專題20概率與隨機變量及分布列

7種常見考法歸類

知識五年考情（2021-2025）命題趨勢

考點01古典概型

2024·全國甲卷2023·全國甲卷2023·全國乙卷

2023·北京2022·全國甲卷2022·全國乙卷

2022·新高考全國Ⅰ卷2022·上海

2021·全國甲卷2021·全國甲卷

知識概率考點相互獨立事件

1021.概率部分對古典概型、相互

（5年5考）2025·上海2024·新課標Ⅱ卷2023·天津獨立事件、條件概率與全概率

2023·新課標Ⅱ卷2022·全國乙卷

公式均有考查，且頻率較為均

2021·新高考全國Ⅰ卷

勻，說明這些基礎概率模型是

考點03條件概率與全概率公式

2025·北京2025·天津2024·天津2024·上?？疾橹攸c。

2023·全國甲卷2022·天津2022·新高考全國Ⅱ卷2.隨機變量及分布列部分，求

考點04求離散型隨機變量的均值離散型隨機變量的均值是高頻

2025·全國一卷2025·上海2024·北京考點，二項分布、正態(tài)分布也

2024·新課標Ⅰ卷2023·上海2022·浙江時有涉及，體現(xiàn)了對離散型隨

北京全國甲卷浙江

2022·2022·2021·機變量相關(guān)知識的重視，尤其

2021·新高考全國Ⅰ卷2021·北京

是均值作為反映隨機變量取值

知識隨機變

2考點05二項分布

量及分布列平均水平的重要指標，是考查

2025·全國二卷

（5年5考）核心。

考點06正態(tài)分布

2025·天津2024·新課標Ⅰ卷

2022·新高考全國Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅱ卷

考點07概率與其他知識的綜合

2023·新課標Ⅰ卷2021·新高考全國Ⅱ卷

考點01古典概型

1．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨

機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（）

1112

A．B．C．D．

6323

2．（2023·全國乙卷·高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題

準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（）

5211

A．B．C．D．

6323

3．（2024·全國甲卷·高考真題）某獨唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場一次，出

場次序由隨機抽簽確定，則丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場的概率是（）

1111

A．B．C．D．

6432

4．（2022·全國甲卷·高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到

的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1122

A．B．C．D．

5353

5．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率

為（）

1112

A．B．C．D．

6323

6．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8

7．（2021·全國甲卷·高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

1224

A．B．C．D．

3535

8．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取

3次，每次取1個球.記m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則m與n

之差的絕對值不大于1的概率為．

2

9．（2022·上海·高考真題）為了檢測學生的身體素質(zhì)指標，從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項

項目中隨機抽取4項進行檢則，則每一類都被抽到的概率為；

10．（2022·全國甲卷·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率

為．

11．（2022·全國乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的

概率為．

12．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變

化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下

跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．

時段價格變化

第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+

第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+

用頻率估計概率．

(1)試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；

(2)假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天

中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(3)假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不

變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）

考點02相互獨立事件

13．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的

隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)

字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）

A．甲與丙相互獨立B．甲與丁相互獨立

C．乙與丙相互獨立D．丙與丁相互獨立

1

14．（2025·上?！じ呖颊骖}）己知事件A、B相互獨立，事件A發(fā)生的概率為P(A)，事件B發(fā)生的概率

2

1

為P(B)，則事件AB發(fā)生的概率P(AB)為（）

2

111

A．B．C．D．0

842

15．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個

箱子中的球數(shù)之比為5:4:6．且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%．若從每個箱子中各隨機摸出一球，

則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率

為．

16．【多選】（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收

到1的概率為(01)，收到0的概率為1；發(fā)送1時，收到0的概率為(01)，收到1的概率

為1.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每

個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳

輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.

A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為(1)(1)2

B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為(1)2

C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為(1)2(1)3

D．當00.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

17．（2022·全國乙卷·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知

該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3，且p3p2p10．記該棋手連勝兩盤的概率為p，

則（）

A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

18．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則

如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至

少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中

得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為

p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．

(1)若p0.4，q0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．

(2)假設0pq，

（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

考點03條件概率與全概率公式

19．（2023·全國甲卷·高考真題）某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的

同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰

的概率為（）

A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4

20．（2024·天津·高考真題）某校組織學生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項目，

分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項目.假設每人參加

每個項目的可能性相同，則甲同學參加“整地做畦”項目的概率為；已知乙同學參加的3個項目中有“整

地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為．

21．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率

為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為

22．（2024·上海·高考真題）某校舉辦科學競技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫

有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成A題庫的正確率是0.92，B題庫的

正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是．

23．（2025·北京·高考真題）某次考試中，只有一道單項選擇題考查了某個知識點，甲、乙兩校的高一年級

學生都參加了這次考試.為了解學生對該知識點的掌握情況，隨機抽查了甲、乙兩校高一年級各100名學生

該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學生選擇正確的人數(shù)為75.假設學生之間答題相

互獨立，用頻率估計概率.

(1)估計甲校高一年級學生該題選擇正確的概率p

(2)從甲、乙兩校高一年級學生中各隨機抽取1名，設X為這2名學生中該題選擇正確的人數(shù)，估計X1的

概率及X的數(shù)學期望；

(3)假設：如果沒有掌握該知識點，學生就從題目給出的四個選項中隨機選擇一個作為答案；如果掌握該知

識點，甲校學生選擇正確的概率為100%，乙校學生選擇正確的概率為85%.設甲、乙兩校高一年級學生掌

握該知識點的概率估計值分別為p1，p2，判斷p1與p2的大?。ńY(jié)論不要求證明）.

24．（2025·天津·高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，

若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈

的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動量達標，

則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望EX

25．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年

齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40,50)，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡

位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

考點04求離散型隨機變量的均值

567

26．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知隨機變量X的分布為，則期望E[X]．

0.20.30.5

27．（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別

標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各

自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0

分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不

小于2的概率為.

28．（2022·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽

取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則P(2)，E()．

29．（2021·浙江·高考真題）袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，

11

若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則mn，E.

63

30．（2025·全國一卷·高考真題）一個箱子里有5個相同的球，分別以1~5標號，若每次取一顆，有放回地

取三次，記至少取出一次的球的個數(shù)X，則數(shù)學期望E(X).

31．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽

的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正

確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問

題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確

回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

32．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保

單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司

賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數(shù)相互獨立.用頻率估計概率.

(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.

（i）記X為一份保單的毛利潤，估計X的數(shù)學期望EX；

（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利

潤的數(shù)學期望估計值與（i）中EX估計值的大?。ńY(jié)論不要求證明）

33．（2023·上海·高考真題）21世紀汽車博覽會在上海2023年6月7日在上海舉行，下表為某汽車模型公

司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍色外觀

米色內(nèi)飾812

棕色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B取到模型有棕色

內(nèi)飾，求PB,PB|A，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨立；

(2)為回饋客戶，該公司舉行了一個抽獎活動，并規(guī)定，在一次抽獎中，每人可以一次性抽取兩個汽車模型。

為了得到獎品類型，現(xiàn)作出如下假設：

假設1：每人抽取的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果：①兩個模型的外觀和內(nèi)飾均為同色；②兩個模型的外觀和內(nèi)

飾均為不同色；③兩個模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色。

假設2：該抽獎設置三類獎，獎金金額分別為：一等獎600元，二等獎300元，三等獎150元。

假設3：每種抽取的結(jié)果都對應一類獎。出現(xiàn)某種結(jié)果的概率越小，獎金金額越高。

請判斷以上三種結(jié)果分別對應幾等獎。設中獎的獎金數(shù)是X，寫出X的分布，并求X的數(shù)學期望。

X600300150

44977

P

25150150

34．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9．50m

以上（含9．50m）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比

賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．

(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；

(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

35．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10

分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中

獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．

(1)求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．

36．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進

行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測

結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢

測結(jié)果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結(jié)果準確.

（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);

1

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù)，求X的

11

分布列與數(shù)學期望E(X).

(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù)，

試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

考點05二項分布

37．（2025·全國二卷·高考真題）甲、乙兩人進行乒乓球練習，每個球勝者得1分，負者得0分．設每個球

1

甲勝的概率為pp1，乙勝的概率為q，pq1，且各球的勝負相互獨立，對正整數(shù)k2，記pk為

2

打完k個球后甲比乙至少多得2分的概率，qk為打完k個球后乙比甲至少多得2分的概率．

(1)求p3,p4（用p表示）．

p4p3

(2)若4，求p．

q4q3

(3)證明：對任意正整數(shù)m，p2m1q2m1p2mq2mp2m2q2m2．

考點06正態(tài)分布

38．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N2,2，且P(2X2.5)0.36，

則P(X2.5)．

39．（2025·天津·高考真題）下列說法中錯誤的是（）

A．若XN,2，則P(X)P(X)

B．若X:N1,22，YN2,22，則P(X1)P(Y2)

C．r越接近1，相關(guān)性越強

D．r越接近0，相關(guān)性越弱

40．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N10,2，下列結(jié)論中不正確的

是（）

A．越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大

B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D．該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的