七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一覽一、有理數(shù)有理數(shù)是七年級(jí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，核心是數(shù)的分類與運(yùn)算規(guī)則，需重點(diǎn)掌握符號(hào)問題與絕對值的非負(fù)性。（一）有理數(shù)的基本概念1.正數(shù)與負(fù)數(shù)正數(shù)：大于0的數(shù)（如+3、\(\frac{1}{2}\)），通常省略“+”；負(fù)數(shù)：小于0的數(shù)（如-5、\(-\frac{3}{4}\)），必須帶“-”；0：既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界。注意：負(fù)數(shù)表示“相反意義的量”，如“盈利50元”的相反量是“虧損50元”（-50元）。2.有理數(shù)的分類有理數(shù)按定義分為：\[\text{有理數(shù)}=\begin{cases}\text{整數(shù)}&\begin{cases}\text{正整數(shù)}（如1,2）\\0\\\text{負(fù)整數(shù)}（如-1,-2）\end{cases}\\\text{分?jǐn)?shù)}&\begin{cases}\text{正分?jǐn)?shù)}（如\frac{1}{2},\0.3）\\\text{負(fù)分?jǐn)?shù)}（如-\frac{3}{4},\-0.5）\end{cases}\end{cases}\]按符號(hào)分為：\[\text{有理數(shù)}=\begin{cases}\text{正有理數(shù)}（正整數(shù)+正分?jǐn)?shù)）\\0\\\text{負(fù)有理數(shù)}（負(fù)整數(shù)+負(fù)分?jǐn)?shù)）\end{cases}\]易錯(cuò)點(diǎn)：分?jǐn)?shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)（如0.\(\dot{3}\)），但無限不循環(huán)小數(shù)（如π）不是有理數(shù)。（二）數(shù)軸與相反數(shù)1.數(shù)軸的定義與三要素?cái)?shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)（0的位置）、正方向（通常向右）、單位長度（統(tǒng)一的長度標(biāo)準(zhǔn)）的直線。作用：將有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，直觀表示數(shù)的大?。ㄓ疫叺臄?shù)>左邊的數(shù)）。注意：單位長度需統(tǒng)一，不能隨意改變。2.相反數(shù)的概念與性質(zhì)定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)（如3與-3，\(\frac{1}{2}\)與\(-\frac{1}{2}\)）；性質(zhì)：（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0（\(a+(-a)=0\)）；（2）數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱；（3）0的相反數(shù)是0。表示方法：數(shù)\(a\)的相反數(shù)是\(-a\)（如-(-3)=3）。（三）絕對值1.絕對值的定義幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)\(a\)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（記為\(|a|\)）；代數(shù)意義：\[|a|=\begin{cases}a&(a>0)\\0&(a=0)\\-a&(a<0)\end{cases}\]注意：絕對值表示“距離”，故\(|a|\geq0\)（非負(fù)性）。2.絕對值的性質(zhì)\(|a|=|-a|\)（互為相反數(shù)的兩數(shù)絕對值相等）；若\(|a|=|b|\)，則\(a=b\)或\(a=-b\)；\(|a|+|b|=0\)?\(a=0\)且\(b=0\)（非負(fù)性的應(yīng)用）。（四）有理數(shù)的大小比較數(shù)軸法：右邊的數(shù)>左邊的數(shù)；符號(hào)法：正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。ㄈ鏫(-5<-3\)，因\(|-5|>|-3|\)）。（五）有理數(shù)的運(yùn)算1.加法法則同號(hào)相加：取相同符號(hào)，絕對值相加（如\(3+5=8\)，\(-3+(-5)=-8\)）；異號(hào)相加：取絕對值較大的符號(hào)，絕對值相減（如\(3+(-5)=-2\)，\(-3+5=2\)）；互為相反數(shù)相加：和為0（如\(3+(-3)=0\)）；加0：仍得原數(shù)（如\(5+0=5\)）。2.減法法則減去一個(gè)數(shù)=加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)（\(a-b=a+(-b)\)），如\(5-8=5+(-8)=-3\)。3.乘法法則同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對值相乘（如\(3×5=15\)，\(-3×(-5)=15\)，\(-3×5=-15\)）；任何數(shù)乘0得0（\(a×0=0\)）；多個(gè)非0數(shù)相乘：符號(hào)由負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)決定（偶數(shù)個(gè)負(fù)因數(shù)得正，奇數(shù)個(gè)得負(fù)），如\((-2)×3×(-4)=24\)（2個(gè)負(fù)因數(shù)，正）。4.除法法則除以一個(gè)非0數(shù)=乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)（\(a÷b=a×\frac{1}\)，\(b≠0\)），如\(6÷(-3)=6×(-\frac{1}{3})=-2\)；0除以任何非0數(shù)得0（\(0÷b=0\)，\(b≠0\)）；符號(hào)規(guī)則同乘法（同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)）。5.運(yùn)算順序先乘方（若有），再乘除，后加減；有括號(hào)時(shí)，先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)；同級(jí)運(yùn)算，從左到右依次進(jìn)行。（六）科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)（選學(xué)）科學(xué)記數(shù)法：將數(shù)表示為\(a×10^n\)（\(1≤|a|<10\)，\(n\)為整數(shù)），如\(____=3×10^5\)，\(-0.____=-2×10^{-5}\)；近似數(shù)：精確到某一位（如0.032精確到千分位），有效數(shù)字是從左邊第一個(gè)非0數(shù)字起的所有數(shù)字（如0.032有2個(gè)有效數(shù)字：3、2）。二、整式的加減整式是代數(shù)的基礎(chǔ)，核心是同類項(xiàng)合并與去括號(hào)法則，需注意符號(hào)與次數(shù)的判斷。（一）整式的概念1.單項(xiàng)式定義：由數(shù)字與字母的乘積組成的代數(shù)式（單獨(dú)一個(gè)數(shù)字或字母也是單項(xiàng)式），如\(3x\)、\(-5\)、\(a\)；系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)（包括符號(hào)），如\(-3xy\)的系數(shù)是\(-3\)；次數(shù)：單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和，如\(x2y\)的次數(shù)是\(2+1=3\)（常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為0）。2.多項(xiàng)式定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和（或差），如\(2x3+3x2-5\)；項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式（包括符號(hào)），如\(2x3+3x2-5\)的項(xiàng)是\(2x3\)、\(3x2\)、\(-5\)；次數(shù)：多項(xiàng)式中最高次項(xiàng)的次數(shù)，如\(2x3+3x2-5\)的次數(shù)是3；常數(shù)項(xiàng)：不含字母的項(xiàng)，如\(-5\)。3.整式定義：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱（分母不含字母，根號(hào)不含字母）。（二）同類項(xiàng)與合并同類項(xiàng)1.同類項(xiàng)的定義所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)），如\(3x2y\)與\(-5x2y\)是同類項(xiàng)。2.合并同類項(xiàng)法則系數(shù)相加，字母及指數(shù)不變（“合并系數(shù)，保留字母”），如\(3x2y+(-5x2y)=(3-5)x2y=-2x2y\)。（三）去括號(hào)與添括號(hào)法則1.去括號(hào)括號(hào)前是“+”：去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)不變號(hào)（如\(+(2x-3y)=2x-3y\)）；括號(hào)前是“-”：去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都變號(hào)（如\(-(2x-3y)=-2x+3y\)）；括號(hào)前有系數(shù)：系數(shù)乘括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)（如\(3(2x-1)=6x-3\)）。2.添括號(hào)添括號(hào)前是“+”：括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)不變號(hào)（如\(2x-3y=+(2x-3y)\)）；添括號(hào)前是“-”：括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都變號(hào)（如\(2x-3y=-(-2x+3y)\)）。（四）整式加減的步驟1.去括號(hào)（若有）；2.合并同類項(xiàng)（化簡為最簡整式）。示例：計(jì)算\(2(x2-3x)-(x2-2x+1)\)解：\(2x2-6x-x2+2x-1=(2x2-x2)+(-6x+2x)+(-1)=x2-4x-1\)。三、一元一次方程一元一次方程是代數(shù)方程的基礎(chǔ)，核心是解方程的步驟與實(shí)際應(yīng)用，需掌握等量關(guān)系的建立。（一）方程的基本概念1.方程的定義含有未知數(shù)的等式（如\(2x+3=5\)）。2.方程的解與解方程方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值（如\(2x+3=5\)的解是\(x=1\)）；解方程：求方程解的過程。3.一元一次方程的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1，且兩邊都是整式的方程（如\(3x-2=0\)）；標(biāo)準(zhǔn)形式：\(ax+b=0\)（\(a≠0\)，\(a\)、\(b\)為常數(shù)）。（二）解方程的步驟1.去分母兩邊乘所有分母的最簡公分母（每一項(xiàng)都要乘，包括常數(shù)項(xiàng)），如\(\frac{2x+1}{3}-\frac{x-1}{2}=1\)，去分母得\(2(2x+1)-3(x-1)=6\)。2.去括號(hào)按去括號(hào)法則展開（注意系數(shù)乘每一項(xiàng)），如\(2(2x+1)-3(x-1)=4x+2-3x+3\)。3.移項(xiàng)將含未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，常數(shù)項(xiàng)移到右邊（移項(xiàng)要變號(hào)），如\(4x-3x=6-2-3\)。4.合并同類項(xiàng)化簡為\(ax=b\)的形式（\(a≠0\)），如\(x=1\)。5.系數(shù)化為1兩邊除以\(a\)（或乘\(\frac{1}{a}\)），得\(x=\frac{a}\)，如\(x=1\)。易錯(cuò)點(diǎn)：去分母時(shí)漏乘常數(shù)項(xiàng)（如\(\frac{x}{2}+1=3\)，錯(cuò)解為\(x+1=6\)，正確應(yīng)為\(x+2=6\)）；移項(xiàng)時(shí)不變號(hào)（如\(2x+3=5x-1\)，錯(cuò)解為\(2x+5x=-1+3\)，正確應(yīng)為\(2x-5x=-1-3\)）。（三）實(shí)際應(yīng)用問題1.行程問題基本公式：路程=速度×?xí)r間（\(s=v×t\)）；相遇問題：\(v_甲t+v_乙t=s_總\)（甲、乙相向而行）；追及問題：\(v_快t-v_慢t=s_差\)（快者追慢者，初始距離為\(s_差\)）；流水行船：順?biāo)俣?船速+水速，逆水速度=船速-水速。2.工程問題基本公式：工作量=工作效率×?xí)r間（\(w=p×t\)）；合作問題：\((p_甲+p_乙)×t=w_總\)（甲、乙合作完成總工作量）；注：通常將總工作量視為1（如甲單獨(dú)做需\(a\)天，效率為\(\frac{1}{a}\)）。3.利潤問題基本公式：利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（\(利潤=售價(jià)-成本\)）；利潤率=（利潤/進(jìn)價(jià)）×100%（\(利潤率=\frac{利潤}{成本}×100\%\)）；售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣率（如標(biāo)價(jià)100元，打8折，售價(jià)=100×0.8=80元）。4.數(shù)字問題兩位數(shù)：設(shè)十位數(shù)字為\(a\)，個(gè)位數(shù)字為\(b\)，則兩位數(shù)=10\(a\)+\(b\)（如23=10×2+3）；三位數(shù)：設(shè)百位數(shù)字為\(a\)，十位為\(b\)，個(gè)位為\(c\)，則三位數(shù)=100\(a\)+10\(b\)+\(c\)。5.配套問題核心：找到兩種物品的數(shù)量比例（如1個(gè)螺釘配2個(gè)螺母，則螺釘數(shù)量×2=螺母數(shù)量）。6.計(jì)費(fèi)問題分段收費(fèi)：根據(jù)不同區(qū)間的費(fèi)率計(jì)算總費(fèi)用（如電費(fèi)：0-100度每度0.5元，100度以上每度0.6元，求用電150度的費(fèi)用：100×0.5+50×0.6=80元）。四、幾何圖形初步幾何圖形初步是平面幾何的基礎(chǔ)，核心是圖形的表示與基本性質(zhì)，需注意圖形的符號(hào)表示與邏輯關(guān)系。（一）立體圖形與平面圖形1.常見立體圖形柱體：棱柱（如長方體、正方體）、圓柱；錐體：棱錐（如三棱錐、四棱錐）、圓錐；球體：球。2.立體圖形的展開圖正方體展開圖：共11種，分為4類（1-4-1型6種、2-3-1型3種、2-2-2型1種、3-3型1種）；易錯(cuò)點(diǎn)：“凹”型（如凹字形）、“田”型（如田字形）不能拼成正方體。3.平面圖形的分類直線類：線段、射線、直線；角類：銳角（<90°）、直角（=90°）、鈍角（>90°且<180°）、平角（=180°）、周角（=360°）；多邊形：三角形、四邊形、五邊形等（由線段首尾順次連接而成）。（二）點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系點(diǎn)動(dòng)成線（如筆尖寫字）、線動(dòng)成面（如刷子刷墻）、面動(dòng)成體（如旋轉(zhuǎn)長方形得圓柱）；體由面圍成，面與面相交成線，線與線相交成點(diǎn)。（三）直線、射線、線段1.基本概念與表示方法圖形端點(diǎn)個(gè)數(shù)長度表示方法直線0個(gè)無限長直線\(AB\)（或直線\(BA\)）、直線\(l\)射線1個(gè)無限長射線\(AB\)（端點(diǎn)\(A\)，方向\(AB\)）線段2個(gè)有限長線段\(AB\)（或線段\(BA\)）、線段\(a\)2.直線的性質(zhì)兩點(diǎn)確定一條直線（過兩點(diǎn)有且只有一條直線）。3.線段的性質(zhì)兩點(diǎn)之間線段最短（連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短）。4.線段的比較與度量度量法：用刻度尺量長度；疊合法：將線段一端對齊，比較另一端位置（如線段\(AB\)與\(CD\)，將\(A\)與\(C\)對齊，若\(B\)在\(CD\)上，則\(AB<CD\)）。5.線段的中點(diǎn)定義：將線段分成相等兩部分的點(diǎn)（如\(M\)是線段\(AB\)的中點(diǎn)，則\(AM=MB=\frac{1}{2}AB\)）；性質(zhì)：\(AB=2AM=2MB\)。（四）角的概念與度量1.角的定義靜態(tài)：由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形（端點(diǎn)叫頂點(diǎn)，射線叫邊）；動(dòng)態(tài)：一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形（始邊、終邊）。2.角的表示方法三個(gè)大寫字母（頂點(diǎn)在中間）：\(\angleAOB\)（\(O\)為頂點(diǎn)，\(OA\)、\(OB\)為邊）；一個(gè)大寫字母（只有一個(gè)角時(shí)）：\(\angleO\)；數(shù)字：\(\angle1\)；希臘字母：\(\angle\alpha\)。3.角的度量單位：度（°）、分（′）、秒（″）；換算：\(1°=60′\)，\(1′=60″\)（如\(30°15′=30.25°\)，\(0.5°=30′\)）。（五）角的比較與運(yùn)算1.角的比較度量法：用量角器量度數(shù)；疊合法：將角的頂點(diǎn)與一邊對齊，比較另一邊位置（如\(\angleAOB\)與\(\angleCOD\)，將\(O\)與\(C\)對齊，\(OA\)與\(CD\)對齊，若\(OB\)在\(\angleCOD\)內(nèi)，則\(\angleAOB<\angleCOD\)）。2.角的平分線定義：從角的頂點(diǎn)出發(fā)，把角分成相等兩部分的射線（如\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，則\(\angleAOC=\angleCOB=\frac{1}{2}\angleAOB\)）；性質(zhì)：\(\angleAOB=2\angleAOC=2\angleCOB\)。3.余角與補(bǔ)角余角：和為90°的兩個(gè)角（\(\angle\alpha+\angle\beta=90°\)，則\(\angle\alpha\)與\(\angle\beta\)互余）；補(bǔ)角：和為180°的兩個(gè)角（\(\angle\alpha+