2023-2024學年上海市南模中學高一年級下學期期中數(shù)學試卷一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.已知，則_______．【答案】【解析】【分析】利用余弦函數(shù)二倍角公式，將被開方數(shù)化為完全平方數(shù)，結(jié)合的范圍即可得解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.2.函數(shù)值域是______．【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用整體法求值域.【詳解】，又，.的值域為.故答案為：3.已知，則_______________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二倍角的正切公式即可得到答案.【詳解】由，可得，故．故答案為：.4.若在中，，則______.【答案】【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義和余弦定理可求的值.【詳解】,故答案為：.5.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則______．

【答案】##【解析】【分析】根據(jù)圖象求得，進而可得，再代入最大值點即可求得的值，進而可求得.【詳解】由已知可得，，所以，所以，所以.又因為在處取得最大值，所以有，所以.又因為，所以，所以，所以.故答案為：.6.已知a，b，c為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，則，所以.故答案為：.7.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先求出平移后圖象對應(yīng)的解析式，根據(jù)單調(diào)性可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題設(shè)可得平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，因為，故，因為在不單調(diào)，故或，即或，所以或，故.故答案為：.8.已知為不共線的平面向量，，若，則在方向上的投影向量為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運算以及數(shù)量積的運算律求出，結(jié)合投影向量的公式即可求得答案.【詳解】由題意知平面向量滿足，，則，即，可得，整理得，所以在方向上的投影向量為.故答案為：.9.已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式作出函數(shù)圖象，根據(jù)性質(zhì)找出的值，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】大致圖象如圖：，，．當時，或．如上圖所示，當時，恒成立．所以的取值范圍為．故答案為：10.函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的零點情況有下列說法：①當取某些值時，無零點；②當取某些值時，恰有1個零點；③當取某些值時，恰有2個不同的零點；④當取某些值時，恰有3個不同的零點.則正確說法的全部序號為______.【答案】①②③【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合與的交點的橫坐標，結(jié)合圖象和三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為，令，即，則函數(shù)的零點，即為與的交點的橫坐標，對于①中，當時，在上與無公共點，所以①正確；對于②中，當時，在上與只有1個公共點，所以②正確；對于③中，當時，在上與有2個公共點，所以③正確；對于④中，由圖象可得，函數(shù)與不相鄰的兩個交點的橫坐標間的距離為最小正周期的整數(shù)倍，即，因為，可得，所以不存在的值，使得有3個零點，所以④不正確.故答案為：①②③11.在中，已知A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，若O為的外心，，則實數(shù)______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合余弦定理可從得到，再借助，結(jié)合向量數(shù)量積公式、二倍角公式與正弦定理，可得，即可得解.【詳解】，又，故有，化簡得，故有，由，則有，即有，有，，由，故，故.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在對所給條件的變形轉(zhuǎn)化上，對，結(jié)合降冪公式與余弦定理，可得，對，左右同乘，可借助數(shù)量積公式將左邊化為，借助向量的線性運算與正弦定理及二倍角公式可將右邊化為，即可得解.12.如圖，已知，，為邊上的兩點，且滿足，，則當取最大值時，的面積等于______.【答案】##【解析】【分析】由題設(shè)足，考慮三角形的面積之比，將其化簡得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此時的三角形邊長，由面積公式即可求得.【詳解】如圖，不妨設(shè),分別記的面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：,故得：.設(shè)，在中，由余弦定理，，因，則，當且僅當時，等號成立，此時，因，故，取得最大值，此時面積等于.故答案為：.【點睛】思路點睛：對條件等式的轉(zhuǎn)化，本題中，注意到有角的相等和邊長乘積的比，結(jié)合圖形容易看出幾個等高的三角形，故考慮從面積的比入手探究，即得關(guān)鍵性結(jié)論，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出邊長和角即得.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.《九章算術(shù)》是一部中國古代的數(shù)學專著．第一章《方田》主要講各種形狀的田地面積的計算方法，其中將圓環(huán)或不足一匝的圓環(huán)形田地稱為“環(huán)田”（注：匝，意為周，環(huán)繞一周叫一匝）書中提到如圖所示的一塊“環(huán)田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圓心角大小為5（單位：弧度），則“該環(huán)田”的面積為（）A.600平方步 B.640平方步C.660平方步 D.700平方步【答案】C【解析】【分析】設(shè)中周的半徑是，外周的半徑是，圓心角為，根據(jù)中周九十五步，外周一百二十五步，列關(guān)系式即可.【詳解】設(shè)中周的半徑是，外周的半徑是，圓心角為，,解得：，則“該環(huán)田”的面積為平方步.故選：C14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件化為，利用換元法化為，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】，令，則，因為，所以；又因為在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以，即，解得.故選：C15.在中，角所對的邊分別為，且，設(shè)的面積為，若，則此三角形的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】首先由三角形面積公式數(shù)量積定義得，結(jié)合化簡得，即，由此即可判斷.【詳解】因為，所以，解得，又，所以，因為，所以，所以，所以，即，又，所以此三角形的形狀為等邊三角形.故選：C.16.已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，結(jié)合圖象可得，從而可得，接下來方法一，直接對進行平方化簡，由二次函數(shù)最值可解；方法二，由三點共線基本定理，結(jié)合三角形面積公式和余弦定理可解.【詳解】和相互垂直，則，則，結(jié)合圖象，，則，因為恒成立，則，即，則，法（一）：對稱軸時：，即法（二）：，因為，所以向量的終點共線（起點重合），則的面積，，所以.故選:．【點睛】關(guān)鍵點點睛：數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)，，則，因為恒成立，則.三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.已知角的終邊經(jīng)過點.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義得，進一步結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡求值即可；（2）由商數(shù)關(guān)系化成關(guān)于的齊次式即可求解.【小問1詳解】由條件知，；【小問2詳解】.18.已知向量滿足．（1）求的值；（2）求向量與的夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求解即可；（2）根據(jù)平面向量的夾角和模長公式求解即可.【小問1詳解】因為，，所以.【小問2詳解】所以.19.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為100m，轉(zhuǎn)盤直徑為90m，均勻設(shè)置了依次標號為1～48號的48個座艙．開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，轉(zhuǎn)一周需要30min．

（1）求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心Q為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為，計算得到答案.（2）計算，，相減得到，計算最值得到答案.【小問1詳解】如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心Q為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，設(shè)時，游客甲位于點，以O(shè)P為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為，由題意可得，.【小問2詳解】如圖，甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則.經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點B相對于點A始終落后，此時乙距離地面的高度為.則甲、乙距離地面的高度差，利用，可得，.當或，即或（舍去）時，h的最大值為所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為20.將函數(shù)的圖像進行如下變換：先向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間（2）當時，方程有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有2022個零點，求的所有可能取值【答案】（1），；（2）（3）2022或2023或1348【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡即可得到函數(shù)解析式，再由正弦型函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖像，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由換元法可得，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點問題，即可求解.【小問1詳解】，則由題意可得函數(shù)的解析式為，令，，則最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】，則，若方程有兩個不等的實根，結(jié)合函數(shù)圖像可得小問3詳解】設(shè)，則函數(shù)等價為由，得有兩個不等的實數(shù)根當時，，此時在上恰有3個零點當時，此時在上恰有2個零點或或2023綜上所述，的所有可能取值為2022或2023或134821.對于集合和常數(shù)，定義：為集合相對的“余弦方差”．（1）若集合，，求集合相對的“余弦方差”；（2）求證：集合，相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關(guān)的定值，并求此定值；（3）若集合，，相對任何常數(shù)的“余弦方差”是一個與無關(guān)的定值，求出、．【答案】（1）（2）證明見解析，（3），或，【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦方差的定義代入即可求解，（2）根據(jù)余弦差定義可得化簡分子，根據(jù)和差角公式以及同角平方關(guān)系即可求解，（3）根據(jù)余弦