（基礎）四年級同步個性化分層作業(yè)8.1.1數(shù)字問題一．選擇題（共3小題）1．（2024秋?坪山區(qū)期末）如果三位數(shù)的中間位置的數(shù)字大于其首位數(shù)字與末位數(shù)字之和，我們就將其稱為友好三位數(shù)。那么連續(xù)的友好三位數(shù)最多可能有（）個。A．5 B．6 C．7 D．8 E．92．（2024?嘉定區(qū)模擬）1×2×3×4×……×2007×2008的運算結果末尾有多少個連續(xù)的0。（）A．100 B．300 C．500 D．7003．（2024春?黃島區(qū)期中）從1寫到100，寫了（）個8。A．9個 B．10個 C．20個二．填空題（共3小題）4．（2025春?高青縣期中）從1到100，一共寫了個“7”。5．（2024?渝北區(qū)）由四個互不相同的非零數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的所有四位數(shù)之和為106656，則這些四位數(shù)中最大的是。6．（2024春?萊陽市期中）從1寫到100，一共寫了個1，個0。三．判斷題（共3小題）7．（2025春?沂源縣期中）從1寫到100，一共寫了21個8。8．（2024春?沂源縣期中）從1寫到100一共寫出了20個1。9．（2010?慈溪市校級自主招生）從1991到5678的自然數(shù)中，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字相同的數(shù)共有369個．…．四．應用題（共1小題）10．（2024?渝北區(qū)）已知一個三位自然數(shù)，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的和，則稱這個數(shù)為“和數(shù)”，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的平方差，則稱這個數(shù)為“諧數(shù)”。如果一個數(shù)既是“和數(shù)”，又是“諧數(shù)”，則稱這個數(shù)為“和諧數(shù)”。例如321，∵3＝2+1，∴321是“和數(shù)”；∵3＝22﹣12，∴321是“諧數(shù)”；∴321是“和諧數(shù)”。（1）證明：任意“諧數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)；（2）已知a＝10m+4n+716（0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均為正整數(shù)）是一個“和數(shù)”，請求出所有a的值。

（基礎）四年級同步個性化分層作業(yè)8.1.1數(shù)字問題參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）題號123答案DCC一．選擇題（共3小題）1．（2024秋?坪山區(qū)期末）如果三位數(shù)的中間位置的數(shù)字大于其首位數(shù)字與末位數(shù)字之和，我們就將其稱為友好三位數(shù)。那么連續(xù)的友好三位數(shù)最多可能有（）個。A．5 B．6 C．7 D．8 E．9【考點】數(shù)字問題．【專題】壓軸題；運算能力．【答案】D【分析】三位數(shù)的中間位置的數(shù)字大于其首位數(shù)字與末位數(shù)字之和，要使連續(xù)的友好三位數(shù)個數(shù)最多，首位數(shù)字應是1，中間數(shù)字是9，則末位數(shù)字可以是0到7，據此解答?！窘獯稹拷猓和ㄟ^分析可得連續(xù)的友好三位數(shù)最多是190、191、192、193、194、195、196、197，共8個。答：連續(xù)的友好三位數(shù)最多可能有8個。故選：D。【點評】本題考查了位值原理與數(shù)字問題的綜合運用。2．（2024?嘉定區(qū)模擬）1×2×3×4×……×2007×2008的運算結果末尾有多少個連續(xù)的0。（）A．100 B．300 C．500 D．700【考點】數(shù)字問題．【專題】壓軸題；應用意識．【答案】C【分析】根據題意，因為每一個5與每一個2相乘等于一個10即可得到末尾1個0，那么可利用分解質因數(shù)的方法將1到2008這些數(shù)中共含有幾個因數(shù)5、幾個因數(shù)2，因為分解質因數(shù)后2的個數(shù)要遠遠大于5的個數(shù)，所以有幾個5就能形成幾個10，也就是所求的幾個0了，進行計算即可得到答案?！窘獯稹拷猓涸?﹣2008中，是5的倍數(shù)的有：2008÷5＝401（個），余數(shù)省略；是25的倍數(shù)的有：2008÷25＝80（個），余數(shù)省略；是125的倍數(shù)的有：2008÷125＝16（個），余數(shù)省略；是625的倍數(shù)的有：2008÷625＝3（個），余數(shù)省略，所以5出現(xiàn)的次數(shù)就是401+80+16+3＝481+16+3＝500（次）所以在1至2009個數(shù)中共有500個因數(shù)5出現(xiàn)，那么1×2×3×……×2007×2008積的末尾會有500個0出現(xiàn)。答：1×2×3×……×2007×2008積的末尾連續(xù)的0會有500個。故選：C?！军c評】本題考查了數(shù)字問題的靈活運用。3．（2024春?黃島區(qū)期中）從1寫到100，寫了（）個8。A．9個 B．10個 C．20個【考點】數(shù)字問題．【專題】壓軸題；應用意識．【答案】C【分析】根據題意，個位是8的數(shù)有10個，十位是8的有10個，然后把個數(shù)相加即可?！窘獯稹拷猓?0+10＝20（個）答：從1寫到100，一共寫了20個“8”。故選：C?！军c評】本題主要考查數(shù)字問題，關鍵注意8在哪個數(shù)位上。二．填空題（共3小題）4．（2025春?高青縣期中）從1到100，一共寫了20個“7”?！究键c】數(shù)字問題．【專題】壓軸題；運算能力．【答案】20。【分析】7出現(xiàn)在個位次數(shù)：7，17，27……97，共10個，7出現(xiàn)在十位次數(shù)：70，71，72……79，共10個，據此解答?！窘獯稹拷猓?0+10＝20（個）答：從1寫到100，一共寫了20個“7”。故答案為：20?！军c評】按個位和十位分別出現(xiàn)7的情況討論，不容易出現(xiàn)重復和遺漏現(xiàn)象。5．（2024?渝北區(qū)）由四個互不相同的非零數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的所有四位數(shù)之和為106656，則這些四位數(shù)中最大的是9421?！究键c】數(shù)字問題．【專題】壓軸題；應用意識．【答案】9421?！痉治觥吭O四個互不相同的非零數(shù)字是a、b、c、d，根據排列組合知識可得：每個數(shù)字在每個數(shù)位上都計算了1×3×2×1＝6（次），所以沒有重復數(shù)字的所有四位數(shù)之和為6×（a+b+c+d）×1111＝106656，然后進一步推斷這些四位數(shù)中最大的是幾。【解答】解：設四個互不相同的非零數(shù)字是a、b、c、d，根據題意可得：6×（a+b+c+d）×1111＝106656解得：a+b+c+d＝16要使這個四位數(shù)最大，千位數(shù)字是9，個位數(shù)字是1，16﹣9﹣1＝6，6＝4+2，所以這些四位數(shù)中最大的是9421。故答案為：9421?！军c評】本題考查了極值問題與數(shù)位知識的綜合運用。6．（2024春?萊陽市期中）從1寫到100，一共寫了21個1，11個0。【考點】數(shù)字問題．【專題】壓軸題；應用意識．【答案】21；11。【分析】要求一共寫了幾個1或0，只需分別求出十位上有1或0的數(shù)有幾個和100中有幾個1或0即可?！窘獯稹拷猓簜€位上1的數(shù)字是：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91，共10個數(shù)；十位上1的數(shù)字是：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19，共10個數(shù)；百位上1的數(shù)字是：100，1個數(shù)；一共有：10+10+1＝21（個）。從1到100中有0的數(shù)字有：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，共11個0。答：從1寫到100，一共寫了21個1，11個0。故答案為：21；11。【點評】本題主要考查了數(shù)字問題，關鍵是正確列舉，不要遺漏。三．判斷題（共3小題）7．（2025春?沂源縣期中）從1寫到100，一共寫了21個8。×【考點】數(shù)字問題．【專題】應用意識．【答案】×?！痉治觥扛鶕}意，寫出1到100中含有“8”的數(shù)，8、18、28、38、48、58、68、78、88、98、80、81、82、83、84、85、86、87、89，這里需要注意88里面書寫了2個8，據此解答。【解答】解：從1寫到100，一共寫了20個8，不是21個8，即原題說法錯誤。故答案為：×。【點評】本題考查了數(shù)字問題的應用。8．（2024春?沂源縣期中）從1寫到100一共寫出了20個1?！痢究键c】數(shù)字問題．【專題】壓軸題；推理能力．【答案】×【分析】分別寫出個位、十位、百位上1的數(shù)字，數(shù)一數(shù)一共有幾個，就寫了幾個“1”。【解答】解：個位上1的數(shù)字是：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91，共10個數(shù)；十位上1的數(shù)字是：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19，共10個數(shù)；百位上1的數(shù)字是：100，1個數(shù)。一共有：10+10+1＝21（個）。即一共寫了21個“1”，所以原題說法錯誤。故答案為：×?！军c評】本題主要考查了數(shù)字問題，明確要求寫了幾個“1”就是數(shù)一數(shù)個位、十位、百位上1的數(shù)字一共有多少即可，注意，重復的數(shù)字不用減掉。9．（2010?慈溪市校級自主招生）從1991到5678的自然數(shù)中，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字相同的數(shù)共有369個．…√．【考點】數(shù)字問題．【答案】見試題解答內容【分析】1999算一個．從0到99里，共有10個這樣的數(shù)字（00算一個，比如2000）．那么，從0到999就有10×10個．那么，從2000到2999，從3000到3999，4000到4999，一共有300個．從5000到5678共有68個，再加上1999，所以共有300+68+1＝369個．【解答】解：1991～1999，有一個；由于從0到99里，共有10個這樣的數(shù)字，所以從0到999就有10×10＝100（個），則從2000～4999共有：100×3＝300（個）這樣的數(shù)字；從5000到5678共有68個；則從1991到5678的自然數(shù)中，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字相同的數(shù)共有：1+300+68＝369（個）．故答案為：√．【點評】了解自然數(shù)的組合規(guī)律是完成本題的關鍵．四．應用題（共1小題）10．（2024?渝北區(qū)）已知一個三位自然數(shù)，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的和，則稱這個數(shù)為“和數(shù)”，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的平方差，則稱這個數(shù)為“諧數(shù)”。如果一個數(shù)既是“和數(shù)”，又是“諧數(shù)”，則稱這個數(shù)為“和諧數(shù)”。例如321，∵3＝2+1，∴321是“和數(shù)”；∵3＝22﹣12，∴321是“諧數(shù)”；∴321是“和諧數(shù)”。（1）證明：任意“諧數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)；（2）已知a＝10m+4n+716（0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均為正整數(shù)）是一個“和數(shù)”，請求出所有a的值。【考點】數(shù)字問題．【專題】壓軸題；應用意識．【答案】（1）設“諧數(shù)”的百位上數(shù)字是x，十位上數(shù)字是y，個位上數(shù)字是z（1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9），則x＝y(tǒng)2﹣z2＝（y+z）×（y﹣z），所以x+y+z＝（y+z）×（y﹣z）+y+z＝（y+z）×（y﹣z+1），因為（y+z）和（y﹣z）奇偶性相同，則（y+z）和（y﹣z+1）一奇一偶，所以（y+z）×（y﹣z+1）的結果是偶數(shù)，即（x+y+z）一定是偶數(shù)，所以任意“諧數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)。（2）734或770?！痉治觥浚?）設“諧數(shù)”的百位上數(shù)字是x，十位上數(shù)字是y，個位上數(shù)字是z（1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9），利用“諧數(shù)”百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的平方差，找出各個數(shù)位上數(shù)字之間的數(shù)量關系，由此解答本題；（2）已知a＝10m+4n+716，則a＝7×100+10×（m+1）+（4n+6），利用“和數(shù)”百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的和，找出m和n的數(shù)量關系，已知0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均為正整數(shù)，找出符合要求的a?！窘獯稹拷猓海?）設“諧數(shù)”的百位上數(shù)字是x，十位上數(shù)字是y，個位上數(shù)字是z（1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9），則x＝y(tǒng)2﹣z2＝（y+z）×（y﹣z），所以x+y+z＝（y+z）×（y﹣z）+y+z＝（y+z）×（y﹣z+1），因為（y+z）和（y﹣z）奇偶性相同，則（y+z）和（y﹣z+1）一奇一偶，所以（y+z）×（y﹣z+1）的結果是偶數(shù)，即（x+y+z）一定是偶數(shù)，所以任意“諧數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)。（2）已知a＝10m+4n+716，則a＝7×100+10×（m+1）+（4n+6），因為0≤m≤7，1≤n≤3，所以1≤m+1≤8，4≤4n≤12，則2≤m+2≤9，10≤4n+6≤18，所以a＝7×100+10×（m+1）+（4n+6）＝7×100+10×（m+2）+（4n+6﹣10）＝7×100+10×（m+2）+（4n﹣4），因為7＝m+2+4n﹣4，所以m+4n＝9，因為0≤m≤7，1≤n≤3，且m、n均為正整數(shù)，所以m＝1，n＝2或m＝5，n＝1，十位上數(shù)字是3或7，個位上數(shù)字是4或0，則a是734或770?！军c評】本題考查的是數(shù)字問題的應用。

考點卡片1．數(shù)字問題【知識點歸納】1．數(shù)字問題的主要題型：數(shù)字問題是研究有關數(shù)字的特殊結構、特殊關系以及數(shù)字運算中變換問題的一類問題，相對來說，難度較大．通常情況下題目會給出某個數(shù)各個位數(shù)關系，求這個數(shù)為多少．2．核心知識（1）數(shù)字的拆分是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經常需要綜合應用整除性質、奇偶性質、因式分解、同余理論等．（2）數(shù)字的排列與位數(shù)關系解答數(shù)字的排列與位數(shù)關系時，經常需要借助于首尾數(shù)法進行考慮、判斷，同時可以利用列方程法、代入法、假設法等一些方法，進行快速求解．【命題方向】?？碱}型：例1：在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)有（）個5．A、213B、187C、133D、80分析：先求出400里面有幾個3，就是1﹣400中有多少個數(shù)能被3整除，再求出400里面有幾個5，就是1﹣400中有多少個數(shù)能被5整除；能同時倍3和5整除的數(shù)是1