第一章信號(hào)與系統(tǒng)1.1信號(hào)與系統(tǒng)概述1.2信號(hào)及其分類1.3典型信號(hào)1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算1.5連續(xù)信號(hào)的分解1.6系統(tǒng)及其響應(yīng)1.7系統(tǒng)的分類1.8

LTI系統(tǒng)分析方法1.9基于MATLAB的信號(hào)描述及其運(yùn)算

1.1信號(hào)系統(tǒng)概述

現(xiàn)代社會(huì)的人們每天都會(huì)與各種各樣載有信息的信號(hào)密切接觸。例如,聽廣播、看電視是接收帶有信息的消息；發(fā)短信、打電話是為了把帶有信息的消息借助一定形式的信號(hào)傳送出去。信號(hào)是各類消息的運(yùn)載工具，是某種變化的物理量，如電話鈴聲，交通紅綠燈，收音機(jī)、電視機(jī)、手機(jī)收到的電磁波等，并稱之為聲信號(hào)、光信號(hào)、電信號(hào)。不同的聲、光、電信號(hào)都包含有一定的意義，這些意義統(tǒng)稱為信息，消息中有意義或?qū)嵸|(zhì)性的內(nèi)容可用信息量度量。在自然科學(xué)，社會(huì)等諸多領(lǐng)域中，系統(tǒng)的概念與方法被廣泛應(yīng)用。系統(tǒng)泛指由若干相互作用，相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成的，具有特定功能的整體。通信、控制系統(tǒng)是信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域的重要組成部分，它們還可以組合成更復(fù)雜的系統(tǒng)。本書所研究的是信號(hào)通過系統(tǒng)進(jìn)行傳輸、處理的基本理論和基本分析方法，通?？捎蓤D1.1－1所示的方框圖表示。其中f(·)是系統(tǒng)的輸入（激勵(lì)），y(·)是系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)），h(·)是系統(tǒng)特性的一種描述?！啊ぁ笔切盘?hào)的自變量，可以是連續(xù)變量t，也可以是離散變量n。圖1.1-1信號(hào)與系統(tǒng)分析框圖圖1.1－1所示信號(hào)與系統(tǒng)分析框圖中，有激勵(lì)、系統(tǒng)特性、響應(yīng)三個(gè)變量。描述它們的有時(shí)域、頻域、復(fù)頻域三種方法。研究各變量的不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系以及三個(gè)變量之間的關(guān)系（已知其中兩個(gè)求解出第三個(gè)），是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程研究的主要問題。因?yàn)榇嬖谶B續(xù)與離散兩類不同的信號(hào)的描述，所以有連續(xù)與離散兩類不同的傳輸、處理系統(tǒng)。本書采用先連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)分析，后離散信號(hào)與系統(tǒng)分析的順序編排。

1.2信號(hào)及其分類

人們用來傳遞信息的信號(hào)主要是電信號(hào)。電信號(hào)有許多眾所周知的優(yōu)點(diǎn)，傳播速度快、傳播方式多:有線、無線、微波、衛(wèi)星等。日常許多非電的物理量如壓力、流速、聲音、圖像等都可以利用轉(zhuǎn)換器變換為電信號(hào)進(jìn)行處理、傳輸。本書討論的電信號(hào)，一般是指隨時(shí)間變化的電壓或電流，有時(shí)也可以是電荷或磁通。

為了對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理或傳輸，要對(duì)信號(hào)的特性進(jìn)行分析研究。這既可以從信號(hào)隨時(shí)間變化的快、慢、延時(shí)來分析信號(hào)時(shí)間特性，也可以從信號(hào)所包含的主要頻率分量的振幅大小、相位的變化來分析信號(hào)的頻率特性。當(dāng)然，不同的信號(hào)具有不同的時(shí)間特性與頻率特性。信號(hào)隨時(shí)間變化的關(guān)系，可以用數(shù)學(xué)上的時(shí)間函數(shù)來表示，所以有時(shí)亦稱信號(hào)為函數(shù)f(t)，離散信號(hào)為序列x(n)。因此本書中信號(hào)與函數(shù)、序列這幾個(gè)名詞通用。信號(hào)的函數(shù)關(guān)系可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式、波形圖、數(shù)據(jù)表等表示，其中數(shù)學(xué)表達(dá)式、波形圖是最常用的表示形式。1.確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)信號(hào)可以用確定的時(shí)間函數(shù)來表示的，是確定性信號(hào)，也稱規(guī)則信號(hào)。如正弦信號(hào)、單脈沖信號(hào)、直流信號(hào)等。信號(hào)不能用確定的時(shí)間函數(shù)來表示，只知其統(tǒng)計(jì)特性，如在某時(shí)刻取某值的概率的，則是隨機(jī)信號(hào)。從常識(shí)上講，確定性信號(hào)不包括有用的或新的信息。但確定性信號(hào)作為理想化模型，其基本理論與分析方法是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)統(tǒng)計(jì)特性可進(jìn)一步研究隨機(jī)信號(hào)。本書只涉及確定性信號(hào)。2．周期信號(hào)與非周期信號(hào)周期信號(hào)是依一定的時(shí)間間隔周而復(fù)始、無始無終的信號(hào)，一般表示為

f(t)=f(t+nT)n=0,±1,...

（1.2-1）其中T為最小重復(fù)時(shí)間間隔，也稱周期。不滿足式（1.2-1）這一關(guān)系的信號(hào)為非周期信號(hào)。

如果若干周期信號(hào)的周期具有公倍數(shù)，則它們疊加后仍為周期信號(hào),疊加信號(hào)的周期是所有周期的最小公倍數(shù)；其頻率為周期的倒數(shù)。只有兩項(xiàng)疊加時(shí)，若T1、T2與ω1、ω2分別是兩個(gè)周期信號(hào)的周期與角頻率，疊加后信號(hào)的角頻率、周期的計(jì)算為

（1.2-2a）

其中N1、N2為不可約的正整數(shù)。若是大于兩項(xiàng)疊加時(shí)，信號(hào)的角頻率、周期的計(jì)算為（1.2-2b）

若有公因子N，則（1.2-2c）T=N1T1=N2T2＝N3T3=NnTn其中，N1,N2,…,Nn為正整數(shù)。若N1,N2,…,Nn無公因子，則

例1.2-1

判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，求出其周期。

(1)e1(t)=asin5t+bcos8t；

(2)e2(t)=3cos1.2t-5sin5.6t。

解

(1)方法一：為有理數(shù)，且無公因子，所以，方法二：(2)方法一：方法二：3．連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)按函數(shù)的獨(dú)立變量(自變量)取值的連續(xù)與否，可將信號(hào)分為連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)。本書默認(rèn)獨(dú)立變量(自變量)為時(shí)間，實(shí)際工程中可為非時(shí)間變量。連續(xù)時(shí)間信號(hào)在所討論的時(shí)間內(nèi)，對(duì)任意時(shí)間值(除有限不連續(xù)點(diǎn)外)都可以給出確定的函數(shù)值。連續(xù)時(shí)間信號(hào)的幅值可以是連續(xù)的（也稱模擬信號(hào)），也可以是離散的(只取某些規(guī)定值)，如圖1.2-1所示。圖1.2-1連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散信號(hào)亦稱序列，其自變量n是離散的，通常為整數(shù)。若是時(shí)間信號(hào)（可為非時(shí)間信號(hào)），它只在某些不連續(xù)的、規(guī)定的瞬時(shí)給出確定的函數(shù)值，其它時(shí)間沒有定義，其幅值可以是連續(xù)的也可以是離散的，如圖1.2-2所示。圖1.2-2離散時(shí)間信號(hào)圖1.2-2中,x1(n)還可簡(jiǎn)寫為x1(n)=［-11212-1］式中小箭頭標(biāo)明n=0的位置。

4．能量信號(hào)與功率信號(hào)

為了了解信號(hào)能量或功率特性，常常研究信號(hào)f(t)（電壓或電流）在單位電阻上消耗的能量或功率。在(-T/2~T/2)區(qū)間信號(hào)的平均功率P為

（1.2-3）在(-∞,∞)區(qū)間信號(hào)的能量E為（1.2-4）

如果信號(hào)f(t)的能量有界，即0<E<∞，而平均功率P=0，則它就是能量信號(hào)，例如單脈沖信號(hào)。如果信號(hào)f(t)的平均功率有界，即0<P<∞，而能量E趨于無窮大，那么它就是功率信號(hào)，例如周期正弦信號(hào)。如果有信號(hào)能量E趨于無窮大，且功率P趨于無窮大，就是非能量非功率信號(hào)，例如e-at信號(hào)。也就是說，按能量信號(hào)與功率信號(hào)分類并不能包括所有信號(hào)。

5.因果信號(hào)與非因果信號(hào)

按信號(hào)所存在的時(shí)間范圍，可以把信號(hào)分為因果信號(hào)與非因果信號(hào)。當(dāng)t<0時(shí)，連續(xù)信號(hào)f(t)=0，信號(hào)f(t)是因果信號(hào)，反之為非因果信號(hào)；當(dāng)n<0時(shí)，離散信號(hào)x(n)=0，則信號(hào)x(n)是因果信號(hào)，反之為非因果信號(hào)。

1.3.1

常用連續(xù)信號(hào)

1.實(shí)指數(shù)信號(hào)

實(shí)指數(shù)信號(hào)如圖1.3-1所示，其函數(shù)表達(dá)式為

f(t)=Aeat

（1.3-1）式中，a>0時(shí),f(t)隨時(shí)間增長(zhǎng);a<0時(shí),f(t)隨時(shí)間衰減;a=0時(shí),f(t)不變。常數(shù)k表示t=0時(shí)的初始值;|a|的大小反映信號(hào)隨時(shí)間增、減的速率。1.3典型信號(hào)

通常還定義時(shí)間常數(shù)τ=1/|a|，τ越小，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)或衰減的速率越快，如圖1.3-1所示。實(shí)際上遇到的多是如圖1.3-2所示的單邊指數(shù)信號(hào)，其表示式為

（1.3-2）特別地，若f(0)=A，當(dāng)t=τ時(shí)即經(jīng)過時(shí)間τ后，信號(hào)衰減為初始值的36.8%。圖1.3-1實(shí)指數(shù)信號(hào)圖1.3-2單邊指數(shù)信號(hào)2.正弦信號(hào)正弦信號(hào)也包括余弦信號(hào)，因?yàn)閮烧咧辉谙辔簧舷嗖瞀?2

，一般正弦信號(hào)表示為

f(t)=ksin(ωt+θ)

（1.3-3）其中，k是振幅、ω是角頻率、θ是初相。周期是頻率f的倒數(shù)。正弦信號(hào)如圖1.3-3所示。

正弦信號(hào)如圖1.3-3所示。實(shí)際工作中通常遇到的是衰減正弦信號(hào)，即包絡(luò)按指數(shù)規(guī)率變化的振蕩信號(hào)，如圖1.3-4所示。（1.3-4）(a>0)圖1.3-3正弦信號(hào)圖1.3-4單邊衰減振蕩信號(hào)3.復(fù)指數(shù)信號(hào)

f(t)=Aest

（1.3-5）其中,s=σ+jω為復(fù)數(shù)，σ為實(shí)部系數(shù)，ω為虛部系數(shù)。借用歐拉公式：

Aest=Ae(σ+jω)t=Aeσtejωt=Aeσtcosωt+jAeσtsinωt

（1.3-6）復(fù)指數(shù)信號(hào)可分解為實(shí)部與虛部。實(shí)部為振幅隨時(shí)間變化的余弦函數(shù)，虛部為振幅隨時(shí)間變化的正弦函數(shù)?？煞謩e用波形畫出實(shí)部、虛部變化的情況。σ表示了正、余弦信號(hào)振幅隨時(shí)間變化的情況；ω是正、余弦信號(hào)的角頻率。特別地,當(dāng)σ>0時(shí)，正、余弦信號(hào)是增幅振蕩；當(dāng)σ<0時(shí)，正、余弦信號(hào)是減幅振蕩；當(dāng)σ=0時(shí)，正、余弦信號(hào)是等幅振蕩。當(dāng)ω=0時(shí)，f(t)為一般指數(shù)信號(hào)；當(dāng)σ=0，ω=0時(shí)，f(t)為直流信號(hào)。雖然實(shí)際上沒有復(fù)指數(shù)信號(hào)，但它概括了多種情況，因此也是一種重要的基本信號(hào)。

還可以借用歐拉公式將正、余弦信號(hào)表示為復(fù)指數(shù)形式，即（1.3-7）

（1.3-8）4.Sa(t)信號(hào)(抽樣信號(hào))

Sa(t)信號(hào)定義為（1.3-9）

不難證明，Sa(t)信號(hào)是偶函數(shù)，當(dāng)t→±∞時(shí)，振幅衰減，且f(±nπ)=0，其中n為整數(shù)。Sa(t)信號(hào)還有以下性質(zhì)實(shí)際遇到的多為Sa(at)信號(hào)，表達(dá)式為（1.3-12）Sa(at)波形如圖1.3-6所示。（1.3-10）（1.3-11）Sa(t)信號(hào)如圖1.3-5所示。圖1.3-5Sa(t)信號(hào)圖1.3-6Sa(at)信號(hào)

1.3.2階躍信號(hào)與沖激信號(hào)

1.單位階躍信號(hào)u(t)定義（1.3-13）

單位階躍信號(hào)u(t)如圖1.3-7(a)所示。利用單位階躍信號(hào)u(t)可以很方便地用數(shù)學(xué)函數(shù)來描述信號(hào)的接入（開關(guān)）特性或因果（單邊）特性。（1.3-14）圖1.3－7單位階躍信號(hào)u(t)和階躍信號(hào)u(t-t0)例1.3-1

用階躍信號(hào)表示如圖1.3-8所示的單邊正弦信號(hào)。解圖1.3-8單邊正弦信號(hào)

2.單位沖激函數(shù)δ(t)

我們可以在用理想元件組成的電路中引入沖激的概念。如圖1.3-9所示電路，當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)K由a→b，電容器上的電壓的波形如圖1.3-10所示，即vC(t)=Eu(t)。圖1.3-9理想電路圖1.3-10vC(t)

由電容器上電壓與電流的關(guān)系，我們可以得到電容電流表示為

當(dāng)t>0或t<0時(shí)，不難得到流過電容器的電流iC(t)為零。而在t=0時(shí)，電容器電壓vC(t)突變?yōu)镋，我們知道這時(shí)的電流一定不為零?？梢哉J(rèn)為在t=0瞬間，有一無窮大的電流流過電容器，將電荷轉(zhuǎn)移到電容器上，完成了對(duì)電容器的充電，使得電容電壓在這一時(shí)刻發(fā)生了跳變。這種電流持續(xù)時(shí)間為零，電流幅度為無窮大，但電流的時(shí)間積分有限的物理現(xiàn)象可以用沖激函數(shù)δ(t)來描述。

由對(duì)矩形脈沖取極限表示的單位沖激函數(shù)為（1.3-15）

單位沖激函數(shù)一般定義為（1.3-16）單位沖激函數(shù)的波形用箭頭表示，如圖1.3-12所示。圖1.3-11矩形脈沖的極限為沖激函數(shù)圖1.3-12沖激函數(shù)描述任一時(shí)刻t=t0時(shí)的沖激函數(shù)記為δ(t－t0)，表示式為（1.3-17）由于沖激函數(shù)的幅值為無窮，因此沖激函數(shù)能比較的是其強(qiáng)度。定義式（1.3-16）的積分值（面積）為沖激強(qiáng)度，如4δ(t)、Aδ(t)。作圖時(shí)強(qiáng)度一般標(biāo)在箭頭旁，如圖1.3-13所示Aδ(t－t0)。圖1.3-13Aδ(t－t0)沖激函數(shù)還具有如下運(yùn)算性質(zhì):1)取樣性或“篩選”若f(t)是在t=0處連續(xù)的有界函數(shù)，則

（1.3-18）以及（1.3-19）

式（1.3-19）表明沖激函數(shù)具有取樣（篩選）特性。如果要從連續(xù)函數(shù)f(t)中抽取任一時(shí)刻的函數(shù)值f(t0)，只要乘以δ(t－t0)，并在(－∞,∞)區(qū)間積分即可。同理（1.3-20）

例1.3-2計(jì)算

(1)costδ(t);

(2)(t-1)δ(t)；

解

(1)costδ(t)=δ(t)，因?yàn)閏os0=1。

(2)(t-1)δ(t)=-δ(t)，因?yàn)?t-1)|t=0=-1。2)偶函數(shù)

δ(t)=δ(-t)

（1.3-21）證

3)與單位階躍函數(shù)u(t)互為積分、微分關(guān)系（1.3-23）（1.3-22）由式（1.3-23），圖1.3-9電路的電容電流iC(t)可以用δ(t)函數(shù)描述為4)尺度特性（1.3-24）證

a>0時(shí)a<0時(shí)綜合a>0、a<0兩種情況，得

*δ(t)的廣義函數(shù)定義

廣義（分布）函數(shù)理論認(rèn)為，雖然某些函數(shù)不能確定它在每一時(shí)刻的函數(shù)值（不存在自變量與因變量之間的確定映射關(guān)系），但是可以通過它與其他函數(shù)（又稱測(cè)試函數(shù)）的相互作用規(guī)律（運(yùn)算規(guī)則）來確定其函數(shù)關(guān)系，這種新的函數(shù)是廣義（分布）函數(shù)。即按照它“做”什么，而不是它“是”什么而定義的函數(shù)，叫做廣義函數(shù)或分布函數(shù)。δ(t)就是一個(gè)把在t=0處連續(xù)的任意有界函數(shù)φ(t)，賦予φ(0)值的一種（運(yùn)算規(guī)則）廣義函數(shù)，記為

這種用運(yùn)算規(guī)則來定義函數(shù)的思路，是建立在測(cè)度理論基礎(chǔ)上的，它與建立在映射理論基礎(chǔ)上的普通函數(shù)是相容且不矛盾的。所以，只要一個(gè)函數(shù)g(t)與任意的測(cè)試函數(shù)φ(t)之間滿足關(guān)系式

則這個(gè)函數(shù)g(t)就是單位沖激函數(shù)，即g(t)=δ(t)

其中φ(t)是在t=0時(shí)刻任意的有界函數(shù)。3.單位斜坡函數(shù)R(t)單位斜坡函數(shù)波形如圖1.3-14所示，定義為（1.3-25）

任意時(shí)刻的斜坡函數(shù)如圖1.3-15所示，表示為（1.3-26）圖1.3-14R(t)圖1.3-15R(t－t0)

單位斜坡函數(shù)與階躍進(jìn)函數(shù)u(t)互為微分、積分關(guān)系，即

（1.3-27a）（1.3-27b）

例1.3-3

f(t)如圖1.3-16所示，由奇異信號(hào)描述f(t)。解

f(t)

=(t+2)［u(t+2)－u(t)］

+(－t+2)［u(t)－u(t－2)］

=R(t+2)－2R(t)+R(t－2)圖1.3-16例1.3-3圖

4.單位函數(shù)gτ(t)

門函數(shù)gτ(t)是以原點(diǎn)為中心，以τ為時(shí)寬，幅度為1的矩形單脈沖信號(hào)，波形如圖1.3-17所示。（1.3-28）圖1.3-17門函數(shù)gτ(t)5.單位符號(hào)函數(shù)sgnt

符號(hào)函數(shù)是t>0時(shí)為1，t<0時(shí)為－1的函數(shù)，波形如圖1.3-18所示。

（1.3-29）圖1.3-18符號(hào)函數(shù)

6.單位沖激偶函數(shù)δ′(t)

對(duì)單位沖激函數(shù)求導(dǎo)得到單位沖激偶函數(shù)。因?yàn)閱挝粵_激函數(shù)可表示為

(1.3-30)

(1.3-31)所以

式（1.3-31）取極限后是兩個(gè)強(qiáng)度為無限大的沖激函數(shù)，當(dāng)t從負(fù)值趨向零時(shí)，是強(qiáng)度為無限的正沖激函數(shù)；當(dāng)t從正值趨向零時(shí)，是強(qiáng)度為負(fù)無限的沖激函數(shù)，如圖1.3-19所示。圖1.3-19單位沖激偶函數(shù)δ′(t)單位沖激偶函數(shù)具有如下特性：(1)對(duì)f′(t)在0點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)，有證(2)由圖1.3-19的單位沖激偶函數(shù)可見，δ′(t)的正、負(fù)兩個(gè)沖激的面積相等，互相抵消，沖激偶函數(shù)所包含的面積為零，即(1.3-32)(3)δ′(t)與δ(t)互為積分、微分關(guān)系，即(1.3-33)1.4連續(xù)信號(hào)的運(yùn)算

1.4.1

時(shí)移、折疊、尺度信號(hào)的時(shí)移也稱信號(hào)的位移、時(shí)延。將信號(hào)f(t)的自變量t用t-t0替換，得到的信號(hào)f(t-t0)就是f(t)的時(shí)移，它是f(t)的波形在時(shí)間t軸上整體移位t0。若t0>0，f(t)的波形在時(shí)間t軸上整體右移t0；若t0<0，f(t)的波形在時(shí)間t軸上整體左移t0，如圖1.4-1所示。圖1.4-1信號(hào)的時(shí)移

將f(t)自變量t用－t替換，得到信號(hào)f(－t)是f(t)的折疊信號(hào)。f(－t)的波形是f(t)的波形以t=0為軸反折，所以也稱時(shí)間軸反轉(zhuǎn)，如圖1.4-2所示。圖1.4-2信號(hào)的折疊

將f(t)的自變量t用at(a≠0)替換，得到f(at)稱為f(t)的尺度變換，其波形是f(t)波形在時(shí)間t軸上的壓縮或擴(kuò)展。若|a|>1，波形在時(shí)間t軸上壓縮；|a|<1，波形在時(shí)間t軸上擴(kuò)展，故信號(hào)的尺度變換又稱為信號(hào)的壓縮與擴(kuò)展。例如，假設(shè)f(t)=sinω0t是正常語速的信號(hào)，則f(2t)=sin2ω0t=f1(t)是兩倍語速的信號(hào)，而

f(t/2)=sin(ω0t/2)=f2(t)

是降低一半語速的信號(hào)。f1(t)與f2(t)在時(shí)間軸上被壓縮或擴(kuò)展，但幅度均沒有變化，如圖1.4-3所示。圖1.4-3信號(hào)的尺度變換

例1.4-1

已知f(t)的波形如圖1.4-4(a)所示，試畫出f(－2t)、f(－t/2)的波形。

解

f(－2t)、f(－t/2)除了尺度變換，還要折疊（反折）。第一步:尺度變換，如圖1.4-4(b)所示。第二步:折疊,如圖1.4-4(c)所示。圖1.4-4例1.4-1中f(－2t)、f(－t/2)

例1.4-2已知f(t)的波形如圖1.4-5(a)所示，試畫出f(2-2t)的波形。解f(2-2t)是f(t)的時(shí)移、折疊及壓縮信號(hào)。第一步：折疊,如圖1.4-5(b)所示；第二步：時(shí)移變換，如圖1.4-5(c)所示；第三步：尺度變換，如圖1.4-5(d)所示。

圖1.4-5例1.4-2中f(2－2t)的形成

以上變換都是函數(shù)自變量的變換，而變換前后端點(diǎn)上的函數(shù)值（沖激函數(shù)除外）不變。所以可以通過少數(shù)特殊點(diǎn)函數(shù)值不變的特性，確定變換前后波形中各端點(diǎn)的相應(yīng)位置。具體方法是：設(shè)變換前信號(hào)為f(at+b)，用t1表示變換前端點(diǎn)的位置；變換后信號(hào)為f(mt′+n)，用t1’表示變換后端點(diǎn)的位置,則變換前后的函數(shù)值為

f(at1+b)=f(mt1’

+n)

（1.4-1a）由式（1.4-1a），可得

at1+b=mt1’+n

（1.4-1b）由式（1.4-1b）解出變換后的端點(diǎn)的位置為（1.4-1c）

1.4.2微分與積分微分是對(duì)f(t)求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，表示為（1.4-2）信號(hào)經(jīng)過微分后突出了變化部分，如圖1.4-6所示。圖1.4-6信號(hào)的微分運(yùn)算積分是對(duì)f(t)在(-∞,t)區(qū)間內(nèi)的定積分，表示式為（1.4-3）

信號(hào)經(jīng)過積分后平滑了變化部分，如圖1.4-7所示。圖1.4-7信號(hào)的積分運(yùn)算

1.4.3信號(hào)的加（減）、乘（除）信號(hào)的相加（減）或相乘（除）是信號(hào)瞬時(shí)值相加（減）或相乘（除）。f1(t)±f2(t)是兩個(gè)信號(hào)瞬時(shí)值相加（減）形成的新信號(hào)；f1(t)·f2(t)或f1(t)/f2(t)=f1(t)·［1/f2(t)］是兩個(gè)信號(hào)瞬時(shí)值相乘形成的新信號(hào)。

例1.4-3

如圖1.4-8(a)所示f1(t)、f2(t)，求f1(t)+f2(t)、f1(t)·f2(t)。

解

f1(t)+f2(t)如圖1.4-8(b)所示，f1(t)·f2(t)如圖1.4-8(c)所示。實(shí)際工作中經(jīng)常遇到幅度衰減的振蕩信號(hào)，是信號(hào)相乘的典型應(yīng)用。圖1.4-8例1.4-3信號(hào)的相加與相乘例1.4-4,畫出f1(t)·f2(t)波形。解f1(t)·f2(t)是幅度按指數(shù)規(guī)律變化的余弦信號(hào)，如圖1.4-9所示。一般兩個(gè)信號(hào)相乘，變化慢的信號(hào)形成包絡(luò)線，包絡(luò)線反映了相乘信號(hào)總的變化趨勢(shì)。

圖1.4-9f1(t)·f2(t)形成衰減振蕩信號(hào)

(a)指數(shù)信號(hào)；(b)余弦信號(hào)；(c)幅度衰減的余弦信號(hào)1.5連續(xù)信號(hào)的分解

1.5.1規(guī)則信號(hào)的分解

一般規(guī)則信號(hào)可以分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單信號(hào)的組合。下面舉例說明規(guī)則信號(hào)的分解。

例1.5-1

用簡(jiǎn)單信號(hào)表示如圖1.5-1(a)所示信號(hào)f1(t)。

解將f1(t)分解為無數(shù)不同時(shí)移的鋸齒波的疊加，表示為

或如圖1.5-1(b)所示，將f1(t)分解為一個(gè)幅度為A的斜坡函數(shù)與無窮多個(gè)時(shí)移的階躍函數(shù)的疊加（減），表示為

圖1.5-1

(a)鋸齒波；(b)鋸齒波的一種分解

例1.5-2用簡(jiǎn)單信號(hào)表示如圖1.5-2(a)所示信號(hào)f2(t)。圖1.5-2(a)例1.5-2信號(hào)；(b)例1.5-2信號(hào)的分解

解

f2(t)可以分解為四個(gè)不同時(shí)刻出現(xiàn)的階躍函數(shù)，表示為

f2(t)=u(t+2)+u(t+1)－u(t－1)－u(t－2)

或如圖1.5-2(b)所示，將f2(t)分解為兩個(gè)寬度不同的門函數(shù)，表示為

f2(t)=f21

(t)+f22

(t)

=［u(t+2)－u(t－2)］+［u(t+1)－u(t－1)］

=g4(t)+g2(t)

1.5.2信號(hào)的直流與交流分解

信號(hào)可以分解為直流分量fD(t)與交流分量fA(t)，即

f(t)=fD(t)+fA(t)(1.5-1)信號(hào)的直流分量fD(t)是信號(hào)的平均值。信號(hào)f(t)除去直流分量fD(t)，剩下的即為交流分量fA(t)。1.5.3奇偶信號(hào)的分解這種分解方法是將實(shí)信號(hào)分解為偶分量與奇分量之和。其優(yōu)點(diǎn)是可以利用偶函數(shù)與奇函數(shù)的對(duì)稱性簡(jiǎn)化信號(hào)運(yùn)算。偶分量定義

fe(t)=fe(

t)（1.5－2）奇分量定義fo(t)=

fo(

t)（1.5－3）其中（1.5－5）（1.5－6）

例1.5－3用圖解法分別將圖1.5－3(a)所示信號(hào)分解為奇、偶分量。

解

如圖1.5-3(b)所示。圖1.5-3例1.5-3信號(hào)的奇偶分解1.5.4任意信號(hào)的脈沖分解

任意信號(hào)的脈沖分解方法，是將沖激信號(hào)或階躍信號(hào)作為基本信號(hào)元，將任意信號(hào)分解為無窮多個(gè)沖激信號(hào)或階躍信號(hào)，如圖1.5－4及圖1.5－5所示。這類分解的優(yōu)點(diǎn)

是基本信號(hào)元的波形簡(jiǎn)單，響應(yīng)好求，并且可以充分利用LTI系統(tǒng)的疊加、比例與時(shí)不變性，方便地求解復(fù)雜信號(hào)的響應(yīng)。圖1.5-4將信號(hào)分解為脈沖之和圖1.5-5將信號(hào)分解為階躍信號(hào)之和如圖1.5－4所示，f(t)可以分解為沖激信號(hào)之和，這

種分解思路是先把信號(hào)f(t)分解成寬度為Δt的矩形窄脈沖之和，任意時(shí)刻kΔt的矩形脈沖幅度為f(kΔt)。為使分析簡(jiǎn)單，我們假設(shè)f(t)為因果信號(hào)。這樣f0(t)=f(0)[u(t)

u(t

t)]

f1(t)=f(

t)[u(t

t)

u(t

2

t)]

fk(t)=f(k

t)[u(t

k

t)

u(t

(k+1)

t)]

信號(hào)f(t)可近似表示為令窄脈沖寬度Δt→0，并對(duì)其取極限，得到

此時(shí)kΔt→τ，Δt→dτ，

，即求和運(yùn)算變?yōu)榉e分運(yùn)算。于是，用沖激函數(shù)表示任意信號(hào)的積分形式為（1.5-6）如圖1.5-5所示，f(t)可以分解為階躍信號(hào)之和，分解思路是先把信號(hào)分解為階躍信號(hào)的疊加，此時(shí)令

任意時(shí)刻kΔt的階躍為將信號(hào)f(t)近似表示為然后，令窄脈沖寬度Δt→0，并對(duì)上式取極限為

最后，得到任意信號(hào)用階躍信號(hào)表示的積分形式為

（1.5-8）1.6系統(tǒng)及其響應(yīng)

1.6.1系統(tǒng)的定義

系統(tǒng)所涉及的范圍十分廣泛，包括大大小小有聯(lián)系的事物組合體。如物理系統(tǒng)、非物理系統(tǒng)；人工系統(tǒng)、自然系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等等。系統(tǒng)具有層次性，可以有系統(tǒng)嵌套系統(tǒng)；對(duì)某一系統(tǒng)，其外部更大的系統(tǒng)稱為環(huán)境，所包含的更小的系統(tǒng)為子系統(tǒng)。因?yàn)楸緯婕暗氖请娦盘?hào)，所以本書的系統(tǒng)，是產(chǎn)生信號(hào)或?qū)π盘?hào)進(jìn)行傳輸、處理變換的電路（往往也稱為網(wǎng)絡(luò)）系統(tǒng)。這是由電路元器件組成的實(shí)現(xiàn)不同功能的整體。本書將用具體電路網(wǎng)絡(luò)作為系統(tǒng)的例子，討論信號(hào)的傳輸、處理、變換等問題，所以書中網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)、電路三個(gè)名詞通用。

由于信息網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用，在信息科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域中“網(wǎng)絡(luò)”也泛指通信網(wǎng)或計(jì)算機(jī)網(wǎng)，與本書的“網(wǎng)絡(luò)”不同。例如，我們所涉及的連續(xù)系統(tǒng)，其功能是將輸入信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)樗璧妮敵鲂盘?hào)，如圖1.6-1所示。圖1.6-1中,f(t)是系統(tǒng)的輸入（激勵(lì)），y(t)是系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）。為敘述簡(jiǎn)便,激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系也常表示為f(t)→y(t)，其中“→”表示系統(tǒng)的作用。圖1.6-1信號(hào)與系統(tǒng)分析框圖1.6.2系統(tǒng)的初始狀態(tài)在討論連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)前，首先討論連續(xù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（條件），其基本概念也可用于離散系統(tǒng)?！俺跏肌睂?shí)際是一個(gè)相對(duì)時(shí)間，通常是一個(gè)非零的電源接入電路系統(tǒng)的瞬間，或電路發(fā)生“換路”的瞬間，可將這一時(shí)刻記為t=t0。為討論問題方便，本書一般將t0=0記為“初始”時(shí)刻；并用0-表示系統(tǒng)“換路”前系統(tǒng)儲(chǔ)能的初始狀態(tài)，用0+表示“換路”后系統(tǒng)響應(yīng)的初始條件。下面以電容、電感的電壓、電流關(guān)系理解系統(tǒng)初始狀態(tài)與初始條件的概念。

例1.6-1

如圖1.6-2所示簡(jiǎn)單理想電路系統(tǒng)，已知激勵(lì)電流i(t)，求響應(yīng)vC(t)。解由電容的電壓、電流關(guān)系(1.6-1)式(1.6-1)是一階線性微分方程，解此方程可得響應(yīng)為(1.6-2)圖1.6-2例1.6-1簡(jiǎn)單電路

式(1.6-2)說明電容電壓與過去所有時(shí)刻流過電容的電流有關(guān)，因此也稱電容為動(dòng)態(tài)（記憶、儲(chǔ)能）元件。要知道全部時(shí)刻的電流iC(t)是不實(shí)際的，通常要計(jì)算vC(t)一般是由已知某時(shí)刻t0開始到所要計(jì)算時(shí)刻t的iC(t)，以及此時(shí)刻前的電容電壓vC(t0)來確定，即(1.6-3a)若t0=0，代入上式成為(1.6-3b)

式(1.6-3)中只有已知t>t0或t>0時(shí)的iC(t)以及系統(tǒng)的初始條件vC(

)、vC(0+)，才能求解t>t0（t>0）系統(tǒng)的響應(yīng)vC(t)。而vC(

)或vC(0+)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)vC(

)或vC(0-)密切相關(guān)。vC(

)或vC(0-)是在iC(t)時(shí)刻t=

或t=0-以前的作用，反映了系統(tǒng)在該時(shí)刻的儲(chǔ)能。由電容與電感的對(duì)偶關(guān)系，不難得到(1.6-4)(1.6-5a)(1.6-5b)以及

1.6.3系統(tǒng)的響應(yīng)下面通過具體例題討論系統(tǒng)的響應(yīng)。

例1.6-2

如圖1.6-2所示電路系統(tǒng)，且已知

vC(0-)=1/2V，C=2F,電流i(t)的波形如圖1.6-3所示，求t≥0的響應(yīng)vC(t)并繪出波形圖。圖1.6-3例1.6-2電流i(t)波形解由已知條件可見，該系統(tǒng)既有初始儲(chǔ)能,也有激勵(lì)，所以系統(tǒng)響應(yīng)既有初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的部分，也有激勵(lì)產(chǎn)生的部分。從電流i(t)波形可知，i(t)除了在t=0時(shí)刻加入，在t=1及t=2還有變化，都可以理解為“換路”，因此在t=0－、t=1－及t=2－分別有三個(gè)初始狀態(tài)vC(0－)、vC(1－

)、vC(2－)，利用該電容電壓無跳變，要解出對(duì)應(yīng)的三個(gè)初始條件vC(0+)、vC(1+)、vC(2+)。由此得到響應(yīng)(如圖1.6-4所示)為圖1.6-4例1.6－2中vC(t)波形

由引起響應(yīng)的不同原因，我們給出系統(tǒng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的定義：當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)為零，僅由系統(tǒng)初始狀態(tài)（儲(chǔ)能）產(chǎn)生的響應(yīng)是零輸入響應(yīng)，記為yzi

(t)或yx

(t)；當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（儲(chǔ)能）為零，僅由系統(tǒng)激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，記為yzs

(t)或yf

(t)。上例是一階微分方程描述的簡(jiǎn)單系統(tǒng)。我們看到，為了求解它的響應(yīng)，除了知道系統(tǒng)的激勵(lì)外，還需要知道系統(tǒng)的一個(gè)初始條件。

推論，若系統(tǒng)是由n階微分方程描述的，則求解響應(yīng)除了激勵(lì)外，還必須知道系統(tǒng)的n個(gè)初始條件（狀態(tài)）。n階線性微分方程的一般形式為

(1.6-6)

1.7系統(tǒng)的分類

1.7.1動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)含有動(dòng)態(tài)元件的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如RC、RL電路。沒有動(dòng)態(tài)元件的系統(tǒng)是靜態(tài)系統(tǒng)也稱即時(shí)系統(tǒng)，如純電阻電路。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，還與該時(shí)刻以前的激勵(lì)有關(guān)；靜態(tài)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)。描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為微分方程，描述靜態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為代數(shù)方程。1.7.2因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)滿足在任意時(shí)刻的響應(yīng)y(t)僅與該時(shí)刻以及該時(shí)刻以前的激勵(lì)有關(guān)，而與該時(shí)刻以后的激勵(lì)無關(guān)。也可以說，因果系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵(lì)引起的，激勵(lì)是響應(yīng)的原因，響應(yīng)是激勵(lì)的結(jié)果；響應(yīng)不會(huì)發(fā)生在激勵(lì)加入之前，系統(tǒng)不具有預(yù)知未來響應(yīng)的能力。例如系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)與響應(yīng)y(t)的關(guān)系為f(t)=

dy(t)/dt

，這是一階微分方程，而響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系

是積分關(guān)系，則系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。響應(yīng)與激勵(lì)具有因果關(guān)系的系統(tǒng)也稱為物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。

如果響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之前，那么，系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)，也稱為物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。書中一般不特別指明均為因果系統(tǒng)。例如圖1.7-1(a)所示系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系為y1(t)=f1(t－1)，響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之后，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；如圖1.7-1(b)

所示系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系為y2(t)=f2(t+1)，響應(yīng)出現(xiàn)在激勵(lì)之前，那么它是非因果系統(tǒng)。

圖1.7-1

(a)因果系統(tǒng)；(b)非因果系統(tǒng)

一般由模擬元器件如電阻、電容、電感等組成的實(shí)際物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)。在數(shù)字信號(hào)處理時(shí)，利用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)功能，可以逼近非因果系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)許多模擬系統(tǒng)無法完成的功能，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的一個(gè)重要方面。另外，t<0時(shí)為零的信號(hào)也稱為因果信號(hào)。對(duì)于因果系統(tǒng)，在因果信號(hào)激勵(lì)下，響應(yīng)也是因果信號(hào)。1.7.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)均為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，也稱模擬系統(tǒng)；激勵(lì)與響應(yīng)均為離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)是離散時(shí)間系統(tǒng)，也稱數(shù)字系統(tǒng)。普通的電視機(jī)是典型的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，而計(jì)算機(jī)則是典型的離散時(shí)間系統(tǒng)。隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展與普及，越來越多的系統(tǒng)是既有連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)又有離散時(shí)間系統(tǒng)的混合系統(tǒng)。如圖1.7-2所示為一個(gè)混合系統(tǒng)。圖1.7-2混合系統(tǒng)1.7.4線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

“線性”系統(tǒng)是滿足疊加性與比例(齊次或均勻)性的系統(tǒng)?？紤]引起系統(tǒng)響應(yīng)的因素，除了系統(tǒng)的激勵(lì)之外，還有系統(tǒng)的儲(chǔ)能，因此線性系統(tǒng)必須滿足以下三個(gè)條件。

1.分解性系統(tǒng)的響應(yīng)有不同的分解形式，其中線性系統(tǒng)的響應(yīng)一定可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)響應(yīng)可表示為

y(t)=yzi

(t)+yzs

(t)

（1.7-1）式中，yzi(t)是零輸入響應(yīng)，yzs

(t)是零狀態(tài)響應(yīng)。2.零輸入線性輸入為零時(shí)，由各初始狀態(tài){x1(0),x2(0),...,xn(0)}引起的響應(yīng)滿足疊加性與比例性，若

xk(0-）→yzik

(t)(k=1~n)

t≥0

則(1.7-2)式（1.7-2）可用圖1.7-3的方框圖表示。圖1.7-3零輸入線性3.零狀態(tài)線性初始狀態(tài)為零時(shí)，由各輸入激勵(lì)f1(t),f2(t),...,fm(t)引起的響應(yīng)具有疊加性與比例性（均勻性），若

fi(t)u(t)→yzsi

(t)u(t)

則(1.7-3)式（1.7-3）可由圖1.7-4的方框圖表示。圖1.7-4零狀態(tài)線性

不滿足上述任何一個(gè)條件的系統(tǒng)就是非線性系統(tǒng)。如果線性系統(tǒng)還是因果系統(tǒng)，那么由t<t0，f(t)=0可以得到

y(t)=0t<t0

例1.7-1

已知系統(tǒng)輸入f(t)與輸出y(t)的關(guān)系如下，判斷系統(tǒng)是否線性。

(1)y(t)=3x(0-)f(t)u(t)；

(2)y(t)=4x(0-)+2f2(t)u(t)；

(3)

解

(1)不滿足可分解性，是非線性系統(tǒng)；

(2)不滿足零狀態(tài)線性，是非線性系統(tǒng)；

(3)滿足可分解性、零輸入線性、零狀態(tài)線性，所以是線性系統(tǒng)。例1.7－2討論具有如下輸入、輸出關(guān)系的系統(tǒng)是否線性。是非線性系統(tǒng)。式(1.7－4)分明是一個(gè)線性方程，卻描述的是一個(gè)非線性系統(tǒng)，結(jié)論似乎有些奇怪。這個(gè)系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系如圖1.7－5所示，可以表示為一個(gè)線性系統(tǒng)的輸出與該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)之和。式(1.7－4)表示的線性系統(tǒng)為 f(t)→4f(t)=yzs(t)零輸入響應(yīng)為yzi(t)=2實(shí)際應(yīng)用中存在可以由圖1.7－5表示的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的總輸出等于一個(gè)零狀態(tài)線性系統(tǒng)的響應(yīng)與一個(gè)確定的零輸入響應(yīng)之和，也有人將其稱為增量線性系統(tǒng)。圖1.7-5一種增量線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1.7.5時(shí)變系統(tǒng)與非時(shí)變系統(tǒng)從系統(tǒng)的參數(shù)來看，系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的是時(shí)不變系統(tǒng)，也稱非時(shí)變系統(tǒng)、常參系統(tǒng)、定常系統(tǒng)等；系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化的是時(shí)變系統(tǒng)，也稱變參系統(tǒng)。從系統(tǒng)響應(yīng)來看，時(shí)不變系統(tǒng)在初始狀態(tài)相同的情況下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)加入的時(shí)刻無關(guān)。即在{x1(0),x2(0),...,xn(0)}時(shí)，f(t)→y(t)

則在{x1(t0),x2(t0),...,xn(t0)}時(shí),f(t-t0)→y(t-t0)

（1.7-4）非時(shí)變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可由圖1.7-6表示。從圖1.7-5可見，當(dāng)激勵(lì)延遲一段時(shí)間t0加入時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，輸出響應(yīng)亦延時(shí)t0才出現(xiàn)，并且波形變化的規(guī)律不變。圖1.7-6時(shí)不變系統(tǒng)

例1.7-3已知系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系如下，判斷是否是時(shí)不變系統(tǒng)。

y(t)=cos3t·x(0)+2tf(t)u(t)

解因?yàn)槌跏紶顟B(tài)x(0)與激勵(lì)f(t)u(t)的系數(shù)均不是常數(shù)，所以是時(shí)變系統(tǒng)。圖1.8-1系統(tǒng)框圖表示

1.8LTI系統(tǒng)分析方法

如圖1.8-1所示系統(tǒng)框圖。

圖中T［］表示將輸入信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂盘?hào)的運(yùn)算關(guān)系，可表示為

y(t)=T［f(t)］（1.8-1）

系統(tǒng)運(yùn)算關(guān)系T［］既滿足線性又滿足時(shí)不變性的是線性時(shí)不變系統(tǒng)，簡(jiǎn)寫為L(zhǎng)TI系統(tǒng)。分析LTI系統(tǒng)具有重要意義，因?yàn)長(zhǎng)TI系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中相當(dāng)普遍，或在一定條件范圍內(nèi)一些非LTI系統(tǒng)可近似為L(zhǎng)TI系統(tǒng)；尤其是LTI系統(tǒng)的分析方法已經(jīng)形成了完整、嚴(yán)密的理論體系。而非線性系統(tǒng)分析，迄今沒有統(tǒng)一、通用的分析方法，只能視具體問題具體討論。此后不特別說明，本書涉及的均是LTI系統(tǒng)。

1.8.1LTI系統(tǒng)模型描述LTI系統(tǒng)模型的方法有兩類：

1.輸入—輸出描述法它著眼于系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)的外部關(guān)系，不關(guān)心系統(tǒng)內(nèi)部的變量情況。適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，如通信系統(tǒng)中大量遇到的就是單輸入單輸出系統(tǒng)。

2.狀態(tài)變量描述法它除了給出系統(tǒng)的響應(yīng)外，還可以提供系統(tǒng)內(nèi)部變量的情況，適用于多輸入、多輸出的情況。在控制系統(tǒng)理論研究中，廣泛采用狀態(tài)變量描述法。

1.8.2LTI系統(tǒng)分析方法

LTI系統(tǒng)分析方法有時(shí)域方法與頻（變）域方法兩種。LTI系統(tǒng)分析的一個(gè)基本任務(wù)是求解系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)，基本方法是將信號(hào)分解為多個(gè)基本信號(hào)元。時(shí)域分析將脈沖信號(hào)作為基本信號(hào)元，信號(hào)可以用沖激（階躍）函數(shù)表示。（復(fù)）頻域（也稱變域）分析將正弦（復(fù)指數(shù)）函數(shù)作為基本信號(hào)元，信號(hào)可以用不同頻率的正弦（復(fù)指數(shù)）函數(shù)表示。它們是同一信號(hào)兩類不同的分解方法，對(duì)應(yīng)著兩類分析方法。這兩類分析方法思路相同，都是先求得基本信號(hào)元的響應(yīng)，然后疊加。即這兩類分析方法均以疊加性、均勻性及時(shí)不變特性作為分析問題的基點(diǎn)，沒有本質(zhì)區(qū)別，僅是分解的基本信號(hào)元不同而已。

1.8.3LTI系統(tǒng)的微、積分性質(zhì)

利用LTI系統(tǒng)具有的疊加、比例與時(shí)不變特性，可推得LTI系統(tǒng)具有如下微分特性：若f(t)→y(t)，則

(1.8-2)

證若f(t)→y(t),由時(shí)不變性，輸入時(shí)移t0，輸出也時(shí)移t0，得到

f(t-t0)→y(t-t0)

由疊加性，輸入為兩項(xiàng)疊加，輸出也為兩項(xiàng)疊加，得到

f(t)-f(t-Δt)→y(t)-y(t-Δt)

再由比例性，輸入乘1/Δt，輸出也乘1/Δt，得到對(duì)上式兩邊同時(shí)取極限得到

這個(gè)性質(zhì)說明，當(dāng)系統(tǒng)的輸入是原信號(hào)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，LTI系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。這一結(jié)論可以推導(dǎo)到高階導(dǎo)數(shù)與積分，即若f(t)→y(t)，則n為正整數(shù)（1.8-3）（1.8-4）

式（1.8-3）與（1.8-4）表示當(dāng)系統(tǒng)的輸入是原信號(hào)的n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應(yīng)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；當(dāng)系統(tǒng)的輸入是原信號(hào)的積分時(shí)，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應(yīng)函數(shù)的積分。LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性如圖1.8-2所示。圖1.8-2LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性1.9基于MATLAB的信號(hào)描述及其運(yùn)算1.9.1常用信號(hào)的MATLAB程序

例1.9－1實(shí)指數(shù)信號(hào)f(t)=Aeat(A=2,a1=-0.5;a2=0.5;a3=0)的MATLAB程序如下：實(shí)指數(shù)信號(hào)波形如圖1.9-1所示。圖1.9-1例1.9-1中的實(shí)指數(shù)信號(hào)波形

例1.9-2

單邊指數(shù)信號(hào)(A=2,a=-0.5,

=1/

a

=2)的MATLAB程序如下clear;A=2;a=-0.5;t=0:0.01:10;y=A*exp(a*t);plot(t,y);line([-1,10],[0,0]);line([0,0],[-0.5,3]);axis([-0.5,10,-0.2,2.5]);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,2]);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,0.736,2]);grid;xlabel(’時(shí)間t’);ylabel(’幅值y’);title(’單邊指數(shù)信號(hào)’);圖1.9-2例1.9-2單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào)波形如圖1.9-2所示。

例1.9－3正弦信號(hào)y(t)=sin(2πt+π/3)(A=1，ω=2π，θ=π/3)的MATLAB程序如下：

t=-1:0.001:2;

y=sin(2*pi*t+pi/3);

plot(t,y);line(［-1,2］,［0,0］);

line(［0,0］,［-1.5,1.5］);

axis(［-1,2,-1.5,1.5］);

xlabel(′時(shí)間t′);

ylabel(′幅值(y)′);

title(′正弦信號(hào)′);圖1.9-3例1.9-3正弦信號(hào)正弦信號(hào)波形如圖1.9-3所示。

例1.9-4單邊衰減指數(shù)信號(hào)y(t)=2e-0.5tcos(2πt)的MATLAB程序如下：

(A=2,a=-0.5,cos(2*pi*t));

clear;

t=0:0.01:9;A=2;a=-0.5;

y=cos(2*pi*t);

y1=A*exp(a*t);

plot(t,y1,′-.′);holdon;

y2=y1.*y;

plot(t,y2);holdon;

y3=-2*exp(-0.5*t);

plot(t,y3,′-.′);

line(［0,10］,［0,0］);line(［0,0］,［-2,2.1］);

axis(［0,10,-2,2.1］);

xlabel(′時(shí)間t′);

ylabel(′幅值y′);

title(′單邊衰減指數(shù)信號(hào)′);

單邊衰減指數(shù)信號(hào)波形如圖1.9-4所示。圖1.9-4例1.9-4中的單邊衰減指數(shù)信號(hào)波形例1.9－5復(fù)指數(shù)信號(hào)e(-3+j4)t(σ=-3,ω=4)的MATLAB程序如下：

clear;

t=0:0.01:3;a=-3;b=4;

f=exp((a+i*b)*t);

subplot(2,2,1);plot(t,real(f)),

grid;

title(′實(shí)部′);xlabel(′時(shí)間t′),

ylabel(′幅值f′);

subplot(2,2,2);plot(t,imag(f));

grid;

title(′虛部′);xlabel(′時(shí)間(t)′);

ylabel(′幅值f′);

subplot(2,2,3);plot(t,abs(f));

grid;

title(′?！?;xlabel(′時(shí)間t′);

ylabel(′幅值f′);

subplot(2,2,4);plot(t,angle(f));

grid;

title(′相角′);xlabel(′時(shí)間t′);

ylabel(′幅值′);

復(fù)指數(shù)信號(hào)波形如圖1.9-5所示。圖1.9-5例1.9-5中的復(fù)指數(shù)信號(hào)波形例1.9－6抽樣信號(hào)Sa(at)（a=2π）的MATLAB程序如下：clear;t=-1:0.001:2;y=sin(2*pi*t+pi/3);plot(t,y);line([-1,2],[0,0]);line([0,0],[-1.5,1.5]);axis([-1,2,-1.5,1.5]);xlabel(‘時(shí)間t’);ylabel(’幅值(y)’);title(’正弦信號(hào)’);圖1.9-6例1.9-6中的抽樣信號(hào)波形抽樣信號(hào)波形如圖1.9-6所示。

例1.9－7單位階躍信號(hào)u(t)的MATLAB程序如下：

clear;

T=0.01;t=-2:T:6;

f=stepfun(t,0);

plot(t,f);axis(［-1,6,-0.2,1.2］);

line(［-2,6］,［0,0］);line(［0,0］,［-0.2,1.2］);

title(′單位階躍信號(hào)′);xlabel(′時(shí)間t′);ylabel(′幅值f′);單位階躍信號(hào)波形如圖1.9-7所示。圖1.9-7例1.9-7中的單位階躍信號(hào)波形例1.9－8單位沖激信號(hào)的MATLAB程序(幅值取有限值80)如下：

t0=0;t1=-1;t2=3;

dt=0.001;

t=t1:dt:t2;

n=length(t);

k1=floor((t0-t1)/dt);

y=zeros(1,n);

y(k1)=1/dt;

stairs(t,y);

axis(［-1,3,-1,80］);

xlabel(′時(shí)間t′);

ylabel(′幅值y′);

title(′單位沖激信號(hào)′);圖1.9-8例1.9-8的單位沖激信號(hào)波形單位沖激信號(hào)波形如圖1.9-8所示。例1.9－9單位斜坡信號(hào)的MATLAB程序如下：

clear;

t=0:.01:5;

a1=1;%斜率

y=a1*t;

plot(t,y);

line(［-0.5,5］,［0,0］);

line(［0,0］,［-0.5,5］);

axis(［-0.5,5,-0.5,5］);

xlabel(′時(shí)間t′);

ylabel(′幅值y′);title(′斜坡信號(hào)′);單位斜坡信號(hào)波形如圖1.9-9所示。圖1.9-9例1.9-9中的單位斜坡信號(hào)波形例1.9－10單位符號(hào)信號(hào)的MATLAB程序如下：

clear;

t=-5:.001:5;

y=sign(t);

plot(t,y);line(［-5,5］,［0,0］);line(［0,0］,［-1.5,1.5］);

axis(［-5,5,-1.5,1.5］);

xlabel(′時(shí)間t′);ylabel(′幅值y′);title(′符號(hào)信號(hào)′);

單位斜坡信號(hào)波形如圖1.9－9所示。圖1.9-10例1.9-10中的單位符號(hào)信號(hào)波形例1.9－11

門函數(shù)g2(t)的MATLAB程序如下：

clear;T=0.01;

t=-2:T:2;

f=stepfun(t,-1)-stepfun(t,1);

plot(t,f);axis(［-2,2,-0.2,1.2］);

title(′門函數(shù)′);line(［-2,2］,［0,0］);

line(［0,0］,［-0.2,1.2］);

門函數(shù)波形如圖1.9－11所示。圖1.9-11例1.9-11中的門函數(shù)波形1.9.2信號(hào)運(yùn)算的MATLAB程序

1.信號(hào)相加例1.9－12

y(t)=f1(t)+f2(t)，其中f1(t)=u(t)-u(t-4);f2(t)=cosω0t·u(t)(ω0=2π)。其MATLAB程序如下：clearT=0.01;t=0:T:10;t1=0:0.01:10;f1=stepfun(t,0)-stepfun(t,4);f2=cos(2*pi*t1);y=f1+f2;

subplot(311);plot(t,f1);

axis(［-0.2,10,-0.1,1.1］);

ylabel(′f1′);title(′信號(hào)相加′);

subplot(312);plot(t,f2);ylabel(′f2′)

subplot(313);plot(t,y);

line(［-2.2,10］,［0,0］);

line(［0,0］,［-1.2,2.1］);

axis(［-0.2,10,-1.2,2.1］);

xlabel(′時(shí)間t′);ylabel(′y′);信號(hào)相加波形如圖1.9－12所示。圖1.9-12例1.9-12中的信號(hào)相加波形

2.信號(hào)相乘

例1.9－13

y(t)=f1(t)·f2(t)；其中f1(t)=2e-0.5tu(t);f2(t)=sinω0t·u(t)(ω0=2π)。其MATLAB程序如下：

clear;

t=0:0.01:9;

y1=2*exp(-0.5*t);

plot(t,y1,′-.′);

holdon;

y2=y1.*sin(2*pi*t);

plot(t,y2);holdon;

y3