數(shù)列，2%=4%+2a4,2%q2=4%/+2tZ]q3,即242+4—1=0,解得“=]

(6\I*1-W

或q=-l,又?."">(),.\9=4，/.s[(2JJ_63,故選：c

261-q.132

2

(4)遞增的等比數(shù)列｛%｝的每一項都是正數(shù)，設(shè)其前〃項的和為S“，若%+%=30,q4=81，則凡=

【答案】364

,、Iaa=81\a=3\a=2"

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4，由4q=81,得的的=81,由o-A解得一0門或一0。

[%+/=3。=27[%=3

因為數(shù)列為遞增數(shù)列，所以]；]；7,所以]；:3127,得才=9,因為等比數(shù)列｛%｝的每一項都是正數(shù)，

所以q=3,所以4=1,所以56=誓山=富=364,故答案為：364.

1-q1-3

(5)已知等比數(shù)列｛4“｝的前〃項和為若邑=10,$6=20,則5=()

A.20B.30C.40D.50

【答案】B

【解析】因為｛%｝是等比數(shù)列，所以53,56-53,59-56，(53工0)成等比數(shù)列，即10,10,S9-20成等比數(shù)列,

顯然S9-20=10nS9=30,故選：B.

(6)已知等比數(shù)列｛%｝的前”項和為S"，若S2=g，S3-q=；，貝1工=.

63

【答案】32

(、3

S=%+出=q(1+,)=一1

2,解得<q=-a.(1—1y6)63,,小上63

【解析】由己知條件得232,5'F故答案為：—

61-43232

Sj-4—ct-,+43=a](g+g")=aa\=1

【變式】(1)s“是等比數(shù)列｛%｝的前"項和，al+a3=2,S4=6,貝i]q=()

A.2B.4c.72D-1

【答案】A

【解析】依題意，根據(jù)等比數(shù)列｛4｝的性質(zhì)，出+的=4(6+4)=2。，于是S&=4+/+4(卬+%)=3"=6,

于是0=2,故選：A.

(2)設(shè)S“是等比數(shù)列｛4｝的前九項和，%=3,邑=9,則首項4=()

A.—B.12C.1或—D.3或12

22

【答案】D

【解析】S“是等比數(shù)列｛里｝的前〃項和，%=3,53=9,.?.當(dāng)公比q=l時，4=3,此時邑=9滿足題意，

4=12

當(dāng)公比#1時,41-0_,解得,1?.首項%的值為3或12.

-9q=-2

故選：D.

(3)已知數(shù)列｛%｝滿足4+i=3%(“eN*),且4=2,S,為其前”項的和，貝岫。=()

A.310B.310-1C.39-1D.39

【答案】B

【解析】由題可知｛?！埃鞘醉棡?,公比為3的等比數(shù)列，則%一(；一；)=3-，故選：B.

(4)設(shè)｛4｝是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且的%=2,貝口。82%+1。82%=.

【答案】1

aaaa2lo+101

【解析】log2%+log2%=1。82(。2。5)，ffi]25=34=>g202§2?5=>故答案為：L

(5)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛氏｝的前〃項和為S“，若邑=7,S5-邑=28,則》=()

A.255B.127C.63D.31

【答案】A

【解析】因為S3=%+%+%=7,Ss-S2=a3+a4+as=28,公比4＞。，所以q(l+q+q2)=7,

(1+4+"2)=28,解得4=1,q=2,則Sg=；：=255,故選：A.

(6)在等比數(shù)列&｝中，%=2,4=8。3,5“是數(shù)列｛4｝的前〃項和.若￡=63,則，".

【答案】6

,、Ia=a,q-2[a,=11_7m

【解析】設(shè)｛見｝的公比為q，貝葉；Q4318a，得｝=2'二鼠=修=2"'一1=63，即機(jī)=6,故答案為:

6.

【方法總結(jié)】

1.注意等比數(shù)列每一項均不為0,q也不為0.

2.等比數(shù)列中，已知五個元素勾，an,n,q,當(dāng)中的任意三個，便可求出其余兩個.

3.準(zhǔn)確理解等比數(shù)列的定義及各公式的等價形式，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì).

4.在含字母參數(shù)的等比數(shù)列求和時，應(yīng)分q=l與qWl兩種情況進(jìn)行討論.

5.學(xué)習(xí)等比數(shù)列，要善于將其與等差數(shù)列進(jìn)行類比，如等差數(shù)列中與“和”有關(guān)的性質(zhì)可類比等比數(shù)列中

與“積”有關(guān)的性質(zhì)，還可對二者的思維形式、方法與技巧進(jìn)行類比.

6.3等比數(shù)列

一、選擇題

1.若數(shù)列2,a,8是等比數(shù)列，則實數(shù)。的值為()

A.4B.-4C.±4D.5

【答案】C

【解析】由已知得4=2x8=16,，。=±4,故選:C.

2.已知數(shù)列｛4｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若%=12,%-%=48,則公比0=()

A.-2B.2C.2或-2D.4

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛見｝的公比為q,：其各項均為正數(shù)，故q>0,???%-%=48,

(%-q”？=48,又：%=12,，夕?=4,則(=2,故選：B.

3.已知等比數(shù)列｛%｝的公比為2,前”項和為S“，若q+/=2,則S4=()

1323

A.—B.4C.—D.6

55

【答案】D

【解析】因為4+%=2,0=2,則%+/=4,所以S&=4+。2+/+為=6,故選:D.

4.已知等比數(shù)列｛%｝,a2,勾是方程f-7x+10=0的兩根，則%%=()

A.8B.10C.14D.16

【答案】B

【解析】?.?電，為是方程f_7x+10=0的兩根，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有：

a4al=a2a9=1。

故選：B.

5.已知在等比數(shù)列｛%｝中，4=2,q=2,前幾項和S〃=126,貝！|〃二().

A.9B.8C.7D.6

【答案】D

【解析】因為6=2,q=2,所以2(1—2〃)=2向—2=126,所以〃=6,故選：D.

1-2

6.在等比數(shù)列｛。〃｝中，若。4。7=-1，%+。6=3,則,+'=（）

11

A.3B.-C.—D.—3

33

【答案】D

【解析】因為數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，所以。5%=%%=-1，由題意，所以

-+—=^^=—=-3

a5a6a5a6-1

故選：D

7.若數(shù)列-2,a,b,c,-8是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）

A.4或TB.-4C.4D.-5

【答案】B

【解析】???—2,a,。成等比數(shù)列，則/=_2。＞0,?,?匕＜0,由題意得：/=—2x（—8）=16,

則Z?=T

故選：B.

8.等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，若%=10,§2。=30,貝”3。=（）

A.10B.70C.30D.90

【答案】B

（S“）2=S/OYS3O

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，Si0,Sw-Sw,Sv%成等比數(shù)列，S20—

—S20）

?,.400=10.（亂0—30）,.—0,故選：B.

9”某林場牢記使命、攻堅克難，綠色種植面積以每

5年10%的速度增長，要達(dá)到最初種植面積的10倍大約需要經(jīng)過（）年？（lglbl.04）

A.50B.100C.125D.200

【答案】C

【解析】設(shè)需要經(jīng)過5〃年，才能達(dá)到最初種植面積的10倍，貝股1+10%）"=10,所以

「之二1二。焉=25,所以5"=5x25=125,故選：C.

Igl.lIgl1-10.04

S

10.已知等比數(shù)列｛4｝的前W項和為s,,%+。5=2&，/+4=4及，則（）

an

A.2-2'""B.2-于一"CD.2-2"+1

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,則勺=4黃+4嗝=-2，

S=j_j">2”22―故選：A.

1Fir）/-fl-

二、填空題

11.等比數(shù)列｛4｝中，％=1,4=-2,則Ss=.

【答案】11

【解析】根據(jù)題意，$5=旨條=11,故答案為：11.

1一

12.在等比數(shù)列｛?！ǎ校?=9,。4=3,貝!］。8=.

【答案】I

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4，由題可知《2=幺=故/nqxdnSx!n:，故答案

"23yJ

為:

13.若一1,2,a,。成等比數(shù)列，則。+人=.

【答案】4

【解析】根據(jù)題意，有三=三=2,解得。=T,6=8,所以a+6=（T）+8=4,故答案為：

一12Q

4.

14.等比數(shù)列｛%｝中，-2%=0,則%=.

【答案】2

【解析】由等比中項性質(zhì)可得%%-2%=%2-2%=%（%-2）=0,又｛%｝為等比數(shù)列，所

以％H0,所以為=2,故答案為：2.

15.已知正項等比數(shù)列｛叫的前〃項和為％若%=2,4。=512,貝”6=.

【答案】63

【解析】由題意，/=黃=〒應(yīng)=2或4=-2（舍），由于數(shù)列｛q｝是正數(shù)列，."=2,

a-￡i-i

q

1_Z761-76

=*=26-1=63,故答案為：63.

l-q1-2

16.已知等比數(shù)歹U｛見｝的前3項和為168,%=42,則。6=.

【答案】3

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛g｝的公比為4,4。。，由題意4工1,因為前3項和為168,故

〃]+%+%=------------=168，

l-q

又4-%=44-4/=qq（i-q3），所以q=g，%=96,貝ij4=。應(yīng)5=96xg=3,故答案為:

3.

12

17.已知2是2根與〃的等差中項，1是根與2〃的等比中項，則一+*=.

mn

【答案】8

122m+n

【解析】由題可知2根+〃=4,2mn=l,所以一+—=-----=8,故答案為：8.

mnmn

18.等比數(shù)列｛?！ǎ凉M足?！ǎ尽?，且。2%=4,則

log2Q]+log2a2+log2a3H----Flog2a7=.

【答案】7

【解析】由已知可得〃i,%=〃2，〃6=〃3，〃5=4，，。4=2,I.

7

log2a｛+log2a2+???+log2a7=log2?a2??…,a7）=log2（2）=7,故答案為：7.

三、解答題

19.在2,x,8,y四個數(shù)中，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，求x,y的值.

【答案】x=4,y=12或尤=-4,y=2。

【解析】解：由題意2,尤,8成等比數(shù)列得:^=2x8；由x,8Q成等差數(shù)列得：2x8=x+y,聯(lián)

立可解得:當(dāng)x=4吐＞=12;當(dāng)》=-4時，y=20,故答案為:工=4,、=12,或》=-4,了=2。.

20.已知正項等比數(shù)列｛4｝的前九項和為S“，且4=2,%=8.

(1)求數(shù)列｛4,｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛%｝的前"項和S".

【答案】(1)%=2",〃eN*；(2)5?=2"+1-2,neN*.

【解析】解：(1)設(shè)等比數(shù)歹支凡｝的公比為4,貝1%=%/=242=8,所以0=2或〃=一2(舍),

所以凡=aq〃T=2",ncN*.

(2)由(1)得%=2",所以S="'(j)=2(1-2匚用

1-q1-2

21.在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，4=19=4%.

(1)求數(shù)列｛〃,｝的通項公式；

(2)記S,,為數(shù)列｛%｝的前〃項和，若黑=31,求正整數(shù)機(jī)的值.

1

【答案】(1)an=T-；(2)5

【解析】解：(1)｛%｝是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公式為4,則4>0,由

nxn-1

%=4%n07g2-4%,則q=2,又％=1,則/=axq~—2.

(2)s="(I2)=2"'_]=31，解得根=5.

1-2

22.已知數(shù)列｛凡｝為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，S“為其〃前項和，出=3,a3+a4=36.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若S“<121,求”的最大值.

【答案】⑴。"=3"\(2)4

【解析】解:⑴在等比數(shù)列｛4｝中，設(shè)｛4｝公比為4,因為g=3嗎+4=36,所以

(a.q=3,.

\230，所以