浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

I.已知集合/={x|x(xT)=0},5={1,2,3},則NUB=()

A.0B.{1}C.{051}D.{0,1,2,3}

2.已知向量3=（1,2）,3=（無(wú),-4）,且萬(wàn)與B共線，則實(shí)數(shù)x=（）

A.2B.-2C.8D.-8

3.已知a＞0且"1,則是“/”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)/（尤）=。。5。+夕）（0＜夕＜9）的部分圖象如圖所示，則將該函數(shù)圖象向左平移7個(gè)單位后得到

5.某街區(qū)的交通道路如圖1實(shí)線所示，從A處出發(fā)，沿道路以最短路徑到達(dá)3處，則選擇如圖2實(shí)線所示

5

D.

6

6.已知3sinx+4cosx=Nsin(x+。)對(duì)于VxeR恒成立，貝!]sin28=()

7.已知四棱錐S-/8C。的底面是矩形，5/，平面/3直>,若直線SC與平面NBC。，平面S/B和平面

所成的角分別為a,尸，7,貝U()

A.cosa+cos/?+cos/=^2B.cos2a+cos2；0+cos2/=1

C.sine+sin"+sin?=逝D.sin2a+sin2^+sin2/=1

2

8.已知定義在R上的偶函數(shù)/'(x)滿足〃2-x)弓'(x),^Ik=[2k-l,2k+l],丘Z,當(dāng)無(wú)e/。時(shí)，/(x)=x.

記弧={4關(guān)于尤的方程〃x)=log.(xT)在人上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根},貝iJM=()

A.(1,2]B.[2,+a))C.(1,4]D.[4,+oo)

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)4=l+i,z2=l-i,且4，Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z-4，貝I]()

A.閡=閭B.Z],Z?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.Z]Z,=4—2D.—+^-=0

Z24

io.已知函數(shù)/(x)=則下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)是偶函數(shù)B./[+方]是奇函數(shù)

C.7(x)是周期函數(shù)D.7(尤)在上是減函數(shù)

11.棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD-中，點(diǎn)尸是線段/田上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，貝I]()

A.三棱錐2-尸CD的體積為定值

B.點(diǎn)尸到平面的距離與點(diǎn)尸到點(diǎn)，的距離之和的最小值為1+變

2

C.當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)4重合時(shí)，四面體尸8CQ的外接球的表面積為4兀

D.//PZ)的正切值的取值范圍是[1,亞]

三、填空題

12.已知函數(shù)〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lgx,則〃5)-〃-2)=.

13.已知正實(shí)數(shù)。，b滿足。+，=1,則1+：的最小值為___.

ab

14.設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程出一+4%+旬=0（出，0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為，％2,則原方程可以變形為

。2（工一再）（%-％2）=0，展開得-%（演+%2卜+。2石入2=°，由此，我們可以得至U演+、2二一5，再入2=包.

類比上述方法，如果實(shí)系數(shù)一元三次方程為^+%工2+.儼+/=0（名20）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根毛，Xz，W，

我們也可以得到類似的結(jié)論.已知關(guān)于X的方程x3--x+c=O（ceR）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根不，馬，演，

1J

且無(wú)］<%</，貝X,+x2x3的取值范圍為.

四、解答題

15.某中學(xué)高一年級(jí)1000名學(xué)生中，男生有600名，女生有400名.為調(diào)查該校高一年級(jí)學(xué)生每天的課后學(xué)

習(xí)時(shí)間，按照性別進(jìn)行分層，并通過(guò)比例分配的分層隨機(jī)抽樣從中抽取一個(gè)容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查，

得到如圖1（男生）、圖2（女生）所示的頻率分布直方圖.

⑴求抽取的200名學(xué)生中每天的課后學(xué)習(xí)時(shí)間落在區(qū)間［2.5,3.5）的男生人數(shù)；

（2）估計(jì)該中學(xué)高一年級(jí)全體學(xué)生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間（注：同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作代表）.

16.已知單位向量，，扇的夾角為"

（1）若。=；,求q+e?在馬上的投影向量（結(jié)果用q表示）；

⑵若k1+2q21對(duì)X/4eR恒成立，求6的取值范圍.

17.如圖，48是。。的直徑，P/垂直于。。所在的平面，C是圓周上不同于A,8的任意一點(diǎn).

(1)證明：平面尸NC_L平面尸8C；

⑵若/PB/=45。，N4BC=30°,求二面角的余弦值.

18.在V45C中，角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c.請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件中任選一個(gè)進(jìn)行解答(若選多個(gè)

條件分別解答，則按第一個(gè)解答過(guò)程給分)：

①a(taih4+tari8)=2ctatr4；②6siit4=(7cos,-力；@(a-c)sinB=/?sin(S-C).

⑴求3;

(^)若b=V3,cos^cosC=——,

(i)求V/5C的面積；

(ii)若O,E為NC邊上的兩點(diǎn)，且5。為N/8C的角平分線，BE為/C邊上的中線，求船的值.

BE

19.已知函數(shù)=/+2ax+^ax1+(〃一2)x-^.

⑴若。=0,求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵若。>0,不等式〃x)Wx+2-2a對(duì)VxeR恒成立，求。的最大值;

(3)若a<0,存在加,77>0,使得/(x)在［%〃］上單調(diào)遞增且在［租,〃］上的值域?yàn)椋?加,4司,求。的取值范

圍.

浙江省寧波市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案

題號(hào)12345678910

答案DBACCBDDADBCD

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【詳解】因?yàn)閤(x-1)=0,解得：x=0或％=1,所以/={0』},

因?yàn)?={1,2,3},所以4u5={0,l,2所}.

故選：D

2.B

【詳解】因?yàn)槿f(wàn)與B共線，

所以2%=-4,

解得x=-2,

故選：B

3.A

【詳解】當(dāng)0＜。＜1時(shí)，由a，N5a—u可得?！炊鰊,止匕時(shí)0＜?！炊鰊,

當(dāng)。＞1時(shí)，由=￡可得a＞］此時(shí)。＞1，

所以，滿足不等式優(yōu)＞人的實(shí)數(shù)0的取值范圍是或

因?yàn)?0＜a＜g,是“或ajl"的真子集,

故是“a"＞后”的充分不必要條件.

故選：A.

4.C

【詳解】根據(jù)圖象，/(0)=cos^=^八兀

所以0=?,則/'(x)=cosX+四

6I6

則將該函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位后得到的函數(shù)為y=cos(X++:=COS(X+為.

故選：c

5.C

【詳解】根據(jù)題意，圖1中從A處出發(fā)到達(dá)B處的最短路徑需要經(jīng)過(guò)兩橫兩縱四段短路,

所以最短路徑數(shù)為C；=6種路徑，

圖2中從A處出發(fā)到達(dá)3處的最短路徑有兩種情況：

第一步走縱，只有縱縱橫橫一種路徑；

第一步走橫，到達(dá)如圖所示的C處，

從C處到達(dá)8處的最短路徑需要經(jīng)過(guò)一橫兩縱三段短路，

所以最短路徑有C；=3種路徑，

以上兩種情況相加共4種路徑，

所以選擇如圖2實(shí)線所示的道路到達(dá)8處的概率是:=；.

63

故選：C

6.B

【詳解】；3sinx+4cosx=51：sinx+*osx]=5sin[+夕），其中cosO=1,sin0=1,

4324

/.sin26=2sin6cos6=2x—x—=——.

5525

故選：B.

7.D

【詳解】

如圖所示，設(shè)43二Q,AD=b,SA=C,

因?yàn)镾/_L平面/BCD,因?yàn)?Cu平面/BCD,所以SN_L/C,

A"C為直角三角形，

所以直線SC與平面/8C。所成角為NSC4,即NSC4=a,

因?yàn)?BCD為矩形，所以V/2C為直角三角形，

所以/C=dAB?+BC?=da2+b?，

在RtZkS4C中，SC=yJSA2+AC2=yja2+b2+c2>

一.SAACyja2+b2

所以sma=——=.-------,cosa=-----=/=

SC內(nèi)1'02+c2SCJa2+b2+

因?yàn)?BCD為矩形，所以3c_L48,

因?yàn)椤癬L平面/BCD,8Cu平面/BCD,所以&i_L8C,

又因?yàn)镸u平面&4B,/Bu平面&IB,SAnAB^A,

所以8C_L平面S4B,因?yàn)镸u平面”8,所以3C_LSB,

△SBC為直角三角形,

所以直線SC與平面S/B所成角為/8SC,即NBSC=￡,

因?yàn)镾/_L平面/BCD,48u平面N8CD,所以也_LNB,

在Rt△&48中，SB=y]SA2+AB2=^a2+c2

所以sin￡

因?yàn)?BCD為矩形，所以CD_L/。，

因?yàn)镾/_L平面/BCD,CZ)u平面48CD,所以S/_LC￡),

又因?yàn)椤皍平面S/D,/Ou平面S4。，SAV\AD=A,

所以CD_L平面&4。，因?yàn)镾Du平面S4。，所以CD，SO

△SCO為直角三角形，

所以直線SC與平面所成角為/DSC,即/DSC=7,

因?yàn)椤?_L平面NBC。，4Du平面N8CZ),所以S4_L4D,

在RtA&4。中，SD=y]SA2+AD2=yjb2+c2-

a

所以sin/=

yja2+b2+c2

yja2+b2yja2+c2yjb2+c2

對(duì)于A,C0S6Z+COS尸+cos/

Na2+Z72+。2J42+[2+。2J〃2+/+。2

yja2+b2+y/a2+c2+""A錯(cuò)誤;

a2+b222b2+c2

22a+c

對(duì)于B,cos2a+cos/?+cos/=a2+b2+c2+a2+b2+c1+a2+b2+c2

I(a2+b2+c2

=2，B錯(cuò)誤;

a2+b2+c2

ba

對(duì)于c,sina+sin/?+sin/=~/?—/T1

2

yla2+b2+c2A4Z+b2+c2yla2+b2-k?2

a+b+cr-

凡c錯(cuò)誤;

22

2ba

對(duì)于D,sin2a+sir?，+sin/=a2+b2+c2+a2+b2+c2+a2+b2+c2

a+b+c[c-c施

F—5~~7=1，D正確.

a2+b2+c2

故選：D.

8.D

【詳解】因?yàn)?'(x)為定義在R上的偶函數(shù)，所以/(-x)=〃x),

又因?yàn)椤?-x)^(x),將無(wú)替換T則有/(r)=/(2-x),

即/(x)=/(x+2),所以/(無(wú))為周期為2的周期函數(shù)，

根據(jù)題意即時(shí),f(x)=x2,

Z3=[5,7],當(dāng)xe[5,7]時(shí)，x-6e[-l,l],即x-6e/o，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為周期為2的周期函數(shù)，

所以/(X)=〃X-6)=(X-6)2,XG[5,7],

2

根據(jù)已知條件，(x-6)=logfl(x-3),在xe[5,7]上有兩解，

令t=x-3,則fe[2,4],方程變?yōu)?”3)2=log/,小[2,4],

令必=("3。y2=logflt,根據(jù)題意兩函數(shù)在fe[2,4]有兩個(gè)交點(diǎn),

2

71=(r-3),fe[2,4],為對(duì)稱軸為"3,值域?yàn)閇0』的拋物線，

y2=\ogat,fe[2,4],為對(duì)數(shù)函數(shù)，bg“l(fā)=O,logfla=\,

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)%在此[2,4]上單調(diào)遞減，兩個(gè)函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)，不合題意;

179

當(dāng)a=4,log42=-＜(2-3)-=1,喘4=1=(4-3)-=1,

此時(shí)，兩函數(shù)在fe[2,4]上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)1＜。＜4時(shí)，%=logj單調(diào)遞增,根據(jù)k)g.4＞bg〃=l,

兩圖像最多有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)。＞4時(shí)，％=1。8/單調(diào)遞增，根據(jù)1。804＜1。8"。=1,

兩圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意；

綜上所述，。的取值范圍為[4,+8),所以M=[4,+S).

故選：D

9.AD

【詳解】由題設(shè)[Z]|=|1+i[=&=|1-i|=|Z2|,A對(duì)，

且Z?,l),Z2(l,-1),則兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò);

z,z2=(1+i)(l-i)=2,而4-2=(l+i)-(l-i)=2i,C錯(cuò);

4-2」+iIT.(l+i)2(1)2=2i「2iD對(duì)

z2Z11-i1+i(l-i)(l+i)(1+i)(l-i)22'對(duì)?

故選：AD

10.BCD

【詳解】函數(shù)"x)=F匚的定義域?yàn)镽,

2+sinx

cos-xcosx

對(duì)于A,因?yàn)?(-x)=所以/(X)不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

2+sin(-x)2-sinx

(兀]

cosx+一

對(duì)于B,小+]I2J_-sinx設(shè)函數(shù)g(x)=/(x+^-smx

，其定義域?yàn)镽,

c.(兀、2+cosx2+cosx

I2j

-sin(-x)sin%

則g(-x)==-g(x),所以/是奇函數(shù)，故B正確;

2+cos(-x)2+cosx

/、cos（x+2兀）cosx/、/、

對(duì)于C,因?yàn)?卜+2兀）=bA==〃x）,所以/（尤）是周期為2兀的周期函數(shù)，故C正確;

L十sin{x十，兀I/十sinx

-2sinx-1

對(duì)于D,求導(dǎo)可得/'（x）=尤中春時(shí),sinxe(0,1),則f'[x)<0,

(2+sinx)2

所以/'（X）在（o,￡|上是減函數(shù)，故D正確.

故選：BCD.

11.ABD

【詳解】過(guò)P作交與。,

對(duì)于A,在正方體中，AXBHCDX,

又4BO平面CDDJ,CRu平面CEEj,

所以4B//平面CDD、,即點(diǎn)p到平面CDD、的距離為定值，

故三棱錐2-尸C。的體積為定值，故A正確；

對(duì)于B,過(guò)戶作交與。，則P。/平面48CD,

PQu平面AAtB,D[Pu平面A、BCD1,

把平面44出沿48展開,

所以當(dāng)RPLNB時(shí)，距離之和取得最小值,

又44=AB=AAX,\,AXB=y/2,BD}=V3,

ZABA,=—,sinZ4^A=——,cosZABD,=——，

1411311}3

sin/D]BQ=sin

DXQ=DXBsmZD.BQ=^.=1+A；故B正確；

對(duì)于c,點(diǎn)尸與點(diǎn)4重合時(shí)，四面體尸3G。的外接球即為正方體的外接球,

所以此時(shí)外接球直角為體對(duì)角線，則表面積為3兀；

對(duì)于D,在正方體ABCD-481GA中，

/Z5_L平面44#,又4Pu平面44#,所以/D_L4P,

AD1

所以tan/4?。=—二——,

APAP

又當(dāng)時(shí)，4P取得最小值立，

2

當(dāng)尸與點(diǎn)4或點(diǎn)8重合時(shí)，4尸取得最大值1,

tanZ.APD=e|^1,-\/2J,故D正確；

故選：ABD.

12.1

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（尤）是定義在R上的奇函數(shù)，所以/'（-x）=-/a）,

當(dāng)x>0時(shí),/（x）=lgr,則/⑸-/（-2）=lg5+/（2）=lg5+lg2=lgl0=l.

故答案為：1.

13.3

【詳解】-+-=^+-=l+-+->1+2A￡^=3,當(dāng)且僅當(dāng)2=?即。=b=，時(shí)取等號(hào),

ababab\abab2

所以工+￡的最小值為3.

ab

故答案為：3.

【詳解】由題意。3三+。212+axX+aQ=0（〃3WO）可以變形為。3（工一xj（x—12）（%—%3）=°，

展開得：-。3（演+工2+13）%2+%（演］2+再毛+）%一%再馬七二0，

ay

所以再+工2+%3=---------x{x2+x1x3+x2x3=—

。3

3

二次方程/—x+c=0的根x,x,x,

412一3

所以項(xiàng)+工2+%3=°，再入2+再％3+%2%3=-W，再入2%3=一0，再+超退=再+(工2工3)?

33

由Xl=-X2-X3,代入得：％2%3=_區(qū)_玉(%2+%3)=+

r2323

mL—

內(nèi)止匕：X]+%2%3=再+/——Xj+X]—w.

因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)不等實(shí)根，令"X)=Y一a:x+c/(x)=3/-a:,

令/'(x)=0,得x=±；.xe1-s,-J,/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，xe[g,+，|,f'(x)>0,仆)單調(diào)遞增,

所以「卜）的極大值為/；_）］=（_）］_：x1_g］+c=；+c,

/（X）的極小值為/（；］=（；1_:x；+c=_；+c，

要有三個(gè)不等實(shí)根，則且［J<o,BP-1<C<1

iai

又不是最小根/（再）=0則為<_萬(wàn)，且/（_l）=T+：+c=c_:<0.

所以X］e（_l,一］］

令g（x）=x2+x-1=［x+T,［，

g(T)=1，g］-￡H，

因此，g(x)的取值范圍為即網(wǎng)+xm的取值范圍為11,-

故答案為：［―L-：)

15.⑴72人

(2)3.28小時(shí)

【詳解】(1)由題意得，抽取的200名學(xué)生中，男生人數(shù)為200x黑=120人,

由圖1得，所求男生人數(shù)為120x0.6=72人；

(2)設(shè)樣本中男生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間為無(wú)，樣本中女生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間為歹，高一年級(jí)全

體學(xué)生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間為琳,

由圖1得手的估計(jì)值為2x0.1+3x0.6+4x0.3=3.2,

由圖2得貢的估計(jì)值為2xO」+3xO.5+4xO.3+5xO.l=3.4,

因此加的估計(jì)值為g+g=3.28,

即該中學(xué)高一年級(jí)全體學(xué)生每天的平均課后學(xué)習(xí)時(shí)間的估計(jì)值為3.28小時(shí).

3一

16.(1)-^

八「兀5兀

(2)。€

O0_

【詳解】(1)由6=三，得=|q『=；,

所以q+02在［上的投影向量為［,+02"卜.

(2)由同+2司21得(超+2a)&1，

即%+4cos。+320對(duì)任意實(shí)數(shù)2恒成立.

所以A=16cos2。-12W0，

解得-且vcosevl

22

又因?yàn)椤?0,兀］,

所以6毛考.

OO_

17.(1)證明見解析

⑵手

【詳解】(1)因?yàn)镻/_L平面M3C,BCu平面N3C,所以尸Z_LBC.

因?yàn)辄c(diǎn)C是圓周上不同于A,8的任意一點(diǎn)，是OO的直徑，所以BC，/C.

又因?yàn)镻/n/C=/,R4u平面尸/C,/Cu平面P/C,所以3C_L平面P/C.

又BCu平面尸5C,所以平面尸NC_L平面尸8C.

(2)過(guò)點(diǎn)A分別作/〃，尸C于點(diǎn)H,AKLPB于點(diǎn)、K,連結(jié)K/L

由平面尸/C_L平面P2C,平面尸ZCn平面PBC=PC,得4ff_L平面PC8,

所以加/_LPB,

又因?yàn)槭?_L/K,4KC4H=4,/K,/"u平面N*,

所以尸5_L平面4HK,故PB工HK,

所以二面角A-PB-C的平面角為N/KH.

不妨設(shè)/8=2,

因?yàn)镹P24=45。，ZABC=30°,所以尸4=2,AC=1,PC=4i,尸8=2行.

2

在△尸/。中，AH=-j=,在△尸4g中，AK=①，

所以HK=dAK2—AH?=叵,所以cus/AKH=型=叵.

5AK5

71

18.（l）S=j

⑵⑴g（ii）叵

45

-/、3/、一//口（siru4sinB、_siM

【詳解】（1）選①：由。（匕1》+面15）=2°匕1力，得Q------+——-=2c-------,

IcosAcosBJcosA

qjn廣sin/1

所以sirU---------------2sinC-------,因?yàn)閟iib4>0,sinC>0,解得cosB=—,

cosAcosBcosA2

又因?yàn)?40,兀），所以B

選②：由bsinA=acos（3-已］,得sin5siM=sirL4cos-

所以sinB=cos（8-5,即sinB=cosB+—sinB,解得taiR=百，

I6j22

又因?yàn)椤臁辏?,兀），所以B=

選③：由（"c）sin5=加in（8-C）,得（sia4-sinC）sirtS=sin5sin（8-C）,

所以siiL4-sinC=sin（5-C）,所以sin（B+C）—sin。=sinScosC-cos^sinC,

即2cosBsinC=sinC,因?yàn)閟inC>0,解得cosB=—,

2

又因?yàn)?40,兀），所以B=

兀1

（2）由8=§,得cosB=一cos（4+C）=siiL4sinC-cos^4cosC=—,

因?yàn)閏osZcosC=-',所以siiUsinC=L,

44

根據(jù)正弦定理-^―=-^―==2,得ac=4siih4sinC=1.

SIIL4siiwsinC

/?\c_1.D_V3

⑴S%C=24csm3=彳?

（ii）由余弦定理得cosB=?+，,-",所以_L=（"+c）一一5,所以0+c=&.

2ac22

由SAMc=s^m+SMc0，得也uLc/rrL+La-aerL,所以BD=?=也.

42222a+c2

因?yàn)椋?B￡）2+62=2（/+C2）,所以5￡2=2.+°）-—7=3,解得的=更，

''442

所以些二包

BE5

19.（l）［-l,+co）

⑵5

（3）-2-2^6<0<-2-2^2

【詳解】（1）當(dāng)°=0時(shí)，/（x）=x2+2|x+l|=卜:+『+，'”［，

''1'［X2-2X-2,X<-1,

其中y=/+2x+2開口向上，對(duì)稱軸為x=T,故在［-1,+⑹上單調(diào)遞增，

>=/-2工-2開口向上，對(duì)稱軸為x=l,故在（-e,T）上單調(diào)遞減，

所以/（無(wú)）的單調(diào)遞增區(qū)間為［T,+8）.

(2)由題知，工?++.X?+(a—2—2"x+2—2〃，

即|(7x^+(Q-2)x-212—x^—2ax+x+2-2Q,

|(QX-2乂1+1),-(%